股市时间序列的多重分形分析
第３０卷第６期 ２００６年１２月 北京交通大学学报 ｏＵＲＮＡＩ．０Ｆ ＢＥＨＩＮＧ儿ＡＯ＿ｌＤＮＧ ＵＮＩｖＥＲＳＩＴＹ Ｖ０１．３０ Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２００６
文章编号：１６７３—０２９１（２００６｝０６—００６９—０４
股市时间序列的多重分形分析
于建玲，臧保将，商朋见
（北京交通大学理学院，北京１０００４４）
摘要：通过对幂谱和统计矩函数的分析，得出股票市场时间序列的无标度性．借助配分函数、广义
分形维数和多重分形谱对股票市场进行研究，结果表明，股票市场时间序列具有多重分形特征．这
将为多重分形在金融理论方面的研究提供重要的理论基础．
关键词：股票市场；多重分形谱；无标度性；配分函数；广义分形维数
中图分类号：０２２１．６１ 文献标识码：Ａ
Ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｓｔｏｃｋ Ｍａｒｋｅｔ Ｔｉｍｅ Ｓｅｒｉｅｓ
ｙＵＪｉａｎ—ｌｉｎｇ，ＺＡＮＧ Ｂａｏ－ｊｉａｎｇ，ＳＨＡＮＧ Ｐｅｎｇ－ｊｉａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｏｍｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ ａ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｓｃａｌｅｓ ｒｅｖｅａｌｅｄ ｓｃａｌｉｎｇ ｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔｅ ｆｒｏｍ ｓｔｏｃｋ ｍａｒｋｅｔ．Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ａｎｄ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｒｅ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ｉｎ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｏｃｋ ｍａｒｋｅｔ ｔｏ ｄｉｓｐｌａｙ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｍｕｌｔｉｆｒａｃ—
ｔａｌｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ．Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｉｄｅ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇ ｍｕｈｉｆｒａｃ—
ｔａｌｋｙ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｆｉｎａｎｃｅ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｏｃｋ ｍａｒｋｅｔ；ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｓｐｅｃｔｒｕｍ；ｓｃａｌｉｎｇ；ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ
近几年来，随着分形几何理论应用研究的深入，
使用分形维数描述证券市场的交易数据波形，可得
出波动形态的宏观概貌，但无法对其进行精确的分 析和刻画，而采用多重分形则可以研究交易数据在
分形子集的分布．对于非均匀的现象，当一个维数无
法描述其全部的细致特征时，需要用多重分形的连
续谱来表示［ ．由于分形理论在金融市场中表现出
潜在的应用前景，逐渐引起国内外学者对金融时间 序列分形特征研究的浓厚兴趣．例如，Ｌｏ（１９９１）＿２Ｊ
对股票市场的研究，史永乐（２０００）Ｌ３Ｊ、王明涛
（２００２）［ ｊ对中国股票市场的研究．这些学者均限于
对金融时间序列的单分形过程研究，即用一个参数
刻画出时间序列在不同时间尺度上的分形特征．鉴
