数学：232两个变量之间的线性关系
20191819第2章23231 变量间的相关关系232 两个变量的线性相关语文.doc
2.3 变量的相关性 2.3.1 变量间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关学习目标：1.理解两个变量的相关关系的概念．(重点)2.会画散点图，并利用散点图判断两个变量是否具有相关关系．(重点)3.理解最小二乘法原理，会求回归直线方程．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]一、变量间的相关关系 1．两个变量的关系2.将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．二、两个变量的线性相关 1．最小二乘法设x 、Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx .当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝ i ＝1n(y i －a －bx i )2作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．2．回归直线方程的系数计算公式1．思考辨析(1)回归直线方程中，由x的值得出的y值是准确值．()(2)回归直线方程一定过样本点的中心．()(3)回归直线方程一定过样本中的某一个点．()(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．()[答案](1)×(2)√(3)×(4) ×2．过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是()A.y^＝1.75＋5.75xB.y^＝－1.75＋5.75xC.y^＝5.75＋1.75xD.y^＝5.75－1.75xC[代入系数公式得b^＝1.75，a^＝5.75.代入直线方程，求得y^＝5.75＋1.75x.故选C.]3．如图2-3-1所示的两个变量不具有相关关系的有________．图2-3-1①④[①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．]4．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为y^＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为________kg.650[把x＝80代入回归方程得其预测值y^＝5×80＋250＝650(kg)．][合作探究·攻重难]相关关系的判断(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系()A．正方体的棱长和体积B．圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D．人的年龄和身高(2)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()图2-3-2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关[思路探究]结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断．(1)D(2)C[(1)A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D. (2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系．][跟踪训练]1．某公司2009～2019年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：A.B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系C[由表知，利润中位数是12(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C.]求回归直线方程[探究问题]1．怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？[提示]画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．2．最小二乘法的实质是什么？任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？[提示]实际上，最小二乘法就是从整体上看，使各点与回归直线的距离最小．用最小二乘法求回归直线方程的前提是所给数据是线性相关的，不是线性相关的数据，求出回归直线方程是无意义的．3．回归系数b^的含义是什么？[提示]b^代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数．当b^＞0时，两变量呈正相关；当b^＜0时，两变量呈负相关．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．[思路探究]画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程[解](1)画散点图如下：由上图可知y与x具有线性相关关系．(2)列表、计算：b^＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a^＝y－b^x＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y^＝0.668x＋54.96.下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归直线方程y ^＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【导学号：31892019】[思路探究] (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ^，a ^的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的v 的值． [解] (1)散点图，如图所示：(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故线性回归直线方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归直线方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．2．某种产品的广告费支出y (百万元)与销售额x (百万元)之间的关系如下表所示．(1)假定y (2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？[解] (1)设回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ^＝438－412.5660－625＝25.535＝5170，a ^＝y －b ^x＝5＋8＋9＋114－5170×8＋12＋14＋164＝334－5170×252＝－67，则所求回归直线方程为y ^＝5170x －67.(2)由y ^＝5170x －67≥60，得x ≥4 26051≈84，所以实际销售额不少于84百万元．[当 堂 达 标·固 双 基]1．设一个回归方程y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位 A [由b^＝1.2>0，故选A.]2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线D[只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．]3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图2-3-3所示，则其回归方程可能为()A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2图2-3-3B[由散点图知，变量x、y呈负相关，且回归直线在y轴上的截距大于0，故b^＜0，a^＞0.因此回归方程可能为y^＝－1.5x＋2.]4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4A[因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.]5．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．[解]由题意可知x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y＝30＋40＋60＋50＋705＝50，即样本中心为(5,50)，设回归直线方程为y^＝6.5x＋a，∵回归直线过样本中心(5,50)，^，即a^＝17.5，∴50＝6.5×5＋a^＝6.5x＋17.5.∴回归直线方程为y第 11 页。
最新-2018高中数学 第2章232两个变量的线性相关课件 新人教A版必修3 精品
x ＝3＋4＋4 5＋6＝4.5，
y
＝2.5＋ 3＋ 4＋ 4
4.5＝ 3.5，
4
x2i ＝32＋42＋52＋62＝86.
