高等数学第二章复习题及答案

高等数学习题集及解答第二章

一、填空题

1、设()f x 在x a =可导，则0()()

lim

x f a x f a x x

→+--=

。

2、设(3)2f '=，则0

______________(3)(3)

lim

2h f h f h →--=

。 3、设1()x

f x e -=，则0_____________(2)(2)

lim

h f h f h

→--=

。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2

x f x f x x x π

=<<-，则0_______________________()f x =

。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy

。 6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。

7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。 9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。 10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。 11、设0()1f x '=-，则0

___________

00lim

(2)()x x

f x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________

dy =

。

、设ln

y =_______________(0)y '''=。

14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是

______________________

。

15、1cos

0()0

x x f x x

x λ

?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是

_______________________

。

16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为

____________

。

二、选择题。

17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（）。

A 充分了必要条件，

B 充分但非必要条件，

C 必要条件但非充分条件，

D 既非充分条件又非必要条件。

18、函数3

221()3

x f x x

x ?≤?=??>?在1x =处（）

A 左右导数均存在，

B 左导数存在，右导数不存在，

C 左导数不存在，右导数存在，

D 左右导数均不存在。

19、设周期函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，又0(1)(1)

lim

12x f f x x

→--=-，则曲

线

()

y f x =在点

(5,(5))

f 处的切线斜率为

（）

， B 0 ， C –10， D –2 。 20、设函数1

1cos (1)

1()0a

x x f x ??--=???

x x ≠= 则实常数a 当()f x 在1x =处可导时必满足（）

A 1a <-；

B 10x -≤<；

C 01x ≤<；

D 1a ≥

21、已知212

()2

x x x ax b x ??->=?+≤? ，且(2)?'存在，则常数,a b 的值为（）

A 2,1;a b ==

B 1,5;a b =-=

C 4,5;a b ==- D

3, 3.a b ==-

22、函数()f x 在(,)-∞+∞上处处可导，且有(0)1f '=，此外，对任何的实数,x y 恒有

()()()2f x y f x f y xy +=++，那么()f x '=（）

A ;x e

B ;x

C 21x +；

D 1x +。

23、已知函数()f x 具有任何阶导数，且2()[()]f x f x '=，则当n 为大于2的正整数时，

()f x 的n 阶导数()()n f x 是（）

A 1![()]n n f x +；

B 1[()]n n f x +；

C 2[()]n f x ；

D 2![()].n n f x 24、若函数()y f x =有01

()2

f x '=，则当0x ?→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ?的（）

A 等价无穷小；

B 同阶但不等价的无穷小；

C 低阶无穷小；

D 高阶无穷小。

25、设曲线1

y x

=和2y x =在它们交点处两切线的夹角为?，则tan ?= （） A 1-； B 1; C 2； D 3 。

26、设由方程组2110

y x t te y =-??++=? 确定了y 是x 的函数，则20

t d y

dx ==（）

21e ； B 212e ； C 1e -； D 12e

- 。

一、填空题的答案

1、2)(a f '

2、-1 ；

3、21

e ； 4、3 5、-1

6、6+2ln2

7、2

8、1

9、n! 10、-x

x --+3

ln 3 11、1 12、dx y dy 1sec 12-=

13、2

14、0=-y x 15、2>λ 16、 624a b =

二、选择题答案：

17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题：

27、求曲线cux y =上与直线1=+y x 垂直的切线方程。

剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。解：设切点为)(00y x 则点).(00y x 处的切线斜度为

|x x x y k =

='=

依题意知所求切线（）坐y x +1=垂直，从而11

=x 10=x 利切点为)01(、；切线（）为.1=k

故所求切线方程为10-=-x y 即：1-=x y

设x

x f 1)(-

= 则21

1)2()2(lim

→-=--e tc f tc f t 9、如果)(x f 为偶函数，且)0(-f 存在证明0)0(=-f

证明：因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-从而

)0(0

)0()()(lim 0)0()(lim

)0(00

f x f x f x f x f x f f x x '-=---=-=--=→-→ ∴:0)0(2='f 故0)0(='f

28、讨函数?????=≠=0

01sin

x x x

x y 在0=x 处方程连续性与可得

解：)0(1

sin lim lim 20

0y x

x y x x ==→→，所以函数y 在0=x 处连续又01sin lim 1

sin

lim 0

)

0(lim

0200

===--→→→x

x x x x x y y x x x 故函数y 在0=x 处可导、值0|

='=x y x

29、已知

?<-≥=0

)(2x x x x x f 求)0().0(-+''f f 及是否存在)0(2f ' 解:0lim 0)0()(lim )0(2

00==--='++

→→+x

x x f x f f x x

1lim 0)0()(lim )0(00

-=-=--='--

→→-x

x f x f f x x 故不存在)0(f '

30、已知)(00

sin )(,x f x x

x x x f '??

