分形和多重分形

. 第三章分形和多重分形

分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度（或质量分布）：对于足够小的正数r，成立幂律特性

rxBur))((，并

且不同的集对应于不同的a（其中)(xBr表示某度量空间内以x为中心，半径为r的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(af或广义维数qD。多重分形谱)(af在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通

过)(af相对a的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a确定了奇异性的强度，而)(af则描述了分布的稠密程度。

§3.1 分形的基本理论 3.1.1 分形理论的基本概念

㈠分形 . 分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。由此, Mandelbrot进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot集、Cantor集、Koch曲线、Sierpinski地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点：1) 描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上有规则性或相似性。 2) 欧氏几何具有标度，理想的分形具有无限的几何标度，而无特征长度。 3) 欧氏几何描述特征是整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维是大于1的非整数，具有分形的表面分维是大于2的非整数。

㈡分数布朗运动定义3.1 设H满足10H，0b为任意实数，若随机函数满足：





002121210),(),()21(1),(),0(wsdBstwsdBsstHwtB

bwBtHHH

则称),(wtBH为分数布朗运动。其中H为分形参数，2/1H时，),(wtBH为普通布朗运动，w为样本空间的样本。分数布朗运动(FBM)是一种分形模型，可以很好的描述分形信号，它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性。FBM的增量是平稳的零均值Gaussian随机过程。设)(xBH 为一高斯随机场，对于10H ，若满足 . )()()(yFyxxBxxBPHHH (3.1)

则称)(xBH为FBR场（分数布朗随机场）。其中)(

P表示概率测度；表示范

数；H为Hurst分形指数,)(yF为高斯分布函数。对(3.1)式取数学期望，有 HHhtyEtBttBE22/1||||)2(1|][||])()([|

 (3.2)

㈢分形参数 ① 分形维数FD (Fractal Dimension)，可由下式通过Hurst指数得到，也有其它许多估计方法（见下节）FD=D+1-H， H参数的估计有时域法和频域法，D是拓扑维，对可求长的光滑曲线D=1；对FBR表面D=2；FD是描述分形的主要参数，一般的，当不规则曲线的FD大于1或纹理表面的FD大于2时，认为它们具有分形性。② 增量标准差，也由（3.2）式得出。③ 无标度区),(

maxmin，理想分形满足（3.2）式，具有无限标度；对于实际图象，

由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使（3.1）满足线性关系，称为无标度区。实际图象越接近理想分形，其无标度区间越大，即minmax/的值

越大。在此区间，可用线性回归方法估计H值。

3.1.2 分形维数的估计法分维的估计有许多方法[5]，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种： 1) 数盒子法：对于分形曲线，用可变尺度 沿曲线度量长度所需)(N次，)(N是随而变的，分维由下式确定： . ))log())(log((lim0ND 为求)(N，在计算时以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即)(N。最后利用双对数曲线估计分维值。同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体来代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸对应的小立方体总数)(N，进而求得分形表面的分维值。 2) 功率谱法：对图象先作付氏变换成为频谱图，其功率谱为2|)(|wP，而频

率半径为22VUR，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归法

求取分维值。 3) 地毯覆盖法：设分形表面为),(jig，形象的用厚度为2的地毯覆盖，则毯的上表面点集为),(jit和下表面),(jib，初始状态为),(),(),(

