基于多重分形理论的地表高程插值方法研究
dem多重分形的计算方法
dem多重分形的计算方法
DEM（Digital Elevation Model，数字高程模型）是描述地表地形和地貌的数字化模型。
多重分形理论是一种用于描述和分析具有多尺度特征的复杂系统的方法，可以应用于DEM数据的分析和计算。
下面是一种常用的计算DEM多重分形的方法：
1. 数据预处理：首先，对DEM数据进行预处理，包括数据的插值、平滑和去噪等操作，以确保数据的准确性和可靠性。
2. 分割数据：将DEM数据按照不同的尺度进行分割，可以通过使用不同的窗口大小或滑动窗口的方式来实现。
较大的窗口尺寸适用于较粗的尺度分析，较小的窗口尺寸适用于较细的尺度分析。
3. 计算局部均值：对于每个分割窗口，计算窗口内所有像元的高程值的均值。
这将产生一个局部均值图像。
4. 计算局部方差：对于每个分割窗口，计算窗口内所有像元的高程值的方差。
这将产生一个局部方差图像。
5. 计算分形维度：使用局部均值图像和局部方差图像计算分形维度。
一种常用的计算方法是通过计算局部方差与局部均值的对数之间的线性拟合来得到分
形维度。
6. 分析结果：通过分析分形维度的分布、尺度关系和变化趋势，可以揭示DEM数据的多重分形特征。
需要注意的是，DEM多重分形的计算方法可能因具体的研究目的和需求而有所差异，上述方法仅为一种常见的计算方式。
在实际应用中，还可以使用其他分形分析方法和工具进行DEM数据的多重分形计算和分析。
基于表层多次波的地震数据插值方法研究
利 用 的地震 信 息 。Ｓ ｈ ａ ｈ等 ［ １ ２ １ ３ ］ 提 出通 过 一次 波 和 表层 多次 波互 相关 的方法 生成 准一 次 波 ； Ｂ ｅ ｒ ｋ ｈ ｏ ｕ ｔ
Ｚ ＇ ｙ Ｂ 。在 频率 域 ， 一次 波 地震 记 录 Ａ 和表 层 多 次波 地 震记 录 Ｂ 可 以分别用 （ １ ） 式和（ ２ ） 式表 示
Ｉ ＤＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ — １ ４ ４ １ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ． ０ １ ２ 中 图分 类 号 ： Ｐ ６ ３ １ ． ４ 文献标识码 ： Ａ
由于野 外采 集 的条件 限制 ， 原始 地震 数据 中往
往 会 出现缺 道 、 坏 道 和数 据 分 布 不 规则 等 情 况 ， 从 而严 重影 响地震 资 料 处 理 中波 动 方 程 偏 移 等多 道
基 于表 层 多次 波 的地震 数 据 插值 方 法研 究
郭 书娟 ， 方伍 宝 ， 徐 兆涛
（ １ ． 中国石 油化工 股份 有 限公 司石 油物探技 术研 究院 ， 江 苏南 京 ２ １ ］ １ ０ ３ ； ２ ． 同济大 学海洋 与地 球
科 学 学 院， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ２ ）
如图 ｌ ａ所示 ， 震源 Ｓ点 激 发 的波 在 地 下 反射 点 ｘ 反射 后传播 至接 收点 Ａ ， 得 到 一次 波 ； 此 一次
基于插值算法的大规模地形建模研究
基于插值算法的大规模地形建模研究一、引言地形是地球表面的各种自然和人为地貌形态的统称，是影响气候和生态环境的重要因素。
在现代科技发展的背景下，大规模地形建模已经成为了地理空间信息技术，计算机图形学，虚拟现实等重要应用领域之一。
而插值算法，作为地形建模中影响最大的算法之一，被广泛应用于其建模中。
本文主要介绍了大规模地形建模中基于插值算法的研究现状，包括插值算法的基本原理，以及举例介绍了Kriging算法和TIN算法，同时介绍了大规模地形建模中需要注意的问题。
二、地形建模概述地形建模可以借助各种传感器技术，收集地球表面的信息，例如全球定位系统（GPS），雷达，卫星观测，航空激光雷达等。
同时，基于这些数据，测绘专业人员可以使用地形建模工具，来创建三维地表模型。
地形建模通常包括以下步骤：1.数据采集：这包括获取地球表面数据的传感器技术，例如GPS，卫星影像，激光雷达等。
2.数据预处理：这是在获取的数据中进行精细化清理和筛选，以消除数据中的不良值和误差，为数据的下一步处理做好准备。
3.插值算法：地形建模中最重要的组成部分之一，也是当前最流行的算法之一。
4.曲面重构：这个步骤涉及到利用插值算法处理后的数据，创建逼真的曲面和三维模型。
