股票市场多重分形性的统计描述
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股票市场多重分形性的统计描述
苑莹庄新田
（东北大学工商管理学院，沈阳１１０００４）
摘要：以上海股票市场为例．运用多重分形谱方法对其多重分形性进行了实证研究。分析了 多重分形谱的两个参数（分形谱的宽度及最大、最小概率子集分形维数的差）与指数变化趋
势的关系。并进一步研究了多重分形谱参数与时间序列对数收益率的关系。结果表明多重分 形谱参数与指数的变化趋势及对数收益率具有明显的关联性，这说明多重分形分析能够揭示
更多关于市场变化的有用信息．有望以一定概率预测股价的涨落。
关键词：股票市场；多重分形性：相关性
引 言
金融市场是一个复杂体系，其运行规律很难被 理解和刻画。尽管如此．各国学者对金融资产价
格变化行为的探索却从未停止过。早期的传统金
融学认为价格的变化遵循随机游走，其分布服从 正态分布。然而人们通过实证研究发现．市场的 变化规律不是严格随机的．前后具有相关性。
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９６３）在对棉花价格的研究中发现棉 花的价差显示出时间标度的特征．并且提出资本
市场收益率服从一组称为稳定帕雷托分布的分形
分布［１１。之后Ｍａｎｄｅｌｂ ｒ（】ｔ＆Ｓｔａｎｔｅｌｖ（１９９５）首次将 研究复杂性科学的标度无关性方法引入到经济系
统中来，运用分形理论对标度无关性这一特征从 理论高度上重新进行表述［２１。此后．许多实证研
究都运用分形分析模型．如重标极差分析ｆＲ／Ｓ分
析）模型、Ｌｅｖｙ稳定分布模型等来对实际市场的
历史数据进行实证研究以确认标度无关性特征的
存在［３－５］。然而．这些模型虽然能够确认股指时问 序列的标度不变性，但是它们却不能够说明金融
时间序列中概率分布的标度变化。因为简单分形 只能抓住资产价格过程的某一方面特征．仅仅描 述了资产价格过程变化的一个宏观概貌和长期统
计行为．而并未考虑局部特征，对资产价格过程 的描述远远不够细致与全面．必然失去许多信息。
而多重分形是从系统的局部出发研究其最终整体 特征的方法．它主要借助统计物理的方法讨论概 率的分布规律。用多重分形理论刻画金融市场． 类似于用不同倍数放大镜和显微镜来观察同一事
物．使得对金融市场波动的分解更加细致．从而
可以得到有关价格波动的不同时问标度、不同幅 度的统计信息。它将复杂体系分成许多奇异度不
同的区域来研究，能分层次地了解复杂体系的内 部精细结构和所富含的信息．能够更加真实地描 述金融市场价格变化的复杂统计特征．被认为是
迄今为止最为全面的描述价格波动特征的模型．
它不仅囊括了已有的随机模型所描述的价格波动
特征，更预见了在这些模型中没有体现的价格波 动多重分形特性。Ｈ０（２００３）及Ｓｕｎ（２００１）等
人分别对台湾股票价格指数和香港恒生指数进行 了多重分形统计分析，确认了多重分形特征的存
在Ｍ－ｓ／。而且Ｓｕｎ等人进一步讨论了多重分形谱参
收稿日期：２００６—１１—０３ 基金项目：国家自然科学基金项目资助（７０３７１０６２）。 作者简介：苑莹，东北大学工商管理学院博士研究生；庄新田，东北大学工商管理学院教授，博士生导师。
ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ ＲＥＶＩＥＷ Ｖｏ１．１ ９ Ｎｏ １ ２（２００７、
３ 维普资讯 http://www.cqvip.com 数与当日及前日恒生指数变化的关系。从而得出
结论认为二者之问具有很明显的关联性。魏宇 （２００５）及周孝华（２００５）等人分别将多重分形谱
方法应用于沪深股市。并从不同角度对其进行了 有益的探讨。其结果具有一定的现实意义［９－１０］。
本文旨在研究上海股票市场的多重分形特性。 即找出股指变化与多重分形谱参数之间的相关关
系。为对股指进行预测提供一些实证证据。本文
首先运用多重分形理论对１９９０—２００５年间上证指
数每日收盘指数进行了实证研究。确认了上海股 票市场多重分形特征的存在。并进一步对２０００—
２００５年上证指数每５分钟收盘指数的高频数据进
行实证研究。分析了多重分形谱参数与指数变化、
对数收益率的关系。结果表明多重分形谱参数与 指数变化、对数收益率具有明显的相关性。
多重分形谱模型
将多重分形理论应用于金融分析中。则求解 多重分形理论的步骤如下：首先。将时间序列进
行归一化处理，用 表示： ／∑Ｐ ，并将归一
化后的时间序列分成时间长度为 的不重叠的时
间窗。其次，求出每个时间窗内（或盒子内）的 价位概率 （ ，该价位概率等于每个时间窗内所
有归一化后的时间序列的和。再次，选取适当的ｑ
值，通过 （ 计算ｇ的配分函数Ｍｑ（ 为：
Ｍｑ＝ （ （１） １ 其中，凡是时间长度为 的时问窗总数，ｑ是一∞
到＋∞上的实数。对于多重分形分布，配分函数随
时间长度服从如下的标度关系：
∞， （２）
根据式（２）可 做出相应的ＬｎＭｑ（ －ＬｎＴ曲线，
如果ＬｎｌＶｌｑ（ 随ＬｎＴ的变化有较好的线性关系，