00jigjibjit，

当厚度,3,2,1，变化时， )},(max,1),(max{),(1),(1nmtjitjitSnm

)},(max,1),(max{),(1),(1nmbjibjibSnm

其中S为点),(ji邻域点集，则在尺度下，毯的面积 jijibjitA,2/))],(),(([)(



在近来实际的工程应用中，研究者们针对一些分形维数的定义，也提出了许多关于分形维数计算的方法，如谢和平[30]等人提出的修正盒计数维数、填隙维数、两脚规维数等。又如在图象处理方面还有Gangepain等的计网格元法（Reticular Cell Counting）、Keller等的基于概率的估算法、基于分形布朗运动自相似模型的估计法[6]及Sarkar等的微分计盒法（Differential Box . Counting，DBC）等。其中DBC法和基于分形布朗运动自相似模型的估计方法覆盖了图象FD较大的动态范围，但是这两种方法随纹理图象粗糙度的变化反映出的FD估计值的变化趋势是不一样的。DBC法对粗糙度小的纹理敏感，粗糙度小时其变化更剧烈，而基于分形布朗运动自相似模型的估计方法在粗糙度小时其变化较前者平缓，在高粗糙度的情况下的变化比前者剧烈，因此更好地反映了大FD情况的FD估计差异。我们的论文工作中，为了在下一章中利用FD进行边缘检测，这里介绍利用基于分形布朗运动自相似模型来估计分维FD的方法。

3.1.3 基于分形布朗运动模型的FD估计法分形几何为图象几何特征的描述开辟了一个新途径。Pentland[7] 的研究证明，自然界大多数景物表面是空间各向同性的分形，它们的表面映射成的灰度图象是具有分形特性的分形灰度表面；而各向同性的分数布朗随机场模型（FBR）是描述自然景物的有效方法之一，同一图象区域的灰度表面具有统计意义上的自相似性，通过对其FBR模型参数的提取和研究，可以获得图象许多重要的几个参数[7]。然而，在不同图象区域的交界处，这种分形的一致性将被破坏，在此求出的分形参数H值将会超出其理论取值范围（如用DFBR 描述图象灰度表面，其分形参数H的理论取值范围应为(10H)，正是这些H

值发生奇异的地方预示了不同区域的交界位置。因此，通过对H值的计算和分析，可以检测出图象中的边缘[6]。本节将采用DFBR场模型作为描述图象区域的数学模型，据此定义一种新的分形参数H值的计算方法，分析探讨边缘处H值的奇异性，并将它用于图象边缘的检测实验。 . ㈠图象区域的DFBR场模型定义3.3 若x与x取离散值为n和m，则称),()(),(mnBnBmnc

HH为离散

分数布朗随机场（即DFBR场）。由以上定义可知，分数布朗随机场是非平稳的，而对应的离散增量（即DFBR 场）则具有统计平稳自相似性，即DFBR场满足： HHHHHmnBnBEnBmnBE|||||})()1({||})()({|

HHHHHmnBnBEnBmnBE222||||}|)()1({|}|)()({|

由上式看出，DFBR场的一、二阶绝对矩是各向同性的。DFBR场模型是描述自然景物自相似性的一种有效模型，其局部统计特性能有效地吻合图象区域的局部统计特性[8]。因此，用DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型，H 参数能够表征同一图象区域的自相似性（即灰度表面的均匀程度），对应的图象区域灰度表面的分形维数D可由H 参数获得： HDDT1 式中TD为图象区域的拓扑维数，2TD。

