小波多重分形
２９卷５期２０１０年ｌＯ月中国生物医学工程学报ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＶ０１．２９Ｎｏ．５Ｏｅｔｏｂｅｒ２０１０
小波多重分形在脑电信号分析中的应用
赵大庆１王俊２‘
１（南京邮电大学，图像处理与图像通信江苏省重点实验室，通信与信息工程学院，南京２１０００３）２（南京邮电大学，图像处理与图像通信江苏省重点实验室，地理与生物信息学院，南京２１０００３）
摘要：脑电图（ＥＥＧ）作为客观反映大脑机能状态的一个重要方面，蕴涵着丰富的生理、心理和病理信息。分形和小波相结合的方法，发挥了小波多尺度分析和分形标度不变性的两个特点。利用小波模极大值多重分形的方法，对青老年人群的脑电图进行分析。研究发现，脑电信号具有奇异性质，脑电信号奇异谱的跨度会随着年龄的增大而减小，可以用来检测目标个体是否出现脑衰退迹象，从而辅助进一步的临床干预措施。
关键词：多重分形分析；脑电图；小波模极大值中图分类号Ｒ３１８．５文献标识码Ｄ文章编号０２５８—８０２１（２０１０）０５－０７９３－０４
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＷａｖｅｌｅｔＭｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌＳｐｅｃｔｒｕｍｔｏｔｈｅ
ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＥｌｅｃｔｒｏｅｎｃｅｐｈａｌｏｇｒａｍＳｉｇｎａｌｓ
ＺＨＡＯＤａ．Ｑｉｎ９１ＷＡＮＧＪｕｎ２’ｌＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇａｎｄＩｍａｇｅＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＫｅｙＬａｂ。ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＴｅｌｅｃｏｍｍ．＆ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。Ｎ８咏ｎｇＵｎｉｔｅｒｓ幼ｏｆＰｏｓｔｓ＆Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ。ＮⅡｎｊｉｎｇ２１０００３。Ｃｈｉｎａ、２（ＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇａｎｄＩｍａｇｅＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＫｅｙＬａｂ。ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＧｅｏｇｒａｐｈｉｃａｌ＆ＢｉｏｌｏｇｉｃａｌＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ。ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｔｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓ＆Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ。Ｎａｎｊｉｎｇ２１０００３－Ｃｈｉｎａ）
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌａｎａｌｙｓｉｓ；ｅｌｅｃｔｒｏｅｎｃｅｐｈａｌｏｇｒａｍ；ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｍａｘｉｍｕｍｍｏｄｕｌｕｓ
引言
脑电图（ｅｌｅｃｔｒｏｅｎｃｅｐｈａｌｏｇｒａｍ，ＥＥＧ）作为客观反映大脑机能状态的一个重要方面，蕴涵着丰富的
生理、心理和病理信息，通过对ＥＥＧ信号的分析和
处理，可以在临床上对一些脑疾病的诊断和治疗起
到辅助作用。近年来，脑电信号的非线性动力学参
数，如关联维、李雅普诺夫指数和近似熵等，已成功
应用于脑功能状态及病理变化等方面的研究，证明
了ＥＥＧ信号的混沌性¨。２１。