5.数据分析：这个步骤通常包括对模型数据的特征进行分析，例如斜率，流程模拟，视点分析等。
6.应用：地形数据可以被用来支持各种应用，包括军事，气象，城市规划，林业和土地管理等。
三、插值算法插值算法是通过已知的有限点来计算未知点的值的一种方法。
在地形建模中，插值算法被广泛应用于处理已知点的坐标和高程值，并对地面建模进行精确地重构。
常用的插值算法包括Kriging算法，径向基函数插值和TIN算法。
1.Kriging算法Kriging算法是由地质学家Danie Krige提出来的一种空间插值算法。
在地形建模中广泛应用于估计高程值。
Kriging算法包括普通Kriging，克里金（Krige）块（Simple Kriging），泛Kriging （Universal Kriging）和克里金梯度（Krige Gradient）等。
基于数字高程模型的地表插值算法研究
【 关键词 】 Ｅ Ｉ 插值算法 双线性插值 加权平均 ：Ｄ Ｍ Ｇ Ｓ
种 简 便 的 方 法 。设 所求 的 函数形 式 为 ： 数 字 地 形 模 型是 针 对 地 形地 貌 的一 种 数 字 建 模 过 程 ．其 建 Ｚ ａ＋ ｌ ａＹ ＝ ｏ ａｘ＋ ’ （１ １ 模 的结 果 通 常 就 是 一 个 数 字 高程 模 型 （ Ｅ 。Ｄ Ｍ 是表 示 区域 Ｄ Ｍ） Ｅ 参 数 ａ，。ａ 可 以根 据 三个 以知 参 考 点 进行 严 密 计 算 ， 为 ｏａ，： 而 上 的三 维 向量 有 限 序 列 。 函数 的形 式描 述 为 ： 用 了避 免 因三 个 参 考 点 所 构成 的几 何形 状 趋 近 于一 条 直线 时 出现 不 稳 定 的 解 ，故 采 用 双 线性 插 值 法 一 根 据 三 个 以 知 参 考 点 （ Ａ。 Ｖ ＝ Ｘ ， ｉｚ ） ｉ １ ２ ３ … ， ） ｉ （ ｌＹ ，ｉ （ ， ， ， ｎ ＿ 其 中 ， ｉ 是平 面 坐标 ，ｉ （ａＹ ） 应 的 高程 值 。 ）， 【 Ｚ 是 Ｘ ，ｉ对 Ｂ Ｃ） ， 双线 性 内插 Ｐ ｘ ， Ｐ Ｚ ） 高 程值 ： （ Ｐ Ｙ ，Ｐ 点 与 传 统地 形 图 相 比较 。 Ｅ 的 优 势在 于 ： Ｄ Ｍ Ｚ ＾（ ｎＺ ） Ｘ ＾／ Ｘ ＾ ＋ Ｚ＿ （ ｒｘ ） （ ｒｘ ） （） ２ （ ）容 易 以多 种 形 式 显 示 地 形 信 息 。地 形 数 据 经 过 计 算 机 １ Ｚ ＾ （ ｃ Ｚ ） （ ￣Ｘ （ ｃＸ ） Ｚ ＋ Ｚ ＿ ＾ Ｘ Ｄ／ Ｘ ＿ ＾ （） ３ 软件 处 理 后 。 生 多 种 比 例尺 的地 形 图 、 横 断面 图 和 立 体 图 。 产 纵 Ｚ Ｌ （ ｌ ｚ ） （ ｒＸ ） （ ．Ｘ ） ＦＺ＋ Ｚ广 Ｌ Ｘ Ｌ／ Ｘ － Ｌ （） ４ 而常 规 地 形 图一 经 制 作 完 成后 ， 比例 尺 不 容 易 改 变 ． 变 或 者 绘 其 中 Ｙ ＦＹ ． Ｌ Ｒ 分别 位 于 直线 Ａ 改 ＦＹ Ｒ 点 ， Ｂ和 Ａ 上 。 Ｃ 制其 他 形 式 的地 形 图 ． 则需 要 人 工 处 理 。 分 块 内 插 方 法 的一 个 主 要 问题 是 分块 大 小 的 确 定 就 目前 （ ） 度 不 会 损 失 。 规 地 图随 着 时 间 的 推 移 ． 纸 将会 变 技 术 而 言 ．还 没 有 一 种 运 用 智能 法 或 自适 应 法 进 行 地 貌 形 态 识 ２ 精 常 图 形 。 掉 原 有 的 精 度 。 Ｄ Ｍ 采用 数 字 媒 介 ， 而 能 保 持 精度 不 别 后 自动 确定 分块 大 小 ， 行 高 程 内插 的算 法 。 以 实 际 应 用 中 失 而 Ｅ 因 进 所 变 。 另外 ， 由常 规 的 地 图 用 人工 的方 法 制 作 其 他 种 类 的 地 图 ， 精 人 们 常 常 通 过建 立 ，Ｎ三 角 形 网直 接 进 行 内插 ．也 就 是 用 不 规 Ｉ １ 度会 受 到 损失 。 由 Ｄ Ｍ 直接 输 出 ， 度 可 得 到控 制 。 而 Ｅ 精 则 三 角 形 （１ 完 全 覆 盖 平 面 。 由 于 ＴＮ可 以适 应 各 种 数 据 分 ，Ｎ） Ｉ Ｉ （ ） 易 实 现 自动 化 、 时 化 。常 规地 图要 增 加 和 修 改都 必 布 ， 能 方 便 地 处 理 断 裂线 等 不 连续 的地 表 数 据 。 