说明此分布属于多重分形分布。ＬｎｌＶｌｑ（ －ＬｎＴ曲
线的斜率就是下（ｇ），从下（ｇ）中可以计算出多重
分形谱／（ ）。其计算公式如下：
ｄｑ［下（ｇ）］＝ ）
下（ｇ）：ｇ ） ） （３）
（４）
分形谱的宽度△ ＝ ～一 一表征了最大、最小概率
问的差别。相应的最大、最小概率子集分形维数
的差别Ａｆ＝ｆ（ （ 惴）反映了高低价位出现频
ｌ４管理谇论Ｖｏ１．１９ Ｎｏ．１２（２００７） 率的变化。
数据选取及模型中参数的选择
１、数据的选取
（１）对上海股票市场存在的多重分形现象进
行研究。选取了１９９０年１２月１９日一２００５年１１月 ３０日上证指数每日收盘指数。共计３６７２个观察数
据。
（２）对多重分形谱参数与指数变化关系的研
究。选取了２０００年１月４日一２００５年１１月３０日
上证指数每５分钟的收盘指数。共计６６０００个观 察数据。
２、参数的选择
（１）ｑ的选择：理论上的ｑ范围越大越好，但 实际计算中，ｑ增大到一定程度时计算机的工作量 成倍增加会发生溢出性错误。然而口的范围如果
过小，Ｊ ｇ Ｊ每增加１时，ｆ（Ｏ／）的变化仍较大，这
时得到的厂（Ｏ／）只是分形谱的一部分，不能全面反
映研究对象的概率分布。因此，应该根据不同的
数据选取合适的ｑ值。本文在对每日数据进行研
究时， Ｊ ｑ Ｊ最大取６０，并在【．＿６０，６０】之间以
１５为间隔取得９个口值。而在对每５分钟数据进 行研究时，由于指数变化较小，Ｊ ｑ Ｊ取得较大，
最大为１６０，并在【．＿１６０，１６０】范围内以４０为问
隔取得９个口值。
（２） 的选择：根据每日数据和每５分钟数据
的不同。选择时间长度 分别为２ 、２ ２．…．２ 。及１、
２、３、４、６、８、１２、２４、４８天。
实证研究结果
１、上海股票市场的多重分形特征
图１ ｆａ１是１９９０年１２月１９日一２００５年１１月
３０日上证指数每日收盘指数所对应的多重分形谱 ＬｎＭｑ（ ～ＬｎＴ图形。在ｌｏｇ—ｌｏｇ图形中，它反映
了不同ｑ下的眠（ 与 的标度关系。从图１（ａ） 可以看出， （ 随ＬｎＴ的变化具有良好的线性 关系。说明上海股票市场存在着多重分形现象。
图１（ｂ）是通过图１（ａ）中不同ｇ条件下的
（ 与ＬｎＴ的斜率得到的下（ｑ）～ｑ图形，从图中可
以看出该图形是非线性的，印证了多重分形特征
的存在。进一步地，通过公式（３）、 （４）得到．厂
（Ｏ／）～Ｏ／图形，如图１（ｃ）所示。图中所示，Ｏ／的
值是以一个标度范围（０．８２—１．
５１）为特征的，且 维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ ｜ ； 盒 彀 营 璺薯ｊ。
Ｌｎ （ａ）Ｌｎ肘 （７）ＮＬｎＴ ｑ （ｂ）Ｔ（ｑ）－ｑ
图１多重分形谱图形
整个标度范围都大于０．５，这不但说明了该时间序
列具有长记忆性的分形特征．而且还刻画了不同 幅度波动下其标度指数也不同的多标度特征，说 明用简单分形模型来描述该股票市场是不充分的，
而应该运用多重分形模型。 ２、多重分形谱参数与指数变化的关系
４５０ ３５０ Ｖ ２５Ｏ １５０ ５０ ｄａｙ ｆａ１日收盘价趋势图
Ｏ．Ｏ３ ０．０２５ Ｏ．Ｏ２ ０．０１５ ｑ ０．Ｏ１ ０．００５ Ｏ ｄａｙ ｆｂ１口指数波动的方差趋势图
ｄａｙ （ｃ１日多重分形谱参数△ｑ趋势图 ０ ０
０ ０ ＯＬ （Ｃ）‘厂（ ）～
ｆｄ１日多重分形谱参数Ａｆ趋势图
图２指数变化、日指数波动方差、日多重分形谱参数 ＡＯｔ及Ａｆ对照图
从图２可知，日多重分形谱参数△ 分布与方
差分布具有统计上的相似性，同时，当价格发生
大幅波动时，日多重分形谱参数Ａｆ也有相应的反
映，且△厂还指示了价格波动的相对高低趋势和波 动方式。
进一步地，为了更好地刻画多重分形谱参数 与股价指数之间所蕴含的关系，选取两天对其进
行多重分形谱的比较，阿３（ａ）、 （ｂ）分别是
２０００年１月１１日和２０００年１月１２日上证指数每
５分钟的收盘指数变化趋势图，每日共有４８个数
据。设一天之中的最高指数为ｐ～，，最低指数为
Ｐ…，１月１１日的指数最大变化为７３．１２（ｐ一一
ｐ￣，，＝１５４３．４３—１４７０．３１），而１月１２日指数的最大变 化为５１．９３（１４８７．１６—１４３５．２３）。在ｐ＝（ｐ～＋ｐ ｎ）／２
处可画一条直线，如图中虚线所示。图３（ａ）中 指数曲线多数在虚线以上，图３（ｂ）中指数曲线多
数在虚线以下
图４（ａ）、 （ｂ）分别是图３（ａ）、 （ｂ）所对 应的多重分形谱图形。从图中可以看出其各自对
应的多重分形谱的宽度和形状各不相同。如１月
１１日的宽度（△ ＝０．０１４）比１月１２日的宽度
ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ ＲＥＶＩＥＷ Ｖｏ１．１９ Ｎ０．１２（２００７）
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分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.