小波用于对脑电信号的分析已有很多研
究¨“ｏ，分形用于对脑电信号的分析也有很多文献
报道”。６１，但是小波和分形结合用来对脑电的分析
还比较少。分形和小波相结合的方法发挥了小波
多尺度分析和分形标度不变性两个特点，该方法在
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５８．．８０２１．２０１０．０５．０２４收稿日期：２０１０－０６－１８，修回日期：２０１０－０８．１３·通讯作者。Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｊ＠ｎｊｕｐｔ．ｅｄｕ．ｃｎ许多领域的奇异性分析中有很好的应用。因此，将
分形和小波相结合的方法应用于脑电图的研究，可更加准确而深入地了解脑电信号的内在特征。
小波变换极大模值多重分形谱的方法一经提
出…，已经在很多领域得到应用ｍ１０１。本研究采用
小波变换极大模值多重分形谱的方法，对健康青年
人和老年人的脑电信号进行分析。研究发现，脑电
信号具有奇异性质，脑电信号奇异谱的跨度会随着年龄的增大而减小。这可以用来检测目标个体是
否出现脑衰退迹象，从而辅以进一步的临床干预措施。
１理论和方法
１．１多重分形谱
分形是对没有特征长度但具有一定意义的自
相似性图形和结构的总称。多重分形是许多个单
万方数据中国生物医学工程学报２９卷
一分形在空间上的相互缠结、镶嵌，是单一分形的
推广，单一分形可以看做是多重分形的一种特例。
多重分形与单一分形一样，也是自相似的，与尺度无关。由每个测度的奇异性强度指数ｄ和奇异谱
ｆＣｑ）构成了描述多重分形局部特性的奇异谱，八ｑ）也表示奇异性强度指数ａ所对应测度的分形维数。
多重分形测度包括不同的奇异性强度，八ｑ）通常是
分布于［ａ。；。，ａ…］之间的１个单峰图形，ａ…相对于较强的奇异性，ａ。；。相对于较弱的奇异性。计
算多重分形谱可使用直接计算，（ｑ）的方法，即标准
盒计数法¨川，这基于八ｑ）是一个特别测度的理论测度支架的维数。用尺寸为Ｌ的盒子来覆盖实验的
测度，并且计算测度在每一个盒子中的概率，具体
步骤如下：
１）定义归一化概率为
ｒ．Ｐ；＝｝（１）∑ｔ
式中Ｚ是某测度被分成Ⅳ等份的时间序列中的第ｉ份。
那么，构建在盒子中的概率重整化测度的单参
量簇可表示为肛。（ｇ，￡）；半业（２）
ｙ［Ｐ。（￡）］９耳在一般维数的定义中，参量ｑ提供了对奇异测
度不同区域的微观探测。对ｑ＞１，／．ｔ（ｑ）放大测度
的强奇异区域；对ｑ＜１，弘（ｑ）强调测度的弱奇异
区域；而对ｑ＝１，ｐ（ｑ）则复制原来的测度。
２）计算ｐ（ｑ）理论测度支架的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数
以ｇ），有
以ｑ）＝一＿】｝ｉｍ赤．／ｚｐｉ（口，Ｌ）Ｉｎ［ｐ如，￡）］＝ｌｉｍ墅堕笔型
（３）
３）计算／．ｔ（ｑ）奇异强度ａ；＝Ｉｎ（Ｐ。）／ｌｎＬ的平
均值ａ（ｇ），有
ａ（ｇ）＝一恕赤萎肛ｒ（ｇ，Ｌ）ｌ“Ｐｒ（Ｌ）］＝
躲巫拦掣ｎ型（４）ｌＬ对应不同ｑ，求出Ｒ－ｆ（ａ）的单峰图像。
１．２小波模极大值方法的多重分形谱
小波变换模极大值定义：在某一尺度疋。下，如果存在一点（Ｘｏ，Ｙ０），使得型生鸳尘型ｄｙ（Ｘｏ，Ｙｏ）是局部极值点，且掣＝０，则称点
＝０在Ｙ＝Ｙｏ
上有一个模极大值（过零）点。如果对Ｙ。的某一邻
域内的任意点Ｙ，有ｗｆ（茗。，Ｙ。）≤盯（茗。，Ｙ。），则称（茗。，Ｙ。）为小波变换模极大值点。小波变换的极大
值的位置和大小包含了信号的主要信息川。
考虑用小波模极大值的方法求多重分形谱¨。。
因为用小波模极大方法计算的多重分形谱能全面
地反映信号的奇异性分布，而且，选择适当的小波函数还可以消除信号中平滑部分的影响，因此可以
相信这种方法应该优于直接对信号求多重分形谱。
小波模极大值法的多重分形谱计算过程如下：
１）对每一个尺度Ｓ计算出形，（Ⅱ，Ｓ）及其模极大值，随．ｓ的变化连接小波模极大值，得出模极大值
序列。
２）然后用标准盒计数法对其模极大值序列进
行分析，得出其多重分形谱。
２实验与结果分析
使用ＮｅｕｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｎｄＭｙｏｅｌｅｅｔｒｉｃＤａｔａｂａｓｅｓ¨“，由于该数据库提供的总样本数限制，用了９位健康年轻人（年轻人脑电图见图１）以及９位健康老年人
