七年级数学专题规律探究题
七年级数学专题-----规律探究题
题型一：数字变化类问题
1．观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=__________．
2.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是．
1 2 3 5 8 13 a …
2 3 5 8 13 21 34 …
3.观察下面的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．
4.有一组等式：
2222222222222222
++=++=++=++=……请观察1233,2367,341213,452021
它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________
5.把奇数列成下表，
根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是．
5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法
很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的
十进位
0 1 2 3 4 5 6 …
制
二进制0 1 10 11 100 101 110 …
写成十进制数为 .
（二）
6．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．，，，，，…
7.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．8．有这样一组数据a1，a2，a3，…a n，满足以下规律：
，（n≥2且n为正整数），则a2013的值为______（结果用数字表示）．
9.观察下列各式的计算过程：
5×5=0×1×100+25，
15×15=1×2×100+25，
25×25=2×3×100+25，
35×35=3×4×100+25，
…………
请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是
A．M=mn B．M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1)
11.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…
解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（）
A．0 B．1 C．3 D．7
12.如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填
整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是.
－4 a b c 6 b －
2
…
13.将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x 是85．
题型二：图形变化类问题
14.如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需__________根火柴棒.
15.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD 中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有.（请填入方块上的字母）
16.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠
A 1BC和∠A
1
CD的平分线交于点A
2
，得∠A
2
；…∠A
2012
BC和∠A
2012
CD的平分线交于
点A
2013，则∠A
2013
= 度。
3
()图甲A B C D G
E F
234
13
2242
2
2
2 11
11
1
1
113
3
()
图乙
00
17.为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．
18.从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征
19.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．
20.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（）根火柴．
A．156 B．157 C．158 D．159
21.当白色小正方形个数n等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组
成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用n表示，n是正整数）
A B
D C A 1 C 1 B 1 D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 A 3 C 3
B 3
D 3 …
22.如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形
ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边 形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继 续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ▲ ；四边 形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 ▲ .
23.如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．
24.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．。
七年级数学探究题集锦
探究题集锦1、观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形有个圆。
2、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。
观察图形的变化规律，写出第9个小房子用了块石子，第n个小房子用了块石子。
3、这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21，第4行的数是。
4、仔细观察，思考下列一列数有哪些规律，然后填空：―1,2，―4,8，―16,32，……，（1）第7个数是；（2）第2012个数是；（3）第n个数是。
5、观察下列图形及图形所对应的等式，探究其中的规律：1＋8＝321＋8＋16＝521＋8＋16＋24＝ ，（1）在横线上写出第3个图形所对应的算式的结果；（2）在横线上写出第4个图形所对应的等式；（3）根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋……＋8n（n是正整数）的结果为（用含n的代数式表示）。
第1个第2个第3个第4个1011121321046、用火柴棒按如下方式搭三角形：照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要根火柴棒。
7、小明同学平时爱好数学，他探究发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，它们的和的情况的变化规律，如下表所示：请你根据表中提供的规律解答下列问题：（1）如果n＝8时，那么S的值为；（2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S，则S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝；（3）利用上题的猜想结果，计算300＋302＋304＋…＋2010＋2012的值（要有计算过程）。
8、找规律填数：12，―25，310，―417，625，。
9、有一组数依次是：0、1、1、2、3、5、8、13、m、34、……则m＝。
10、观察表一，寻找规律，表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a＋b的值为。
1114 a 1113 17b………………………01231 2 3357581171115表一表二表三11、观察下列等式，写出你发现的规律：① 32－12＝4×2 ② 42－22＝4×3③ 52－32＝4×4 ④ …………………………………… （1）补全第④式。
七年级数学人教课标(上册)38规律探索
规律探索一、选择题1.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．个数是故答案为：2.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）3. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）二.填空题1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．2. （2014•扬州，第18题，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是165．，得到方程组二.填空题1. （2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为8．OA，=；=2OA2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是（，）．考点：规律型：点的坐标；等边三角形的性质．菁优网分析：根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，P6的纵坐标为，故答案为：（，）．点评：本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空（1﹣）=•=；（1﹣）（1﹣）=•••==（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；…（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）考点：规律型：数字的变化类．分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．解答：解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=••••••…=．故答案为：．点评：此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．4.（2014•邵阳，第18题3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动28 次后该点到原点的距离不小于41．≥5.（2014•孝感，第18题3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（63，32）．6.（2014•滨州，第18题4分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014．先计算得到，=100=10=1000=10，=1000=10=100=10=1000=10=1000=107．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．（（（8.（2014•菏泽，第14题3分）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是（用含n的代数式表示）故答案为：9．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．分析：首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．三.解答题1. （2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×42=17；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式．菁优网分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．解答：解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．。
七年级数学上册专题精讲6、整式中的规律探究
图⑴
图⑵
图⑶
图⑷
方法总结 图形排列规律的问题其实也可以看成是整式排列规律问题，将图形中相 关的数据用含项数字母的整式表示出来，再看看这些整式排列有什么规律， 最后根据所推导的规律解题.