于前人研究的基础上，本文作者采用多重分形分析 的方法，进一步考察金融市场时间序列．笔者借助幂
谱分析、统计矩函数和多重分形谱函数这３种方法 对香港恒生指数日收盘价进行研究，得出其具有较
弱的多重分形性质．这将为多重分形在金融理论方
面的研究提供重要的理论基础．
１数据描述
香港恒生指数是香港股票市场上历史最久、影 响最大的股票价格指数，由香港恒生银行于１９６９年
１１月２４日开始发布，占香港股票市场的６３．８％．因
该股票指数涉及以香港的各个行业，具有较强的代
表陛，不论股票市场狂升猛跌，还是处于正常交易水
平，它基本上能反映整个股市的活动情况，故我们选
取１９９２年１月２日至２００５年６月２７日共３ ３３５天
收稿日期：２００５ ０７—１１ 基金项目：科技部“９７３”基金资助项目（２００４ＣＢ３１８００５） 作者简介：于建玲（１９８１～），女，山东临沂人，硕士生．ｅｎｒｏｌｌ：ｙｕｊｉａｎｌｉｎｇ２００４＃１６３．ｃｏｉｎ 商朋见（１９６３一），男，河南柘城人，教授，博士，博士生导师．
维普资讯 http://www.cqvip.com ７０ 北京交通大学学报
的香港恒生指数日收盘价作为研究对象，其实际波
动图如图１，其中横坐标表示天，纵坐标表示收盘
价．本文的原始数据来自ｈｔｔｐ：ｆｆｃｎ．ｆｉｎａｎｃｅ．ｙａｈｏｏ．
ＣＯ１ＴＩ网站．
图１恒生指数日收盘价波动图 Ｆｉｇ．１ Ｃｌｏｓｉｎｇ ｐｒｉｃｅ ｏｆＨＳＩ
２多重分形相关理论与数据分析
在过去几十年里，分形巳广泛应用于时间序列
的研究，根据分形相关理论来确定时间序列的分形
性．一个随机过程的谱若满足幂律形式，说明它具有
无标度性；统计矩函数能确定分形的存在性和判断 个随机过程为单分形还是多重分形；多重分形谱
函数可说明多重分形性质的强弱．
２．１幂谱 幂谱是研究分形的重要工具，对于时间序列
｛Ｘ（ｔ）：ｔ∈［０，Ｔ］｝，幂谱是指它的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换模
的平方，即 １ 三 Ｅ（∞）＝寺ＩＩ∑ｚ（￡）ｅ ｌｌ ２． ｔ＝１ 如果谱或者谱的一部分遵循幂律形式 Ｅ（ｃｃＪ）。Ｃ ｃｃＪ～， 其中，叫是频率，等于时间的倒数，卢是指数（又称幂
谱指数），那么我们把满足幂律的频率区间及相应的
时间区间称为无标度区间（分形关系成立的尺度区
间）．在无标度区间内，研究对象具有无标度性．所谓
的无标度性，就是自相似性，即局部与整体在形状、 性质或功能等方面是自相似的．
根据幂谱的定义，我们利用ｍａｔｌａｂ编程，得出
恒生指数日收盘价序列幂谱与频率之间的关系，如
图２是ｌｎＥ（叫）～ｌｎｏＪ关系图．可以看出在时间区间 １至１００内，幂谱符合幂律形式Ｅ（叫）。Ｃ叫～，估测
价格波动频率值卢≈１．８ ３７３．在这一时间段内，表 现出恒生指数日收盘价格的无标度性．因此以下的
统计矩函数都是在长度小于１００天的无标度区间内 分析的． 图２ ＩｎｇＩ∞）～ｌｎ∞ Ｆｉｇ．２ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆｌｎＥ（ Ｊ Ｉｎｃｏ ２．２统计矩 我们设要研究的时间序列｛Ｘ（ｔ）：ｔ∈［０，Ｔ］｝．
首先把时间区间［０，Ｔ］分割成一些不相交的子区
间，设 为子区间长度与总区间长度之比的最大
值，Ｍ为整个区间内的价格总和，即
Ｍ＝∑ｘ（￡）． ｔＥ［０．丁］ Ｎ（ ，ｉ）为第ｉ个小区间内的量值总和，则第ｉ
个小区间内的平均密度可表示为
对函数ｅ（ ，ｉ）加权求和，得统计矩函数
Ｍ（ａ，ｑ）＝ ｅ（ ，ｉ）ｑ． （１）
规定００＝０．
需要指出的是，定义Ｍ（ ，ｑ）的目的是显示函
数ｅ（ ，ｉ）值的大小和作用．从式（１）可以看出，假设
第ｍ个和第Ｊ个小区间的平均密度函数分别为
ｅ（ ，ｍ）和ｅ（ ， ）且ｅ（ ，ｍ）》ｅ（ ， ）．当ｑ》１ 时，在∑ｅ（ ，ｆ） 求和中，显然是ｅ（ ，ｍ）ｑ起主要
作用，这时Ｍ（ ，ｑ）和Ｄ（ｑ）反映的是稠密区域的 性质．如果在ｑ—ｏ。的极限下，可只考虑ｅ（ ，ｍ）的
最大值而忽略其它的小值，简化了计算Ｍ（ ，ｑ）． 反之，当ｑ《１时，Ｍ（ ，ｑ）反映的是分布中稀疏区
域的性质．所以，通过加权处理，就把一个复杂的随
机过程划分为具有不同奇异程度的区域来研究． 若统计矩具有如下形式 Ｍ（Ａ，ｑ）。Ｃ （ ，