分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.
姚⼯讲分形（1）：分析分形是市场分析的必经之路（1）
发布时间：2018-05-04 ⽂章来源：量学⼤讲堂 受“最⼩努⼒原则”的制约，⼈们⾯对复杂问题总是⽤⼀种简化的办法进⾏线性化处理。这虽然不是很精确，
但也能满⾜当时⼈们的需求。遗憾的是这种措施仅能解决⼈们⾯对世界的⼤约5%左右的问题，现在⼤学的课程
花费95%的时间学习的就是这种解决问题的知识。
随着社会的发展，⼈们不得不⾯对像⽣命系统，社会系统以及⽓象预报，⾦融市场分析这类复杂系统的，看
似带有随机性的复杂问题。⾯对这类问题，像以前那样地简化，线性化的处理⽅法是⾛不下去了！这使得⼈们
对现实世界的认知彷徨了相当长的⼀段时间。直⾄上世纪60年代后期伴随着⾮线性动⼒学研究的进展，⼈们先
后发现了耗散结构理论，混沌理论和分形理论。这些前沿科学理论的相继发现对⼈们的世界观和⽅法论形成了
巨⼤地冲击，使⼈们对真实的⾮线性世界的认知发⽣了⾰命性变⾰。
市场分形分析⽅法就是在这种背景下逐步出现的。美国⼈的脚步⽐较快，⽐尔.威廉姆先⽣⾸先出版了《混
沌操作法》，此书离分形分析还⽐较远，但是它论述了⾦融交易市场是⼀个混沌系统，以及市场价格沿着最⼩
阻⼒⽅向运⾏。这对⼈们认识市场是有帮助的；埃德加E⽐德斯先⽣写了⼀本书《分形市场分析》，这本书距真
正的分形分形进了⼀⼤步，因为它的时间序列R/分析从数理上证明了“市场是有长期记忆功能的”，这可是个不得
了的结论，对⾦融交易分析产⽣了巨⼤影响；曼德博罗先⽣是分形⼏何的祖师爷，他通过“曼德博罗集合”向世⼈
展⽰了黄⾦分割率及其衍⽣⽐率是⾃然界客体向前演进过程中遵循的⼀种⼗分重要分形维度，是⼀种极其普遍
的⾃然现象。这也对⾦融市场分析产⽣了重⼤影响！
⼀度风靡世界的“⾼频交易”就是俄罗斯⼈应⽤分形分形的杰作。
现在看来分形市场分析是正确解读市场的必经之路。
另：请参阅《⼈类⾏为与最⼩努⼒原则——⼈类⽣态学引论》
基于重标极差分析法研究上海股票市场个股的分形特征
辽宁经济管理干部学院学报 ２００９年第１期 基于重标极差分析法研究上海股票市场个股的分形特征 林岩 （辽宁省沈阳交通征稽局，辽宁沈阳１１ ０１４１） 摘要：利用Ｒ／Ｓ方法分析上海股票市场天目药业和青岛海尔两只股票的开盘价、收盘价、最高价、最 低价、成交额和成交量的分形特征，研究表明：同一支股票的价格分形维数和循环周期相同，同一支股票的 成交额和成交量的分形维数不相等但具有相同的循环周期。股票具有三个分形维数，成交量的分形维数最 大．成交额的分形维数次之，价格分形维数最小。 关键词：股票；重标极差分析法；分形维数；价格：成交额：成交量 中图分类号：Ｆ８３０．９１ 文献标示码：Ａ 文章编号：１６７２—５６４６（２００９）Ｏ１一Ｏ０ｌ８—０２ 一、引言 肇干线性思维的有效币场假说一直是资本市场理论的基 石，．该假说认为金融市场的价格变化服从随饥游走过程，即 价格变化足 仑随机的。在时间和空问上互不相关 然而． 实际的金愈资产价格并非服从完美的ｉＦ态分布．多数实证研 究史献结果表明．股票、债券、汇率、期货和期权等金融产 品及金 衍生产品的价格波动并不完全服从随机游走，呈现 出尖峰胖尾的特征。 分形理论在处理尖峰胖尾的优越性使其在金融理论和实 践中越米越受到重视 Ｐｅｔ￣：ｌ ｓ ｉ ’用分形分 取代正态分布， 建 丁分彤ｉ：ｔｉ场似说．．利用ｌ９２８年 ２０００年美国股票＿『ｆｊ场 日收艋价数据，￣ｎｄｒｅ（１ｉｓ等ＩＺｔ运婀统计学利系统动力学删论 ＿ｒ天国Ｈ殳票市场具有多重分形结构 Ｓｃｈｍｉｔｔ等１３１也分 衍丁美元和法朗汇率的变化，指出汇率变化服从分形分布。 近年来，我国学者也开展许多殴票市场的波动性方面的研 究 何建敏等 利用概率密度函数分析了中国股票市场价格 波动的尺噬特点，指｝Ｈ我国股禁＿『ｆＪ场存 一千叶 复杂的多尺腰 特性 苑苇等１５１运用自相关、功率谱、盒维数及多重分形谱 方法研究丁｝二证指数时 列．提出ｆ：坶股票市场的多标度 持性是岐祟市场信息倍增级联过程的结果。赵巍等㈦采Ⅲ多 分形的统汁物理方法．研究 上证综合指数四年的一一分钟 高频数据， ‘弹＿ｒ 际交易数据的多重分肜谱及特，征参数。 陈梦根 １、泡荚㈦等利用Ｉｔ 方法分析了深圳和上海两个股 巾场侄不同时问标 下的收益率序列的Ｈｍ ｓｔ指数和 均 循环Ｋ ，晚明了中旧股票ｒｆｆ场足分形市场．． ｜ｒ Ｓｉｎ，，ｆｉｎ公司提供上海股祟市场１９９９年天目药业和青 岛孵尔两只股票的开盛价、收盘价、最高价、最低价、成交额 乖ｊｊ成突量的５分钟高频数据，运用Ｒ／Ｓ分析方法对股票进行整 体分形结陶的描述，揭示了股票价格、成交额和成交量之间 的分肜持点及其循环 期特征，以探求市场价格形成机制， 为我｜日股票ｒ 场的风险箭理和价格预测等问题提供参考 二、分析模型 １．