解：∵第1个图案中有5＋1＝6根小棒，
第2个图案中有2×5＋1＝11根小棒， 第3个图案中有3×5＋1＝16根小棒， … ∴第n个图案中有(5n＋1)根小棒．
故答案为： 若图形⑴中阴影部分的面积为 1，图形⑵中阴影部分的面积为 ， 4 9 27 图形⑶中阴影部分的面积为 ，图形⑷中阴影部分的面积为 ，则第 n 个图形中 16 64 阴影部分的面积用字母表示为( C ) 3 3 n 3 3 A. n B . （ ） C. ( ) n 1 D. ( ) n 1 4 4 4 4
3.指数.
系数和指数通常按“匀增加”或“成倍增加”的规律变化.
典例精解
类型二：图形规律探究 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒， 第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．
如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小 棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．
七年级数学上册专题精讲6
整式中的规律探究
我们经常遇到与整式相关的排列问题或图形排列问题，
如①x,－2x2,4x3,－8x4,……
②.
……
① ② ③
……
n
这些整式或表示图形的整式通常“匀增加”或“成倍增加”，找到这些规 律就找到了解题的方法.
典例精解
类型一：整式规律探究 例：观察下面的单项式： x,－2x2,4x3,－8x4,……，根据你发现的规律，第7个单 项式为___________ (－1)n+1•2n－1•xn. 64x7 ，第n个单项式为________________ 解：观察发现：①奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；
七年级数学人教版下册配套课件：专训4 点的坐标变化规律探究型问题
提升拓展·考向导练
2
绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究
3．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进
行排列，每个正整数对应一个整点坐标（x，y），
且x，y均为整数，如数5对应的坐标为（－1，1）， 试探求2015对应的坐标．
提升拓展·考向导练
以原点为中心，它们的数阵图形成多层正方形(不完整)， 观察图形得出下表： 正方形 正方形每边正 正方形在第四象限 对应点的坐标 的层数 整数的个数 的顶点表示的数
提升拓展·考向导练
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此 变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则点 A4的坐标是 (16,3) ，点B4的坐标是 (32,0) ； （2）若按（1）题中找出的规律，将三角形OAB进行n（n为 正整数）次变换，得到三角形OAnBn，比较每次变换前 后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标 是 (2n,3) ，Bn的坐标是 (2n+1,0) ．
1
2 3
3
5 7
9
25 49
(1，－1)
(2 ，－2) (3 ห้องสมุดไป่ตู้－3)
… n
…
2 n＋ 1
…
(2n＋1)2
…
(n，－n)
因为442＜2 015＜452＝(2×22＋1)2＝2 025， 所以2 025对应的坐标为(22，－22)， 所以2 015对应的坐标为(12，－22)．
提升拓展·考向导练
3
图形变换的点的坐标探究
4．（探究题）如图所示，在平面直角坐标系中，第一次 将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形 OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变 换成三角形 OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3）， A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0）， B2（8，0），B3 （16，0）.
