圆锥曲线知识点小结
圆锥曲线知识点小结
1.圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件
定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中,是椭圆的是( ) A .421=+PF PF B .6
21
=+PF PF
C .1021=+PF PF
D .12
2
2
2
1
=+PF PF
(2)8=表示的曲线是_____ (3)利用第二定义 已知点)0,22
(Q 及抛物线4
2
x
y =
上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是___
2.圆锥曲线的标准方程 (1)已知方程
1232
2
=-+
+k
y
k
x
表示椭圆,则k 的取值范围为____
(2)若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是___,22y x +的最小值是 (3)双曲线的离心率等于2
5,且与椭圆
14
9
2
2
=+
y
x
有公共焦点,则该双曲线的方
程_______
(4)设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C
过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______
3.圆锥曲线焦点位置的判断: 椭圆:已知方程
121
2
2
=-+
-m
y
m x
表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )
4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆若椭圆
15
2
2
=+
m
y
x
的离心率5
10=
e ,则m 的值是__
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__
(3)双曲线的渐近线方程是023=±y x ,则该双曲线的离心率等于______
(4)双曲线221ax by -=:a b =
(5)设双曲线
12
22
2=-
b
y a
x (a>0,b>0)中,离心率e ∈
[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________
(6)设R a a ∈≠,0,则抛物线24ax y =的焦点坐标为________ 5、点00(,)P x y 和椭圆
12
22
2=+
b
y a
x (0a b >>)的关系:
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点,则k 的取值范围是_______
(2)直线y―kx―1=0与椭圆
2
2
15
x
y
m
+
=恒有公共点,则m 的取值范围是______
(3)过双曲线
12
1
2
2
=-
y
x
的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点,若│AB ︱=4,
则这样的直线有_____条.
(4)过双曲线2
22
2b
y a
x -
=1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情
况如下:
(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。
(6)过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点,这样的直线有__ (7)过点(0,2)与双曲线116
9
2
2
=-
y
x
有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为
______
(8)过双曲线12
2
2
=-
y
x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点,若=AB 4,则
满足条件的直线l 有____条
(9)对于抛物线C :x y 42=,我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部,若点),(00y x M 在抛物线的内部,则直线l :)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______
(10)过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则
=+
q
p
11_______
(11)设双曲线
19
16
2
2
=-
y
x
的右焦点为F ,右准线为l ,设某直线m 交其左支、
右支和右准线分别于R Q P ,,,则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于)
(12)求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离 (13)直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。 ①当a 为何值时,A 、B 分别在双曲线的两支上? ②当a 为何值时,以AB 为直径的圆过坐标原点? 7、焦半径 (1)已知椭圆116
25
2
2
=+
y
x
上一点P
到椭圆左焦点的距离为3,则点P 到右准线的距
离为____
(2)已知抛物线方程为x y 82=,若抛物线上一点到y 轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;
(3)若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4,则点M 的坐标为__ (4)点P 在椭圆19
25
2
2
=+
y
x
上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则
点P 的横坐标为____
(5)抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5,则线段AB 的中点到y 轴
的距离为______
(6)椭圆
13
4
2
2
=+
y
x
内有一点)1,1(-P ,F 为右焦点,在椭圆上有一点M ,使
MF MP 2+ 之值最小,则点M 的坐标为____
8、焦点三角形
(1)短轴长为5,离心率3
2=
e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ,过1F 作直线交椭圆
于A 、B 两点,则2ABF ?的周长为________
(2)设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点,F 1、F 2是左右焦点,若
0212=?F F PF ,|PF 1|=6,则该双曲线的方程为
(3)椭圆
2
2
19
4
x
y
+
=的焦点为F 1、F 2,点P 为椭圆上的动点,当PF 2→ ·
PF 1→
<0时,点P 的横坐标的取值范围是
(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e =
2
6,F 1、F 2是它的左右焦点,若过F 1的直
线与双曲线的左支交于A 、B 两点,且AB 是2AF 与2BF 等差中项,则AB =_______
(5)已知双曲线的离心率为2,F 1、F 2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且
6021=∠PF F ,31221=?F PF S .求该双曲线的标准方程
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 10、弦长公式:
(1)过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=6,那么|AB|等于_______
(2)过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则ΔABC 重心的横坐标为_______
11、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆
2
2
136
9
x
y
+
=弦被点A (4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是
(2)已知直线y=-x+1与椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>相交于A 、B 两点,且线段
AB 的中点在直线L :x -2y=0上,则此椭圆的离心率为_______
(3)试确定m 的取值范围,使得椭圆
13
4
2
2
=+
y
x
上有不同的两点关于直线
m x y +=4对称
特别提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>!