以 ＴＮ 被 认 ３ 容 实 并 所 Ｉ 须 重 复 相 同 的 工序 。 动 强度 大 而 且 周 期 长 ， 利 于地 图 的 实 时 为是一种快速准确 的随机栅格转换方式。面笔者的毕业设计也 劳 不 更新 。 而 Ｄ Ｍ 由于 是 数 字 形 式 的 。 以增 加 或 改变 地 形 信 息 只 是 采 用 这 一 方 案 。 Ｅ 所 需 将 修 改 信 息 直接 输 入 到计 算 机 ．经 软 件 处理 后 立 即可 产 生 实 １ ． 权 平 均 ２加 时 化 的 各 种 地 形 图 逐 点 内插 以待 插 点 为 中心 ．定义 一 个 局 部 函数 去 拟 合 周 围 因此 。 Ｅ 自从 １ ５ 被 提 出 以来 ． 着 计 算 机数 据 处 理 的数 据 点 ＤＭ ９ ８年 随 能 力 以 及 图形 显示 能力 的大 幅 提 高 。 数 据 获 取 方 法 、 据 存 储 其 数 对 于每 个 待 插 的 点 ． 动 拟 合 法 选 取 其 邻 近 的 Ｎ 个 数 据 点 移 和 数 据 处 理 速 度 等方 面取 得 了突 破 性 进 展 ．在 虚拟 现 实 尤 其 是 拟 合 一 个 多 项 式 曲 面 。 合 的 曲面 选 用如 下 形 式 ： 拟 地 理 信 息 系统 （ Ｉ） Ｇ Ｓ 中得 到 了广 泛 的 应 用 。 Ｚ Ａ Ｂ ＋ Ｙ＋ Ｘ Ｅ ＋ ＝ ＸＹ Ｃ ２Ｄ ＋ Ｙ Ｆ （ ５ ） 作 为 Ｄ Ｍ 中的 核 心 问题 ， Ｅ 内插贯 穿 在 Ｄ Ｍ 的 生产 、 量 控 Ｅ 质 式 中 ， Ｙ、 Ｘ、 Ｚ是各 参 考 点 的 坐 标 值 ， 、 、 、 Ｅ Ｆ为 待 定 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ、 、 制 、 度 评 定 和 分 析 应 用 等 各个 环节 ， 自然具 有 重 要 的 研 究 价 参 数 ， 由 Ｎ 个 选 定 的参 考 点 进行 求 解 。然 而 。 精 便 可 由于 在 移 动拟 合 值 。 Ｅ 内插 就 是 根 据 若 干 相邻 参 考 点 的 高程 求 出待 定 点 上 的 法 中要 解 求 复 杂 的 误 差方 程 组 ．在实 际应 用 中常 使 用加 权平 均 Ｄ Ｍ 高程 值 。 数学 上属 于插 值 问 题 。 在 任何 一 种 内插方 法 都 是 基 于 原 法 ，它在 解 算 待 定 点 Ｐ的 高 程时 。使 用加 权平 均 值 代替 误差 方 Ｈ 始地 形 起 伏 变 化 的 连 续 光 滑性 ．或 者 说 临 近 的 数 据 点 间 有 很 大 蕾 ： ｉ／ ｉ Ｚ ∑Ｐ 、 ７一 ∑Ｐ ｉ ＝ 相关 性 。 可能 由邻 近 的数 据 点 内 插 出待 定 点 的 高 程值 。 文便 才 本 结 合 笔 者 的毕 业 设 计 对 Ｄ Ｍ 的 内插 算 法 进行 探 讨 Ｅ 其 中 ，ｐ是 待 定 点 Ｐ的 高程 ，ｉ 第 ｉ 参 考 点 的 高 程 值 。 Ｚ Ｚ是 个 ｎ为 １ 插 值 算 法 概 述 ． 参 考 点 的 个 数 ，ｉ 第 ｉ 参考 点 的 权 重 。 般 采 用 与距 离有 关 Ｐ是 个 一 Ｄ Ｍ 内 插 就 是 根 据 若 干 相 邻 参 考 点 的 高程 求 出待 定 点 上 的 权 函 数 。 用 的 权 函数 有 ： Ｅ 常 的 高 程 值 ， 据 内插 点 的 分布 范 围 ， 分 为整 体 内 插 、 块 内插 根 可 分 Ｐ ｌｒ（ ， Ｐ 一）２８ ＝， ７ ２ ） ＝ ｒｒ（） ， 和逐 点 内插 三 种 。 整 体 内插 的拟 和模 型是 由研 究 区 域 内所 有 采 其 中 Ｐ是 参 考 点 的 权 。 是 圆 的半 径 ，是 待 插 点 到 参 考 点 Ｒ ｒ 样 点 的观 测 值 建 立 的 ， 主要 通 过 多 项 式 函 数 来 实 现 ． 因此 又 称 为 的 距 离 整体 函数 内插 。 由于 实 际 的 地 形复 杂 ． 整个 地 形 不 可 能 用 一 个 多 ２ 问题 提 出 ． 项式 来 拟 合 ． 因此 整 体 内插 常 被 用 于 模拟 大 范 围 内 的 宏 观 变 化 对存储 于一个． ｘ Ｔ Ｔ文 件 中的 由 遥 感 测 得 的一 定 地 表 范 围 趋 势 ， Ｅ 内 插 中一 般 不 用 。 主要 采 用 后 两 种 内 插方 法 。 