七年级数学思维探究（27）图形生长的奥秘（含答案）
陈景润（19331996-），福建省福州市人，1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究．20世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月证明了命题“12+”，将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”．27．图形生长的奥秘 解读课标从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题． 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：（1）分析图形生长的方式、规律；（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想． 问题解决例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n 个图中小圆圈的个数为m ，则m =________．（用含n 的代数式表示）（2）观察下列图形：① ② ③ ④ 根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________． 试一试 对于（2），从寻找第n 个图与第1n -个图三角形个数的关系入手．例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ）． A ．25 B ．66 C ．91 D ．120（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1、2、3个图案所示规律依次下去：则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）．A ．22n n ++，21n +B ．22n +，21n +C ．4n ，23n n -+D ．4n ，21n +①m =5n =1时②m =8n =2时③m =11n =3时④m =14n =4时①②……③第1个第2个第3个试一试 略． 例3 操作：（1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为1；（2）如图②，在图①中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；（3）如图③，在②的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形．探究：图○n 的周长是多少？试一试 每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突破口．例4 有一堆砖堆放如图，第1层有3块，第2层有8块，第3层有15块，……，如此继续下去，第9层有多少块？第n 层有多少块？这样共n 层的砖堆总共有多少块砖？试一试 从第2层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手．例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需多少根火柴？分析 当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手．为使图形结构清晰，可适当改变图形． 解 将图中各个图案右下角的一个正方形移除3根火柴后得如下图：图中第1个图案需要横向火柴112+=（根），纵向火柴112+=（根），共需4根火柴； 第2个图案需要横向火柴1225++=（根），纵向火柴1225++=（根），共需10根火柴； 第3个图案需要横向火柴12339+++=（根），纵向火柴12339+++=（根），共需18根火柴； ……第n 个图案需要横向火柴的根数是()31232n n n n ++++++=，纵向火柴的根数也是()32n n +，共需()3n n +根火柴．故拼搭图中第11个图案需火柴()111133157⨯++=（根）． 图案设计例6 如图是一个由12个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？①②……③第1个第2个第3个…第4个第1个第2个第3个第4个…由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案． 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的．数学冲浪 知识技能广场1．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星．2．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为_________．3．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根（用含有n 的代数式表示）．4．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为________（用含n 的代数式表示）．5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_________．（1）漩涡（2）玫瑰花（4）海螺背影n =1★★★★n =2★★★★★★★n =3★★★★★★★★★★n =4……★★★★★★★★★★★★★图①★★图②★★★★★★★★…图③★★★★★★★★★★★★★★★★★★（1）（2）（3）（4）……第一个图案第三个图案6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．序号1 2 3 … n 图形… …… ●的个数 8 24 …★的个数 1 4 …（2）试求第几个图形中的“●”的个数与“★”的个数相等．8．已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当n k =时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含k 的式子表示）9．某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺2块，如图①；第二次把第一次铺的完全围起来，如图②；第三次把第二次铺的完全围起来，如图③；……；依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________．10．如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于_______．（1）（2）（3）①②③④……●●●●●●●★●●●●●●●●●●●●●●●●★●★★★★★★●●●●●★★●●●★★★●★●●●●●●●●●●●●●●●n =3n =4…n =5①②③11．在图①中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②；对图②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图③；……；如此继续，如果图①的等边三角形面积为1，则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为___________．