12.你了解下列结论吗? 与双曲线
116
9
2
2
=-
y
x
有共同的渐近线,且过点)32,3(-的双曲线方程为_______
13.动点轨迹方程:
(1)已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4,求P 的轨迹方程. (2)线段AB 过x 轴正半轴上一点M (m ,0))0(>m ,端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ,以x 轴为对称轴,过A 、O 、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为
(3)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=600,则动点P 的轨迹方程为
(4)点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l :的距离小于1,则点M 的轨迹方程是_______
(5) 一动圆与两圆⊙M :122=+y x 和⊙N :01282
2=+-+x y x 都外切,则动圆圆心的轨迹为
(6)动点P 是抛物线122
+=x y 上任一点,定点为)1,0(-A ,点M 分?→
?PA 所成的比为2,则M 的轨迹方程为__________
(7)AB 是圆O 的直径,且|AB|=2a ,M 为圆上一动点,作MN ⊥AB ,垂足为N ,在OM 上取点P ,使||||OP MN =,求点P 的轨迹。
(8)若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动,则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____
(9)过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________
(10)已知椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的左、
右焦点分别是
F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),Q 是椭圆外的动点,满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足
.0||,022≠=?TF TF PT
(1)设x 为点P 的横坐标,证明x a
c a P F +=||1;
(2)求点T 的轨迹C 的方程;
(3)试问:在点T 的轨迹C 上,是否存在点M ,使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在,求∠F 1MF 2的正切值;若不存在,请说明理由.
1.(答 :C );(答 :双曲线的左支)(答 :2)
2. (答 :1
1(3,)(,2)22---
)
;(答 2)(答 :2
2
14
x
y -=)
;(答 :2
2
6x y -=) 3.(答 :)2
3,1()1,( --∞) 4.(答 :3或
3
25)
5.(答 :22)(答 2
3
);(答 :4或
14
);(答 :[
,]32
ππ
)
; (答 :)
161,
0(a
);
6. (答 :(-3
15,-1));(答 :[1,5)∪(5,+∞));(答 :3);(答 :①P 点在两
条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;
②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;
③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;
④P 为原点时不存在这样的直线;)
(答 :2;(答 :4,33??
±
±
???
??);(答 :3);(答 :相离);(答 :1);
(答 :等于);(答 13
(答 :①(;②1a =±);
7.(答 :353
);(答 :7,(2,4)±);(答 :
2512
);(答 :2);(答 :)
1,3
62(
-);
8.(答 :6);(答 :224x y -=);(答 :(,55
-
);(答 :; (答 :
2
2
14
12
x
y
-
=);
10.(答 :8);(答 :3);
11.(答 :280x y +-=);(答 2
);(答 :1313
?
-
??
?
); 12.(答 :
2
2
419
4
x y
-
=)
(答 :212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<); (答 :22y x =);(答 :224x y +=);(答 :216y x =);(答 :双曲线的一支);
(答 :3
162
-
=x
y
);(答 :22||x y a y +=);(答 :21
21(||)2
y x x =+≤);
(答 :2
22x y =-);(答 :(1)略;(2)2
2
2
x y a +=;(3)当
2
b
a
c
>时不存在;当
2
b
a c
≤时存在,此时∠F 1MF 2=2)
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<e越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁 ?
二、双曲线 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 三、抛物线
圆锥曲线知识点总结版
圆锥 曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为: 22 221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或 122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位 置,只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原
点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中, 2||OB b =,2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴ 01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(12||||||2PF PF a -=)。 注意:①式中是差的绝对值,在1202||a F F <<条件下;12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支; 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支(含1F 的一支);②当122||a F F =时,12||||||2PF PF a -=表示两条射线; ③当122||a F F >时,12||||||2PF PF a -=不表示任何图形;④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点,12||F F 叫做焦距。 (2)双曲线的性质
圆锥曲线知识点总结(供参考)
圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴 上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中2 2 2 b a c =-; ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置,只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令 0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -, 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或1 22 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置, 只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n + =(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±, y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点
(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中,2||OB b =, 2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a = 叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质:
注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为:
(2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。
4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;
二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。
(完整版)高三圆锥曲线知识点总结