㈡ H参数的定义设图象区域的灰度表面满足DFBR场模型，),(

00yxI表示图象中),(00yx

处的灰度值，由DFBR场模型的性质得： HyxIyxIEyxIyxIE),(),(),(),(

001100

式中， 202

0)()(yyxx

；

1)()(201201yyxx 若定义

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土壤粒径分布的多重分形描述

维普资讯
安徽农业科学。ｏｒａｆｎｕ．Ｓｉ０８３（４：０５ＪｕｎｌＡｈｉｏＡｃ．０。６２）１５７—１５９２０５
责任编辑
庆珞
责任校对
张士敏
土壤粒径分布的多重分形描述
刘雪梅（东通学木筑院江南３１华交大土建学，西昌３ｏ）０３
关键词激光粒度分析；多重分形；粘粒含量；土壤粒径分布中图分类号Ｓ５．２１３文献标识码Ａ２文章编号０１ —６ｌ（０８２ —１５ — ３５７６１２０）４０７０５
ｌｌｄｉｆ＇ｅａ）ｓｒｏｔｎｏ ’ ｌｉｚｓｒｌｔｎ￣ｔｌｔｌ１ｅｅｉｉｆｓ（ＰａｌｄｅＳｉｅＤｉｔｉｌ，－ａｋｏｎｔｍｏ
激光粒度仪的粒径分析范围是０００～２００肿，．２０共分为１０个粒径段。即每个土样测量得到１０个粒径段的百分含００量１２ … ， ∞。，，ｌ
质，如土壤水分特征曲线，土壤饱和及非饱和水力传导度等。目前对于土壤粒径分布分形结构的研究大多数是根据常规试验数据，用单一分形维数来描述土壤粒径的分形结构。然
ＬＵｅｍｅ（ｏｅｅｏｉｉＥｇｅｒｇａｄＡｃｉｃｒ，ａｔｈｎｉｔｇＵｉｒｉ，ａｃａｇｊ，ｘ３０１）ＩＸｕ－ｌＣｌｇｆＣｖｌｎｉｅｉｎｒｈｔｔｅＥｓｉａＪｏｏｎｖｓｙＮｎｈｎ，ｉ￣ｉ３０３ｌｎｎｅｕＣａｎｅｔａ

分形理论概述范文

分形理论概述范文
分形（fractal）是一种多尺度的普遍几何结构，可以在物理、化学、生物学等多个学科中发现。

它的定义是“在一定范围内具有相同结构的几
何结构”。

它以极好的逼真度表示自然界的复杂结构，并具有丰富而细腻
的结构。

分形理论是一种解释复杂性和自相似性的抽象理论。

它以上帝视角试
图诠释宇宙的样式和结构，以更深层次的视角来描述自然界的秩序和复杂性，并且可以揭示宇宙的发展规律。

它为解释自然界的许多复杂问题提供
了一个新的途径和方法，从而促进了一系列学科教育、学习、研究和应用
的发展。

分形理论的主要内容主要由三部分组成，分别是：(1)分形几何学，
它探索和研究的是自然界中可以表示为无限复杂结构的几何形状。

(2)分
形演化论，它试图探讨宇宙中各种复杂系统的演化机理。

(3)分形分析理论，它研究多尺度系统的结构，并认为复杂系统在不同尺度上都具有相同
的基本结构。

分形理论的基本概念是复杂性和自相似性，也就是说，复杂的系统在
不同尺度上具有相同的性质。

它采用多尺度的视角来描述宇宙中的系统，
试图把宇宙的复杂性抽象化，以更深层次的视角来描述宇宙的秩序和复杂性。

多重分形及其在地形特征分析中的应用

经在许多领域得到了广泛的应用 , 并被用于地理纹理的分析和分类 . 由于分形反映的是地理信息不同尺度间的自相似性 , 因此将分形用于导航和航迹规划具有很大的优势 . 但在实际分析中发现 , 当两种纹理存在细微差异时 , 采用简单的分形方法计算的分形维数基本相同 , 给区域的划分和路径的选择带来了困难 ,对地形分析造成不利影响 . 本文采用了多重分形奇异谱和分形维数相结合的方法对地形地貌数字高程图 (DEM) 进行分析处理 ,获得了更准确的地形分类信息 ,能找出适合
( 9)
多重分形一般用广义维数谱曲线 Dq2q 来描述 ,不难理解 ,广义维数谱比简单的分形维数包含有更多的特征信息 . α. α 描述多重分形的另外一组参量是 f (α) 2 表示分形体小区域的分维 , 其值由 P 确定 , P 是该小区域生长几率的大小 . 由于小区域数目很大 , 于是可得到一个由不同 α 所组成的无穷序列构 ) 表示之 . f (α ) 又被称为奇异谱 . 成的谱 ,并用 f (α 通过 q2Dq 对曲线图或α 2f (α) 对曲线图可以
收稿日期 : 2003207203 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (60272099) 作者简介 : 曹汉强 (1953 - ) ,男 ,湖北武汉人 ,教授 , itdnet @mail . hust . edu. cn
第 12 期曹汉强等 : 多重分形及其在地形特征分析中的应用
摘要 : 采用多重分形谱进行地形特征的分析 ,多重分形谱参数分层次地刻画了空间内部的精细结构 ,突出了异常局部变化特征 ,因而能够获得准确的地形特征信息 ,并从复杂的地形数据中选出具有明显个性特征的区域 ,可与分形维数结合进行地形地貌的区域分类和路径选取 . 实验结果表明 ,多重分形的奇异谱函数比简单的分形维数能提供更多的信息 ,克服了分形维数相同情况下区域无法区分的困难 ,地形的提取特征结果更为符合实际情况 ,可被有效地用于导航和航迹规划过程中 . 关键词 : 多重分形 ; 分形分维 ; 数字高程图 ; 导航中图分类号 : TN 91913 文献标识码 : A 文章编号 : 100125965 ( 2004) 1221182204