12．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，……，依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为()3n a n ≥． （1）求5a 的值；（2）当3451111n a a a a ++++的结果是197600时，求n 的值为_________．13．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，……，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？应用探究乐园14．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：正方形边长1 3 5 7 … n （奇数） 第6行第5行第4行第3行第2行第1行①②③（1）（2）（3）……（4）A黑色小正方形个数 …正方形边长2 4 6 8 … n （偶数） 黑色小正方形个数 …（2）在边长为()的正方形中，设黑色小正方形的个数为1p ，白色小正方形的个数为2p ，问是否存在偶数n ，使215p p =若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由． 15．将棱长为1cm 的正方体按如图方式放置，求第20个几何体的表面积．27．图形生长的奥秘 问题解决例1（1）32n +（2）161 图①有145+=个，图②有143417++⨯=个，图③有214343453++⨯+⨯=个，图④有2314343434161++⨯+⨯+⨯=个．例2（1）C 1591317212591++++++=； （2）D例3 图○n 中每个小等边三角形的边长为13n⎛⎫⎪⎝⎭，图○n 周长为143n n -． 例4 第9层有99块，第n 层有()2n n +块，这样的n 层砖堆共有()()()()()31425321212223232n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+⨯++⨯++⨯+++⨯()()()()()()2222111232123121112766n n n n n n n n n n =+++++++++=++++=++（块）．数学冲浪1．25 2．72 3．62n - 4．22n +5．()53132n n +-=+（个） 6．()2210101181+-=（个） 7．（1）略；（2）由28n n =，得8n =或0n =（舍去）．8．n k =时，共向外作了()23k -⨯个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为21S k⨯，这些小等边三角形的面积为()()2232123k k S S k k--⨯⨯⨯=⨯． 9．()()()221232286n n n n n ----=-10．377 各行的实心圆点数组成斐波那契数列 11．134n -⎛⎫ ⎪⎝⎭12．（1）()1n a n n =+，530a =；（2）199n =． 13．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯++-=+-．当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +-=>，故最多能完整地铺满26组，还剩2005195154-=（块）瓷砖． 14．（1）略；（2）n 为偶数时，12p n =，222p n n =-，由题意得2252n n n -=⨯，12n =或0n =（舍去）．故存在偶数12n =，使得215p p =．15．由图呈现的规律知，第20个几何体有20层，从上往下第1层有1个正方体，第2层有33⨯个正方体，第3层有55⨯个正方体，……，第20层有3939⨯个正方体，所以第20个几何体的表面积由以下三部分组成：（1）俯视图：边长为39厘米的正方形，面积为39391521⨯=（平方厘米）． （2）底面积：边长为39厘米的正方形，面积为1521平方厘米． （3）侧面积：四个形如39个正方形的金字塔三角形的面积和，即()13913539420416002+++++⨯=⨯⨯=（平方厘米）．故第20个几何体的表面积为1521216004642⨯+=（平方厘米）．………………………………………。
2020春人教版七年级数学下册图片版习：专项11 点的坐标变化规律探究问题
圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运
动，速度为每秒π2个单位长度，则第2
(2 019，－1)
019秒时，点P的坐标为________________．
7．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角 形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形 OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形 OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2， 3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)， B2(8，0)，B3(16，0)． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将三角形OA3B3 变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是_(1_6_，_3_)___，B4的坐标是_(_32_，__0_) __； (2)若按第(1)题找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形O(A2nn，B3n)，比 较每次变换中三(2n＋角1，形0)顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是________， Bn的坐标是________________．
初中同步训练
数学
七年级下册 (RJ版)
专项11 点的坐标变化规律探究问题
类型 1 沿坐标轴运动中点的坐标规律 1．(2019·山东济宁微山期末)如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示 方向做折线运动，即第一次从原点运动到(1，1)，第二次从(1，1)运动到(2，0)， 第三次从(2，0)运动到(3，2)，第四次从(3，2)运动到(4，0)，第五次从(4，0)运动 到(5，1)，….按这样的运动规律，经过第 2 019 次运动后，动点 P 的坐标是 ( C)
4．(2019·福建南平期末)如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－
【专题】初中数学：规律探究题