第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义: 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2.椭圆的方程形式: ①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在x 轴上: ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上: )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程: 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θππ). 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3.椭圆的性质: ①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距:2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线:c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率:)10(ππe a c e =.⑦焦半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则: 证明:由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则: ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径: 2 22b d a =;坐标:22(,),(,)b b c c a a - 4.共离心率的椭圆系的方程:椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5.若P 是椭圆: 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b (用余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-< 二、双曲线 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于 12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线 64. 熟记下列公式了吗? [)()直线的倾斜角,,,102 212112l απααπ∈==--≠≠?? ???k y y x x x x tan ()()()P x y P x y a k 1112221,,,是上两点,直线的方向向量,l l → = (2)直线方程: ()点斜式:(存在)y y k x x k -=-00 斜截式:y kx b =+ 截距式:x a y b +=1 一般式:(、不同时为零)Ax By C A B ++=0 ()()点,到直线:的距离30000022P x y Ax By C d Ax By C A B l ++==+++ ()到的到角公式:41122112 l l t a n θ=--k k k k l l 122112 1与的夹角公式:tan θ=--k k k k 65. 如何判断两直线平行、垂直? A B A B A C A C 1221122112=≠??? ?l l ∥ k k l 1212=?l ∥(反之不一定成立) A A B B 1212120+=?l l ⊥ k k 12121·⊥=-?l l 66. 怎样判断直线l 与圆C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置? 联立方程组关于(或)的一元二次方程“” 相交;相切;相离??>?=? 第一定义椭圆,双曲线,抛物线?+=>=?-=<=?=???????PF PF a a c F F PF PF a a c F F PF PK 12121212222222 第二定义:e PF PK c a == 0111<>?=?e e e 椭圆;双曲线;抛物线 y b O F 1 F 2 a x x a c =2 ()x a y b a b 222 210+=>> () a b c 222=+ ()x a y b a b 222 2100-=>>, ()c a b 222=+ 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ,其中F 为定点,d 为P 到定直线的距离,F ?,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 (,)0f x y =的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标 的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系:若曲线C 的方程是(,)0f x y =,则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =;点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠. 两条曲线的交点:若曲线1C ,2C 的方程分别为1(,)0f x y =,2(,)0f x y =,则点000(,)P x y 是1C ,2C 的交点 ?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没 有交点. 二、圆: 1、定义:点集{|}M OM r =,其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 2、方程:(1)标准方程:圆心在(,)C a b ,半径为r 的圆方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是2 2 2x y r += (2)一般方程:①当22 40D E F +->时,一元二次方程2 20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程,圆心为 )2 ,2(E D -- 半径是2. 配方,将方程22 0x y Dx Ey F ++++=化为 22224()()224 D E D E F x y +-+++= ②当2 2 40D E F +-=时,方程表示一个点)2 ,2(E D -- ③当2 2 40D E F +-<时,方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ,半径为r ,点M 的坐标为00(,)x y ,则||MC r < ?点M 在圆C 内,||MC r =?点M 在圆C 上,||MC r >?点M 在圆C 外,其中||MC = (4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有一个公共点;直线与圆相离?没有公共点. ②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定. 高中数学椭圆的知识总结 1.椭圆的定义: 平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数 (12122PF PF a F F +=>),这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意:若1212PF PF F F +=,则动点P 的轨迹为线段12F F ;若1212PF PF F F +<,则动点P 的轨迹无图形. (1)椭圆:焦点在x 轴上时12 2 22 =+b y a x (222 a b c =+)?{ cos sin x a y b ??==(参数方程,其中?为参数),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 2. 椭圆的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围: ,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长 轴长为2a ,短轴长为2b ; ④离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越 小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。⑥ (2).点与椭圆的位置关系:①点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>; ②点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +=1;③点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交;(2)相切:0?=?直线与椭圆相切; (3)相离:0?>相交于A 、B 两点, 且线段AB 的中点在直线L :x -2y=0上,则此椭圆的离心率为_______; (3)试确定m 的取值范围,使得椭圆13 42 2=+y x 上有不同的两点关于直 线m x y +=4对称; 特别提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>! 椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件b a ,;一个定位 §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212 1 2121 2121 ,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x 轴上:) 0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上:) 0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程: 1 2 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于2 0π θ ). ⑵①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2. ③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:c a x 2 ± =或c a y 2 ± =. ⑥离心率:)10( e a c e =. ⑦焦点半径: i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+ 上的一点,2 1,F F 为左、右焦点,则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点,2 1,F F 为上、下焦点,则 由椭圆第二定义可知:)0()( ),0()(0002 2 002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+ =归结起来为“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:) , (22 2 2 a b c a b d -= 和) , (2 a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 ) 0(12 22 2 b a b y a x =+ 的离心率是) (2 2 b a c a c e -= = ,方程 t t b y a x (2 22 2=+ 是大于 0的参数,)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆:1 2 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b (用 余弦定理与a PF PF 22 1 =+可得). 