i＝ 1
∴b＝66.58－6－4×4×4.45.×52 3.5＝6866.5－－8613＝0.7，
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
故线性回归方程为^y ＝0.7x＋0.35. (3)根据回归方程预测现在生产 100 吨产品消耗 的标准煤的数量为 0.7×100＋0.35＝70.35(吨)， 故生产能耗减少了 90－70.35＝19.65(吨)．
知新益能
1．相关关系：与函数关系不同，相关关系是一 种_非__确__定____性关系． 2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角 的区域内，两个变量的这种相关关系称为正__相__关__； 点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量 的相关关系为__负__相__关_____．
3．从散点图上看，如果这些点从整体上看大 致分布在通过散点图中心的一条直线附近，我 们就称这两个变量之间具有_线__性__相__关__关__系___， 这条直线叫做__回__归__直__线___．
解：(1)设年收入为 x 元，年支出为 y 元，由条件知 x ＝88000 元， y ＝50000 元，b＝0.6，则 a＝ y － b x ＝50000－0.6×88000＝－2800.故支出对于收 入的回归方程为^y ＝ 0.6x－ 2800.
(2)平均年收入每增加 100 元，平均年消费支出约增 加 60 元．
例3 2011年元旦前夕，某市统计局统计了该 市2010年10户家庭的年收入和年饮食支出的统 计资料如下表：
(1)如果已知 y 与 x 是线性相关的，求回归方程； (2)若某家庭年收入为 9 万元，预测其年饮食支 出．
2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关
x (0.01%)
104
180 190 177
147
134
150
191
204
121
学霸经验分享区 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,两 个变量具有相关关系是回归分析的前提. (2)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于关系不 明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无相关关系,然后再 进行相关回归分析. (3)通过对散点图的观察,一般地,若图中数据大致分布在一条直线附 近,那么这两个变量近似成线性相关关系. (4)求线性回归方程,应注意到,只有大部分点分布在某条直线附近, 求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无 意义.
名师点津 对回归直线方程的几点说明 (1)a,b的上方加“^ ”,表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值.
(2)(xi,yi)(i=1,2,…,n)的( x , y )在回归直线上.
(3)由回归直线方程知 x 处的估计值为 yˆ = aˆ + bˆ x.
(4)回归直线使得样本数据中的点到它的距离的平方和最小. (5)求回归直线方程,计算量大,一般应学会使用计算器求解. (6)利用回归直线方程可以对总体进行估计.
解:散点图分别如图(1)(2)所示.
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条直线附近,因此两对变量 都具有相关关系. 图(1)中A的值由小变大时,B的值却是由大变小,即A和B成负相关; 图(2)中C的值由小变大时,D的值也是由小变大,即C和D成正相关.
2.3.2变量之间的线性相关
例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温
对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯
数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5
0
4
7
12 15 19 23 27 31 36
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图； (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律； (3)求回归方程； 从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。
如果散点图散布在从左下角到右上角的区域，称它们成正 相关；如果散点图散布在从左上角到右下角的区域内，称它们 成负相关.
4. 线性相关
如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线 性相关关系。
人的脂肪百分比和年龄散点图
从散点图我们可以看出,年 龄越大,体内脂肪含量越高. 那么， 这两个变量之间具有什么样的 相关关系呢？
求两变量间的回归方程 列表：
i 1
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x y
i
-5
-9
i
-4
-7 28
-3
-5 15
-2
-3 6
-1
-1 1
1
1 1
3
5 15
2
3 6
4
7 28
5
9 45
xy
i
45
列表：
i 1
i
2 -4 -7 28
3 -3 -5 15
4 -2 -3 6
10
5 -1 -1 1
6 1 1 1
2 i
7 3 5 15
0
变量之间的相关关系232两个变量的线性相关
热饮杯数
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
-10
0
10
20
30
40
y = -2.3517x + 147.767
温度
当x=2时，y=143.063.
求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
x 第一步，计算平均数 ，y ,
第二步，求和 n xi2 ， n xi yi ,
i 1
i 1
2.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩 好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.” 我们把数 学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间 的关系是函数关系吗？ 不是
相关关系 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两 个变量之间的关系，叫做相关关系.
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了 一组样本数据：
35
30
25
20
15Βιβλιοθήκη 10500
50
正相关
100
150
面积 /平方米
脂肪含量
年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分
布有什么特点？
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
这些点大致分布在一条直线附近.
