运筹学-用对偶分析原问题最优解(名校讲义)

m
n
j
xj
（即弱对偶性）
② 上式中两边相等的充分必要条件是： m 或 xj=0 y i a ij c j 或 xj>0,但

i 1
§3 对偶性质及平衡定理 （5）
证明①：根据(5)式和(7)式可得：
xi c j j 1
n
n


i 1
m
m
y i a ij 0
1 2
x2
2x1+x2=4
B
3 4
图 1-2
L3 2
Lx1 L 1
§2 线性规划解的求解方法之 一：图解法 （2）
图1-2中，阴影部分为可行域，若要求出最优点，必须作出目标 函数的等值线，然后令等值线向最小值方向（即最优方向）移 动，直到离开可行域的瞬间为止，此时的交点即为最优点。 图中直线L1，L2，L3即为目标值分别为12，9及6的等值线，L3与 可行域的顶点B（x1＝2，x2＝0），L3再向左下方移动，必离开 可行域，于是该点即为线性规划之最优解，即：X ＝（x1，x2， x3）=(2,0,0)，目标值为3x1+5x2＝6。 图解法简单易行，但只适于两维问题（本题虽是三维，但很容 易变为两维）。对于高维问题，只能采用其它的办法求解。很 幸运，该法已经找到，这就是以后将要介绍的单纯形法。
§4 基础解及基础可行解 （4）
三、定理 对于下述标准线性规划
AX b, X 0, C T X min
1、如果存在可行解，则必存在基础可行解。 2、如果存在最优解，则必存在基础最优解。 定理1证明：设，规划已有一个可行解X，且具有正分量x， x ，…（如果无正分量，则X本身即为落在原点的基础可行 解），如果正分量x，x ，…对应的A阵列矢量a，a，…线 性独立，则X即为基础可行解，如果不独立，则在下述方程：


则知a1，a2，a3之间线性相关（即线性不独立），因为任何一 个矢量都可由其它两个矢量所组成。但是这三个矢量中，两 两之间线性无关（独立）。
§4 基础解及基础可行解 （3）
若存在多个不同的非零基础解，则它们之间组合系数之和为1 的线性组合也必是方程解，即方程必存在无穷多个解。
二、基础可行解定义 满足等式约束AX=b及自变量限制X≥0的解称为可行解， 既是可行解又是基础解解的解称为基础可行解。即基础 解与可行解之交集称为基础可行解。 基础可行解是可行域的顶点，它是可行解的一部分。基 础可行解在线性规划的求解中具有特殊重要性，下面将 阐述并证明关于它的重要定理。
则其中至少有一个因子为0。
于是得出，或xj=0；或xj>0，必使 c j

i 1
m
。 y i a ij 0
§3 对偶性质及平衡定理 （7）
从强对偶性知，符合平衡定理第②条时的可行解X，Y必是最 优解，于是，平衡定理为寻找线性规划最优解提供了一种方 法。亦即，在若干个问题的可行解X中，若是有一组解所对应 的对偶可行解，使得Xj>0所对应的对偶约束条件为等式，则 此时的解必为最优解。
[例1-4] 应用平衡定理解下述规划
5x 1 6 x 2 4x 3 2 x 4 0 x1 x 2 6 x 3 9 x 4 16 X 0 x1 5 x 2 2 x 3 13 x 4 min (10) (11)
§3 对偶性质及平衡定理 （8）
其对偶形式为
4．一般情况有无穷多可行解，但有唯一最优解。
§2 线性规划解的求解方法之 一：图解法 （1）
[例1-3] 求解下述线性规划 A 4 2x1+x2－x3=4 (1) xj≥0 j=1,2,3 (2) 3 3x1+5x2=min (3) 2 将(1)式中的x3移至右边，常数4移至左边， 1 得： 2x1+x2－4=x3≥0 移项得：2x1+x2≥4 0 于是变为两维线性规划问题，其约束可行 域可用直角坐标系表示,如图1-2。
§3 对偶性质及平衡定理 （10）
显然，一次成功是一咱巧合。最坏情况，本例需
4! 43 C 6 2!4 2! 2
2 4
次才能找到。
当维数增大，这种枚举法的计算量会呈现指数般急剧增长而 变为不现实。 以后将重点阐述有实用价值的单纯形法。
§4 基础解及基础可行解 （1）
一、基础解定义 令X 满足，AX=b，若X ≠0，则X 必有非零分量x，x ，…， 于是必存的方程式：
(9)
n x j c j yi x j aij 0 j 1 i 1 j 1
c
j 1 m j 1
n
j
x j y i bi 0
i 1 n j
m
y b c
i i j 1
xj
§3 对偶性质及平衡定理 （6）
证明②：若使
3．存在最优解，但不是唯一的。例如规划 x1+x2=1 x1，x2≥o x2 x1+ x2=min 1 显然 x 1 0
X 1 及 x 2 0 1
两点连线上的所有点 都是最优解，（见图1-1）
0 图 1-1
1 x1
§3 对偶性质及平衡定理 （1）
1．弱对偶性（不等式性质） 设原线性规划为AX=b，X≥0，CTX=min 其对偶规划为YTA≤CT, YT b=max 若X、Y分别是原问题和对偶问题的可行解，则必存在关系式 CTX≥YTb 证明：因为X、Y分别是原问题及对偶问题的可行解，因此 YTAX=YT(AX)=YTb 及 YTAX =(YTA)X≤CTX 故 CTX≥YTb 这是一个很有用的性质，因为有时并不需要精确求出线 性规划问题最优解，只需了解最优目标值的范围，那么 采用求解对偶可行解就显得十分方便。
§4 基础解及基础可行解 （5）
a a 0
中 (3)
至少有一项i0，不失一般性，令0且>0（否则等式两 边乘以-1）。设
AX x a x a b
其中，x，x ，…>0
则用(4)式－ λ · (3)式得


