实变函数历年考试真题汇总

第 1 页 共 6 页陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A)一．填空.（每空2分，共20分）1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 .3⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2R 内求= E ,='E ，4.设,,(),[0,1]\.x x x P f x e x P ∈⎧=⎨∈⎩其中P 是Cantor 集,则[]=⎰1,0)(dx x f ________. 5.设nE R ⊂,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x += ;()f x -= .7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵{}()n f x 是E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶lim ()()n n f x f x →∞=..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ∀>,E E δ∃⊂,使得mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x .二.选择（每题2分，共10分）1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）.A .AB 是可数； B .A B 是不可数；C .A B c =；D .A B B =2.设E 是任一可测集,则( )．A .E 是开集;B .0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得(\)m G E ε<;C .E 是闭集;D .E 是F σ型集或G δ型集.3.下列关系式中成立的是（ ）①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''='， ④()B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合.A .①②B .③④⑤C .③⑤D .①②③④⑤4. 设n E R ⊂,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ;B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{}()i n f x 在E 上一致收敛于()f x .C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ;D . {}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ;5.设qR E ⊂为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ）A⎰⎰∞→∞→≤En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim B⎰⎰∞→∞→≥En n nE n dx x f dx x f)(lim )(limC⎰⎰∞→∞→=En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim D⎰⎰∞→∞→=En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim三．判断题(每题2分，共10分)1. 0mE =E ⇔是有限集或可数集. （ ）2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ）3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ）4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数（ ）5.可测函数)(x f 在E 上L 可积⇔)(x f 在E 上L 可积 （ ）四．证明题(每题8分，共40分)1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ∀∈,{}()E x f x a =>是试 卷 密 封 装 订 线院 系 班 级 姓 名 学 号第 2 页 共 6 页一开集.2.设q R E ⊂,证明存在G δ型集G E ⊃,使得E m G m **=3．证明：黎曼函数[]⎪⎩⎪⎨⎧==中的无理数，及，为为既约分数，为自然数，且,1010,0,,,1)(x q p q p q p x q x R是[],10上的可测函数 4.设函数列{}()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x （即0,δ∀>E E δ∃⊂,使得{}()n f x 在E δ上一致收敛于()f x 且()m E E δδ-<.）证明:{}n f 在E 上..a e 收敛于f .5.设0mE ≠,()f x 在E 上可积,如果对于任何有界可测函数()x ϕ,都有()()0Ef x x dx ϕ=⎰,则()0f x =..a e 于E .五．计算题(每题10分，共20分)1． 设3[0,1][0,1],,()1,.x x Q f x x Q ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 问()f x 在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值. 2．15220lim sin 1n nxxdx n x→∞+⎰陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数论期末试题(B)一．填空.（每空2分，共20分）1给出(1,1)-与(,)-∞+∞之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3{}1),(22<+=y x y x E ,在2R 内求=E ,='E ， 4.设,,(),[0,1]\.x x x P f x e x P ∈⎧=⎨∈⎩其中P 是Cantor 集,则[]=⎰1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ⊂,则称E 是L 可测的是指: . 6.设x x f cos )(=,[0,2]x π∈,则()f x += ;()f x -= .7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵{}()n f x 是E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶lim ()()n n f x f x →∞=..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ∀>,E E δ∃⊂,使得mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x .