的脑电信号（老年人脑电信号图见图２）。从图１和
图２两种人群的脑电信号图上可以看到，它们的幅
度和形态都差不多，在时域上不能得到明显的区
分。因此，需要寻找其在表面上还显现不出来的内在特征，寻找甄别不同脑功能状态的敏感特征参量。
截取长度相同的数据对其进行分析，为了视图
图１一位的年轻人的脑电信号图Ｆｉｇ．１ＡｎＥＥＧｔａｋｅｎｆｒｏｍｙｏｕｎｇ
ｓｕｂｊｅｃｔ
万方数据５期赵大庆等：小波多重分形在脑电信号分析中的应用
图２一位老年人的脑电信号图
Ｆｉｇ．２ＡｎＥＥＧｔａｋｅｎｆｒｏｍｏｌｄｓｕｂｊｅｃｔ
清晰，只把其中３位年轻人和３位老年人的多重分
形谱画出来（见图３）。从图３中可以看出，正常青年、老年ＥＥＧ信号的奇异谱曲线都呈单峰拱形，这
正是多分形信号的一个重要特征，说明正常青年、
老年ＥＥＧ信号都是多分形信号，都具有奇异性。
图３３位青年人和３位老年人脑电信号多重分形谱对比Ｆｉｇ．３ＭｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆＥＥＧｔａｋｅｎｆｒｏｍ３
ｙｏｕｎｇｓｕｂｊｅｃｔｓａｎｄ３ｏｌｄｓｕｂｊｅｃｔｓ
表１和表２分别列出９个年轻人和９个老年人
脑电信号的小波模极大多重分形谱奇异强度最大
值、最小值和奇异强度区间大小详细数值，并且计算了两组研究人群的奇异强度的均值和标准差。根据多重分形理论，每种尺度上都有最强波动
和最弱波动，它们的标度指数ａ岫和ａ一分别是ｏｔ（ｇ）中ｇ＿＋∞和ｇ－＋一∞的结果。根据分形谱的宽度公式△ａ＝ａ…一ａ嘶，分别计算出两种信号的多重分形谱分布范围值，并对其进行样本均数比较
的ｔ检验，得到ｔ＝２．３４４３。查表可得，ｔｏ‘０５（９）＝
２．２２８。因为ｔ＝２．３４４３＞ｔｏ．０５（９），所以Ｐ＜０．０５差异有统计学意义。可以认为，年轻人ＥＥＧ信号的△ａ平均值明显高于老年人ＥＥＧ信号的△口平均值，
从而可以区分开来这两种信号，因此ｄｏｔ可以作为
区分和识别这两种信号的一个标准。
表１年轻人脑电信号多重分形谱
Ｔａｂ．１Ｔｈｅｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆｙｏｕｎｇｓｉｇｎａｌｓ
表２老年人脑电信号多重分形谱Ｔａｂ．２Ｔｈｅｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆｏｌｄｅｒｓｉｇｎａｌｓ
３讨论和结论
由于大脑生理的复杂性，大脑功能体现出复杂
的非线性动力学特性。本研究基于脑电信号的奇
异特性，以及分形和小波相结合的方法，针对小波
多尺度分析和分形标度不变性两个特点，用小波变
换模极大值的多重分形方法，对健康青年人和健康
老年人的ＥＥＧ信号进行了分析和比较。研究发现，
青年、老年人群的ＥＥＧ信号的奇异度多重分形趋
向于单重分形，预示着随着年龄的增长，大脑功能
内在体现出的系统复杂度在趋于衰退。随着社会老龄化的加剧，老年人群中患老年痴
呆的比例在不断增大，给社会和家庭带来新的挑战
万方数据７９６中国生物医学工程学报２９卷
和难题，及早地预测和定量大脑的衰退程度显得尤
为重要。一般来说，脑电信号奇异谱的跨度会随着年龄的增大而减小，因此医生可以用目标个体的脑
电信号的奇异度区间，与同年龄段大部分人的脑电
信号的奇异度区间统计平均值正常波动范围进行
对比，预先检测出目标个体是否出现脑衰退迹象，从而辅以进一步的临床干预措施，这对提高高危老
年痴呆人群的生存质鼍具有重要的意义。
下一步的工作将致力于增大每个目标人群样本量的搜集，在大样本量的基础上，给出目标人群
的小波模极大多重分形谱区间的变化范围。目前，
对于脑衰退程度的定量研究还没有被充分重视，因
此，深入进行这方面的研究，制定出科学的标准，对于诊断及临床干预和治疗脑衰退具有重要的意义。
参考文献
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【计算机工程与设计】_小波系数_期刊发文热词逐年推荐_20140726
序号科研热词推荐指数序号科研热词
1小波变换101小波变换
2数字水印42图像融合
3信息隐藏33遥感
4阈值24色彩空间
5图像压缩25离散小波变换
6人类视觉系统26提升小波
7鲁棒性17小波系数
8预测18多孔算法