初中数学：规律探究题1有一组等式：12＋22＋22＝32，22＋32＋62＝72，32＋42＋122＝132，42＋52＋202＝212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为________．2点O在直线AB上，点A1、A2、A3，…在射线OA上，点B1、B2、B3，…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为________秒．3两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么六条直线最多有( )A．21个交点B．18个交点C．15个交点D．10个交点4如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有________个正方形．5对于任意非零实数a、b，定义运算“♁”，使下列式子成立：，，，，…，则a♁b＝________．6一组按规律排列的式子：a2，，，，…，则第n个式子是；________(n 为正整数)．7已知抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n(n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n)与x轴的交点为A n－1(b n－1，0)和A n(b n，0)，当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0，0)和A1(b1，0)，其他依此类推．(1)求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；(2)抛物线y3的顶点坐标为(________，________)；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(________，________)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是________________；(3)探究下列结论：①若用A n－1A n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1A n；②是否存在经过点A(2，0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．8观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为________(用含n的代数式表示)．9我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图(2)、图(3)，……．(1)观察以上图形并完成下表：猜想：在图(n)中，特征点的个数为________________(用n表示)(2)如图，将图(n)放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝________；图(2013)的对称中心的横坐标为________10如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数(从左往右数)为( )A．B．C．D．。
易错07 整式中的规律探究问题(原卷版)-七年级数学上册期末突破易错挑战满分(人教版)
【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年七年级数学上册期末突破易错挑战满分（人教版）易错07 整式中的规律探究问题【易错1例题】数字问题的规律探究问题 1．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；… 青解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：5a =______________．（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：n a =______=_______（n 为正整数）； （3）求12100a a a ++⋅⋅⋅+的值．【易错2例题】图形问题的规律探究问题2．（2020·浙江七年级期末）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）对于方式一、方式二，4张桌子拼在一起分别可坐多少人？ （2）对于方式一、方式二，n 张桌子拼在一起分别可坐多少人？（3）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？【专题训练】 一、选择题1．（2021·日照市新营中学七年级期中）观察下列各式数：−2x ，4x 2，−8x 3，16x 4，−32x 5，…则第n 个式子是 ( ) A ．−2n −1x nB ．(−2)n −1x nC ．−2n x nD ．(−2)n x n2．（2021·云南西双版纳·七年级期末）有一列按一定规律排列的式子：﹣3m ，9m ，﹣27m ，81m ，﹣243m ，…，则第n 个式子是（ ） A ．（﹣3）n mB ．（﹣3）n +1mC ．3n mD ．﹣3n m3．（2021·河南周口市·七年级期中）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要10根小棒，图案②需要16根小棒，图案③需要22根小棒，技此规律摆下去，第n 图案需要小棒多少根？（ ） ①，②，③，… A ．46n +B ．82n +C ．62n -D ．64n +4．（2021·四川达州市·八年级期末）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ ）A ．180B ．183C ．186D ．190二、填空题5．（2021·河南周口市·七年级期中）观察一组关于x 的单项式：3x ，25x -，37x ，49x -，…．按照排列规律，第n 个单项式是______．6．（2021·云南临沧市·八年级期末）观察下列一组代数式：a ，2345,,,3579a a a a ，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个代数式为 ___．7．（2021·辽宁朝阳市·七年级期末）观察下列图形：第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈…，按此规律排列，则第n 个图形中小圆圈的个数是_________．8．（2021·山东七年级期末）如图是用棋子摆成的“H ”，摆成第一个“H ”需要7个棋子，第二个“H ”需要棋子12个；按这样的规律摆下去，摆成第2021个“H ”需要__个棋子．三、解答题9．（2021·浙江七年级期末）一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝﹣1，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＝111n a --．（1）求a 2，a 3的值；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a 2021的值．10．（2021·安徽合肥市五十中学新校九年级二模）观察下列等式：第1个等式：()2311131⨯+=⨯+；第2个等式：()2322261⨯+=⨯+；第3个等式：()2333391⨯+=⨯+；…按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：______；（2）写出你猜想的第n 个等式：______（用含n 的等式表示），并证明．11．（2020·吉林七年级期末）某展览馆选用规格为60×60cm2（边长为60cm的正方形）的黑白两种颜色的大理石地砖，按下图的方式铺设通向展厅的走廊地面．