第三章 分形和多重分形
多重分形
基于多重分形与傅里叶描 述子的人脸识别研究
---韩涛
测试图像
预处理1 （多重分形） （傅里叶 描述子）
处理2 降低特征数 分类器
训练库
分类器的选取
比较直接也比较常用的分类方法是选择与待 分类对象距离最近的样本的类别为待分类对 象的类别。此方法构建的分类器即是最近邻 法分类器(Nearest Neighbor Classification , NNC)。设x, y为n维特征空间中的两个点。
2 d ( x, y ) || x y || ( xi y i ) i 1
简化轮廓线
因为从额头到鼻子，再到下颌已经包含了重要的面 部信息。 （1）选取鼻尖为大致中心点，保留额头区至下颌 区的轮廓线。（鼻尖点即为轮廓线上i值最大的点） （2）因为图像采取是受控源，下颌区大致位置在 图像的1/8左右区域，以此区域寻找轮廓线上点的切 线为45度的点。 以下颌点与鼻尖点为初始点以一定比例构造直角闭 合曲线。（达到与前方轮廓线构成闭合曲线的目的）
表示与描述
对一幅图像分割之后，接下来通常要对分割
区域加以表示与描述，以便使“自然状态的 像素”更适合计算机处理。 这里我们对性质特征感兴趣，采用了用于区 域处理的边界描述子—傅里叶描述子
傅里叶描述子
傅里叶描述子已在二维形状识
别中广泛应用。任何闭合的二 维曲线都可以用傅里叶描述子 来描述。由于曲线是闭合的， 该函数是以闭合曲线长度为周 期的周期函数。
n
1/ 2
第三章-分形
M (< r ) r θ =( ) M0 r0
dN ∝ r
− D −1
dr
dM ∝ r θ −1 dr
r − D −1 dr ∝ r θ − 4 dr
θ = 3− D
第五节、 第五节、分形理论的应用 1、尾砂碎体分形
第 五 节 分 形 理 论 的 应 用
第五节、 第五节、分形理论的应用 1、尾砂碎体分形 、
第 五 节
分 形 理 论 的 应 用
尾砂分级是采用水力旋流器将细粒尾砂部 分分离，其原理类似于河沙沉降， 分分离，其原理类似于河沙沉降，粗颗粒沉速快 而被保留，细颗粒(细泥 被溢流带走。 细泥)被溢流带走 而被保留，细颗粒 细泥 被溢流带走。实践证明 河沙是一种自相似体， 河沙是一种自相似体，分级尾砂与河沙的形成机 理相似，具有自相似特性， 理相似，具有自相似特性，可采用分形理论研究 其颗粒分布特征。 其颗粒分布特征。 碎体分析中，使用最广泛的是幂指数关系， 碎体分析中，使用最广泛的是幂指数关系，包 含尺度r的颗粒数目与r之间满足如下关系
第五节、 第五节、分形理论的应用
第 五 节 分 形 理 论 的 应 用
2、采空区边界的分形 分形维数定量描述了分形结构自相似程度和 不规则程度。 不规则程度。采空区是地下有用资源被开采后留 下的空硐。 Wijs对成矿模型的研究结果表明 对成矿模型的研究结果表明， 下的空硐。De Wijs对成矿模型的研究结果表明， 矿体品位的赋存状态是分形的， 矿体品位的赋存状态是分形的，即矿体的形态具 有分形特征， 有分形特征，由于采空区的形态是矿体形态的相 似反应，因此采空区形状具有分形特征。 似反应，因此采空区形状具有分形特征。
分形学pdf
分形学
分形学（Fractal Geometry）是一门研究分形（fractal）对象的几何学。
分形是一种复杂的几何形态，它们在局部和整体上具有自相似性，通常无法用传统的欧几里得几何（Euclidean geometry）来描述。
分形学的研究对象包括自然界中的许多不规则形状，如云彩、山脉、河流、海岸线等，以及人工设计的分形图案。
分形学的核心概念是自相似性（self-similarity）和分数维（fractional dimension）。
自相似性意味着分形对象在不同尺度上呈现出相似的形态，而分数维则是用来描述分形对象占据空间的方式，它们通常不是整数维，如零维的点、一维的线段、二维的平面或三维的立体。
分形学的基础是分形几何学，它由法国数学家伯纳德·曼德尔布罗特（Benoît Mandelbrot）在20世纪70年代提出。
曼德尔布罗特通过研究英国海岸线的长度发现，随着测量尺度的减小，海岸线的长度会无限增长，这种现象无法用传统的几何学来解释。
他提出了分形的概念，并定义了分形的维数。
分形学在多个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、地理学、环境科学、计算机科学、经济学等。
在计算机图形学中，分形学用于生成复杂的自然现象和纹理。
在金融学中，分形市场理论（fractal market hypothesis）用于解释股票市场等金融现象的不规则性和复杂性。
在地质学中，分形学用于分析地貌和地质结构。
在生物学中，分形学用于研究生物体的生长和形态。
1。
分形几何在信号分析中的评价指标
分形几何在信号分析中的评价指标信号分析是指对信号进行解析和评估的过程。
而信号的评价指标则是用来描述信号质量、特性和性能的量化指标。
在信号分析中，分形几何是一种有效的工具，可以用来评价信号的复杂性和自相似性。
本文将介绍分形几何在信号分析中的评价指标。
一、分形维数（Fractal Dimension）分形维数是衡量分形图形自相似性的重要指标。
对于一维信号，可以通过信号在时域上的纹理复杂度来计算分形维数。
对于二维信号，可以通过信号在时频域上的分布来计算分形维数。
二、分形谱（Fractal Spectrum）分形谱是用来表示信号分形特性的频谱分布。
它通过计算信号的小波分形特征，来描述信号在频域上的自相似性和尺度变换特性。
分形谱可以用来确定信号的频率成分和其在不同频率上的分形特性。
三、Hurst指数（Hurst Exponent）Hurst指数是衡量时间序列的长期相关性的指标。
它可以用来描述信号的持续性和随机性。
具有超过0.5的Hurst指数的信号被认为具有长期相关性，而具有小于0.5的Hurst指数的信号则被认为具有反相关性。
四、多重分形谱（Multifractal Spectrum）多重分形谱是用来描述信号在不同尺度上的分形特性的指标。
它可以用来刻画信号的局部分形特性和整体分形特性。
通过计算不同尺度下信号的分形维数，可以得到信号的多重分形谱。
五、Hurts指标（Hurst Indicator）Hurts指标是一种基于分形几何理论的信号评价指标。
它结合了Hurst指数和分形维数的概念，可以用来衡量信号的趋势性和波动性。
Hurts指标越大，表示信号越具有趋势性，而越小则表示信号越具有波动性。
六、相干维数（Correlation Dimension）相干维数是一种用来描述信号时间序列的动力学特性的指标。