9非线性增强算子19多分辨率分析
10零树110鲁棒性
11阈值函数111音频水印
12金字塔分解112非参数自回归
13量化113雷达辐射源信号
14遥感图像114集合树块编码
15逻辑交叉算子115阿贝成像理论
16递归神经网络116采样
17运动矢量117边缘检测
18运动检测118融合规则
19融合算法119蝴蝶模式
20自回归120聚类
21脆弱水印121织物疵点
22置乱技术122红外图像
23网络流量123相似度匹配
24组合模型124直方图
25纹理块125特征提取
26粒子群126灰关联分析
27篡改检测127比特平面编码
28离散小波变换(dwt)128模糊增强
29盲提取129模极大值
30盲分离130检测
31独立分量分析131权重均方误差
32混沌映射132有效性指标
33检索效率133时间序列分析
34改进遗传算法134数据预处理
35改进的零树编码算法135数据约简
36支持向量机136数字水印
37提升小波137支持向量机
38扩频138广义高斯分布
39循环平移139差分直方图
40平移不变性140层次化聚类
41嵌入零树小波编码141尺度系数
42小波域142尺度积
43小波分解层教143小波构造
44小波-contourlet变换144小波分解与重构
45客观评价参数145小波分解
46大容量146小波
47多分辨率运动补偿147多尺度算法
48图像融合148均匀化
49图像置乱149图像检索
50图像编码150图像压缩
51图像熵151同步码
52图像增强152可见光图像2008年2009年53图像去噪153升力模式
54去噪154光的衍射
55医学图像融合155信息隐藏
56信号处理156位分配
57二值图像157二尺度方程
58pca变换158不规则网格
四元数小波变换及多分形特征的纹理分类
基于四元数小波变换及多分形特征的纹理分类
摘 要:将四元数小波变换(qwt)和多分形相结合进行纹理分类,充分利用了qwt的旋转不变特性和纹理图像的多分形特性,能弥补传统的应用小波变换进行纹理分类时缺乏将输入图像分解成多个方向的不足。通过对uiuc数据库中的纹理图像分类,表明四元数小波与多分形相结合的方法具有较高的分类精度,平均分类正确率可达96.69%,是一种合理有效的纹理分类方法。
关键词:四元数小波变换;多分形;纹理分类;机器视觉;纹理图像
texture classification based on
quaternion wavelet transform and multifractal
characteristics
gao zhi1*, zhu zhihao2, xu yonghong1, hong wenxue1
(
1.institute of electrical engineering, yanshan university,
qinhuangdao hebei 066004, china;
2.qinhuangdao tianye tolian heavy industry company limited,
qinhuangdao hebei 066004, china
)
abstract:
the paper incorporated the multifractal analysis method into
the idea of quaternion wavelet transform (qwt), which took
advantage of the rotationinvariant properties and
Weierstrass-Mandelbrot分形曲面的多重分形谱
Weierstrass-Mandelbrot分形曲面的多重分形谱
吕建国;戴结林;宋学萍;孙兆奇
【期刊名称】《功能材料》
【年(卷),期】2008(039)009
【摘 要】构造了不同分形维数的Weierstrass-Mandelbrot(W-M)分形曲面,采用多重分形方法研究了W-M曲面表面高度的分布特征.结果表明,随着曲面分形维数的增加,多重分形谱的谱宽△α从0.082增大到0.215,说明曲面的起伏、粗糙程度随分形维数的增加不断增大,与方均根rms粗糙度σ的计算结果一致.分形谱的△f均＞0,表明曲面上高度最大处数目多于高度最小处数目,曲面的峰位处比较平缓、圆润.