（1）依据上图规律，第n个图形中需要黑色大理石地砖块；（2）铺设完毕后，施工人员发现整个走廊地面恰好是符合上图规律的一个完整图形，且用去的黑色大理石地砖是白色大理石地砖的512，求走廊的长度．12．（2020·浙江杭州·七年级期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔观察，并回答下列问题：（1）第5个图案中有白色纸片多少张？（2）第n个图案中有白色纸片多少张？（3）第几个图案有白色纸片有2020张？（写出必要的步骤）13．（2021·石家庄市第四十四中学）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．（1）求x y+的值．（2）若30n=，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？（3）用含n（n为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．14．（2021·河北七年级期末）下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：（1）第4个图形中共有_______根火柴，第6个图形中共有_______根火柴；（2）第n个图形中共有_______根火柴（用含n的式子表示）；（3）请判断上组图形中前2021个图形火柴总数是2021的倍数吗？请说明理由．（参考：()11232n nn+⨯++++=，例如求解()1991239452+⨯++++==）15．（2021·河南郑州·）用火柴棒按图中的方式搭图形：按图示规律填空：图形标号①②③④⑤火柴棒根数5913a b（1）a=__________，b=__________；（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示）（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．。
华师大版七年级数学专题36规律探索
规律探索一.选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3......按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．B．C．D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•山东威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．解答：解：连结OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•山东日照，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2015个单项式是（）(A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015.【答案】C【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n－1），而后面因式x 的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为.故选C考点：探索规律7．(2015·河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A .（2014,0） B .（2015，－1） C . （2015,1） D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π， ∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015， ∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P (2015，－1) .图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n =（ ）A ． 14B ． 15C ． 16D ． 17考点： 规律型：图形的变化类．.分析： 分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3PO 第8题O 1xy O 2O 3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解答：解：第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（B）A.231πB.210πC.190πD.171π9. （2015•浙江宁波，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【 】A .201521 B .201421 C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线，… ∴21111122h =+=-， 32211111222h =++=-，42331111112222h =+++=-，…20152201420141111112222h =+++⋅⋅⋅+=-.故选D .二.填空题1．（2015•甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2016，n（n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．2. （2015•浙江衢州,第15题4分）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点的坐标是▲ .【答案】．【考点】探索规律题（图形的变化类－－－－循环问题）；正六边形的性质；含30度角角三角形的性质．【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环.∵，∴经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.∵，∴在中，.∴.∴在中，.∴.∴的横坐标为，纵坐标为.∴经过2015次翻转之后，点的坐标是．3. （2015•浙江湖州，第16题4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…，若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是__________________________【答案】.考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.4. （2015•四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；…n=n时，根数为：2n（n+1）．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5．(2015·深圳，第15题分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有个太阳。
七年级数学上册专题提分精练代数式规律类：图形变化类(解析版)