?≥<=求解： x x f x cos )(.0='<时当

)(.0='>x f x 时当

11lim )(lim )0(0

=='='++→→+x x x f f

所以：1)0(1=f

从而 ?

??≥<='010

cos )(x x x x f

31、证明：双曲线22a xy =上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。

证明：设),(00y x 为双曲线2a xy =上的一点，则该点处切线的斜率为

,202x a k -=从而切线方程为)(002

x x x a y y --=-

令0=x 得y 轴上的截距为0

0202

x a x a y y =+=

令0=y 得x 轴上的截距为02x x =

从而 20

02|2.2|21|||21a x a x y x s ===

32、设x

y x

sin

1tan

=求y '

解：)1

(sin 1sin )(1

tan 1tan

'+'='x

e x e

y x x

(1cos 1sin )1)(1(sec 21

tan 22

tan

x x e x x

x e

x x

-+-=

33、设)2323(

+-=x x f y 在2arcsin )(x x f =' 求0

=x dx

解：设2

3),(+-=

=x x u u f y 则：

)23()23(3)23(3)()2323)((+--+'='+-'=x x x u f x x u f dx dy 2

2)23(12

)

(arcsin +=x u

22312

)2323arcsin(+?

+-=x x x 从而

π2

31arcsin 3|0===x dx dy

34、设??

???

=≠=0

001arctan )(22

x x x

x x f ，讨论0)(='x x f 在点处连续性

剖析：本题需先求)(x f '的表达式，再讨论)(x f '在点0=x 处的连续性

解：当2

232)1(12

1arctan )(0x

x x

x f x +-

+='≠时

2121arctan x x x +-

arctan

lim 0

)

0()(lim

200

π==--='→→x x x x f x f f x x

从而：??

???

?=≠+-='0

20121arctan )(42

2x x x x x x f π

由于)0(2121arctan lim )(lim 42200f x x x x f x x '==?????

?+-='→→π

处连续在点0)(='∴x x f

35、

:,)(dx dy

y x f 的导数

求下列函数可导设

（1）)(2x f y = （2）)(cos )(sin 22x f x f y += 解：（1）)(22)(22x f x x x f y '=?'='

（2）))(cos (cos ))(sin (sin 2222''+''='x x f x x f y =x x x f x x x f sin cos 2)(cos cos sin 2)(sin 22'-' =[])(cos )(sin 2sin 2121x f x f x - 37、设)(,)1

1(lim )(2t f x

t x f tx x '+=∞

→求

提示：t

te t f 2)(=。答案：

e t t

f 2)21()(+='

38、求2

12arcsin

t t

y +=导数解:2

222

)1(22)1(2)12(11t t t t t

t y +?-+?

+-=

=22221)

1(2)

1(1

t t t +-?- =????

?>+-

<+1

12112

t t t t

39、y f x x f y ''-=求二阶可导,),(2 解x x u u f y -==2),(

)12()()(2-?-'=''='x x x f u u f y

)()12()(2222x x f x x x f y -''-+-'=''

40、设

)

n y x x y 求++=

剖析：此类函数直接求导，很难找出规律，先对

而后求导再将又拆项分解因式,,652++x

1)(4

322)3(!

)

1()2(.!)1()3(2

.3)2(2.3)3(2

)2(2)3(1

)2(13

21)3)(2(1+++-++-=++

+-='''+-

+=''++

+-='+-

+=++=n n n

n x n x n y x x y x x y x x y x x x x y

41、求下列函数的n 阶导数的一般表达式

x y 2sin )1(=

x x y ln )2(= x xe y =)3(

3,2,)!2()1(2

3211

ln 1)2(2)1(2sin 2)2

22sin(2)2

2cos(2)

22sin(22cos 22sin )1(:1

)

)5(3

)4(21)(2=--=?-

==-='''=

''+='??????