ＩＶＳ分析法。ＩＵＳ分析法．即重标极差分析法，是英 圜水文学家ＨｕｒｓｔＩ Ｉ往研究尼罗河水坝工程时提出的方法 ， 聍米．它被广泛７、 川ｆ分沂各种时间序列以便区分完全随 饥时间仔列和分肜时间序列 ．对ｆ一个长腹为 的时 序 列Ｘ（ ｌ， ｊ，Ｒ／Ｓ分忻方法的基本步骤如Ｆ： ．１８． （１）将上述时间序列转化成ｉｎ个时间窗，时间窗长度为 ｎ。一般１０≤ｒ／ Ｎ／２， ＝ｉｎｔ（Ｎ／ｉｖ／）。 （２）对于每一个时间窗，计算股票时间序列的均值 ＝ 喜 和方差 ： （３ Ｊ对于每一个时间窗， √ 喜ｃ 一 汁算相对于均值的累积离差 ＝∑（ 一 ）（ １，，７） ｊ＝ｌ （４）对于每一个时间窗，计算檄差 Ｒ＝啤ｘ（ ）一呻（Ｙ ） １． ｌ－月 （５）对每个时间窗，其极差通过其相应的方差进行重新 标爱，因此对于时闭标度为１１来等分时间序列的Ｒ 的均值为 ： ｍ々＝ｓ （６ Ｊ取不同的ｎ来划分时间衡，可得到不同的Ｆ值。 根据统计学的结果，一个时间厂子列的重标极差和与时间窗长 度之『日Ｊ满足 ’： ｎ 利用最小二乘法对上式做回归分析可得如下线性关系式 ｌｎ（ ）＝ｉｎ（ｃ）十Ｈ・Ｉｎ（ ）ｒ其中 是常数，Ｈ即为 Ｈｕｉ・ｓＩ数。 ２．Ｈｕｉ ｓｔ指数 Ｈ１ ｓｔ指数的伍一般在０和１之问。以 【）、５为间隔，时间序列在不同的区间表现出不同的性质。 （１）当０．５＜Ｈ＜１时，原序列俘任特久性利连续性，即长期 记忆性，现在对未来产生正向的影响。（２）当Ｈ＝０．５时， 该过程为随机游走过程，事件前后互不关联。（３）当０＜Ｈ ＜０．５时．原序列具有反持久性， 如果一个序列前期是向 上走的，那么它在下一期间则倾向于向下走。这种时间序列 比随机厂子列更具有突变性。 ３．Ｖ统计量的计算及周期长度 计算ｖ统计量的目的在 于找到周期长度，计算公式为 Ｆ ——＝ ，？ 对于随机序列，统计量Ｖ—ｌｎ（ｎ）曲线呈平坦的，则其序列 为随机序列 、如果序列＿俘在反持久性，则统计量Ｖ一】ｎｆｎ）曲线 向下倾斜。如果 列存在长期记忆性，统计量Ｖ—ｈ１（ｎ）曲线向 上倾斜 ，统计量Ｖ—ｌｎ（ｎ）曲线的拐点对应的值即为周期长度。
上海股票市场分形特征的动态研究——基于R／S分析
上海股票市场分形特征的动态研究
摘要：本文通过Ｋ／Ｓ分析方法计算出上海股票市场不 同发展时期的Ｈｕｌ＇Ｓｔ指数．进而对市场的分形结构进行了实
证研究。研究结果表明，上海股票市场在不同时期其分形结
构存在一定程度的差异。
关键词：Ｒ／Ｓ分析；分形特征；分形结构
一、引言
目前世界上大多数国家股票市场的实践都证明股票收
益率分布具有尖峰肥尾以及存在长期记忆效应等特征．传
统的有效市场理论显然已经不合时宜．学者们在非线性分
析思维的启示下．提出了与有效市场理论相对应的分形市
场理论．其代表人物有Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ和Ｅｄｇａｒ Ｅ．Ｐｅｔｅｒｓ等。
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９６４）对资本市场的统计特性进行了开创性的探
索．创立了分形几何学，提出了分形理论，Ｐｅｔｅｒｓ（１９９４）在
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ的基础上进一步对资本市场统计特性进行了研
究．提出了分形市场假说（简称ＦＭＨ），该假说认为股票价
格的变化具有记忆以往历史的特征．是一种“有偏的随机游
走”．这个过程高度依赖于初始时的条件，即今天所发生的
一切将一直影响将来．不管以什么时间进行标度，这种长期
记忆都存在 它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，
并认为所有稳定的市场都存在分形结构。利用整体数据，运
用Ｒ／Ｓ分析方法估计出Ｈｕｒｓｔ指数进而对市场进行静态研
究．对市场非线性特征的动态变化状况较少反映，鉴于此，
本文拟将观测数据根据股市发展进程中的一些重大事件划
分成若干阶段．然后对每个阶段分别运用Ｒ／Ｓ分析法计算
出相应的Ｈｕｒｓｔ指数及其非循环周期以试图找出我国股市
发展所呈现的动态变化规律。
二、研究方法
本文首先利用偏度、峰度以及雅科一贝拉（Ｊａｒｑｕｅ—Ｂｅ—
ｒａ）、柯尔莫哥洛夫一斯米尔诺夫（Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ—Ｓｍｉｍｏｖ）方法
进行正态性检验．运用Ｑ统计量进行相关性检验．这些方法 在很多统计学教材中已有详细介绍．这里不再赘述，下面我
我国股市运行的分形特征及与幂律关系的实证研究
我国股市运行的分形特征及与幂律关系的实证研究
钟春仿，佟孟华