我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一 条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关 系,这条直线叫做回归直线，该直线所对应的方程叫回归 方程。 那么，我们该怎样来求出这个回归方程？ 请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？
【优选整合】人教A版高中数学必修三232两个变量的线性相关学案.doc
§2.3《变量间的线性相关》导学案【学习目标】1、通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作击散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2、了解最小二乘法的含义.3、若两个变量具有线性相关时，会求线性回归方程，并会用线性回归方程进行预测.4、了解相关系数的大小与两个变量间的相关程度的强弱关系。
【重点】会求线性回归方程，并会用线性回归方程进行预测.【难点】会判断相关系数的大小与两个变量间的相关程度的强弱关系【使用方法与学法指•导】1.用15分钟左右的时间阅读课本基础知识，从中了解变量间的线性相关问题，通过自主高效的预习，提升自己的阅读理解能力。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面的“我的疑惑”处。
【预习案】一、预习练习：1、在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？（1）作文水平与课外阅读量之间的关系；（2）降雪量与交通事故的发生率之间的关系；（3）光照时间和果树亩产量。
2、课本P85-86（1）如何画散点图？（2）两个变量是否具有相关关系，它的散点图有什么特点？（3）两个变量的相关关系有正相关和负相关，它们在散点图上各有什么特点？你能举出一些生活中的变量成正相关和负相关的例子吗？正相关是指：________________________________________________________________ ；负相关是指：________________________________________________________________ O （4）线性相关的两个变量，其散点图有什么特点？【探究案】探究点一:1、引入问题：观察人体的脂肪含量百■分比和年龄的样木数据的散点图，这两个相关变量成正相关•我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？2^在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？3、课本P87,什么叫回归直线？ _______________________________________________________ ；什么叫回归方程？______________________________________________________ ；冋归直线的特点：_________________________________________________________回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？________________________ 。
232变量之间的相关关系综述PPT课件
i
i
i1
由于含有绝对值，运算不方便，于是改用为
Q ( y 1 b x 1 a ) 2 ( y 2 b x 2 a ) 2 ( y n b x n a ) 2 来刻画 n 个点与回归直线在整体上的偏差 所以，当Q 取最小值时，总体偏差最小。
回归方程
回归方程 yˆ bxa的斜率与截距的一般公式:
数据 (x 1 ,y 1 ),(x 2,y 2), ,(x n,y n)
且所求回归方程是 yˆ bxa（其中a,b是待定参数.） a,b
问题:如何刻画从整体上看各数据点与此直线的距离最小？
假设已经得到两个具有线形相关关系的变量的一组
数据 (x 1 ,y 1 ),(x 2,y 2), ,(x n,y n)
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用
y（万元）有如下的统计资料
使用年限x 2
3
4
5
6
维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系，试求
（1）线性回归方程 yˆ bxa的回归系数a，b
i 1 2 3 4 5合
解：制表：
计
xi 2 3 4 5 6 20
2.3 变量间的相关关系
思考:在日常生活中，经常能发现,若一位同学的 数学成绩好，则他的物理成绩一般也不差。那么是否 物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系？这种 说法有没有根据呢？
数学成绩
物理成绩
学习时间
其他因素
学习兴趣
结论：物理成绩和数学成绩之间是一种不确定的关系
问题1:能否再举出几个现实生活中相关关系的例子?
即估计使用10年时维修费用是12.38万元
例2、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究 气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出 的热饮杯数与当天气温的对比表：
【创新设计】高考数学 232变量之间的相关关系两个变量的线性相关配套课件 新人教A必修3
方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的
_平__方__和__最__小__的方法叫做最小二乘法．
回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据 之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间的关 系吗？ 提示 假设样本点为(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，yn)，记 x ＝
n1i＝n1xi， y ＝n1i＝n1yi，则( x ， y )为样本点的中心，回归直线一
∴降低19.65吨标准煤．
(12分)
【变式3】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费 用y(万元)，有如下的统计资料：
使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由资料可知 y 与 x 具有相关关系． (1)求线性回归方程y^＝b^x＋a^的回归系数a^，b^； (2)估计使用年限为 10 年时维修费用是多少？
解析
题号
判断
原因分析
①
函数关系
正方体的棱长与体积的关系为 V＝a3，确定性关系
②
不是相关关系
身高与视力无关，不具有函数 关系，也不具有相关关系
③
不是函数关系， 自由落体的物体的质量与落地 也不是相关关系 时间无关，不具有相关关系
④
相关关系
降雪量越大，交通事故发生率 越高，不确定性的关系
答案 ④
规律方法 (1)函数关系是一种确定性关系，如匀速直线 运动中路程s与时间t的关系；相关关系是一种非确定性关 系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系． (2)判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量 之间是否具有不确定性．
x2 100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000 38 500
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脂肪含量
思考1：回归直线与散点图中各点的位置 应具有怎样的关系？
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
整体上最接近
脂肪含量
思考2：对于求回归直线方程，你有哪 些想法？
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
个变量之间具有线性相关关系，这条直
线叫做回归直线.对具有线性相关关系的
两个变量，其回归直线一定通过样本点
的中心吗？
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
脂肪含量
思考4：对一组具有线性相关关系的样本 数据，你认为其回归直线是一条还是几 条？
ks5u精品课件
脂肪含量
思考5：在样本数据的散点图中，能否 用直尺准确画出回归直线？借助计算机 怎样画出回归直线？
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5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
知识探究（二）：回归方程
在直角坐标系中，任何一条直线都有相 应的方程，回归直线的方程称为回归方 程.对一组具有线性相关关系的样本数 据，如果能够求出它的回归方程，那么 我们就可以比较具体、清楚地了解两个 相关变量的内在联系，并根据回归方程 对总体进行估计.