【总页数】3页(P1574-1576)
【作 者】吕建国;戴结林;宋学萍;孙兆奇
【作者单位】安徽大学,物理与材料科学学院,安徽,合肥,230039;合肥师范学院,物理与电子工程系,安徽,合肥,230061;合肥师范学院,物理与电子工程系,安徽,合肥,230061;安徽大学,物理与材料科学学院,安徽,合肥,230039;安徽大学,物理与材料科学学院,安徽,合肥,230039
【正文语种】中 文
【中图分类】TH161
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小波分析知识点总结
小波分析知识点总结
小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换
小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择
小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析
小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
【微计算机信息】_小波分析_期刊发文热词逐年推荐_20140722
序号科研热词推荐指数序号科研热词1小波变换191小波变换2小波分析92小波分析3图像融合63故障诊断4边缘检测54图像压缩5故障诊断45连续小波变换6小波36谐波分析7嵌入式数据库27自适应8小波包28离散小波变换9交叉编译29数字水印10sqlite210多尺度分析11matlab211多分辨分析12arm-linux平台212信号处理13频谱分析113人工神经网络14频谱114labview15非接触测量115齿轮箱16降噪116预测模型17阈值降噪117预测18阈值函数118非平稳信号19阈值119随机误差分析20遥感图像120随机漂移21遥感121阈值去噪22软阈值消噪122阈值函数23转速123阈值24车辆跟踪124逆变器25车辆检测125远程数据分析26谐波分析126过电流27融合规则127边缘检测28自适应量化128轴类零件29自相似129跟踪30自混合干涉130贝叶斯方法31脑电图诊断131调试仪32脑电132调制识别33脊波变换133致密区域34脉搏波134自适应阈值滤波35能量自适应135自回归滑动平均模型36能量模式136脊线提取37继电保护137能量元38红外图像138胃阻抗39管道泄漏监测定位139胃电40第二心音分裂140肿块检测41空间组合推举体制141组件对象模型42空域相关滤波142管道缺陷43神经网络143突变点检测44相差高频保护144离散余弦变换45直方图145神经网络46盲源分离146碳素电极47电力系统147硅微陀螺48生理信号148相位污染49玻璃厚度149电能质量50独立分量分析150电梯故障诊断51特征增强151电压暂态扰动52火箭弹道152生命探测雷达2008年2009年53激光ccd153环境建模54滤波154特征提取55滚动轴承155炮口振动56温度信号156混沌57模拟电路157混合编程58梯度158混合编码59最小二乘支持向量机159消噪60曲波变换160测量精度61智能交通系统161水印62整流装置162模糊区域生长63数学形态学163模极大值64数字信号处理164机动多目标65故障识别165木材66故障检测166时频分析67指纹识别167时间序列68抗干扰168无损检测69快速算法169敲击法70快速小波变换170数字图像压缩71心音171支持向量机72平均粒径172提升小波变换73工业机器人173投影法74局部方差174扩频75尺度175心电信号76小波阈值176心律失常77小波包变换177微型无人机78奇异性检测178建模79奇异值分解179幅值检测80多频分析180带宽分配81多重分形181嵌入式处理平台82多尺度形态小波变换182峰值信噪比83多尺度分析183小麦条锈病84多分辨率分析184小波神经网络85声波信号185小波多分辨分析86基于内容的图像检索186小波包变换87块结构187小波包分析88图形显示算法188小波89图像边缘增强189对称分量法90图像增强190多重分形91图像压缩191多模传播92噪声192多媒体资源库93变频机组193声发射信号94去噪194基线漂移95卡曼滤波195均方误差96半导体激光器196均值滤波97前置放大电路197图像置乱98分类相关成分分析198图像去噪99傅立叶变换199回波信号100傅氏变换1100噪声滤除101信号处理1101变换矩阵102信号分析1102去噪103低比特率1103压电陀螺104人眼视觉系统1104分形维数105人体图像1105分块106主元分析1106内嵌对称周期延拓