其中，ｒ（ｑ）是关于ｑ的函数，我们称之为配分函数 （Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ），如果ｒ（ｑ）是ｑ的非线性函数，
则时间序列是多重分形的；如果ｒ（ｑ）是ｑ的线性
函数，则对应的随机过程是单分形过程．这为我们探
究股票市场价格的波动提供了一个强有力的分析工
具．从这个定义出发，可以先计算出每个ｑ对应的 ｒ（ｑ）值，然后通过检测ｒ（ｑ）与ｑ的非线性关系来 Ｏ ８ ６ ４ ２ Ｏ ８ ６ ４ ２ １ １ １ １ １ Ｏ Ｏ Ｏ ＇
０ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期 于建玲等：股市时间序列的多重分形分析
检验随机过程｛Ｘ（ｔ）｝的分形性．
图３描述的是ｇ阶矩Ｍ（ ，ｇ）与 的关系图
像，分割成的小区间长度范围是从１天（ ＝
０．０００ ２９９ ８５）到２５天（ ＝０．００７ ４９６ ３），如图例所
示，在ｇ取值为０．０，０．５，１．０，…，４．５时，在无标度
区间内近似直线．这对于高阶矩ｇ取值为一５０，一
３５，…，１００时也成立．仍然有较好的线性性质．
：鬈
１ ０。 １０ａ
１０ ０ ｌ０。１ １０。１ 。。。ｏｏｏ。ａａ 口口口日口口口＿ 口 ＿●－
１ｏ４ １Ｏ １０２ ＾
圈３ Ｍ【Ａ，口）～Ａ关系圈 Ｆｉｇ．３ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎＭＩ －ｑ）～ 由配分函数的定义ｒ（ｇ）可以根据ｒ（ｇ）＝
１ｉｍ 得到，因此，通过拟合Ｍ（ａ，ｇ）与
的双对数函数，所得直线的斜率就是ｒ（ｇ）．图４表 示的是以ｒ（ｇ）为纵坐标和以ｇ为横坐标的ｒ（ｇ）～
ｇ关系图（实线），虚线是ｒ（ｇ）的拟合直线．从图中 可以看出ｒ（ｑ）是一个凹向横轴的函数，ｒ（ｇ）～ｇ
之间存在非线性关系，这表明恒生指数日收盘价序
列具有多重分形性质．
圈４ ｆ【口）～口关系圈 Ｆｉｇ．４ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｒ（ｑ）～ｑ 再定义广义分形维数【 ＪＤ（ｇ）为
ｆ击ｌ ｉｍ Ｉ ＝＿ｉ — ，ｇ≠
Ｄ（ｇ） １ ∑ｅ（ ， ）．１ｎｅ（ ， ） （２）
【 ———１ —一，ｇ １
显然Ｄ（０）是容量维数．
由方程组（２）中的两个式子，可以计算出广义分
形维数Ｄ（ｇ）的值，如图５所示，表示的是Ｄ（ｇ）～ｇ 关系图．当ｇ＝０时，得出容量维数Ｄ（０）＝０．９ ９９０． 由图５可以看出，随ｇ的增￣ＪｌＤ（ｇ）逐渐减小，最后
稳定在Ｄ（ｏｏ）的值上，Ｄ（ｏｏ）≈０．９ ９２５，是多重分
形的下限，它相当于股票价格较高的那些点密集在 某些时间区间的现象．
圈５ Ｄ【口）～口关系圈 Ｆｉｇ．５ Ｒｄａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｄ（ｑ）～ｑ ２．３多重分形谱 设函数ｅ（ ，ｉ）满足幂律关系ｅ（ ，ｉ）ｏＣ 。（¨，
其中ａ（ｉ）是Ｈ６１ｄｅｒ指数且取值大小和小区间的位
置ｉ有关，如果对所有的小区间，ａ（ｉ）取值相同，就 称研究的随机过程为单分形；否则，称之为多重分
形．把具有相同ａ值的小区间数目记为Ｎｄ（ ）．若
Ｎｄ（ ）ｏＣ 一，（ ，这与单分形公式Ｎｄ（ ）ｏｃａ 相
比，则可以看出ｆ（ａ）表示具有相同ａ值的子集的
分形维数．一个复杂的分形体，它的内部可以分为一
系列不同ａ值所表示的子集，这样ｆ（ａ）就给出了 这一系列子集的分形特征，称函数ｆ（ａ）为多重分形
谱或奇异谱．
广义分形维数Ｄ（ｇ）与多重分形谱ｆ（ａ）是描 述多重分形的两种基本语言，它们满足下述关系
ｆ ｒ（ ＿二１ Ｄ（口）：．｛ｇ一１’ ｑ ．
【ｒ （１）， ｇ＝１且ｒ（ｇ）可微 当ｒ（ｇ）与．厂（ａ）可微时，有如下变换
Ｊ ｇ）＝ （３）
【，（口）＝ｇ·口（ｇ）一ｒ（ｇ） 方程组（３）本质上是勒让德（Ｌｅｇｅｎｄｒｅ）变换 Ｊ，它建
股票市场波动的时间序列分析
股票市场波动的时间序列分析
股票市场是一个高度不稳定的环境，波动性是其核心特征之一。其波动性的主要特征是周期性、季节性、随机性和趋势性等因素。对于投资者而言，如何通过时间序列分析来理解和预测股票市场的波动就显得尤为重要。