（东北财经大学数学与数量经济学院，辽宁大连１１６０２５）
【摘 要】在对我国股市上证指数在暴涨暴跌期间的数据进行分形分布参数拟合估计的基础上，对我国股市的分形特 征进行了多角度分析。为了弄清上证指数各项统计特征之间的内部联系，文章从幂律分布的生成条件作为问题的切入口．层
层深入，最终对上证指数分形特征的形成机理给出了一般总结：即上证指数呈指数增长或从小到大排序后呈指数增长是导致
其对数收益率服从分形分布的根本原因。文章的结论为全面认识分形的形成机理提供了一个崭新的视角。
【关键词】 上证指数；分形；长尾分布；幂律
【中图分类号】Ｆ８３２．５ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１００４—２７６８（２００９）０８—００６６—０３
一、导论
自从２０世纪６０年代到７０年到中期，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ的一系列
研究ｌｌＩ＿ Ｉ提出分形［５１概念以来，分形理论得到了全面快速发展，
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ也成为分形理论之父。经过三十多年的发展，分形和
分维的概念早已从最初所指的形态上具有自相似性质的几何
对象这种狭义分形，扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具
有自相似性质的广义分形。严格来说．在广义分形的意义上，分
形尚没有形成一个确切的定义。但按照Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９８６）的定
义，分形即“如果一个图形的部分以某种方式与其整体本身相
似，这个图形就称为分形”，这是分形的最初的也是最基本的定
义。本文并不涉及广义ｔ的分形，所以Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ的分形定义
足以描述本文要探讨的问题。分形的这种白相似性按照数学语
言来说就是标度不变性。时至今日，人们发现分形广泛存在于
自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域，
提供了一般的科学力怯和思考方式，有着高度的应用普遍性。
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ早期研究的跟分形有关的问题是研究通讯中的
噪声和词频的分布，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分
多元时间序列的多重分形-概述说明以及解释
多元时间序列的多重分形-概述说明以及解释
1.引言
1.1 概述
引言部分的概述内容可以包括以下几点：
1. 多元时间序列是指包含多个时间序列的数据集合，这种数据结构在许多领域中都有着重要的应用，如金融、气象、医学等领域。
2. 多元时间序列具有不同的特点，包括多维度信息、相关性和协整性等，对其进行分析可以帮助我们深入了解数据背后的规律和趋势。
3. 多重分形是一种用于描述复杂系统自相似性的数学工具，可以帮助我们揭示数据中隐藏的规律和结构，从而更好地预测未来发展趋势。
4. 本文将介绍多元时间序列的多重分形分析方法，探讨其在数据分析和预测中的应用，为读者提供一个全面的了解和认识。
1.2文章结构
1.2 文章结构
本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们将会对多元时间序列和多重分形进行简要介绍，说明本文的研究目的和意义。
在正文部分，我们将会详细介绍多元时间序列的概念和特点，多重分形的基本概念和原理，以及多元时间序列的多重分形分析方法。通过这些内容的阐述，读者将会对多元时间序列和多重分形有一个全面的了解。
在结论部分，我们将对本文的研究进行总结，探讨多元时间序列的多重分形研究意义，展望未来的研究方向，并得出结论。通过这一部分的内容，读者将能够更好地理解本文的主要研究内容和结论。
1.3 目的:
本文旨在探讨多元时间序列的多重分形特性及其分析方法，通过对多元时间序列和多重分形的基本概念和原理进行介绍，深入探讨多元时间序列的多重分形分析方法。通过研究多元时间序列的多重分形性质，我们可以更好地理解其内在规律和特点，为解决实际问题提供有力的理论支持。
通过本文的研究，我们可以更好地了解多元时间序列的多重分形特性，探讨其在金融、气象、生态等领域的应用，并为未来相关研究提供参考。希望通过本文的分析，能够为多元时间序列的多重分形研究提供新的视角和思路，促进相关领域的发展和创新。
2.正文
纽约原油期货市场多重分形特征研究