它可以用来测量信号的相干性和复杂性。
通过计算信号的相干维数，可以得到信号的自相关性和局部结构的信息。
七、Lyapunov指数（Lyapunov Exponent）Lyapunov指数是用来描述信号时间序列的混沌特性的指标。
分形与分形维数
分类号O469 学校代码10495ＵＤＣ530 学号0145023006武汉科技学院硕士学位论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：田志华指导教师：田巨平教授学科门类：工学专业：机械设计及理论研究方向：分形与多孔介质完成日期：二零零七年四月Wuhan University of Science and EngineeringM. S. DissertationThe study of fractal growthin disorder systemByTIAN Zhi-huaDirected byProfessor TIAN Ju-pingApril 2007独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。
特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。
同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。
（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。
简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。
本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。
浙教版九年级数学上册分形理论及其应用课件
X1 ： (x1，x2，，xm )
X X
2 3
： (x2，x3，，xm1 ) ： (x3，x4，，xm2 )
X
4
： (x4，x5，，xm3 )
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统 的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的 几何形体。按照传统几何学的描述，点是 零维，线是一维，面是二维，体是三维。 但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点 的位置所需要的独立坐标数目。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
D2
lim
r 0
ln C(r) ln r
标度律与多重分形
(1)标度律
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
C(r) 1
N
(r
N2 i, j1
Xi X j
)
i j
(
x)
1，x 0，x
0 0
为Heaviside阶跃函数
脑电信号的多重分形研究
关键词： 关键词 小波变换模极大值
去趋势互相关
多重分形
I
南京邮电大学硕士研究生学位论文
Abstract
Abstract
With the intensification of social aging, the ratio of people getting the Alzheimer's disease in elderly population is increased, which brought social new challenges and problems. How to predict and quantify the extent of brain's slump early is important. Firstly, the paper applied wavelet transform maximum modulus multifractal method to electroencephalogram. This method is mainly used to detect signal singularity. And this paper states a multifractality based on wavelet transform maximum modulus method. By calculating singularity spectrum, the singular intensity distribution of the normal ECG of young subjects and old subjects’ singularity spectrums were obtained. Comparing young subjects’ singularity spectrum with old subjects’ singularity spectrum, we found that the span of young subjects’ singularity spectrum was larger than old subjects. It was found that the multifractal strength of EEG signal is weakened with the increasing of age, changing from multifractality to monofractality. Therefore the singular intensity distribution could be used as a criterion for identifying normal EEG. Finally, this paper introduces Detrended Cross-Correlation Analysis. The DCCA was designed to investigate power-law cross correlations between different simultaneously recorded time series in the presence of nonstationarity. Here in this paper we found the cross-correlation between two EEG from different leads is weakening with growing age.
