实变函数题库集答案
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实变函数试题库及参考答案 本科
一、题
1.设,A B 为集合,则()\A B B U =A B U (用描述集合间关系的符号填写)
2.设A 是B 的子集,则A ≤B (用描述集合间关系的符号填写)
3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是闭集
4.有限个开集的交是开集
5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E U ≤12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写)
6.设n E ⊂¡是可数集,则*m E =0
7.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ∀∈¡,()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是可测集,则称()f x 在E 上可测
8.可测函数列的上极限也是可测函数
9.设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()n n f x g x +⇒()()f x g x +
10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上可积
11.设,A B 为集合,则()\B A A U ⊃A (用描述集合间关系的符号填写)
12.设{}211,2,A k k =-=L ,则A =a (其中a 表示自然数集N 的基数)
13.设n E ⊂¡,如果E 中没有不属于E ,则称E 是闭集
14.任意个开集的并是开集
15.设1E 、2E 是可测集,且12E E ⊂,则1mE ≤2mE
16.设E 中只有孤立点,则*
m E =0
17.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ∀∈¡,()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是可测,则称()f x 在E 上可测 18.可测函数列的下极限也是可测函数
19.设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()n n f x g x ⇒()()f x g x
20.设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列,则
()E f x dx =⎰()lim n E n x dx ϕ→∞⎰ 21.设,A B 为集合,则()\A B B U ⊃B
22.设A 为有理数集,则A =a (其中a 表示自然数集N 的基数)
23.设n E ⊂¡,如果E 中的每个点都是内点,则称E 是开集
24.有限个闭集的交是闭集
25.设n E ⊂¡
,则*m E ≥0 26.设E 是n ¡中的区间,则*m E =E 的体积
27.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ∀∈¡,()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是可测集,则称()f x 在E 上可测
28.可测函数列的极限也是可测函数
29.设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒..a e ,则()n f x ⇒()g x
30.设()n f x 是E 上的非负可测函数列,且单调增收敛于()f x ,由勒维定理,有
()E f x dx =⎰()lim n E n f x dx →∞⎰
31.设,A B 为集合,则()\B A B A I U =A B U
32.设A 为无理数集,则A =c (其中c 表示自然数集[]0,1的基数)
33.设n E ⊂¡,如果E 中没有不是内点的点,则称E 是开集
34.任意个闭集的交是闭集
35.设n E ⊂¡,称E 是可测集,如果n T ∀⊂¡,()**m T m T E =+I ()*c m T E I
36.设E 是外测度为零的集合,且F E ⊂,则*m F =0
37.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1
a ∀∈¡,()E x a f x
b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测,(a b ≤)则称()f x 在E 上可测
38.可测函数列的上确界也是可测函数
39.设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒..a e ,则()()n n f x g x ⇒()()f x g x
40.设()()n f x f x ⇒,那么由黎斯定理,(){}n f x 有子列()k n f x ,使()()k n f x f x →..a e 于E
41.设,A B 为两个集合,则__c A B A B -I .(等于)
42.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是闭.
43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ⊆ (ii),a G b G ∉∉
44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 答案:≥
45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案:≥
46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x
f x a >是可测集E 上的可测函数.
47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E . 答案>
48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由____黎斯__定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()
()k a e n f x f x x E →∈. 49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上不一定L 可积.
50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数.
51.设,A B 为集合,则___(\)A B B A A U U 答案=
52.设n E R ⊂,如果E 满足0E E =(其中0E 表示E 的内部),则E 是开集
53.设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉,则(,)a b 必为G 的构成区间
54.设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数=a (其中a 表示自然数集N 的基数)
55.设,A B 为可测集,B A ⊆且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 答案 =
56.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是可测集
57.若()E R ⊆是可数集,则__0mE 答案=
58.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,如果.()()()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ⇒ x E ∈不一定成立
59. 设()f x 为可测集()n E R ⊆上的非负可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值一定存在
60.若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数,则()f x 必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差)
多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)
1.设[]{}0,1E =中无理数,则( ACD )
A E 是不可数集
B E 是闭集
C E 中没有内点
D 1m
E = 2.设n E ⊂¡是无限集,则( AB )
A E 可以和自身的某个真子集对等
B E a ≥(a 为自然数集的基数)
C E '≠∅
D *0m
E >
3.设()f x 是E 上的可测函数,则(ABD )
A 函数()f x 在E 上可测