证券市场交易数据序列多重分形分析

ａｎｏｎ，ｈｔｉｔｓＹｈｒｌｉｇｐｅｉｉｓｎｒａｅｙｔｍｉｇｐｉｔｔａａ，ｔｅａｍｙｎｒｃｓｎｉｉｃｅｓｄｂｂｒｎｓｏｏｉｍａ￣ｇ４Ｋｅｒｓｓｃｒｙｂｒａｎｄｔ；ｍｕｔｒｃｌｇｎｒｌｅｉｎｉｙｗｏｄ：ｅｕｉａｇｉａａｔｌｆｔ；ｅｅａｉｄｄｍｅｓｎ；ｓｒｇｎｓｉａａｚｏｔｗｌｅｅｓ
ｌｅＷｉｏｌｅｒａｅａｃｌｕｉａｔｅｒ，ｓｔｔｓａｄａａｓｒＯｅｅｓｃｙｄｚｔｎｎｉａｙｍｔｍｔａｍｌｆｃｌｈｏｙｔｉｉｎｎｌｉａｖｎｔｔｅ— ｈｎｌｈｉｔｒａｔａｓｃｙｓｃｏｈ
第２卷４
第２期
证券市场交易数据序列多重分形分析
张金良，李光泉，扬忠直，杜厌芳
（天津大学管理学院，天津３ｘ７）ｆ０２３
［摘
要】本文以沪深证券市场的实时数据为基础，应用非线性数学的多重分形理论，分析了
交易数据的局部变化趋向的多重分形特性和转折点的数字特征，得到了证券交易数据序列多重分形广义维数在雏数空间上的分布规律和任意交易数据序列的推广性质。样本计算和统计蛄果表明，证券交易数据序列具有显著的多重分形特性和在转折点附近存在突变奇异性，分析精度也大太提高。
ＺＮＧＪ－ａｇＬｕｎ－ｕｎＹＮＧｈｎ－ｈ，ＤｍｌａｇＨＡｉｌｎ，ＩＧａｇｑａ，ＡｎｉＺｏｇｚｉＵＹ－ｎｆ