第７卷第１期 西北农林科技大学学报（社会科学版） ２００７年１月 Ｊｏｕｒｎａ１ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ａ＆Ｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｏｃｉａ１ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．７ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２００７
纽约原油期货市场多重分形特征研究
谭庆美，吴金克
（天津大学管理学院，天津３０００７２）
摘 要：利用多重分彤消除趋势分析法（ＭＦ—ＤＦＡ）对纽约原油期货日收益率时间序列进行分析。发现妞约原 油期货市场具有明正的多重分彤特征。进一步的分析表明，纽的原油期货市场的多重分形特征不仅与长程相关性 和胖尾分布有关，还受其他因素的影响。 关键词：妞约原油期货；多重分形・ＭＦ—ＤＦＡ，广义Ｈｕｒｓｔ指数 中图分类号：Ｆ８３０．９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９－－９１０７（２００７）Ｏｌ一００８４一Ｏ４
Ｔｈｅ Ｍｕｌｔｉｆｒａｅｔａｌ Ｆｅａｔｕｒｅｓ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ Ｏｉｌ Ｆｕｔｕｒｅｓ Ｍａｒｋｅｔ
Ｑｉｎｇ－ｍｅｉ．ＷＵ Ｊｉｎ－ｋｅ ｛＆ｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ。他 ｉｎ Ｕｎｉｗｒｄｔｙ．Ｔｉａｎｊｌｎ ３０００７２．Ｃｈｉｎａ｝
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｒｅｔｕｒｎ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ ｏｉ１ ｆｕｔｕｒｅｓ ｍａｒｋｅｔ ｉＳ ａｎａｌｙｚｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉｆｒａｅｔａｌ ｄｅ－
ｔｒｅｎｄｅｄ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ（ＭＦ－ＤＦＡ）ｍｅｔｈｏｄ－ｔｈｒｏｕｇｈ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｈａｓ
ｂｅｅｎ ｆｏｕｎｄ．Ａｎｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｉｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｌｏｎｇ－ｒａｎｇ
ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｈｔ ｔａｉ１ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ。ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄ ｂｙ ｏｔｈｅｒ ｆａｃｔｏｒｓ．
深圳股票市场波动的尺度特性
辽宁经济管理干部学院学报 ２００８年第１期
深圳股票市场波动的尺度特性
林岩
（辽宁省沈阳交通征稽局，辽宁沈阳１１ ０００３）
摘要：采用盒维数法分析深圳证券交易所股票价格、成交量和成交额的波动特征。研究表明，深圳证
券交易所上市的股票具有明显的分形特征；单支股票的价格、成交量和成交额的分形维数并不相等；当选取 不同的时间尺度时，股票的分形维数会发生变化。 关键词：深圳股票市场；波动尺度特性；盒维数法；分形特征；分形维数：结论
中图分类号：Ｆ８３０．９１ 文献标示码：Ａ 文章编号：１６７２－５６４６（２００８）０１—００１４—０２
一、前言 有效市场假说（ＥＭＨ）是经典金融理论的重要基础。随
着人们对金融市场的深入研究，发现简化的线性理论无法准
确地揭示金融市场的复杂波动特征，因此，人们转而求助于
非线性的分析方法来研究这类问题。
作为一种有效的分析非线性系统的方法，分形在金融问
题的研究中发挥着越来越大的作用… ＂Ｉ。ＭａｎｔｅｇｎａＩ 】通过研
究金融市场的多标度现象发现了不同幅度的波动具有不同的
标度关系，这表明在考虑方差的变化时应考虑不同的标度行
为。ＳｃｈｍｉｔｔＩ １考察了美元和法国法郎汇率改变量的ｑ阶矩结 构函数，指出汇率变化是一个多重分形过程。运用统计学及
系统动力学理论，Ａｎｄｒｅａｄｉｄ １分析了美国股票市场于１９２８
年至２０００年的日收盘指数，提供了美国股票市场具有多重