二.选择.每题2分，共10分）1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）.A .AB 是可数；B .A B 是不可数；C .A B c =；D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )．A .E 是开集;B .0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得(\)m G E ε<;C .E 是闭集;D .E 是F σ型集或G δ型集.3.下列关系式中成立的是（ ）①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''='，线第 3 页 共 6 页④()B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合.A .①②B .③④⑤C .③⑤D .①②③④⑤4. 设n E R ⊂,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ;B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{}()i n f x 在E 上一致收敛于()f x .C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ;D . {}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ;5.设qR E ⊂为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ）A⎰⎰∞→∞→≤En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim B⎰⎰∞→∞→≥En n nE n dx x f dx x f)(lim )(limC⎰⎰∞→∞→=En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim D⎰⎰∞→∞→=En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim三．判断题(每题2分，共10分)1. 0mE =E ⇔是有限集或可数集. （ ）2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ）3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ）4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数（ ）5.可测函数)(x f 在E 上L 可积⇔2f 在E 上L 可积 （ ）四．证明题(每题8分，共40分)1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ∀∈,{}a x f x E ≥=)(是一闭集.2. 证明:若E 可测,则0ε∀>,存在开集G ,使G E ⊂,而()m G E ε-<3．证明：黎曼函数[]⎪⎩⎪⎨⎧==中的无理数，及，为为既约分数，为自然数，且,1010,0,,,1)(x q p q p q p x q x R 是[],10上的可测函数4. 设0=mA ，B 为任一点集，则有B m B A m *)(*= .5.设0mE ≠,()f x 在E 上可积,如果对于任何有界可测函数()x ϕ,都有()()0Ef x x dx ϕ=⎰,则()0f x =..a e 于E .五．计算题(每题10分，共20分)2． 设[][]⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.1,01,0,1,,)(Q x Q x x x f 问()f x 在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值. 2．dx x n nxn ⎰+∞→10221lim陇东学院2012—2013学年第二学期实变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）线第 4 页 共 6 页1.给出()1,0与()10,0之间的一一对应关系 .2. 设10,1n A n⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,1,2,n =.则lim n n A →∞= .3. 设E 是平面上单位正方形[0,1][0,1]⨯中坐标都是有理数的点组成的集合,则mE =__________.4. 设1E 是[0,1]中的全部有理点,则1E 在1R 内的1E '= ,1E = E = .5. 举出一个在[0,1]上Lebesgue 可积但不Riemann 可积的函数()f x =_____ _.6.设n E R ⊂,则称E 是L 可测的是指: .7. 设()f x 是定义在可测集nE R ⊂上的广义实值函数,则称()f x 在E 上是可测的是指: . 8. 设()f x 是可测集nE R ⊂上的可测函数,若()Ef x dx +⎰与()Ef x dx -⎰中至少有一个是有限数,则()f x 在E 上的L 积分定义为()Ef x dx =⎰.二.选择.每题2分，共10分）1.设1E 是)1,0(中的无理点集,2E 是1R 中的有理点集, 3E 是)1,0(,P 是康托集,其中基数最小的是 ( ).A .1EB .2EC .PD .3E2.设E 是任一可测集,则 ( )．A .E 是开集B .0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得(\)m G E ε<C .E 是闭集D .E 是F σ型集或G δ型集3. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊂⊂⊂⊂,则有 ( ).A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭;C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭.4. 设{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .则 ( ).A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f xB ．{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f xC . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ;D .存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{}()i n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x5.