文 内 （２ ０ ＊ ６０ ） 共 ３４ ＤＭ 而 本 ７００７００ 的 ５ ６个 离 散 精 确 点 ， 别 采 用 分 块 插 值 分 则 以其 中较 具 代 表 性 ． 同时 也 是 如 今 使 用较 为 广泛 的 属 于 分 块 和 逐 点 插 值 进 行 处理 。 ２ ： 比例 尺 补 齐 其 间 所 有 点 的高 程 以 ５ １的 内插 的 双线 性 插 值 法 与属 于 逐 点 内插 的加 权 平 均 法 展 开 值 ，并 以．Ｉ Ｔ和 ． ＭＰ格 式 将数 据 与 由其 所 生 成 的 图像 存 储 ． ． ） 【 Ｂ １１ 线 性 插 值 ．双 以此 对 两 种 算 法 进行 比较 分 块 内 插 把 参 考 空 间 分 成若 干 块 ．对 各 分 块 使 用 不 同的 函 ３ 解 决 方 案 ． 数 进 行 插 值 １ 双线 性 插 值 ． 线 性 插 值 是 使 用 最 靠 近 插值 点 的 三个 以知 数 据 点 ．确 定 一 １１ 建 模方 法选 择 ． 个平 面 ， 而求 出 内 插 点 的高 程 值 。 于 ，Ｎ 的 内 插 广 泛 采 用 这 继 基 Ｉ １ 地 形 表 面 的 常 用 建 模 方 法 主要 是 基 于 三 角 形 的建 模 方 法
分形插值在地球化学数据中的应用
第50卷 第1期2011年 1月中山大学学报(自然科学版)ACTA SCIENT IARUM NATU RA L I UM UN I V ERSITAT IS SUNYAT SEN IV o l 50 N o 1Jan 2011分形插值在地球化学数据中的应用*张 焱1,2,3,成秋明2,周永章1,3,谢淑云2,4,刘小龙4,徐德义2(1.中山大学地球科学系,广东广州510275;2.中国地质大学(武汉)地质过程与矿产资源国家重点实验室;3.中山大学地质过程与矿产资源探查广东省重点实验室,广东广州510275;4.中国地质大学(武汉)地球科学学院,湖北武汉430074)摘 要:地球化学数据的正常值往往服从正态分布或对数正态分布,异常值往往具有分形分布,具有局部奇异性。
文中分别采用分形分布数据、正态分布数据和西藏驱龙地区的实际数据比较3种具有代表性的插值方法:反距离加权法、克里格法和分形法。
结果表明:服从正态分布的数据,三种插值方法应用效果相差甚微;服从分形分布的数据使用分形插值的效果优于反距离加权和克里格法;分形插值法适用于具有奇异性的数据。
此研究有助于合理选择插值方法。
关键词:分形插值;反距离加权;克里格;奇异性中图分类号:P628 文献标志码:A 文章编号:0529-6579(2011)01-0133-05A ssess m ent of Fractal Interpolation M ethod i n G eoche m ical Exp l orati onZ HANG Yan1,2,3,C HE NG Q ium ing2,Z HOU Yongzhang1,3,X I E Shuyun2,4,L I U X i a olong4,X U D ey i2(1.Depart m ent o f Earth Sciences,Sun Y at sen University,Guangzhou510275,Ch i n a;2.State K ey Laboratory o fG eo l o g ical Processes and M inera lResource,Ch i n a U niversity o fGeosciences,W uhan430074,China;3.State K ey Laboratory o fG eo l o g ical Processes and M inera lResource,Sun Y at sen Un iversity,Guangzhou510275,China;4.Faculty of E arth Science,China University o fG eosciences,W uhan430074,Ch i n a)Abst ract:The co mm on geoche m ical data usua lly show a nor m a l d istri b uti o n wh ile the abnor m a l data exhibit a fractal d istri b uti o n and local si n gu