第五章 向量代数与空间解析几何

第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲) 内容要点一、空间直角坐标系二、向量概念→a ＝→i x +→j y +→k z坐标()z y x ,,模→a ＝222z y x ++方向角γβα,,方向余弦γβαcos ,cos ,cosαcos ＝222zy x x ++ ； βcos ＝222zy x y ++ ； γcos ＝222zy x z ++三、向量运算设→a ()11,1,z y x ； →b ()22,2,z y x ；→c ()33,3,z y x 1． 加（减）法 →a ±→b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘 ()111,,z y x a λλλλ=→3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义→a ·→b =→a →b ⎪⎭⎫⎝⎛→→∠b a ,cos（ⅱ）坐标公式→a ·→b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用→a ·→b =0⇔→a ⊥→b 4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义→a ⨯→b ＝→→b a ⎪⎭⎫⎝⎛→→∠b a ,sin→a ⨯→b 与→a 和→b 皆垂直，且→a ，→b ，→a ⨯→b 构成右手系（ⅱ）坐标公式→a ⨯→b =222111z y x z y x k j i→→→（ⅲ）重要应用→a ⨯→b =→0⇔→a ，→b 共线5、混合积 （ⅰ）定义 （→a ，→b ，→c ）＝（→a ⨯→b ）·→c（ⅱ）坐标公式（→a ，→b ，→c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）⎪⎭⎫⎝⎛→→→c b a ,,表示以→a ，→b ，→c 为棱的平行六面体的体积（乙） 典型例题例1、点P 到过A ，B 的直线之间的距离d ＝→→→⨯ABPBPA例2、点P 到A,B,C 所在平面的距离d ＝→→→→→⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ACAB PC PB PA ,,因为四面体PABC 的体积V ＝ABC S d ∆⋅31而ABC S ∆＝→→⨯AC AB 21，则V ＝⎪⎭⎫⎝⎛→→→PC PB PA ,,61例3、过点A ，B 与过点C ，D 的异面直线之间的距离d ＝→→→→→⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛CDAB CD AB AC ,,因为→→''=D C CD ，则d ＝平行四边形面积平行六面体体积§5.2 平面与直线（甲） 内容要点 一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。

（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。

2 距离公式 空间两点()111,,z y x A 与()222,,z y x B 间的距离d 为()()()212212212z z y y x x d -+-+-=3 定比分点公式()z y x M ,,是AB 的分点：λ=MBAM,点A,B 的坐标为()111,,z y x A ，()222,,z y x B ，则λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y ，λλ++=121z z z当M 为中点时， 221x x x +=，221y y y +=，221z z z += 二、平面及其方程。

1 法（线）向量，法（线）方向数。

与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n。

法向量{}p n m ,,的坐标称为法（线）方向数。

对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。

2 点法式方程 已知平面π过()000,,z y x M 点，其法向量n＝{A,B,C},则平面π的方程为()()()0000=-+-+-z z C y y B x x A或 ()00n r r ⋅-=其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==3 一般式方程0=+++D Cz By Ax其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n＝{A,B,C}是π的法向量特别情形： 0=++Cz By Ax ，表示通过原点的平面。

0=++D By Ax ，平行于z 轴的平面。

0=+D Ax ，平行yOz 平面的平面。

x ＝0表示yOz 平面。

4 三点式方程 设()111,,z y x A ,()222,,z y x B ,()333,,z y x C 三点不在一条直线上。

则通过A,B,C 的平面方程为0131213121312111=---------z z z z y y y y x x x x z z y y x x 5 平面束 设直线L 的一般式方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，则通过L 的所有平面方程为 1K ()1111D z C y B x A ++++2K ()02222=+++D z C y B x A ，其中()()0,0,21≠k k6 有关平面的问题 两平面为1π：01111=+++D z C y B x A2π：02222=+++D z C y B x A设平面π的方程为0=+++D Cz By Ax ，而点()111,,z y x M 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： 222111CB A D Cz By Ax d +++++=三 直线及其方程 1 方向向量、方向数与直线平行的非零向量S，称为直线L 的方向向量。

