湍流的多重分形谱分析

同理， 图 1(c)的 Cantor 集中 P (ε ) 最大的子集为 P (ε ) = 0.6 K = 3− αK ， α min = 0.46 ； 最小的子集为 P (ε ) = 0.2 K ， α max = 1.46 。而 P (ε ) = (0.6 × 0.2 × 0.2)
K /3
（K 为 3 的倍
ε 的减小而一倍倍地增加［ f (α min ) = 0.63 ］ ，得到的是向左的钩状曲线(图 2 中 c′曲线)，由
于(0.4，0.2，0.4)生成元引起的概率分布比(0.2，0.6，0.2)更均匀一些，钩状曲线 c′的宽度显 著减小.由此可见，典型的多重分形谱既可以是钟状，也可以是钩状。 一维时， f (α ) 的最大值是小于 1 的，如 b 曲线的最大值为 0.63；也可以无限趋近于 1， 如 c 曲线的最大值就是这样一种情况，当 K → ∞ 时， f (α ) → 1 。以上分析以推广到二维 的概率集和三维的概率集，相应的 f (α ) 的最大值可以分别为 2 和 3。
α 的 Pα (ε ) 子集的 Hausdorff 分形维数可以由下式的 f (α ) 给出：
N (ε ) ~ ε − f (α )
(2)
与公式（1）相似，公式（2）也是依赖于 ε 的标度关系式， f (α ) 可以从 ln N (ε ) ~ ln ε 的双对数曲线在 ε → 0 时出现的某个尺度间的直线区的斜率求出。 由 α ~ f (α ) 生成的图称 为多重分形谱， 它给出了描述整个分形集的整体信息。 f (α ) 不仅表示了分形子集 Pα (ε ) 的 分形维数，同时表示了各 Pα (ε ) 子集中元素的数目随 ε 减小而增大的速度。
K /3
× 2 2 K / 3 , ε = 3− K ， 由 公 式 f (α ) = − ln N (ε ) / ln ε 计 算 得 出
f (α = 1.13) ≈ 0.99 。
图 2 中，b，c 曲线是用解析方法推导出的图 1(b)和图 1(c)的 Cantor 集的 α ~ f (α ) 谱， 其中 b 为钟状曲线， 两头的 f (α ) 均降到 0； c 为向右的钩状曲线， 左侧一头的 f (α ) 降到 0， 右侧一头只降到 0.63,它们都具有中间大、两头小的特点。
P (ε ) 最大的子集为 P (ε ) = 0.6 K = 3− αK ，得到 α 的极小值 α min = 0.46 ，这个 P (ε ) 最
大的子集的 α 最小； P (ε ) 最小的子集为 P (ε ) = 0.4 K ，得到 α max = 0.83 ，这个 P (ε ) 最 小的子集的 α 最大。而从表 1 中，一个中等大小的 P (ε ) 的子集，如 P (ε ) = (0.6 × 0.4) K / 2 子集 （K 为偶数） ， 得到 α = − ln(0.6 × 0.4) 间。 此时对图 1(b)，理论解析分析结果 f [α (i )] = ln(C i ) ( K ln 3) ，因为最大和最小 P (ε )
比如在图 1(a)中，即 1 ∝ ( 1 )
α
2
3
，故所有线段（子集）的奇异指数 α = 0.631 ，且
f (α ) = D 0 = α = 0.631 。它们只组成了一个包含着局部个体形态完全相同子集的集合，所
以叫单分形。此时， α ~ f (α ) 分形谱转化为(0.631,0.631)一个点。
一、 引言
分形给出的分数维虽然可用来定量描述自然界中出现的复杂的自相似图形， 但一个简单 的分数维常常不足以描写自相似图形的丰富内涵， 例如它难以区分复杂分形结构分布的不均 匀程度， 因此需要引入多重分形或称多标度分形， 即以一个分数维的谱对复杂的图形结构进 ［ ］ 行定量的描述，具体的以多重分形谱这个物理关系来体现 1 。多重分形谱主要用来描述物 理量不均匀的随机的概率分布， 它所定量描述的内容比单一的分数维要丰富得多， 它的计算 并不复杂，可以在一般复杂与混沌系统的研究中进一步推广。 湍流是典型的复杂系统， A. Arneodo, E. Bacry 和 J. F. Muzy 等提出了基于小波的 WTMM（Wavelet Transform Maxima Modulus）分析方法，对湍流、生命科学、和经济等方 面的问题进行了深入的研究，如湍流信号的多分形、标度律和涡结构、DLA 模型、DNA 结 构模型的研究等方面[2,3,4,5,6]. 本文先介绍多重分形的物理含义，深入阐述了描述多重分形特征的物理量--多重分形谱 的基本概念及其子波极大模（WTMM）算法，验算了 WTMM 理论在处理多分形问题的合 理性，最后介绍算法在 Rayleigh-Benard 湍流多分形分析中的应用。
数）子集， α = − ln(0.6 × 0.2 × 0.2) K / 3 / ln 3 K = 1.13 ，也处于 α min 和 α max 之间。