时间序列是一种描述时间变化的序列，可以包含时间点的各种数据，如股票价格、成交量、市场指标等。股票市场中的价格序列就是一个典型的时间序列，通过对其进行分析，可以了解市场波动的趋势、强度和方向等重要信息。
时间序列分析的基本方法是通过建立模型来描述观测数据的统计性质和数学规律。这些模型可以是线性模型或非线性模型，具体选择哪种模型需要考虑到数据的性质和特征。使用时间序列分析可以预测未来的股票价格变化趋势，有助于投资者合理地调整自己的投资策略。
常见的时间序列分析方法包括移动平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)和季节性自回归移动平均模型(SARIMA)等。
移动平均法是最简单的时间序列分析方法之一。它的基本思想是通过计算一段时间内的平均值来消除季节性波动和随机波动，从而揭示出价格趋势的变化。移动平均法有简单移动平均法和加权移动平均法两种形式。
指数平滑法也是一种广泛使用的时间序列分析方法。它的基本思想是将历史数据的权重分配给未来的预测值，从而对未来的数据进行预测。指数平滑法有简单指数平滑法和Holt线性指数平滑法两种形式。
ARMA是一种用来预测时间序列中随机波动部分的模型。它假设时间序列中的每一个观测值都是先前若干个观测值的线性组合加上一个白噪声误差项。ARMA模型需要通过自相关函数和偏自相关函数来估计模型的参数，从而确定预测模型。
ARIMA是一种用来描述时间序列中趋势和季节性波动的模型。与ARMA不同的是，ARIMA加入了差分运算，通过消除趋势和季节性波动来对随机波动进行预测。ARIMA模型的选择需要通过观测数据的自相关函数和偏自相关函数来进行。
上证指数高频数据的多重分形错觉
上证指数高频数据的多重分形错觉
周炜星
【期刊名称】《管理科学学报》
【年(卷),期】2010(013)003
【摘 要】以上证指数5分钟取样的高频数据为例,采用配分函数法对每一交易日的数据进行多重分形分析,发现质量指数τ(q)为线性函数.用统计自举生成随机时间序列以深入剖析多重分形谱f(α),发现约有51%的交易日,其多重分形特性无法通过显著性检验.进一步分析发现,所有真实时间序列的奇异性强度与随机序列的奇异性强度相差无几,因而完全可以用后者加以解释.因此,上证指数本身并不具多重分形特性.
【总页数】6页(P81-86)
【作 者】周炜星
【作者单位】华东理工大学商学院,上海,200237
【正文语种】中 文
【中图分类】F830;O189.12;N93
【相关文献】
1.中国股市的非同步交易与超前滞后效应的关系研究——基于上证指数高频数据的实证结果 [J], 刘世斌;樊丰
2.基于小波模极大值求取多重分形谱多重分形克里格算法探究 [J], 张庆敏;岳云娟
3.基于上证指数高频数据的中国资本市场微观特性研究 [J], 唐振鹏;陈尾虹;冉梦
4.基于波动和收益分解的股市风险收益关系检验——以2003—2012年上证指数高频数据为例 [J], 张虎;周迪; 5.基于波动和收益分解的股市风险收益关系检验--以2003-2012年上证指数高频数据为例 [J], 张虎;周迪
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中国股市的分形结构的检验和长记忆建模的开题报告
中国股市的分形结构的检验和长记忆建模的开题报告
一、研究背景和意义
股市是一个典型的非线性系统，在不同时间尺度下表现出不同的特性。Fractal理论是分析非线性系统最常用的工具之一，它揭示了系统的复杂性和重复性。分形结构也是股市波动中出现最多的一种形态，包括股价的分形结构、成交量的分形结构和波动率的分形结构等。通过分析股市的分形结构，可以更好地理解市场的运动规律，对于投资者来说具有重要的参考意义。
另一方面，长记忆建模是近年来在时间序列分析领域中逐渐兴起的一种方法，该方法可以刻画时间序列中长期记忆的性质，即过去的数据对未来的影响具有持久而长远的影响。在股市分析中，采用长记忆建模方法可以更好地定量描述股市波动的特性，包括其自相关性和协整性等，为股市预测和风险控制提供重要的参考。
本研究旨在检验中国股市中分形结构的存在和长记忆的性质，并将它们应用于股市预测中，以提高股市分析的准确性和可靠性。
二、研究问题
1.中国股市是否存在分形结构？
2.中国股市是否具有长记忆的性质？