larity.Three typical interpo lation m ethods,I D W,K ri g ing and fracta,l w ere discussed in th i s study.The concl u sions are as f o llo w s:t h ree m ethods have al m ost the sa m e effect on the data w ith nor m al d istri b ution;fractal i n terpo lation is better than I D W and Kr i g i n g for the data w ith si n gularity.Th is study can help to choose interpo lation m ethod.K ey w ords:fractal i n ter polati o n;inverse distance w eighted;kri g i n g;singularity1985-1991年期间,很多外国学者先后对分形插值做了研究应用[1-6],同时一些国内学者做了进一步研究[7-14],得到改进的分形插值方法,在此基础上对岩石断裂面进行了研究并取得了较好的效果,但对分形插值在地球化学数据中的应用效果一直缺乏清晰的阐述。
基于数字高程模型的地表插值算法研
实现算法如下： １．搜寻分别对应 ｘ－ ｙ，ｘ＋ｙ 最大值及其最小值的各两个点。这 些点为凸壳的顶点，且总是位于数据集的四个角上。 ２． 将这些点以逆时针方向存储于链表中。 ３． 对链表中的点 Ｉ 及其后续点 Ｊ 递归调用子算法 ＣＯＮＶＥＸ （Ｉ，Ｊ），以搜索线段右边凸壳上的所有点。 递归子算法 ＣＯＮＶＥＸ（Ｉ，Ｊ）： １． 检查数据块中位于线段 ＩＪ 上及其右边的所有点，计算对 ＩＪ 有最大偏移量的点 Ｋ，对 ＩＪ 右边的点赋正的偏移值，ＩＪ 左边的 点赋负的值。 ２． 检测最大偏移值的符号： 如果为正，将 Ｋ 插入到链表位于 Ｉ 与 Ｊ 之间的位置，继续调 用函数 ＣＯＮＶＥＸ（Ｉ，Ｋ）和 ＣＯＮＶＥＸ（Ｋ，Ｊ）；
趋势，ＤＥＭ 内插中一般不用，而主要采用后两种内插方法，本文 内（７２０００＊７６０００）的共 ３５４６ 个离散精确点，分别采用分块插值
则以其中较具代表性，同时也是如今使用较为广泛的属于分块 和逐点插值进行处理，以 ２５：１ 的比例尺补齐其间所有点的高程
内插的双线性插值法与属于逐点内插的加权平均法展开。
ｐｕｂｌｉｃ ｃｌａｓｓ ＭｙＰｏｉｎｔ ｛ ｐｒｉｖａｔｅ ｄｏｕｂｌｅ ｘ， ｙ，ｚ；／／点坐标 ｐｒｉｖａｔｅ ＭｙＰｏｉｎｔ ｎｅｘｔ； ｐｒｉｖａｔｅ ＭｙＰｏｉｎｔ ｐｒｅ； ｐｒｉｖａｔｅ ｉｎｔ ｉｎｄｅｘ；／／点的索引
｝
１．２．２ 有序边
ｐｕｂｌｉｃ ｃｌａｓｓ ＭｙＥｄｇｅ ｛
ｐｒｉｖａｔｅ ｉｎｔ ｓｔａｒｔ；／／ 边的起点 ｐｒｉｖａｔｅ ｉｎｔ ｅｎｄ；／／边的终点 ｐｒｉｖａｔｅ ｉｎｔ ｌｅｆｔｔｒｉａｎｇｌｅ＝０；／／ 边的左三角形索引 ｐｒｉｖａｔｅ ｉｎｔ ｒｉｇｈｔｔｒｉａｎｇｌｅ＝０；／／ 边的右三角形索引 ｐｒｉｖａｔｅ ＭｙＥｄｇｅ ｎｅｘｔ； ｐｒｉｖａｔｅ ＭｙＥｄｇｅ ｐｒｅ； ｐｒｉｖａｔｅ ｉｎｔ ｉｎｄｅｘ；／／边的索引 ｐｒｉｖａｔｅ ｉｎｔ ｒｉｇｈｔ；／／边的权值 ｝
基于多重分形理论的地表高程插值方法研究
基于多重分形理论的地表高程插值方法研究摘要：从地表高程插值的研究现状出发，将多重分形理论引入Kriging和IDW两种常见插值方法，并对四种插值方法进行了比较分析。
结果表明，在相同的样本数据条件下，多重分形插值的精度要高于IDW插值方法和Kriging插值方法。
通过对局部奇异性指数的计算，多重分形插值方法合理地强化了局部区域的估值结果，可以更好地表达整个地区高程的局部奇异性。
关键词：多重分形理论Kriging IDW 高程插值随着人们对空间高程数据的质量要求越来越高，高程插值被越来越广泛得应用在高程测量中，特别是由点源数据形成连续变化的曲面来表达高程值变化往往需要进行高程数据的插值或估计。
目前地形高程插值的方法主要有反距离权重方法(IDW)、克里格插值方法(Kriging)等[1,2]，这些方法为了体现某种趋势而采用加权平均估计，将实际高程值较大的地方消减，实际高程值较小的地方增大，对数值造成一定的光滑，此时高程的局部结构特征的表示与实际有较大差距。