思考5：根据有关数学原理分析，当
n
n
(xi x )( yi y )
xi yi nx y
b i1 n
(xi x )2
i1 n
, a y bx
xi2 nx 2
i1
时，总体偏差
Q
n
i 1
(yi yˆi )2 为最小，这样
i1
就得到了回归方程，这种求回归方程的 方法叫做最小二乘法.回归方程 yÙ = bx + a 中，a，b的几何意义分别是什么？
i1 n
,a y bx
(xi x)2
xi2 nx 2
i1
i1
第四步，写出回归方程 yÙ = bx + a
作业：
P94习题2.3 A组：2，3. B组：1.
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
2020年9月将率先推出英语能力证书，中国教育电视台栏目运营总监应乾，张有训，赵风云，邓详达共同启动《国学少年强》栏目正式开机仪式，合作方负责人刘胜表示要以此次校企合作签约为起点， 搭建更多互通的桥梁，发挥各自优势，为中国国际邮轮旅游产业发展战略提供人才支撑，jus https:///jus，当天上午,还举行了黄炎培文化广场落成剪彩仪式，培养受益一生的能力5月24日， 著名儿童文学作家张之路走进作业帮名家讲堂，与学员们分享想象的力量，根据调查结果，制定了贯穿本书故事主题的框架，以叙述故事的方式呈现
理论迁移
例 有一个同学家开了一个小卖部， 他为了研究气温对热饮销售的影响，经 过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当 天气温的对比表：
摄氏温 -5
0
4
7
12
度(℃）
热饮杯 156 150
132
128
130
数
15
19
23
27
31
36
116 104
89
93
76
54
摄氏温 -5
0
4
7
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
度(℃）
热饮杯 156 150
其中 yÙi = bxi + a .
思考4：为了从整体上反映n个样本数 据与回归直线的接近程度，你认为选 用哪个数量关系来刻画比较合适？
(x1， y1)
(xi，yi)
(xn，yn)
(x2，y2)
n
Q (yi yˆi )2 i1 ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 L ( yn bxn a)2
问题提出
1. 两个变量之间的相关关系的含义如 何？成正相关和负相关的两个相关变量 的散点图分别有什么特点？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系.
正相关的散点图中的点散布在从左下角 到右上角的区域，负相关的散点图中的 点散布在从左上角到右下角的区域
知识探究（一）：回归直线
思考1：一组样本数据的平均数是样本数 据的中心，那么散点图中样本点的中心 如何确定？它一定是散点图中的点吗？
脂肪含量
40
35
30
25
20
15 10
(x, y )
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3：如果散点图中的点的分布，从整
体上看大致在一条直线附近，则称这两
132
128
130
数
15
19
23
27
31
36
116 104
89
93
76
54
（1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖 出的热饮杯数.
热饮杯数
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
-10
0
10
20
30
y = -2.3517x + 147.77
40 温度
当x=2时，y=143.063.
小结作业
1.求样本数据的线性回归方程，可按 下列步骤进行：
第一步，计算平均数 x , y
n
n
第二步，求和 xi yi , xi2
i1 n
i 1
n
(xi x)(yi y) xi yi nx y
第三步，计算 b i1 n
思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和 人体脂肪含量的样本数据的回归方程为
yÙ = 0.577x - 0.448，由此我们可以根据
一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分 比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含 量的百分比约为多少？
脂肪含量
20.9%
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3：对一组具有线性相关关系的样
本yn)数，据设：其(回x1归，方y1)程，为(x2，y2)yÙ，=…b可x，以+(xan，
用哪些数量关系来刻画各样本点与回
归直线的接近程度？
(xi，yi)
(x1， y1)
(xn，yn)
(x2，y2)
可以用 | yi - yÙi | 或 (yi - yÙi )2 ，