3.分形结构和长记忆对于股市预测的作用是什么？
三、研究方法
1.分形结构检验：采用分形维数法和小波变换法分别检验中国股市的分形结构。
2.长记忆建模：采用ARFIMA模型对中国股市进行长记忆建模。
3.股市预测：将分形结构和长记忆建模应用于股市预测中，并将预测结果与传统的预测方法进行比较。
四、研究步骤
1.收集和整理中国股市的历史数据，包括股价、成交量和波动率等指标。
2.对数据进行预处理，除去异常值和缺失值等。
3.采用分形维数法和小波变换法分别检验中国股市的分形结构。 4.采用ARFIMA模型对中国股市进行长记忆建模，并比较其与传统模型的优缺点。
5.将分形结构和长记忆建模应用于股市预测中，评估预测效果。
五、研究成果
通过本研究，我们将能够深入了解中国股市中分形结构的存在和长记忆的性质，并能够将这些特性应用于股市预测中，提高股市分析的准确性和可靠性。
股票市场价格波动的时间序列分析
股票市场价格波动的时间序列分析
股票市场价格波动是一件常见的事情，对于投资者来说，如果能够预测价格波动，就能够在波动中获得收益。而时间序列分析是一种常见的预测方法，本文将介绍如何利用时间序列分析对股票市场价格波动进行预测。
一、时间序列分析的基本概念
时间序列是指在一段时间内，某个或某些经济变量在相同时间单位下所形成的数据序列。时间序列分析就是对这个数据序列进行统计分析，从中寻找规律，然后用这些规律来预测未来的变化趋势。
时间序列分析主要分为三个步骤：趋势分析、季节性分析和循环分析。趋势分析是指对整个序列的走势进行分析；季节性分析是指对时间序列的周期性变化进行分析；循环分析是指对时间序列的波动性进行分析。
二、时间序列分析在股票市场中的应用
在股票市场中，时间序列分析可以用来预测价格波动。通过对历史数据进行分析，可以得到下一个时间段的价格预测。时间序列分析能够反映出市场的趋势、季节性和周期性，进而将它们进行预测。下面介绍具体的应用方法。 1. ARIMA模型
ARIMA模型是基于时间序列的自回归移动平均模型。该模型可以分为三个部分：自回归项、移动平均项和常数项。其中，自回归项表示当时的价格受过去价格的影响，移动平均项表示当时的价格受过去价格的误差的影响，常数项表示当时的价格与其他因素有关。通过对历史数据进行分析，可以得到ARIMA模型的参数，从而进行价格预测。
2. Holt-Winters模型
Holt-Winters模型是指对时间序列的趋势性和季节性进行分析的模型。该模型能够反映数据的趋势性和季节性，从而进行预测。该模型包括三个部分：趋势项、季节项和误差项。其中，趋势项表示价格随时间变化的趋势，季节项表示价格随时间变化的季节性和周期性，误差项表示价格的随机波动。通过对历史数据进行分析，可以得到Holt-Winters模型的参数，从而进行价格预测。
3. GARCH模型
GARCH模型是指对时间序列波动性进行分析的模型。该模型能够反映价格波动的波动性，从而进行预测。该模型包括两个部分：ARCH模型和GARCH模型。其中，ARCH模型表示价格波动性的常数项，GARCH模型表示价格波动性受过去价格波动性的影响。通过对历史数据进行分析，可以得到GARCH模型的参数，从而进行价格波动的预测。
基于MF-DFA的股市多重分形结构研究
第２Ｏ卷第３期 ２０１０年９月 湖南工程学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏ１．２Ｏ．Ｎｏ．３ Ｓｅｐｔ．２０１０ 基于ＭＦ—ＤＦＡ的股市多重分形结构研究 李海洋，王磊 （河南工业职业技术学院，南阳４７３００９） 摘要：分形理论是现代非线性科学中的重要分支之一，它的发展为经济学研究提供了一种全新的工 具．本文依据分形理论，选择了股票市场每日收益数据，用ＭＦ—ＤＦＡ（多重分形去趋势波动分析法）研 究了其分形特征．发现股票市场存在明显的多重分形特征，也发现了发达国家成熟的股票市场与发展中 国家不太成熟的股票市场之间的显著差异． 关键词：ＭＦ—ＤＦＡ；股票市场；多重分形分析． 中图分类号：ＴＭ７６２．２；ＴＭ７４３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—１１９Ｘ（２０１０）０３—００４５—０４ Ｏ 引 言 股票市场是一个非常复杂的经济系统，关于其 波动规律的研究分析一直是人们所热衷的话题．