一种简化的多重分形维数算法

关键词：简化；多重分形维数；算法
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ；ｍｕｌｔｉ－ｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎ；ａｌｇｏｉｔｒｈｍ
中图分类号：ＴＰ３０１．６
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６－－４３１１（２０１４）０９ — ０１８１ — ０２
０引言
雷达回波中通常包含有大量与目标特征有关的信息
ｘ（８）＝Ｐ＝ｌ
由此进一步定义广义分形维数Ｄ为：
（２）
摘要：多重分形维数可以从不同的层次上刻画信号的几何特性，从而提取不同信号的信号特征。本文提出了一种改进的多重分形维数算法，改变了传统多重分形维数对ｑ维特征进行累加的计算方法，在保证算法计算复杂度基本不变的情况下，增加了信号特征的规律性和类内聚集度。仿真结果表明，对于不通信号的分类，改进算法具有更好的可分离性。
在Ｄ的求值过程中，取消对不同区域但是，识别效果有了明显的提高。将多重分形谱特征应用的算法进行了改进，的概率的求和过程，直接计算不同层次信号的多重分形特到雷达信号的脉内调制特征识别中，识别效果显著。给出了计算离散信号的多重分形谱特征的方法，对多重分形维征，即：定义函数ｘ（８）为：Ｘ（￡）＝
ＶａｌｕｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

加工表面多重分形谱权重因子的确定

０引言
加工工件表面的复杂程度可以利用灰度图像
计算的复杂程度受权重因子的取值范围影响，本文研究了权重因子的工程估算方法，以此生成工件表面灰度图像的多重分形谱。
的简单分形维数进行分析，比如盒维数，该方法但得到的分形维数有它的不够细致的地方，有考没虑盒子内像素的多少和分布的复杂程度，多重而分形考虑盒子内像素的多少或其它物理量的区
陈慧琴
（南通商贸高等职业学校，江苏南通２６０）２００
摘要：多重分形谱精细全面地描述工件表面图像特征，理论上多重分形谱权重因子的范围越大越好，但权重因
子的范围越大带来的计算量将成倍增加，用估算的方法确定权重因子的取值范围。采用配分的方法获得多采重分形谱，并对具体的算法进行描述，多重分形谱和奇异指数对权重因子求取一阶导数，将当一阶导数趋于零
ｖｌｅｓｏｅｒｅｍｕｔａｉｌｓｅｔｍａｂａｎｄｂｅｗｙｏｅｐｒｔｎｆｎｔｎ．ｎｅｄ－ａｕｃｐ．ｎｌｌｒｃａｐｃｕｗｓｏｔｉｅｙｔａｆａｉｏｕｃｉａｄｔｅｉｒｈｈｔｔｉｏｈ
ＳｅｔｕｂｏｈｅＷｏｋＰｉｃｓＳｕｆｃｓＩａｅｐｃｒｍａｕｔｔｒｅｅｒａｅｍｇ
ＣＨＥＮＨｕｉｑｎ —ｉ

分形科普-Fractal

谢尔宾斯基海绵——三维分形体
类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似海绵的分形体。
其他三维分形体
不可能三维分形体
分形树
一种分形树的构图过程
分形体的周长、面积
分形体的表面积、体积
怪异体，只有表面没有内容。
体积：每次迭代体积都更小，无穷次迭代后体积趋近0。
分形出现试图用经典几何学描述分形出现大量处处连续不可微图形
1875~1925
计算机图形学发展分形构图软件大量出现计算机进行分形研究兴起
研究分形维数分形集的局部性质分形集的结构 S-集分析与几何性质
成为独立学科曼德尔布莱特出版里程碑专著
1926~1975
1976~2010
分形画
分形画
谢谢！
Thanks For Your Coming
分形体的维度
谢尔宾斯基地毯维度为：
分形体的维度
谢尔宾斯基海绵维度为：
分形体的维度
分形体的维度一般不是整数。
闵可夫斯基香肠
四方内生树
龙曲线
股票走势分形
洛伦茨曲线
朱丽亚图谱
曼德勃罗集图
广义曼德勃罗集图
k=3 k=4 k=5
事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况；
事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况。
分形的功能
测量海岸线
在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图逐步放大