普通插值方法无法表达地表高程局部的复杂变异，无法对地表高程有较精确的预测。
Mandelbrot上世纪60年代提出的分形理论以分维数、自相似性和幂函数等为工具，研究起伏的地形、复杂的水系等具有特征标度、极不规则但具有自相似性的复杂现象[3]。
多重分形理论作为分形理论的进一步发展，不仅能够用来描述分形的复杂特征，还能特征描述分形本身的几何支撑度量。
对于高程、水流等诸多非均匀的分形现象，可以使用多重分形测度或维数的连续谱来表示[4]。
目前多重分形方法已应用到地球科学的诸多领域[5-8]，但应用于高程插值方面的研究还不多见。
本文将多重分形理论引入到IDW和Kriging这两种常用的地形高程插值方法中，试图对高程这一非均匀分形现象进行更精确的预测。
1 研究数据与方法1.1 研究数据本研究所使用的数据为江苏省连云港市海州区内某地28.85km2范围内抽取的1085个点作为采样点（如图1所示），每个采样点使用全站仪测得每个点的高程值，其中高程最大值为187.109米，最小值为0.914米，平均值为14.629米。
空间插值方法与地形表面重建的基本原理与应用
空间插值方法与地形表面重建的基本原理与应用近年来，随着地理信息系统（GIS）的快速发展，对地形表面的重建和模拟需求日益增加。
在实际应用中，我们常常面临着缺乏精确高质量地形数据的问题。
空间插值方法作为一种有效的手段，被广泛应用于地形表面的重建。
本文将介绍空间插值方法的基本原理，并结合实际案例展示其在地形表面重建中的应用。
一、空间插值方法的基本原理空间插值方法是一种通过已知点的属性值，推断出未知位置点的属性值的数学方法。
其基本原理是基于空间点之间的关联性，通过计算已知点与未知点之间的距离或相似性，来推测未知位置点的属性值。
常见的空间插值方法包括最邻近插值法、反距离加权插值法、克里金插值法等。
最邻近插值法是一种简单粗暴的插值方法，其原理是将未知点的值设置为最邻近已知点的值。
这种方法适用于样本点稀疏的情况，但在密集样本点分布的情况下，往往会导致插值结果过于“锯齿化”。
反距离加权插值法则是通过给予距离近的点更大的权重来插值。
这种方法利用了距离远近对地点的影响程度的考虑，具有较好的效果。
但是由于其对距离的敏感性，如果存在异常值或离群点，可能会对插值结果产生较大影响。
克里金插值法是一种基于统计学原理的插值方法，它不仅考虑了距离的影响，还考虑了空间点之间的相关性。
克里金插值方法假设属性值是随机变量，通过计算半变异函数来模拟空间点之间的相关性。
通过确定合适的半变异函数模型，可以获得较为准确的插值结果。
二、空间插值方法在地形表面重建中的应用地形表面重建是地理信息系统中一个重要的应用领域。
通过利用空间插值方法，我们可以根据已有的地形数据，推测出未知位置的地形高程值，从而实现地形表面的重建。
在城市规划中，地形表面重建可以用于制定合理的土地利用规划方案。
通过对已有地形数据进行空间插值，可以获得整个城市范围内的地形高程分布情况，为城市规划者提供宝贵的参考依据。
例如，在城市规划中，需要考虑到地势的起伏以及地形对排水系统的影响，通过地形表面重建，可以帮助规划者更好地进行城市设计。
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基于多重分形理论的地表高程插值方法研究摘要：从地表高程插值的研究现状出发，将多重分形理论引入Kriging和IDW两种常见插值方法，并对四种插值方法进行了比较分析。
结果表明，在相同的样本数据条件下，多重分形插值的精度要高于IDW插值方法和Kriging插值方法。
通过对局部奇异性指数的计算，多重分形插值方法合理地强化了局部区域的估值结果，可以更好地表达整个地区高程的局部奇异性。
关键词：多重分形理论Krig ing IDW 高程插值随着人们对空间高程数据的质量要求越来越高，高程插值被越来越广泛得应用在高程测量中，特别是由点源数据形成连续变化的曲面来表达高程值变化往往需要进行高程数据的插值或估计。
目前地形高程插值的方法主要有反距离权重方法(IDW)、克里格插值方法(Kriging) 等［1,2］，这些方法为了体现某种趋势而采用加权平均估计，将实际高程值较大的地方消减，实际高程值较小的地方增大，对数值造成一定的光滑，此时高程的局部结构特征的表示与实际有较大差距。
普通插值方法无法表达地表高程局部的复杂变异，无法对地表高程有较精确的预测。