专题14 代数式规律类：图形变化类1．探索规律，观察图中由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想1357919+++++⋯+= 100 ； （2）请猜想13579(21)n +++++⋯+-= ．【解答】解：（1）由21342+==， 213593++==， 21357164+++==， 213579255++++==，⋯，1357919+++++⋯+共有10个数，2135791910100∴+++++⋯+==．故答案为：100；（2）由（1）得，213579(21)n n +++++⋯+-=． 故答案为：2n ．2．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分⑧是部分②面积的一半，依此类推⋯ （1）根据图形填写下表；（3）猜想：①11112482n +++⋯+= ； ②当10n =时，请用两种方法计算：1011112482+++⋯+的值（结果用分数表示）．【解答】解：（1）观察图形可知：部分①的面积为：12， 部分②的面积为21124=， 部分③的面积为31128=， 故答案为：12，14，18； （2）阴影部分的面积是611264=； （3）①由（1）知：11111124822n n +++⋯+=-， 故答案为：112n-； ②当10n =时， 方法一：由①知：1111248++10112-；方法二：原式91010111111111122448222=-+-+-+⋯+-=-． 3．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2019颗黑色棋子？说明理由． 【解答】解：（1）观察图形发现： 第一个图形有236⨯=个棋子， 第二个图形有339⨯=个棋子， 第三个图形有4312⨯=个棋子，⋯第n 个图形有(33)n +个棋子；所以第5个图形有35318⨯+=个棋子； （2）当332019n +=时， 解得：672n =，所以第672个图形有2019颗黑色棋子．4．《庄子天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则1112S =-=阴影 12； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则22111()22S =--=阴影 ； 同种操作，如图3，2331111()()222S =---=阴影 ； 如图4，234411111()()()2222S =----=阴影 ； ⋯⋯若同种地操作n 次，则2311111()()()2222n n S =----⋯-=阴影 ；【规律归纳】 （2）直接写出2361112222+++⋯+的化简结果： ； 【规律应用】 （3）直接写出算式23611112222+++⋯+的值： ．【解答】解：（1）因为11111222-== 221111111()222442--=-==23311111111()()2224882---=-== 23441111111()()()2222216----== 23111111()()()22222n n ----⋯-= 故答案为12、14、18、116、12n ； （2）因为2366111111()22222-+++⋯+=所以236611111122222+++⋯+=- 故答案为6112-； （3）23661111116311222226464+++⋯+=-=-=． 故答案为6364． 5．用火柴棒按如图的方式搭图形：（1）图①有 4 根火柴棒；图②有 根火柴棒；图③有 根火柴棒． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有多少根火柴棒？【解答】解：（1）观察图形可知：图①有4根火柴棒；图②有7根火柴棒；图③有10根火柴棒．（2）观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n 个图形中，需要火柴43(1)31n n +-=+． 当100n =时，313100301n +=⨯=．6．某数学兴趣小组再用黑色围棋进行摆放图案的游戏中，小雨同学现已摆放了如下的图案，请根据图中的信息完成下列的问题．（1）填写下表：个图形中棋子为颗围棋；（2）小雨同学如果继续摆放下去，那么第n个图案就要用颗围棋；（3）如果小雨同学手上刚好有90颗围棋子，那么他按照这种规律从第①个图案摆放下去，是否可以摆放成完整的图案后刚好90颗围棋子一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗围棋子？（只答结果，不说明理由）【解答】解：根据图形的规律可知：第①个图案中用了123+=颗围棋；第②个图案中用了1236++=颗围棋；第③个图案中用了123410+++=颗围棋；⋯；第n个图案中用了(1)(2)123(1)2n nn+++++⋯++=颗围棋．故答案为：（1）在第②个图案中用了6颗围棋，在第③个图案中用了10颗围棋，在第50个图案中，用了1326颗围棋，（2）小雨同学如果继续摆放下去，那么第n个图案就要用(1)(2)2n n++颗围棋．（3）不可以，刚好摆放完成6个完整图案，还剩下7个棋子．7．下面是用形状和大小都相同的黑色棋子摆成的图形，观察规律完成下列问题：（1）填写下表：n个图形的棋子数为．（3）你知道第153个图形需要几颗棋子吗？【解答】解：第一个图需棋子314+=；第二个图需棋子3217⨯+=；第三个图需棋子33110⨯+=；⋯第n 个图需棋子31n +枚． （1）填表如下：n（3）当153n =时，31531460⨯+=；8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； （2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式．【解答】解：（1）④：213574+++=；⑤2135795++++=；（2）21357(21)(1n n n ++++⋯+-=的整数）． 9．下列图形按一定规律排列，观察并回答：（1）依照此规律，第四个图形共有 13 个，第六个图形共有个；（2）第n 个图形中有个；（3）根据（2）中的结论，第几个图形中有2014个？【解答】解：（1）观察发现，第1个图形五角星的个数是，134+=， 第2个图形五角星的个数是，1327+⨯=， 第3个图形五角星的个数是，13310+⨯=， 第4个图形五角星的个数是，13413+⨯=，⋯第6个图形五角星的个数是，13619+⨯=， （2）第n 个图形五角星的个数是，1331n n +⨯=+，n+=（3）312014n=．解得671第671个图形中有2014个★．n+．故答案为：13；19；3110．一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律．（1）当排3张方桌时，周围可坐16人；（2）当排n张方桌时，周围可坐人；（3）现有52人坐这种排列的桌子，每人只坐一个座位，至少要排张桌子．+⨯=（人)；【解答】解：（1）根据分析得：有3桌时可坐的人数为：82416（2）根据分析得：有n桌时可坐的人数为：84(1)44+⨯-=+（人)；n nn+，（3）由以上数据可得规律：4452x，解得：12∴现有52人坐这种排列的桌子，每人只坐一个座位，至少要排12张桌子．n+，12．故答案为：16，4411（1）按图示规律填写下表：（3）按照这种方式摆下去，1000个棋子能摆多少个正方形？【解答】解：（1）图（1）棋子个数为4；⨯=；图（2）棋子个数为248⨯=；图（3）棋子个数为3412图（4）棋子个数为4416⨯=； 图（5）棋子个数为5420⨯=； 图（6）棋子个数为6424⨯=；⋯第n 个正方形需要棋子数为4n ；（2）当10n =时，440n =； 故第10个正方形需要40个棋子；（3）当41000n =时，250n =， 故1000个棋子能摆250个正方形．