设qR E ⊂为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则( )A⎰⎰∞→∞→≤En n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B⎰⎰∞→∞→≥En n n E n dx x f dx x f )(lim )(limC⎰⎰∞→∞→=En n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D⎰⎰∞→∞→=En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim三．判断题(每题2分，共10分)1. 不是A 的聚点必不是A 的内点 （ ）2.0mE =则E 是至多可数集. （ ）3. 设E 是可测集, A 是可数集,则mE A E m =)( （ ）4. 设()f x 是可测集E 上的可测函数,则)(x f 也是E 上的可测函数 （ ）5.设)(x f 是E 上的有界可测函数,则)(x f 在E 上L 可积 （ ）第 5 页 共 6 页四．证明题(每题8分，共40分)1.证明： ()()()C A B A C B A \\\ =2. 设)(x f 是()+∞∞-,上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{}a x f x E ≤=)(总是一闭集.3. 设0=mA ，B 为任一点集，则有B m B A m *)(*=4. 设q E R ⊂为可测集,()f x 为E 上的非负可测函数.若()0Ef x dx =⎰,则()0f x =..a e 于E5. 设函数列{}()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ,即0,δ∀>E E δ∃⊂,使得{}()n f x 在E δ上一致收敛于()f x 且()m E E δδ-<.证明:{}n f 在E 上..a e 收敛于f .五．计算题(每题10分，共20分)1.设[][]⎩⎨⎧-∈∈=.1,0,1,1,0,)(2，Q x Q x x x f 问()f x 在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值. 2．dx nx x n nxn ⎰+∞→1022cos 1lim陇东学院2014—2015学年第二学期变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）1.给出()1,0与⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ之间的一一对应关系 . 2.设B A ,是两集合，B A <是指 . 3.{}1),(22<+=y x y x E ,在2R 内求=E ,='E ， 4. 设n E R ⊂,则称点集E 是L 可测的是指:. 5. 设)(x f 是定义在可测集E 上的广义实值函数,则称)(x f 在E 上是可测的是指:.6. 称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指:7. 设q R E ⊆为可测集，)(x f 为E 上的可测函数，若⎰+Edx x f )(与⎰-Edx x f )(中至少一个有限，则称)(x f 在E 上 ；若⎰+Edx x f )(与⎰-Edx x f )(都有限，则称)(x f 在E 上 .8. 设q R E ⊆为可测集，)(x ϕ为E 上的非负可测简单函数，即k ki E i E E E x c x i,,,)()(211，∑=X=ϕ为互不相交的可测集，且 ki iEE 1==，)(x i E X 是i E 上的特征函数，则⎰=Edx x )(ϕ .二.选择（.每题2分，共10分）1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是. （ ）A .AB 是可数； B .A B 是不可数；C .A B c =；D .A B B =2.设E 是任一可测集,则 ( )A .E 是开集;B .0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得(\)m G E ε<;C .E 是闭集;D .E 是F σ型集或G δ型集.线第 6 页 共 6 页3.设B A ,是二集合.下列关系式中成立的是 （ ）A .()AB B A =\ B .()A B B A = \C . ()B A B A ''='D .()B A B A =4.设{}n E 是一列可测集合,单调递减, 且1mE <+∞,则有 ( ).A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭;C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭.5.设qR E ⊂为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，当E x ∈时对于任一自然数n ，有)()(1x f x f n n +≤，令E x x f x f n n ∈=∞→),()(lim ，则 （ ）A⎰⎰∞→∞→≤En n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B⎰⎰∞→∞→≥En n n E n dx x f dx x f )(lim )(limC⎰⎰∞→∞→=En n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim)(三．判断题(×”每题2分，共10分)1. 任何无限集合必有可数真子集.. （ ）2. 设E 为1R 的可测子集,若0=mE ,则0=E m . （ ）3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ）4. 若()f x 是可测集E 上的L 可积函数,则()f x 是E 上的有界函数.（ ）5.可测函数)(x f 在E 上L 可积⇔f 在E 上L 可积 （ ）四．证明题(每题8分，共40分)1. 证明:()A B A B λλλλ∈Λ∈Λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭.2. 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ∀∈,则{}a x f x E <=)(是一开集.3．设21,S S 为可测点集，21S S ⊂,且+∞<1mS ，则()1212\mS mS S S m -=. 4. 设)(x f 是E 上的可测函数，并且..)()(e a x g x f =于E ，则()x g 也是E 上的可测函数.5.设0mE ≠,()f x 在E 上可积,如果对于任何有界可测函数()x ϕ,都有()()0Ef x x dx ϕ=⎰,则()0f x =..a e 于E .五．计算题(每题10分，共20分)3． 设[]⎩⎨⎧∈∈=P x P x x x f \1,0,1,,)(，其中P 为cantor 集， 问()f x 在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值. 2．dx x n nxn ⎰+∞→10221lim。