方向向量的坐标称为方向数。

2 直线的标准方程（对称式方程）。

nz z m y y l x x 000-=-=- 其中()000,,z y x 为直线上的点，n m l ,,为直线的方向数。

3 参数式方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ntz z m t y y ltx x 0004 两点式设()111,,z y x A ,()222,,z y x B 为不同的两点，则通过A 和B 的直线方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- 5 一般式方程（作为两平面的交线）：{}{}111222,,,,S A B C A B C =⨯6 有关直线的问题 两直线为1L :111111n z z m y y l x x -=-=- 2L :222222n z z m y y l x x -=-=-四、平面与直线相互关系平面π的方程为：0=+++D Cz By Ax直线L 的方程为：nz z m y y l x x 000-=-=-⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A（乙） 典型例题例1．求通过()2,1,10-M 和直线⎩⎨⎧=-++=+--05201:z y x z y x l 的平面方程。

解 通过l 的所有平面的方程为()()052121=-++++--z y x K z y x K其中21,K K 为任意实数，且不同时为0。

今把()2,1,10-M 代上上面形式的方程得()()0521,2111121=-+-++-+K K 0221=-K K 212K K =由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取12=K ,得21=K ，代入方程得()()05212=-++++--z y x z y x即 4x －y －z －3＝0它就是既通过点0M 又通过直线l 的平面方程。

例2 求过直线⎩⎨⎧=+-=+-+02032z y x z y x 且切于球面1222=++z y x 的平面解 过所给直线除平面 02=+-z y x 外的其它所有平面方程为()()0232=+-++-+z y x z y x λ即()()()032121=+-+-++z y x λλλ ()*球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是()()()121213000222=-+-+++++λλλ得 03262=+-λλ 6191±=∴λ 代入()*得两个所求的平面§5.3 曲面与空间曲线（甲） 内容要点 一、曲面方程1、一般方程 ()0,,=z y x F2、参数方程 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===v u z z v u y y v u x x ,,, ()()平面区域D v u ∈,二、空间曲线方程1、一般方程 ()()⎩⎨⎧==0,,0,,21z y x F z y x F2、参数方程 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x ()βα≤≤t三、常见的曲面方程1、球面方程设()0000,,z y x P 是球心，R 是半径，P （x ，y ，z ）是球面上任意一点，则0P P R =,即()()()2202020R z z y y x x =-+-+-。

2. 旋转曲面的方程（ⅰ）设L 是xOz 平面上一条曲线，其方程是()⎩⎨⎧==.0,0,y z x f L 绕z 轴旋转得到旋转曲面，设P （x ，y ，z ）是旋转面上任一点，由点()000,0,z x P 旋转而来（点()z M ,0,0是圆心）.由000x MP MP z z ====得旋转面方程是 ();0,22=+±z y x f（ⅱ）求空间曲线 ()()⎩⎨⎧==0,,0,,21z y x F z y x F 绕z 轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出()()z g y z f x ==, 第二步：旋转曲面方程为()()z g z fy x 2222+=+绕y 轴一周或绕x 轴一周的旋转曲面方程类似地处理 3四、空间曲线在坐标平面上的投影 曲线C 的方程 ()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F曲线C 在xy 平面上的投影先从曲线C 的方程中消去Z 得到()0,=y x H ，它表示曲线C 为准线，母线平行于Z 轴的柱面方程，那么()⎩⎨⎧==00,z y x H就是C 在xy 平面上的投影曲线方程曲线C 在zx 平面上投影或在yz 平面上投影类似地处理 （乙）典型例题例1、求以点A （0，0，1）为顶点，以椭圆,,3192522⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 为准线的锥面方程。

解 过椭圆上任一点P ()000,,z y x 的母线方程为()⎪⎩⎪⎨⎧+=-+===tt z z t y y tx x 2111000 因为点()000,,z y x 在椭圆上，所以19252222=+t y t x 。

而t ＝21-z ，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为()041925222=--+z y x 。

例2、求旋转抛物面22y x z +=与平面z y +=1的交线在xy 平面上投影方程解 从曲线方程⎩⎨⎧=++=122z y y x z 中消去z ，得曲线向xy 平面得投影柱面方程122=++y y x 。