(4)
x a a a
于是新的正分量少了第μ项，即X正分量比原来至少少了一 项。 然后再检验新的X正分量所对应的A阵矢量是否线性独 立，若是，则该新解X即为基础可行解。否则，按照上述方法 又可使新解X的正分量减少，直至找到基础可行解为止。 定理2证明（略）
第三讲 用对偶分析原问题最优解
§1 §2 §3 §4 初步分析线性规划解的几种可能性 线性规划解的求解方法之一：图解法 对偶性质及平衡定理 基础解及基础可行解
§1 初步分析线性规划解的几 种可能性 （1）
已知线性规划的标准形式为 AX=b, X≥O, CTX=min 满足前2条的解为可行解，同时又满足第3条的为最优解。 从解的性质看，线性规划有下述几种可能： 1．不存在可行解或无解，例如规划 x1=－１ x1 ≥ 0 无可行解 3 x1=min
§1 初步分析线性规划解的几 种可能性 （2）
2．存在可行解，但找不到最优解，例如规划 x1－x2=0 x1，x2≥0 －2 x1=min 显然，令x1=x2=λ,λ为任意非负值都是可行解， 当λ→+∞，则目标函数－2 x1→∞，故找不出使目标函数 取极小值的具体解X。
§1 初步分析线性规划解的几 种可能性 （3）
y b ＝ c x ，即表明(9)式左边为0（不等式
i 1 i i j 1 j j
m
n
变为等式），而该式是由n 项和组成，每一项
x j c j

i 1
m
y i a ij 是两因子乘积，每个因子都≥0。
故每一项都≥0。若使n项为0，势必使每一项为0，即：
m x j c j yi aij ＝0 i 1

x a b (5)



§4 基础解及基础可行解 （6）
如果，λ足够小，则仍可使（5）式左边系数 x ≥0，… 即仍可使新的X为可行解。 选取
i
xa ≥0， a
min xi / i i 0 x / , 则知x 0
AX x a x a b



(1)
其中a，a，…为与x，x ，…对应的A阵列矢量，如果列矢 量a，a，…之间线性独立，则称X为基础解。
§4 基础解及基础可行解 （2）
线性独立的定义（或判断准则）为：若方程 a a 0 中的矢量系数， ，…必须全为零才能使方程满足，则称 矢量a，a，…之间线性独立。 即，任何一个矢量都不能由其它矢量的线性组合所构成的一 组矢量必线性独立。 例如： 1 - 1 - 1中，a 1 1， a 2 1 ，a 3 1 A 1 2 3 -1 2 - 3
§3 对偶性质及平衡定理 （2）
2．强对偶性（对偶最优性） T 若 X ， 分别是原问题与对偶问题可行解，且 C X Y T b， Y 则 X ， 必分别是原问题及对偶问题的最优解。 Y
证明：设X是原向题任一可行解，则从弱对偶性知，
C X Y b C X ，可见 X 是原问题最优解。 同理，设Y是对偶问题任一可行解，则
y a
i 1
m
i ij
cj
(j 1,2,, n) (7)
(8)

i 1
m
y i bi max
§3 对偶性质及平衡定理 （4）
则平衡定理阐述如下：若xj(j=1,2…，n)和yi（i=1,2,…，m）分 别是原问题和对偶问题之可行解，必存在下述关系：
①
y b c
i 1 i i j 1