=+='''+==''='--n x

n y

x y x y x y x

y x y 、n x y x x y x x y x y 、n n n n n

πππ

解

n x

x x x x x x x e x n y e x y e x xe e e y e x xe e y 、)()3()2()1()3()(+=+='''+==++=''+=+='

44、求曲线???==t

y t x 3

3sin cos 上对应于6

t 点处的法线方程

从而所求法线方程为

时

当则解法切,8

336

333|tan tan )sin (cos 3cos sin 36

2==

-=-

=-=-=-??==

y x t K t K t t t t t dx dy ：t π

13)833(381-=--=-

x y x y 2

20sin 21)(45dx

d y y x x y y 、确定的求是由方程设函数=+-=

222)2(cos sin 4)cos 2(sin 2)cos 2()cos 2(2cos 220

cos 21

10sin 2

:-=-'--=-'--=-=

='='+'-=+-y y

y y y y y dx y d y dx dy y y y y x y y x 得求导数有

两边对将方程解

46、求二导数x x a y x

ln 1

剖析：由于函数是根式私连乘，所以用对数示导法

取对数有将解x x a y x

ln :1

= )ln 21

ln 1(ln 21)

ln 21

ln 1(2:ln 41212ln .1ln ln 41

ln 21ln 21ln 1

x a x x a x x x a x y y x x x x a y y x x x a x y x +-=+-='++-='++=

从而求导数再将上式两边

47、（相关变化率问题是）设气球以100cm 3的速度，浸入气球（假设气球是球体）求在半径为10cm 的气球半径增加的速度（假空气体压力不变）

剖析：解决相关变化率问题一般分三步：第一步：是建立气球体积v 和半径r 之间的关系。第二步：根据等式找出

的关系和dx

dx dy 第三步：由己知的变化率求出未知的变化率解：v =33

4r π dt

dr r dt dv .42π= 由

s cm dt

/1003= r =10cm )/(41s cm dt dr π

= 即当r =10cm 时

半径以

)/(41

s cm π

的速率增加。 48、已知 ??

??-=+=t

t y t x arctan )

1ln(2 求3

3dx y d

222

3322

228112)4()1(44.2/41411212121*2212111t t t t t t t t dt dx dt t t d dx

y d t

t t t dt dx dx de ax t d dx y d t t t t dx dy ：-=

++-=+=+=

+===

=++-

=解

49、设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求dy 解：利用公式dx y dy '=

将方程)ln()(2y x y x x y --=-两边分别对x 求导，有

y x y y x y x y y -'--+-'-=-'1)

()ln()1(12得 y '=)

ln(3)

ln(2y x y x -+-+ 从而dy =

dx y x y x )

ln(3)

ln(2-+++

50、设y=ln (1+3-x ). 求dy

解： dy =x

x x x x dx ----+-=++3

1)(331)31(1

1dx =-dx x

x --+-3

ln 3 51、求下列函数的微分

x x x 、y x x 、y +=--=)2()

1ln(cos ln )1(2

解：(1)、dy =(

dx x x

x x )12cos sin 2--- =(-x tan -

-x x

)dx （2）函数变形为x x x y =-两边取对数有x x x y ln )ln(=-两边对x 求微分得

dx xdx x

y dx

dy +=--ln dx x x dy x ]1)1(ln [++=

53、扩音器插头为圆柱形，截面半径为，长度l 为4m ，为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为的钱铜，问每个插头约要多少克纯铜。

解：l r V 2π= ΔV ..2l r dv π=≈Δx =2π××4×037699.0≈ 故镀的铜的重量为×)(03355.0g ≈

54、有一立方形的铁箱，它的边长为70±，求出它的体积，并估计绝对误差和相对误差。解：体积：V=703=343000cm 3

绝对误差 v δ=333101.1472|1.70.70|cm =-

相对误差

%43.0343000

101

.1472≈=

δ 55、求a 、b 的值，使?

?>+≤-=1ln 1

)1(sin )(x b x x x a x f 在1=x 可导。

解：为使)(x f 在1=x 得可导，必须在1=x 连续故b b x x f x x =+=+

→→)(ln lim )(lim 11

0)(=x f 即0=b 又因

)1(sin lim 1)1()(lim 11

'---=--=-

→→-

x x a x f x f x x f

0ln lim 1)1()(lim

)1(11

--+=--=+

→→+x x x f x f x x f =[]11

)1(1ln lim

1=--++→x x x 因此有1=a ，从而当0,1==b a 时 )(x f 在1=x 处可导

56、证明可导偶函数的导数

)('

x f

为奇函数

证：由题设)()(x f x f =-

)('

x f

存在

x f x x f x x f

?-?+-=-→?)