此时对图 1(c)， α min 的子集 N (ε ) 始终为 1，故 f (α min ) = 0 ；但 α max 的子集的元 素数目一倍一倍地增大， 即 N (ε ) = 2 K ( ε = 3− K )， 因此， f (α max ) = 0.63 。 而 α = 1.13 的 子 集 ， 其 N (ε ) = C K
二、 多重分形的物理含义
现举例说明多重分形的物理含义，图 1(a)是简单一维均匀三分 Cantor 集，它的构造原 则是，将一长度和质量均为 1 的线段三等分，去掉中间 1／3 段，保留剩下的两段，余下两
1
段的质量(或其他物理量)分布概率均为 0.5，总质量保持不变。然后将这种操作继续下去， 得到不同尺寸 ε 下( ε → 0 )无数个等分布概率组成的单分形集。 图 1(b)和 1(c)是则两种一维的规则多重分形。其中图 1(b)的尺度操作与图 1（a）相同， 只是余下两段的质量分布概率分别为 0.6(较粗的线段)和 0.4(较细的线段)，总质量也保持不 变，它是一种质量分布不均匀的多重分形 Cantor 集。 而图 1 (c) 的构造原则是，将一长度和质量均为 1 的线段三等分，所有的线段都保留， 但中间的 1／3 段质量分布概率分别为 0.6 和旁边两段质量分布概率均为 0.2， 总质量也保持 不变，它也是一种质量分布不均匀的多重分形 Cantor 集。 设 P 是一个分布在某区间的质量分布或测度（如分布概率）的值，K 为操作的次数，N 为具有相同分布概率的元素的数目。三中情况的拓扑维均为 1，但由 Hausdorff 分形维数的 定义 D 0 = −
K /2
/ ln 3 K = 0.65 ， 即 α 值处于 α min 和 α max 之
K
子集的 N (ε ) 始终为 1(表 1)，所以 f (α max ) = f (α min ) = 0 ，即该子集的分形维为 0；对 中间的 α =0.65 的子集，计算得出 f (α ) = 0.63 。
4
如果将图 1(b)的 Cantor 集的概率分布生成元由(0.6，0，0.4)改为(0.7，0，0.3)，则
α max = 1.10,α min = 0.32, ∆α = 0.78 ，即最大和最小 Pα (ε ) 的差别更大，由此可见，∆α 表
示 Pα (ε ) 分布的不均匀程度。同样地可以对图 1(c)的 Cantor 集的 ∆α 进行类似的分析。 图 1(b)的 Cantor 集的生成元由(0.6，0，0.4)改为(0.7，0，0.3)时，图 2 中的钟型曲线 b 对图(c)的集可以将生成元从(0.2， 0.6， 0.2) 将变宽为曲线 b′( ∆α 由原来的 0.37 增大到 0.78)。 改为(0.4，0.2，0.4)，此时概率 P (ε ) 最小的子集的 N (ε ) 始终为 1，概率 P (ε ) 最大的子集随
K=4 N：1 4 6 4 1 N：1 8 24 32 16
原则上随 ε → 0 ， 多重分形集会出现无限多个的、 具有相同的局部 α 的 Pα (ε ) 的子集， 而且 Pα (ε ) 子集的 α 将形成实际上连续的分布。由此可见， ∆α = α max − α min 描述最 大和最小 Pα (ε ) 子集之间奇异读（非均匀度）的差别。且各个具有相同 α 的 Pα (ε ) 子集包 含的元素数目 N (ε ) 一般不断增加。若该子集在整个（或某个）尺度的层次间出现了自相似 的特性，也就是说在此尺度间存在着分形的结构，那么根据分形维数的定义，每个具有相同
0.2 2 0.22
ε =1／3
P：0.6
0.6×0.4
0.6×0.2
2
K=2
N： 1
2
1 P:
N：
1
4

4 0.6×0.22 0.23 12 8
ε =1／33 P：0.63 0.62×0.4 0.6×0.42 0.43
K=3 N： 1 3 3
0.63 0.62×0.2 6
1 N： 1
ε =1／34 P: 0.64 0.63×0.4 0.62×0.42 0.6×0.43 0.44 P:0.64 0.63×0.2 0.62×0.22 0.6×0.23 0.24
ln( N )
ln(ε )
，1(a)和 1(b) 的分形维数 D0=0.63，1(c)的 D0=1.0。
如果 P 的集中程度变化很大，在 ε = 3− K 在 ε → 0 过程中,若概率 P (ε ) 与 ε 有如下的 幂次关系：
p(ε ) ∝ ε
α
（1）
其中：α = ln P (ε ) / ln ε 叫局部奇异指数(或 holder 指数)，也叫标度指数，它控制着概率密 度的奇异性。并且不同的集对应的 α 不同，则称为多重分形测度，它是定义在分形集上的， 由多个标度指数 α 的奇异测度构成的无限集合。表 1 为图 1(b)和 1(c) 多重分形 Cantor 集分 布规律 [7] 。
湍流的多重分形谱分析 周宇欢 傅 强