12．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒按图所示的规律摆“金鱼”的比赛．（1）小明只搭了4条金鱼，则他用了 26 根火柴棒；（2）小颖把老师分给她的50根火柴棒全部用完，则她搭了多少条金鱼？【解答】解：（1）①中火柴棒有(26)+根，②中有(262)+⨯根，③中有(263)+⨯根，∴按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为(26)n +根，当4n =时，需要金鱼(264)+⨯=根； （2）根据题意得到：2650n += 解得：8n =，所以小颖共搭了8条金鱼．13．如图所示，小王玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，手中共有4张纸片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片．如此进行下去，当小王撕到第n 次时，手张共有S 张纸片．根上述情况：（1）当小王撕到第2次时，手中共有几张纸片？第3次呢？ （2）用含n 的代数式表示S ；（3）当小王撕到第几次时，他手中共有70张小纸片？【解答】解：（1）从图中可以看出，当小王撕了1次时，手中有4张纸311=⨯+； 当小王撕了2次时，手中有7张纸321=⨯+；⋯可以发现：小王撕了几次后，他手中纸的张数等于3与几的乘积加1． 所以，当小王撕了3次时，手中有33110⨯+=张纸． 答：当小王撕了3次时，手中有10张纸；（2）由题目中的“每次都将其中-片撕成更小的四片”， 可知：小王每撕一次，比上一次多增加3张小纸片． 43(1)31s n n ∴=+-=+；（3）当70s =时，有3170n +=，23n =．即小王撕纸23次．14．用火柴棒按图中的方式搭图形 ．（1） 按图示规律填空：个这样的三角形需要 根火柴棒， 搭出n 个这样的三角形需要 根火柴棒 ． 【解答】解： 搭一个三角形需 3 根火柴，搭 2 个三角形中间少用 1 根， 需要 5 根火柴棒， 搭 3 个三角形中间少用 2 根， 需要 7 根火柴棒， 搭 4 个三角形中间少用 3 根， 需要 9 根火柴棒， 搭 5 个三角形中间少用 5 根， 需要 13 根火柴棒；⋯搭n 个三角形中间少用(1)n -根， 需要[3(1)]21n n n --=+根火柴棒； （1） 填表如下：=根火柴121n+根火柴棒．棒，搭出n个这样的三角形需要21n+．故答案为：7 ，9 ；21 ，2115．如图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色．（1）如图①，正方体有8个顶点；有条棱；有个面；（2）如图②，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有个，两面涂色的有个；一面涂色的有个；各面都没有涂色的有个．（3）猜想：如果把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．观察其中三面被涂成红色有个；两面被涂成红色有个；一面被涂成红色有有个；各面都没有涂色的有个．【解答】解：（1）如图①，正方体有8个顶点；有12条棱；有6个面；（2）如图②，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12个；一面涂色的有6个；各面都没有涂色的有1个．（3）猜想：如果把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．观察其中三面被涂成红色有8个；两面被涂成红色有24个；一面被涂成红色有有24个；各面都没有涂色的有8个．故答案为：（1）8，12，6；（2）8，12，6，1；（3）8，24，24，8．16．如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，⋯，依此类推．（1）填写下表：n；n2)（3）写出n 层的正六边形点阵的总点数(2)n ；（4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？【解答】解：（1）如表：（2）第一层上的点数为1； 第二层上的点数为616=⨯； 第三层上的点数为6626+=⨯； 第四层上的点数为66636++=⨯；⋯；第n 层上的点数为(1)666n n -⨯=-．（3）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n 层六边形点阵的总点数为， 1162636(1)n +⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯， 16[1234(1)]n =+++++⋯+-，(1)162n n -=+⨯， 13(1)n n =+-．第n 层六边形的点阵的总点数为：213(1)331n n n n +-=-+．（4）令2331331n n -+= 解得：10n =-（舍去）或11n = 答：共有11层． 17．观察图回答问题：图中的圆被线段隔开分成了四层，则第一层有1个圆，第二层有3个圆，第三层有5个圆⋯， （1）如继续画下去，第五层有 9 个圆，第n 层应画 个圆； （2）某一层上有99个圆，则这是在第 层；（3）前三层共有个圆；前十层共有个圆；（4）请推算，这种图前n层共有多少个圆？【解答】解：根据题意得：（1）第三层有5个圆，第四层有7个圆；∴层应该9个圆，5每一层都比其前一层多2个圆，n-个圆；∴第n层有(21)n-=（2）2199n=，解得：50故50层有99个圆；（3）前三层共有9个圆；前十层共有100个圆；（4）2++==；2+++==；135716413593+==；21342则n层的圆的个数和是2+++⋯+-=；n n1351n-；（2）50；（3）9，100．故答案为：（1）9，2118．火柴棒按图中所示的方法搭图形．（1）填写下表n【解答】解：（1）3、5、7、9、11；（2）由图形得到：+=根；第一个图形要火柴123++=根；第二个图形要火柴1225第三个图形要火柴12227+++=根；⋯故第n 个图形要火柴122212n +++⋯+=+根． 19．用牙签按下图方式搭图． （1）根据上面的图形，填写下表：n【解答】解：（1）观察图形得： 图①牙签根数：331=⨯， 图②牙签根数：93(12)=⨯+， 图③牙签根数：183(123)=⨯++， 所以，图④牙签根数：3(1234)30⨯+++=， 图⑤牙签根数：3(12345)45⨯++++=， 故答案为：3，9，18，30，45．（2）根据（1）得到的规律，第n 个图形的牙签数英表示为：133(12345)3(1)(1)22n n n n n ⨯+++++⋯+=⨯+=+．所以第n 个图形有3(1)2n n +根牙签．20．按图所示，用火柴棒摆图形．（1）填写下表（2）要拼出有n (1)n >个三角形的图形，需要多少根火柴棒？ （3）要拼出有40个三角形的图形，分别需要多少根火柴棒？ 【解答】解：（1）3、5、7、9、11；（2）由图形得到：第一个图形要火柴123+=根； 第一个图形要火柴1225++=根； 第一个图形要火柴12227+++=根；⋯故第n 个图形要火柴122212n +++⋯+=+根． （3）当40n =时，12124081n +=+⨯=，故要拼出有40个三角形的图形，需要81根火柴棒．。