()(lim

)(0

于是

x f x x f x x f

?--?+-=-→?)

()(lim

)(0

x f x x f x ?-?-=→?)

()(lim

=-)()

()(lim

x x

x f x x f f

x -

=?--?-→?

∴可导偶函数)(x f 的导数

)('

x f

为奇函数

同理可证：可导奇函数的导函数为偶函数

以同期为T 的可导函数的导函数以T 为周期的函数。 57、设))...(2)(1(n x x x x y +++= 求)0(y '

解：)1)...(1())...(3)(2())...(2)(1(-++++++++++='n x x x n x x x x n x x x y

!)0(n y ='∴

4、3

1ln )21()1(x

x x x y +--=

解：两边取对数

)1ln(ln ln )21ln(3

1)1ln(ln 2

x x x x y +-+-+-=

两边对X 求导

x y

x x x x x Y

12)ln 1212(31111+-

+--+-=

?????????+++-+-+--=∴23

12ln 1122311121ln )21()1(x x x x x x x x x x y

58、设

)("

x f

存在，)(x

xe f y -=求22ax

解：//

)()(x x xe xe dx

--?=

x x x e xe xe f

---+-?=

)()(/

[]x

x x x x x

x e xe e xe xe e

xe dx y

d f

--------+-+

-?=)()()(/

=))(())((/

x x x x x

x ze xe xe xe e

xe f

-------+

59、设x

y 1tan

=求1=x dy

解：)1

(1sec )1(tan 221

tan /1tan /

x e x e

x x

y -?=-= 1sec 21tan 1

e x y -=∴=

dx e dx y

x 1sec 21tan /

-===

60、设x e y x arctan ln 21?=-求dy

arcranx de dy x ln 21-=

=dx x x e xdx e x

x 2

212111

arctan 1arctan ln )2(+?+-?--

《微积分》《高等数学》第二章测试题

《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---

高数2试题及答案(1)

模拟试卷一一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（）（A ）垂直（B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直（D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （）（A ）不存在（B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（）条件. （A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（）（A ）发散（B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛（D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。

高等数学第二章练习及答案

第二章一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处（） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （） 4. 极值点一定是驻点. （） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （）四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+，（2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ，（3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

高等数学试题及答案新编

《高等数学》一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

专升本高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是（） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是（） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一高数试题及解答

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。１－ｘ4 １６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0

ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学I(专科类)测试题

考试科目:《高等数学》高起专一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y = 的定义域是 ( ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设11f x x =-（），则(())f f x = ( ) (a) 1x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 1x x - 3. 10 lim(12)x x x →- (a) e (b) 1 (c) 2e - (d) ∞ 4. 2 20lim (2) x x sin x → (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 x 的 ( ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =___________. 7. 函数()f x = 的定义域是__________ 8. 若(31)1x f x +=+, 则()f x =__________ . 9. 2sin(2)lim 2 x x x →--=_____. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=_______.

11. 4lim(1)x x x →∞-=_____. 12. 3232lim 35 x x x x x →∞+--+=_____. 三.解答题(满分52分) 13. 求 45lim()46 x x x x →∞--. 14. 求 0x →. 15. 求 2sin lim 24cos x x x x x →∞-+. 16. 求 2lim x →-. 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+. 18. 设函数22cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤??=?>?+? , 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。 19. 若 33lim 12 x x ax b →-=++, 试确定常数 ,a b 的值。附：参考答案：一．选择题 (每题4分，共20分) 1）a 2）d 3）c 4）a 5）c 二.填空题(每题4分，共28分) 6）2 35x x ++ 7）12x -<<

(完整)高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.

高数2_期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案）适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12）因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）

高等数学第二章练习及答案

x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义不连续第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o )

7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷) 命题教师：杨勇适用班级：理工科本科考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

高数二期末复习题及答案.doc

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值得分阅卷人

高等数学练习题第二章导数与微分

高等数学练习题第二章导数与微分系专业班学号第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学试卷2及答案

１高等数学（A2）试卷（二）答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1．设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2．求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3．求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4．求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得