Mandelbrot上世纪60年代提出的分形理论以分维数、自相似性和幕函数等为工具，研究起伏的地形、复杂的水系等具有特征标度、极不规则但具有自相似性的复杂现象［3］。
多重分形理论作为分形理论的进一步发展，不仅能够用来描述分形的复杂特征，还能特征描述分形本身的几何支撑度量。
对于高程、水流等诸多非均匀的分形现象，可以使用多重分形测度或维数的连续谱来表示［4］。
目前多重分形方法已应用到地球科学的诸多领域［5-8］，但应用于高程插值方面的研究还不多见。
本文将多重分形理论引入到IDW和Kriging这两种常用的地形高程插值方法中，试图对高程这一非均匀分形现象进行更精确的预测。
1研究数据与方法1.1研究数据本研究所使用的数据为江苏省连云港市海州区内某地28.85km2范围内抽取的1085个点作为采样点（如图1所示），每个采样点使用全站仪测得每个点的高程值，其中高程最大值为187.109米，最小值为0.914米，平均值为14.629米。
测量所得总体样本高程有一定差异，符合研究需要。
将其中200个样点作为插值点用于插值研究（具体分布如图1中黑点），余下的885个样点作为检验点用作检验（具体分布如图1中白点）。
1.2研究方法1.2.1克里格插值方法克里格插值（Kriging）又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在一定的区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地质学的主要方法之一。
克里格法是根据待插值点与临近实测高程点的空间位置，对待插值点的高程值进行线性无偏最优估计，通过生成一个关于高程的克里格插值图来表达研究区域的原始地形。
在高程分析中，克里格插值方法是建立在平稳假设的基础上，这种假设在一定程度上要求所有数据值具有相同的变异性［2］。
本文采用普通克里格(O-Kriging)方法进行插值，O-Kriging是区域化变量的线性估计，它假设数据变化成正态分布，插值过程类似于加权移动，权重值的确定来自于空间数据分析［9,10］。
1.2.2 IDW插值方法IDW(Inverse Distanee Weighted)是一种常用而简便的空间插值方法，它以插值点与样本点间的距离为权重进行加权平均，离插值点越近的样本点赋予的权重越大［11］。
反距离权重插值的一般公式为：式中，是估计值，是第(=1,…个样本的实测值，是与测定点有关的权重，dij是第i个采样点与估计点之间的距离，r是距离的幕，用来控制权重值随距离变化的速度，当指数增加时距离远的观测点权重值则会下降，它显著影响内插的结果。
实际应用中的r取值范围一般取1、2、3,其中2最为常用。
反距离加权法很简单，几乎任何GIS都能提供该方法。
但是其缺陷也是明显的，它不能对内插的结果作精度评价，所得结果可能会出现很大的偏差，人为难以控制。
它也没有考虑数据场在空间的分布情况，如果输入样点太少或不均匀，IDW则不能很好地表达期望的表面，影响内插精度。
123多重分形插值方法多重分形(Multifractal)是指用多个维数来描述非均匀的复杂几何体，以此来全面刻画其特征。
多重分形也称为多标度分形，是定义在分形结构上的由多个不同标度指数的概率子集组成的非均匀分形测度的集合。
在地形变化复杂的地区或者相对较大的区域，高程异常的变化不规则，用规则的曲面取代实际上不规则的似大地水准面，必然会导致大地水准面的不规则变化，导致拟合后高程异常的精度降低、误差较大。
多重分形可通过高程值计算出高程局部异常的奇异性指数，通过奇异性指数得到多重分形Kriging插值和多重分形IDW插值的结果。
局部奇异性分析方法实际上是将样点高程值段的密度在分形空间中进行度量，以确定分形密度和分形维数。
奇异性指数是场值随量度范围大小的变化规律众多的空间插值基于对场值的某种滑动加权平均，公式如下：式中Q(xO, £是围绕中心点xO、半径为£的小滑动窗口。
？(||xO-x||)是对在Q (xO, £中与中心点xO相隔||xO-x|距离的任意点x的加权函数。
它往往与距离呈反相关。
加权函数的选择不仅与距离有关，还与场的空间性自相关以及处理目的有关。
成秋明［5］给出的多重分形方法将滑动平均关系表达为这里a (X0是X0点处的局部奇异性指数。
可以看出，以上表达式中不仅包含了空间相关性的成分，还有度量奇异性指数。