分形结构的有力证据。Ａｌｖａｒｅｚ—Ｒａｍｉｒｅｚｔ’１采用多重分形分析 方法研究了国际原油价格，发现存在和星期和季节有关的两
个时间尺度。王德佳１８利用功率谱分析、相空间重构和多分 形理论等方法，分析了上海证券综合指数时间序列，证明了
股票价格波动是一个既具有周期过程，又具有拓扑不变性的
混沌过程的混合过程。徐绪 。１采用径向基函数神经网络方
法分析了上证综合指数的分形维数，指出上海股市的最小嵌
入维数为６，验证了股市分形维数在２—３之问。李庆 一Ｏｌ采
多重分形谱程序
多重分形谱程序
多重分形谱（multifractal spectrum）是一种用于描述分形几何结构的方法。分形几何是一种利用自相似性原理描述物体或图形的数学模型，具有在各种尺度上都具有相似性的特征。多重分形谱可以揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征，从而更全面地理解其内在结构。
多重分形谱的基本思想是通过计算不同尺度下的分形维数，从而得到一个描述分形结构的谱。该谱可用于分析各个尺度上的分形特征，如分形维数量化了分形的粗糙程度和纹理的丰富性。通过分析多重分形谱，可以揭示材料、图像等领域的复杂结构和非线性行为。
多重分形谱的计算步骤如下：
1.选择一个合适的分形特征：多重分形谱适用于描述具有不同分形特征的物体，如分形纹理、分形信号等。
2.确定尺度：通过改变分析尺度，可以得到不同粗糙度下的分形特征。通常使用尺度区间来表示不同的尺度。 3.计算分形维数：选择一个分形维数测量方法，如盒计数法、分形能量法等，计算不同尺度下的分形维数。
4.构建多重分形谱：将得到的分形维数按照尺度进行排序，并绘制成图谱。多重分形谱通常呈现出一个上升或下降的曲线，反映了分形结构的变化趋势。
多重分形谱广泛应用于物理、材料科学、地质学、图像处理等领域，例如分析复杂材料的纹理特征、识别图像中的纹理类型等。它不仅可以在定性上描述物体的分形特征，还可以量化分形结构的不同方面，如分形维数的变化范围、分形结构的复杂程度等。
多重分形谱在实际应用中也面临一些挑战和限制。首先，计算多重分形谱需要大量的数据和计算资源，对于大规模数据和高分辨率图像可能存在计算效率问题。其次，选择合适的分形维数测量方法对结果的准确性和可靠性有着重要影响，需要根据具体问题选择适合的方法。
总之，多重分形谱是一种重要的分形分析方法，能够揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征。通过分析多重分形谱，我们可以更全面地了解分形结构的内在性质和复杂行为，为材料科学、图像处理等领域的研究提供了一个有力的工具。
经济政策不确定性对股市、债市和基金市场动态相关性的影响——基于DCC-MIDAS_实证
/ 145CHINA MANAGEMENT INFORMATIONIZATION2023年10月第26卷第20期中国管理信息化China Management InformationizationOct.,2023Vol.26,No.20经济政策不确定性对股市、债市和基金市场动态相关性的影响——基于DCC-MIDAS实证马奕虹，蒋小莲（桂林电子科技大学 商学院，广西 桂林 541004）［摘 要］文章采用GARCH-MIDAS（以下简称G-M）、DCC-MIDAS（以下简称D-M）模型，探讨股票、债券和基金市场的动态相关性及经济政策不确定性（Economic Policy Uncertainty Index,EPU）对相关性的影响。结果表明，股市与基市具有高度长短期正相关性；债市与股市、基市相关性较小，且呈现大幅波动和频繁正负转换趋势，短期相关大于长期相关。EPU指数对股债基两两长期相关有显著正向影响。［关键词］动态相关；经济政策不确定性；GARCH-MIDAS；DCC-MIDASdoi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2023.20.047［中图分类号］F832.5 ［文献标识码］A ［文章编号］1673-0194（2023）20-0145-040 引 言随着金融市场一体化及我国金融体制改革的不断深化，金融市场间信息传导、市场运作和资金轮动效率得到极大提升，“蝴蝶效应”显现，联动性趋势增强。考察不同金融市场间联动性具有重要理论价值和现实意义，对投资者优化资产配置、理性投资决策，监管机构进行有效监管，政府预判政策效果都具有较强的指导意义。我国正处于经济体制转型升级的关键阶段，经济政策调整比较频繁，投资者情绪常常受到舆论及政策影响，进而影响其预期及投资决策。在政策不确定性飙升时期，金融市场波动剧烈，偏好“避险”的投资者常将资产转移到风险较小的市场。经济政策不确定性会对金融市场间相关性产生重要影响。股票、债券和基金是最常见的资产配置方式，很多文献研究其收益率波动及相关性特征。