被 誉为”分形之父”的分形学创始人Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ指出， 如果把股票市场走势图按一定比例放大或缩小，每 年、每月的波动和每周甚至每日的波动，在一定范围 内，趋势都是极其相似的．而这种体现”自相似”性的 股市曲线，完全可以利用适用于分形理论的研究方 法进行分析判断。１９９７年，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ创立了著名 的资产收益率多重分形模型［１］，用于描述金融资产 价格变化规律，他进一步指出，多重分形分析可以复 现波动剧烈的金融交易，提供关于市场动向的预计 值，从而显示出变幻莫测的金融市场的某些规律性． 多重分形去趋势波动分析法（ＭＦ—ＤＦＡ）是 Ｋａｎｔｅｌｈａｒｄｔ于２００２年提出的［２］，该方法在研究分 形信号时，能够很好的揭示非平稳时间序列中的长 范围相关性．自其创立之日起，ＭＦ—ＤＦＡ就被频繁 的应用于研究金融股票市场的多重分形结构，并取 得了一些有益的结论．本文依据分形理论，基于ＭＦ —ＤＦＡ方法，选取了国内外股票市场中的一些数 据，即每日收益来研究分析其多重分形结构，并给出 了结论． １ ＭＦ—ＤＦＡ简介 去趋势波动分析法（ＤＦＡ）［３ 是目前常用来分 收稿日期：２０１０－－０３—２１ 作者简介：李海洋（１９８２一），男，助教，研究方向：高等数学． 析分形信号性质和确定非稳态时间序列相关性的一 种数学工具，而ＭＦ—ＤＦＡ是对ＤＦＡ的一种推广， 其步骤如下： （１）首先对于一个原始的时间序列．２２（ ），ｉ一１， ２，…，Ｎ，我们考察它的轮廓（Ｐｒｏｆｉｌｅ） ｙ（ ）＝奎（ｚ（ ）－ｘ），Ｊ一１，２，…Ｎ （１） 其中Ｎ表示该时间序列的长度， 表示取平均值． （２）把序列ｙ（．『）分割成长度为 一『 ｎ］个互 不相交的等长区间，每部分的长度为 （ ＜Ｎ）．．显 然，如果 不是整数，一些点则必须抛弃．为了减少 误差，对上述序列由头至尾重复这一分割过程，从而 得到２ 个部分． （３）用Ｚ次的多项式Ｐ 。做最小二乘拟和，以消 除子区间中的局部趋势序列，得到具有长度ｎ的每 个部分的方差： Ｆ。（ ，＂）一÷∑｛Ｙ［－（ｖ－－１） ＋刀一 ｝ （２） ，＝１、 （４）将Ｆ２（ ， ）在所有具有长度ｎ的部分上作 平均，相应的ｑ次波动函数可以由下式给出： Ｆｑ（ ｛ 苫［Ｆ２（ ，踟号 ∈尺 （３） 当ｑ一０时，不能由式（３）直接得到Ｆｏ（＂）・，此时 我们采用对数平均： ．１ ２ Ｆｏ（ －－ｅｘｐ｛ 蚤ｌｎＩＦ２（ ］｝ ）
上证指数高频数据的多重分形错觉 2
上证指数高频数据的多重分形错觉
周炜星
【摘 要】以上证指数5分钟取样的高频数据为例,采用配分函数法对每一交易日的数据进行多重分形分析,发现质量指数τ(q)为线性函数.用统计自举生成随机时间序列以深入剖析多重分形谱f(α),发现约有51%的交易日,其多重分形特性无法通过显著性检验.进一步分析发现,所有真实时间序列的奇异性强度与随机序列的奇异性强度相差无几,因而完全可以用后者加以解释.因此,上证指数本身并不具多重分形特性.
【期刊名称】《管理科学学报》
【年(卷),期】2010(013)003
【总页数】6页(P81-86)
【关键词】金融物理学;上证指数;多重分形分析;统计检验
【作 者】周炜星
【作者单位】华东理工大学商学院,上海,200237
【正文语种】中 文
【中图分类】F830;O189.12;N93
0 引 言
金融物理学是用统计物理、理论物理、复杂系统理论、非线性科学、应用数学等的概念、方法和理论研究金融市场通过自组织而涌现的宏观规律及其复杂性的一门新兴交叉学科[1-2].金融物理学的主要研究内容包括 4个方面[2-3]:第 1,金融市场变量的统计规律,其中最基本的性质是关于收益率的尖峰胖尾分布[4-6].第 2,证券的相关性、极端事件、金融风险管理和投资组合等,分形市场假说与多重分形的理论和方法被广泛应用于分析金融时间序列[7-10].第 3,宏观市场的建模和预测,包括用随机过程对收益率建模、对数周期性幂律模型等[11].第 4,金融市场的微观模型,主要包括基本面投资者和噪声交易者博弈、逾渗模型、伊辛模型、少数者博弈模型等,以及由此而衍生出来的各种模型[12-13].