分形理论ppt课件
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
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第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。
分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。
单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。
实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。
为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。
在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。
从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。
表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。
多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。
§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠ 分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。
在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。
由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。
与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点：1) 描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上有规则性或相似性。
2) 欧氏几何具有标度，理想的分形具有无限的几何标度，而无特征长度。
3) 欧氏几何描述特征是整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维是大于1的非整数，具有分形的表面分维是大于2的非整数。
㈡ 分数布朗运动定义3.1 设H 满足10<<H ，0b 为任意实数，若随机函数满足：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅+Γ==⎰⎰∞----002121210),(),()21(1),(),0(w s dB s t w s dB s s t H w t B b w B t H H H H H 则称),(w t B H 为分数布朗运动。
其中H 为分形参数，2/1=H 时，),(w t B H 为普通布朗运动，w 为样本空间Ω的样本。
分数布朗运动(FBM)是一种分形模型，可以很好的描述分形信号，它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性。
FBM 的增量是平稳的零均值Gaussian 随机过程。
设)(x B H 为一高斯随机场，对于10<<H ，若满足)()()(y F y x x B x x B P H H H =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<∆-∆+γ (3.1) 则称)(x B H 为FBR 场（分数布朗随机场）。
其中)(⋅γP 表示概率测度；表示范数；H 为Hurst 分形指数,)(y F 为高斯分布函数。
对(3.1)式取数学期望， 有H H h t y E t B t t B E 22/1||||)2(1|][||])()([|∆==-∆+σπ (3.2) ㈢ 分形参数① 分形维数FD (Fractal Dimension)，可由下式通过Hurst 指数得到，也有其它许多估计方法（见下节）FD=D+1-H ， H 参数的估计有时域法和频域法，D 是拓扑维，对可求长的光滑曲线D=1；对FBR 表面D=2；FD 是描述分形的主要参数，一般的，当不规则曲线的FD 大于1或纹理表面的FD 大于2时，认为它们具有分形性。
② 增量标准差σ，也由（3.2）式得出。
③ 无标度区),(max min εε，理想分形满足（3.2）式，具有无限标度；对于实际图象，由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使（3.1）满足线性关系，称为无标度区。
实际图象越接近理想分形，其无标度区间越大，即min max /εε的值越大。
在此区间，可用线性回归方法估计H 值。
3.1.2 分形维数的估计法分维的估计有许多方法[5]，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种：1) 数盒子法： 对于分形曲线，用可变尺度ε 沿曲线度量长度所需)(εN 次，)(εN 是随ε而变的，分维由下式确定：))log())(log((lim 0εεεN D →= 为求)(εN ，在计算时以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，ε为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即)(εN 。
最后利用双对数曲线估计分维值。