若 12, PF PF ⊥此三角形面积为2 b ; 若是双曲线,则面积为 2 cot 2 θ ?b . ? -=+=02 01 ,ex a PF ex a PF ? -=+=02 01,ey a PF ey a PF 圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 圆锥曲线知识点全归纳(精华版) 圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到 定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程:(x^2/a^2)- (y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程:(y^2/a^2)- (x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3)抛物线 标准方程: 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程:y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程:y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程:x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程:x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t可等于0 直角坐标? 椭圆 双曲线 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 定 义 a ||PF ||PF 221=+,c F F 2||21= 不存在线段,椭圆,c a c a c a <=> a ||PF ||PF 2||21=-,c F F 2||21= 不存在射线,双曲线c a c a c a >=<, 标准方程 12 222=+b y a x ; 122 22=+b x a y 122 22=-b y a x 122 22=-b x a y *参数方程 ?? ?==θ θsin cos b y a x ?? ?==θ θsin cos a y b x ?? ?==θ θtan sec b y a x ?? ?==θ θsec tan a y b x 图 形 x .y 范 围 b y b a x a ≤≤-≤≤- a y a b x b ≤≤-≤≤- R y a x a x ∈≥-≤或 a y a y R x ≥-≤∈或 顶点坐标 长轴顶点 )0,)(0,(a a - 短轴顶点 ),0)(,0(b b - 长轴顶点 ),0)(,0(a a - 短轴顶点 )0,)(0,(b b - 顶点)0,)(0,(a a - 顶点),0)(,0(a a - 对称 性 对称轴:x 轴,y 轴, 对称中心:坐标原点 各 个 轴 长轴2a ,短轴2b ,焦距2c 实轴2a ,虚轴2b ,焦距2c 恒 等 式 222c b a += 222b a c += 焦点坐标 左右 )0,(),0,(21c F c F - 上下 ),0(),,0(21c F c F - 左右 )0,(),0,(21c F c F - 上下 ),0(),,0(21c F c F - *准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= c a x 2 ±= c a y 2 ±= 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于||21F F )的点的轨迹。 注意:||221F F a >表示椭圆;||221F F a =表示线段21F F ;||221F F a <没有轨迹; (2 3.常用结论:(1)椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,则2ABF ?的周长= (2)设椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ,过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点,则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线: (1)双曲线的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于||21F F )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:a PF PF 2|||| 21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹; (2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在x 轴上 中心在原点,焦点在 y 轴上 标准方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴,y 轴;虚轴为b 2,实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e (离心率越大,开口越大) 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a (3)双曲线的渐近线: ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线,可令其右边的1为0,即得02222=-b y a x ,因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-222 2y x ; (4)等轴双曲线为222 t y x =-,其离心率为2 (4)常用结论:(1)双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ,过1F 的直线交双曲线的同一支于 B A ,两点,则2ABF ?的周长= 圆锥曲线的方程与性质 1. 椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点Fi、F2的距离的和等于常数2a (大于厅店2丨)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,则有|MF1 | ? |MF2 |=2a。 一、、、X y2y2 x2、 椭圆的标准方程为: 2 2=1 (a b 0)(焦点在x轴上)或 r 2 = 1(a b 0)(焦点在y轴 a b a b 上)。 注:①以上方程中a,b的大小a b ? 0 ,其中b2=a2 -c2; X2 y2y2 x222 ②在二2 =1和—=1两个方程中都有a b 0的条件,要分清焦点的位置,只要看x和y的分 a b a b 2 2 母的大小。例如椭圆——=1 (m 0,n?0 , m = n )当m时表示焦点在x轴上的椭圆;当m :::n时 m n 表示焦点在y轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 x2y2 ①范围:由标准方程—2二1知|x^a ,|y亞b,说明椭圆位于直线x=「a,y 所围成的矩形里; a b ②对称性:在曲线方程里,若以-y代替y方程不变,所以若点(x, y)在曲线上时,点(x,-y)也在曲线上, 所以曲线关于x轴对称,同理,以-x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以-x代替x,-y代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令 x =0,得y =「b,则B/O, -b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y =0得x -二a,即A(-a,0),A?(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 的焦点,两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF 1 | |MF 2| 2a 。 表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心 叫椭圆的中心; x 0,得y b ,则B 1(0, b ) , B 2(0,b )是椭圆与y 轴的两个交点。同理令 y 0得x a ,即A ( a,0), A (a,O )是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长 平面内与两个定点 F 1、 F 2的距离的和等于常数 2a (大于 厅店2丨)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 上)。 椭圆的标准方程为: 2 2 x y 2 ,2 a b 0)(焦点 在 x 轴 上) 2 y_ 2 a 2 x 笃 1 (a b 0) b 2 (焦点在 注:①以上方程中 a,b 的大小 a b 0,其中b 2 1两个方程中都有a 0的条件,要分清焦点的位置,只要看 x 2 和 y 2 的分 母的大小。例如椭圆 2 y n n )当m n 时表示焦点在x 轴上的椭圆; 2 x ①范围:由标准方程笃 a 2 y 1知|x| a , |y| b ,说明椭圆位于直线 x a , b 所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里, 若以 y 代替y 方程不变,所以若点(x, y )在曲线上时, 占 八 (x, y )也在曲线上, 所以曲线关于x 轴对称,同理,以 x 代替x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替x , y 代替y ③ 顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令高中数学知识点总结之圆锥曲线篇
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