其中，股债相关性研究比较成熟，其时变特征及正负波动规律已达成共识。而基金作为重要机构投资者，在投资决策上也与股市和债市存在千丝万缕的联系。目前，综合考虑股债基市场相关性的研究还不多见，如白（Bai） 等人［1］运用多重分形方法，发现股基市场相关性要强于股债和债基市场。多数研究基于收益率总体波动展开，无法准确区分相关性是由宏观基本面导致的长期成分，还是受到投资者非理性行为导致的噪音（短期成分）。科拉西托（Colacito）等人［2］提出混频D-M模型，将市场间相关分解为长期和短期成分，后又扩展为可纳入外生变量的D-M-X模型。雅雅·奥斯（Yaya O.O.S）等人［3］运用G-M和D-M模型发现贵金属对石油需求和供应冲击具有套期保值潜力，石油与贵金属间存在显著动态相关性。周长锋等人［4］发现，上海股基市场高度正相关；债市与股、基市场相关性呈现大幅波动和频繁正负转换形势。周开国等人［5］同样采用这个模型发现工业增加值、货币供应量M2负向影响金融市场关联性，经济政策不确定性和通货膨胀则相反。综上，混频波动率模型能更好地捕捉高频数据短暂信息变化，充分挖掘样本信息，不仅可以分解波动及条件相关的长短期成分，还可以考察外部冲击对收益波动及相关性的 影响。本文借鉴上述模型，选取有效样本研究我国股债基市场长短期动态相关时变特征及经济政策不确定性对其的影响。首先简单介绍模型，其次进行样本选取与描述性统计，再次研究基准动态相关性时变特征，最后探讨经济政策不确定性对长期动态相关性的影响。［收稿日期］2023-04-06［基金项目］广西高校中青年教师科研基础能力提升项目 “政策不确定性对股票、债券和基金相关性影响研究”（2020KY05003）。［作者简介］马奕虹（1980— ），女，广西桂林人，博士， 讲师，主要研究方向：金融计量（通信作者）。146 /
分形理论在期货交易中的应用
分形理论在期货交易中的应用
首创期货 杜鹏
摘 要：本文对近年国内外分形理论在期货研究中应用的新进展作了综述，介绍了分形的概念以及分形理论在期货市场中的应用方法。提出了当前相关研究中所遇到的问题，及今后分形理论在期货研究中的发展方向。
关键词：分形理论；R／S分析；Hurst指数; 分形维，李雅普诺夫指数；多重分形谱;
一、 分形与分形市场理论
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无章的几何对象。分形体具有一些共同的特征，如自相似性、标度不变性、长期记忆性、分形维以及局部随机性与整体确定性共存。
分形市场理论(FMH)是分形理论在金融市场中的具体应用，对有效市场理论进行了有力的扩展，对有效市场理沦无法解释的实际现象进行了比较好的解释。分形市场理论认为大多数资本市场价格走势实际上是一个分形时间序列，分形时间序列是以长期记忆过程为特征，具有循环和趋势双重特征。分形市场理论为我们提供了确定目前价格走势与未来走势的一种方法，从而提高我们的交易效率。同时其与证券组合理论、资本资产定价研究、套利定价研究、期权定价研究以及金融风险的规避策略等等理论的结合，也为我们应用现有的技术手段重新审视资本市场这个复杂的非线性动力学系统提供了有效的方法。同时，我们可以应用分形与混沌理论从复杂多变的价格变化结果中找到有序的过程，反过来我们就可以利用这种过程的有序性来分析和预测资本市场复杂多变的结果，并进一步指导投资者的交易过程。
二、 分形理论在期货市场中的研究现状 分形理论作为一门新兴的边缘学科，发展相当迅速，在各学科领域中得到了广泛的应用并取得了许多重要成果。近年来，国内外学者对应用分形理论对国内国外期货市场进行了尝试性的研究，并取得了初步的进展。例如，王军慈，张艳丽(2006)对国内外大豆期货价格时间序列进行分形诊断，得出了国内期货市场效率相对较低的结论；何凌云、郑丰（2005）分析了国际原油价格系统中存在的分形特征，得到了不同时间标度下原油价格的Hurst指数，并得到了长程记忆的非周期循环长度；王铮、梁林芳通过对伦敦黄金市场价格时间序列的分析，得出其Hurst指数和其平均的循环长度；黄光晓、陈国进（2006）通过对1993—2004年伦敦金属交易所(LME)3月铜期货价格的非线性特征分析，得出LME3月铜期货价格的时间序列具有分形特征，其Hurst指数为O.563，具有一个200周左右的非周期性循环。同时指出，Hurst指数和长期记忆周期可作为风险分析的参考指标，以弥补方差分析中时间信息的缺失；谭庆美、吴金克（2007）利用多重分形消除趋势分析法(MF－DFA)对纽约原油期货日收益率时间序列进行分析，发现纽约原油期货市场具有明显的多重分行特征；李建功（2004）利用G—P法计算了上海期货交易所铜期货和约的价格时间序列的关联维，并通过分析证明了其价格波动的混沌过程，从而也验证了中国期货市场存在混沌现象。