同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体来代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸ε对应的小立方体总数)(εN ，进而求得分形表面的分维值。
2) 功率谱法： 对图象先作付氏变换成为频谱图，其功率谱为2|)(|w P ，而频率半径为22V U R +=，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归法求取分维值。
3) 地毯覆盖法：设分形表面为),(j i g ，形象的用厚度为ε2的地毯覆盖，则毯的上表面点集为),(j i t ε和下表面),(j i b ε，初始状态为),(),(),(00j i g j i b j i t ==，当厚度 ,3,2,1=ε，变化时，)},(max ,1),(max{),(1),(1n m t j i t j i t Sn m --+=εεεε )},(max ,1),(max{),(1),(1n m b j i b j i b Sn m -∈--=εεε 其中S 为点),(j i 邻域点集，则在尺度ε下，毯的面积∑-=ji j i b j i t A ,2/))],(),(([)(εεεε在近来实际的工程应用中，研究者们针对一些分形维数的定义，也提出了许多关于分形维数计算的方法，如谢和平[30]等人提出的修正盒计数维数、填隙维数、两脚规维数等。
又如在图象处理方面还有Gangepain 等的计网格元法（Reticular Cell Counting ）、Keller 等的基于概率的估算法、基于分形布朗运动自相似模型的估计法[6]及Sarkar 等的微分计盒法（Differential BoxCounting ，DBC ）等。
其中DBC 法和基于分形布朗运动自相似模型的估计方法覆盖了图象FD 较大的动态范围，但是这两种方法随纹理图象粗糙度的变化反映出的FD 估计值的变化趋势是不一样的。
DBC 法对粗糙度小的纹理敏感，粗糙度小时其变化更剧烈，而基于分形布朗运动自相似模型的估计方法在粗糙度小时其变化较前者平缓，在高粗糙度的情况下的变化比前者剧烈，因此更好地反映了大FD 情况的FD 估计差异。
我们的论文工作中，为了在下一章中利用FD 进行边缘检测，这里介绍利用基于分形布朗运动自相似模型来估计分维FD 的方法。
3.1.3 基于分形布朗运动模型的FD 估计法分形几何为图象几何特征的描述开辟了一个新途径。
Pentland[7] 的研究证明，自然界大多数景物表面是空间各向同性的分形，它们的表面映射成的灰度图象是具有分形特性的分形灰度表面；而各向同性的分数布朗随机场模型（FBR ）是描述自然景物的有效方法之一，同一图象区域的灰度表面具有统计意义上的自相似性，通过对其FBR 模型参数的提取和研究，可以获得图象许多重要的几个参数[7]。
然而，在不同图象区域的交界处，这种分形的一致性将被破坏，在此求出的分形参数H 值将会超出其理论取值范围（如用DFBR 描述图象灰度表面，其分形参数H 的理论取值范围应为(10<<H )，正是这些H值发生奇异的地方预示了不同区域的交界位置。
因此，通过对H 值的计算和分析，可以检测出图象中的边缘[6]。
本节将采用DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型，据此定义一种新的分形参数H 值的计算方法，分析探讨边缘处H 值的奇异性，并将它用于图象边缘的检测实验。
㈠ 图象区域的DFBR 场模型定义3.3 若x 与x ∆取离散值为n 和m ，则称),()(),(m n B n B m n c H H -=为离散分数布朗随机场（即DFBR 场）。
由以上定义可知，分数布朗随机场是非平稳的，而对应的离散增量（即DFBR 场）则具有统计平稳自相似性，即DFBR 场满足：HH H H H m n B n B E n B m n B E |||||})()1({||})()({|⋅-+=-+H H H H H m n B n B E n B m n B E 222||||}|)()1({|}|)()({|⋅-+=-+由上式看出，DFBR 场的一、二阶绝对矩是各向同性的。
DFBR 场模型是描述自然景物自相似性的一种有效模型，其局部统计特性能有效地吻合图象区域的局部统计特性[8]。
因此，用DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型，H 参数能够表征同一图象区域的自相似性（即灰度表面的均匀程度），对应的图象区域灰度表面的分形维数D 可由H 参数获得：H D D T -+=1式中T D 为图象区域的拓扑维数，2=T D 。
㈡ H 参数的定义设图象区域的灰度表面满足DFBR 场模型，),(00y x I 表示图象中),(00y x处的灰度值，由DFBR 场模型的性质得：{}{}H y x I y x I E y x I y x I E γ∆-=-),(),(),(),(001100式中， 2020)()(y y x x -+-=∆γ；1)()(201201=-+-y y x x若定义2020)()(y y x x -+-=γ|),(),(|)(00y x I y x I I -=∆γ则上式可写成：H I E I E γγ⋅∆=∆)}1({)}({ 1>γ两边取对数得：)log()}1({log )}({log )(γγγI E I E H ∆-∆= (3.3) 由DFBR 场模型的定义及性质知，DFBR 场为平稳过程，满足均值历经性，则有：)}({)(1)(1γγγγγI E I N I ∆=∆>=∆<∑> 式中γN 为到点),(00y x 之间距离为γ的象素点数。