中国大陆地震活动时空分布多重分形特征

ｌＴ）ｇ（ ∑ｐｓ
Ｄ一 — 一。寿
从公式（）见，ｑ取较大值时，主要表示具有２可当Ｄ较高测度观测的自相似特征，当ｑ较小值时，。而取Ｄ则主要表示具有较低测度观测的自相似特征。因此不同的ｇ取值Ｄ将分别表示观测的密集和稀疏部
第２８卷第４期
２１００年１２月
华
北
地
震
科
学
ＶｏＩ２ＮＯ．．８，４
Ｄｅ．。２Ｏ１ｃ０
Ｎ０ＲＴＨＣＨＩＮＡＥＡＲＴＨＱＵＡＫＥＳＩＮＣＥＳＣＥ
文章编号：０３１７（００Ｏ —００ —０１０ — ３５２１）４０１８
ｌ理论公式［。］
一
∑ （存在关系：？）
１
Ｎ（）
般而言，多重分形维数谱可用Ｒｅｙ维Ｄ。ｎｉ定
义Ｅ：
（：一 ∑ （～ｓｇ５））
ｉ１一
（）３
一
Ｊ声］
— 一
Ｊ１
ｌＥ［出）ｏＩ（（］ｇ）］
关键词：国大陆；震活动；空分布；重分形中地时多中图分类号：３５５Ｐ１．文献标识码：Ａ
０引言
一
其中，）关于点集ａ的半径为的球体，Ｓ（是Ｔ ∈Ｒ积分区域为ＢｒｌＲｏｅ集上关于概率测度／１的全体。
Ｅｍａ：ｈｎｈｊｎｓｉ．ｃｃ — ｉｃｅｓｉ＠ｅａ．ｎｌｕｓ

超弦理论的几何表达-分形几何模型

分形几何的粒子结构理论毛志彤11(扬州市安装防腐工程有限公司, 江苏江都225200)摘要: 为认识自然界物质的结构和作用各方面的统一性，通过三维空间拓展的分形几何模型，以新结构描述亚原子粒子和原子核，描述暗物质暗能量、微观粒子直到原子结构关系，分析在分形几何结构逻辑基础上的四种基本力和瞬态粒子结构形式，显示分形几何与微分几何在物质结构及规范理论中的有相关联系，揭示一些潜在研究价值，分形几何与微分几何的结合可能成为超弦/M理论第三次革命的分析手段，分形几何模型在亚原子粒子模型、物质结构方面开拓一个全新的结构形式。

关键词: 分形几何；粒子结构；微分几何；无限螺旋分形闭合环；超弦/M理论中图分类号: O4 ；文献标识码: A1研究的动机几何对自然科学特别是物理学发展的意义已经为现代科学界公认，可以看到近代物理学的逻辑在几何原理中得到深刻的阐述，我们并不奢望任意一种几何学都会对物理学的发展产生深刻的意义，但是我们可以尝试任何一种几何可能的应用，特别是一种新颖的几何学分支-分形几何学。

从1986年至今，约24年的研究过程中，我们试图以直接直观的方式更加深刻地理解弦、超弦、超弦/M理论的多维度空间，并给空间与作用力以直观形象的反映，直到2004年，我们通过理论和实验各种矛盾的分析，认为有这么一种可能，分形才是物质的基本单位-亚原子粒子的结构形式，并且其结构蕴含了亚原子粒子四种物理作用力的统一基础：振动与约束对偶耦合规范及其规范场的振荡-电磁波粒子生产和吸收效应，这种亚原子粒子分形结构就是无限螺旋分形闭合环形式。

2分形几何2.1 分形几何学被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。

适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。

不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

分形与分形维数

分类号O469 学校代码10495ＵＤＣ530 学号0145023006武汉科技学院硕士学位论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：田志华指导教师：田巨平教授学科门类：工学专业：机械设计及理论研究方向：分形与多孔介质完成日期：二零零七年四月Wuhan University of Science and EngineeringM. S. DissertationThe study of fractal growthin disorder systemByTIAN Zhi-huaDirected byProfessor TIAN Ju-pingApril 2007独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。

特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。

同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。

（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。

简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。

本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。

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