最早用多重分形理论分析金融时间序列的学者可能是 Ghashghaie等[10],他们将外汇市场与湍流类比,发现美元和德国马克外汇价格波动的矩函数具有非线性的标度律,而其他关于汇市多重分形特性的实证研究也得到了广泛关注.多重分形特性在其他金融时间序列中也有大量报道,如黄金价格、商品价格、股票个股价格、股市指数的收益率等[2].也有一些学者直接研究价格本身的多重分形性质,如香港恒生指数[14-15]、上证指数和深圳成指[16-20]、大陆上市的部分个股[21]等,他们采用高频数据(如 5分钟),对每个交易日进行多重分形分析,计算出多重分形奇异谱,并指出这些多重分形性质与价格反常波动、风险管理等密切相关.但是,若进一步分析这些结果,可以发现两个问题:
上证50ETF期权交易与标的收益率关系研究——基于多重分形的非线性框架
一、引言18世纪后期，美国和欧洲市场最早开始进行
期权交易。1973年芝加哥期权交易所（CBOE）开
张，标志着期权交易正式转变为统一化和标准化的
期权合约买卖。我国第一只期权——上证50ETF期
权于2015年2月9日正式在上海证券交易所上市交
易，填补了中国境内证券市场股票期权的空白。我
国期权交易虽然起步较晚，但发展迅速，上证50ETF期权上市首月月成交量为232508张，2018
年2月月成交量上涨到到19022627张，成交量同
比增长幅度超过8100%。
期权交易的不断发展引起了学术界的广泛关
注，国内外学者针对其定价方法、交易策略等问
题开展了一系列研究。作为在期货基础上产生的
一种金融衍生工具，期权最大的特点在于其自身
是一种选择权，实现了权利和义务分开定价，期
权买方可将风险锁定在一定范围内。每一份期权
合约都有一种对应的标的物，即投资者选择购买
或出售的资产。大量研究表明，信息可以通过期
权市场流入相关标的股票价格，很多国外学者也
表明了期权交易与标的收益率存在相关关系
（Caoetal.，2003；PanandPoteshman，2006；Blauetal.，2014），但目前国内有关期权交易与标的收益率之间的关系探讨的文献比较匮乏。值
得指出的是，现有研究主要基于有效市场假说，
在线性框架下研究期权交易相关问题。但是随着
计算机科学的发展，人们开始对海量的金融数据
进行研究。金融系统中的统计性质被不断地揭示
出来，资产价格收益分布“尖峰厚尾”等越来越
多不符合有效市场假说的现象被发现，人们开始
意识到：市场并非有效市场假说中那样有效而完
备，现实的金融系统可能是一个更加复杂的非线
性系统。一些学者继续通过物理研究的思路来解
释金融系统。Mandelbrot（1983）提出的分形市场
理论，可以较好地刻画金融市场的非线性特征。
大量实证研究表明，分形市场理论相比于传统有
效市场假说能更好地解释金融市场中存在的各种
复杂现象和行为。此外，认沽/认购比例（P/C）
基于方差波动多重分形特征的金融时间序列聚类
文章编号:1001-4098(2006)06-0100-04
基于方差波动多重分形特征的金融时间序列聚类
黄 超1,吴清烈1,武 忠1,朱扬勇2
(1.东南大学经济管理学院,江苏南京 210096;
2.复旦大学计算机与信息技术系,上海 200433)
摘 要:提出了一种新的概率函数计算方法,用于研究金融时间序列在方差波动方面的多重分形特征。在此
基础上提出了一种基于多重分形的时间序列聚类算法,该算法能够根据不同的分析目的,灵活地使用不同的
概率函数以及序列的多重分形特征参量进行聚类。对上海证券市场实际数据的实验结果表明,本文提出的聚
类算法是灵活有效的。
关键词:多重分形;时间序列;方差波动;聚类
中图分类号:F830 文献标识码:A
1 引言
分形是指这样一个对象,它的部分以某种形式和整体
相似。金融领域的许多时间序列都存在自相似性,即序列
的某些子段在统计意义上与整体相似,称为统计分形[1,2]。
对于分形对象,通常使用分形维描述该对象的特征和复杂
性,常用的分形维包括容量维D0、信息维D1、关联维D2等[2]。对于金融时间序列,由于其形成过程中受到众多复
杂的非线性因素影响,因此在不同局部区域和不同层次往
往呈现出不同的特征和复杂性。对于这类复杂对象需要使
用多个甚至无限个分形维Dq(-∞
中Dq称为广义分形维,这类对象称为多重分形。近年来,
许多文献对金融时间序列的多重分形特征及其应用进行
了研究[3-5]。
聚类是一类重要的数据挖掘方法,即将数据划分成有
意义的多个簇,使得每个簇中的数据尽可能相似,而不同
簇中的数据具有明显的差别。近年来基于分形的聚类算法
开始得到研究。文献[6]提出了一种基于数据分形特征的