如果a(XO)=2那么通过该方法所计算的加权平均值与通常的加权平均无异。
然而，当处于高程差异较大地段而且局部地区具有奇异性，a (XO)<；2该方法所得的结果将高于通常的加权平均结果；相反，当高程值较低地段，a (xO)>2该方法所得的结果将低于通常的加权平均结果。
由此可见，该方法有利于加强峰谷值，对于具有奇异性的空间结构来说，传统的插值方法不能很好的估计出峰谷值。
指数a 对应分形空间维数，分形维数与正常的欧氏空间维数的差Aa二N(对于二维场)即可表示分形密度与正常密度的空间维数的差异，并通过ArcGIS软件计算得到奇异性指数。
1.2.4评价方法对于四种不同预测方法的优劣可以采用插值数据集和验证数据集进行评价［12］。
通过比较插值数据集相应点位高程的预测值和实际观测值可以评价预测结果的精度，而通过比较验证数据集中相应点位高程的预测值和实际观测值可以评价预测结果的准确性。
通常使用均方根误差来评价预测精度和准确性。
RMSE值最小，插值精度越高；反之越低。
RMSE的计算方法如下:式中，表示第i点的实际测量值，z(xi)表示第i点的插值结果，m为插值的样点数。
2结论与分析2.1 Kriging插值结果与分析克里格插值结果如图2所示，该区域西边和南部以为平原地区为主，平均咼程在2m左右，东部和北部以山丘地为主平均咼程较咼，有地方高程为大于100m,中东部较高地区峰值达到150m,总体显示地形也是较为平滑，峰与谷的显示不明显。
图中A处为研究区域高程值最大的地方，也是最能说明本研究多重分形插值方法对于局部奇异性刻画是否成功之处，本文将这里作为典型来说明。
其真实情况为2个相邻近的山峰，而此插值方法得出的结果图为一条高程带，该插值对于局部的刻画不够精确，有削峰填谷的效应，将本来高程高的峰值降低，高程低的谷值增加，说明克里格插值方法有平滑作用。
2.2 IDW插值结果与分析IDW插值方法得出的结果如图3所示，与克里格插值结果没有太大的差异，总体数据值比较相似：西边和南部以小部分为平原地区为主，平均咼程在2m左右，东部和北部以山丘地为主平均咼程较咼，有地方咼程为大于100m,最咼中东部较咼地区峰值达到150m,咼峰和低谷处较为不明显，成片的地区较多，整体看起来较为平滑。
以A 处为例，插值结果与克里格几乎一致，说明IDW插值方法也是有平滑作用，插值结果不能很好描述局部奇异性较大的地方。
以上两种插值方法的插值结果总体来看并无差异，插值结果与实测值的比较直观上也无较大不同，两种插值方法的总体精度较高，但是对局部奇异性地区的刻画均有平滑作用。
2.3多重分形插值结果与分析多重分形克里格插值方法结果图，西边和南部以为平原地区为主，平均咼程在2m左右，东部和北部以山丘地为主平均咼程较咼，有地方高程为大于100m,与克里格插值所部同的是低谷的地方更低，峰处值更高，总体显示地形较普通克里格插值方法峰与谷的显示更为明显。
从图2A处和图4A处可以直观地看出多重分形克里格插值方法对于两个山峰的描述较为精确。
多重分形IDW插值方法结果（图5）所示，西边和南部以为平原地区为主，平均高程在2m左右，东部和北部以山丘地为主平均高程较高，有地方高程为大于100m,与IDW插值结果图比较可以看出多重分形插值IDW法峰值点较多，可以明显的看出奇异性明显的地区。
图4A处和图5A处直观看起来，二者皆减弱了原本插值的平滑作用，对于两个山峰的描述较Kriging与IDW插值更精确。
2.4不同插值方法的精度评价评价指标Kriging 多重分形KrigingIDW 多重分形IDWRMSE10.16810.15010.62310.607 从上表可以看出，Kriging 插值方法的RMSE值为10.168精确程度，要高于IDW插值方法的RMSE 值10.623,多重分形IDW插值方法和多重分形Kriging插值方法的精确程度要分别高于IDW插值方法和Kriging插值方法。
评价结果说明多重分形插值的精度要略高于IDW插值方法和Kriging插值方法。
3结论通过上述的比较分析可以得出，反距离权重方法、普通克里格方法的插值结果均能较好地反映出研究区域高程空间分布的实际情况，并且总体精度较高。
多重分形插值方法与普通插值方法结果的高程分布趋势基本一致，通过对局部奇异性指数的计算，合理地强化了局部区域的估值结果，可以更好地表达整个地区高程的局部奇异性。
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