FC聚类算法,算法认为属于同一个簇中的数据应该具有
较强的自相似性,而不同簇中的数据自相似性则较弱。因
此若数据x被加入到某个簇中引起分形维的变化最小,则
x被划分到该簇中。在此基础上,文献[7]使用FC算法对
用户的Web访问模式序列进行聚类研究。文献[8]使用方差分形维曲线VFDT对网络交通流量序列数据的分形特
人民币汇率与股票指数分形特征及其来源分析
金融理论与教学FinanceTheoryandTeaching2019年6月第3期总第155期
一、引言
随着经济物理学（Econophysics）的发展，金融市
场的自相似性、金融数据的分形，特别是多重分形特
征受到广泛关注[1-3]。分形特征说明在金融市场混
乱、无序的表面之下，一些现象是有规律可循的。为
了刻画金融数据分形，Muzyetal.（1991）提出连续框
架下的小波变换模极大值法（Wavelettransformmod-
ulusmaxima，WTMM）[4]，但实现上的复杂性使WTMM
的应用受到一定局限；Pengetal.（1994）使用去趋
势波动分析（DetrendedFluctuationAnalysis，DFA）方法
来检测DNA核苷酸序列的长期幂律相关性[5]；在
此基础上，Kantelhardtetal.（2002）建立多重分形去趋
势波动分析（MultifractalDetrendedFluctuationAnaly-
sis，MFDFA）方法[6]考察平稳和非平稳金融时间序
列的多重分形。与WTMM方法相比，MFDFA没有
计算最大模的过程，因此可操作性更强；MFDFA
适合分析金融数据整体的多重分形特征，而WT-
MM适合于数据局部标度性质的分析[7]，在大多数
情况下，使用MFDFA可以降低估计偏误[8]。
多重分形来源是分形研究的一个重要方面。
通常认为金融时间序列多重分形主要有两个来源：概率分布和长期时变相关性[6]；SaichevandSor-
nette（2006）指出多重分形是长记忆连续指数随机
过程的一种稳健性质[9]；Zhou（2009）利用道琼斯工
业平均指数日数据的分析显示，时变相依结构对
多重分形形成的影响程度弱于概率分布[10]；Kumar
andDeo（2009）发现长期相关性与概率分布对印度
金融指数BSE和NSE收益率序列多重分形的产生
有相同程度的影响[11]；BenbachirandAlaoui（2011）关
股票市场分形特征实例分析
股票市场分形特征实例分析
分形理论的创始人美籍法国数学家Mandelbrot1967年在美国《科学》杂志上发表了“英国的海岸线有多长”的划时代的论文。1975年他出版了分形几何的第一部著作《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。分形是用以描述那种不规则的、破碎的、琐屑的几何特征。分形是相对于整形而言的，它的基本特征是不可微性、不可切性、不光滑性，甚至是不连续性。
很多学者研究了我国股票市场的混沌特征，不仅说明了股市运行过程中的混沌特征，而且还给出了混沌特征的数量指标。但他们并没有给出混沌吸引子的结构，而它却是混沌状态的基本特征，是描述混沌的基本工具。混沌吸引子具有分形结构，混沌与分形是密切相关的。本论文以上海股市为例，来分析我国股票市场的分形特征。
股市混沌吸引子的分形维
我国股市具有复杂的混沌结构，而且我们还给出了股票指数收益率序列的混沌结构的数量指标。“这些数量指标都是混沌度的特征指标”。混沌的另一个特征是具有混沌吸引子，吸引子是一个分形，而分形维是刻划分形最重要的指标。
分形维数有多种定义，两种最常用的分形维数是豪斯道夫(Hausdorff)维数和盒维数。1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理论和相空间重构技术，提出了从时间序列直接计算关联维数的算法。本文也是用此法来计算我国股市混沌吸引子的分形维。
设{xk:k=1,…N}是观测某一系统得到的时间序列，将其嵌入到m维欧氏空间中，得该空间中的点集，其元素为：xn(m,τ)=(xn+τ,xn,…,xn+(m-1)τ),n=1,…Nm，其中：Nm=N-(m-1)τ.
从Nm个点中任选一个点xi计算其余每个点到该点的距离rij，对所有xi(i=1,…，Nm)重复这一过程，可得到关联积分函数
其中的H(x)当x>0时取1，当x≤0时取0，关联维数D为当r→0时函数logCm(r)/logr的极限。
Grassberger和Procaccia证明了当嵌入维数大于分形维时，所求的分形维不