脑电信号处理中的信号分析与建模
脑电信号处理中的信号分析与建模
脑电（Electroencephalogram，EEG）是一种非侵入性、无创的神经电信号数据，能够反映人脑的生理和认知状态。EEG信号的处理和分析，对于理解和研究人脑的功能与机理，以及应用于人机交互、医疗诊断等方面，具有重要的意义。本文将介绍脑电信号处理中的信号分析与建模。
1. 信号的预处理
EEG信号受到肌电噪声、眼电噪声等众多干扰，需要通过信号预处理对其进行降噪、去眼电、去肌电、去基线漂移等步骤，以提高信号的质量。其中，去眼电和去肌电是EEG信号处理的重点。
去眼电的常用方法有经典的“广义绝经归一化（generalized least squares）”技术、白噪声源眼动去除算法、独立成分分析（independent component analysis，ICA）等；去肌电的方法包括了移动平均法，平均减法，小波变换等。预处理结束后，就可以进行下一步的信号分析。
2. 信号分析
EEG信号包含了丰富的信息和特征，不同的EEG特征反映了不同的脑功能和认知过程。常见的EEG信号分析方法包括时域分析、频域分析、小波分析、时频分析等，这些方法都可以用来从不同角度分析EEG信号，并提取出重要的信号特征。
时域分析：包括脑电波幅度、波形、相位等时间域特征的计算和分析，可以用于检查EEG信号的时间性质；
频域分析：通过对EEG信号进行傅里叶变换，把信号从时域转为频域，可以得到频域特征，如频谱分布、频带功率等，进而分析脑电信号的频谱结构； 小波分析：小波分析是一种时频分析方法，可以分析EEG信号的瞬时频率，刻画信号的时变特征，并检测出突发事件等。
3. 信号建模
信号建模是指对EEG信号的建模过程，通过对脑电信号进行数学模型的描述，可以更好地理解并预测脑电信号的特征和规律。建模可以分为线性和非线性两种。
线性建模：线性建模方法适用于EEG信号的时间域和频域建模，如自回归模型（auto-regressive model）等。
小波与分形的应用
第 1 页 共 13 页 基于粗糙度曲线的二维形貌模拟及表面参数评价
接触热阻的理论模型主要包括表面形貌的描述与形变的假设两个基础部分。自从上世纪60年代以来，不同的学者提出了不同的接触热阻计算模型，而各个模型的不同之处也正是集中在表面形貌的描述与形变类型的假设上[2],[3]。本文基于小波变化及分形插值对表面进行二维形貌模拟并对表面参数进行了评价及分析。
1 表面形貌的描述
对于粗糙度表面，可以用下列参数对其进行描述[1]，如表1 所示。
表1 表面形貌评价参数
表面形貌评价参数 名称
与微观不平度高度特性有关的表面粗糙度参数 轮廓峰高
轮廓谷深
轮廓微观不平度高度
轮廓最大峰高
轮廓最大谷深
轮廓最大高度
微观不平度十点高度
轮廓微观不平度的平均高度
轮廓算数平均偏差
轮廓均方根偏差
与微观不平度间距有关的表面粗糙度参数 轮廓微观不平度的间距
轮廓微观不平度的平均间距
轮廓的单峰间距
轮廓的单峰平均间距
与微观不平度形状特性有关的表面粗糙度参数 轮廓支承长度
轮廓支承长度率
参数的具体定义如下： 第 2 页 共 13 页 轮廓峰高——中线至轮廓峰最高点之间的距离；
轮廓谷深——中线至轮廓谷最低点之间的距离；
轮廓微观不平度高度——轮廓峰高和相邻轮廓谷深之和；
轮廓最大峰高——在取样长度内从轮廓峰顶线至中线的距离；
轮廓最大谷深——在取样长度内从轮廓谷底线至中线的距离；
轮廓最大高度——在取样长度内轮廓峰顶线至轮廓峰底线的距离；
微观不平度十点高度——在取样长度内5个最大的轮廓峰高的平均值与5个最大的轮廓谷深的平均值之和；
轮廓微观不平度的平均高度——在取样长度内轮廓峰高的平均值与轮廓谷深的平均值之和；
轮廓算数平均偏差——在取样长度内轮廓偏距绝对值的算数平均值；
轮廓均方根偏差——在取样长度内轮廓偏距的均方根值；
轮廓微观不平度的间距——含有一个轮廓峰和相邻轮廓谷的一段中线长度；
轮廓微观不平度的平均间距——在取样长度内轮廓微观不平度的间距的平均值；
小波变换在分形分析中的作用
小波变换在分形分析中的作用
分形分析是一种用来描述和研究自然界和人工对象中的复杂结构和现象的数学工具。它的核心思想是通过观察和测量对象的自相似性和自我复制性质，揭示其内在的规律和特征。而小波变换作为一种强大的信号处理工具，被广泛应用于分形分析中，能够有效地提取和分析分形信号的特征，从而帮助我们更好地理解和解释复杂系统中的现象。
首先，小波变换能够提供多尺度的分析。分形信号具有自相似性和自我复制性质，其特征在不同的尺度上都能够得到体现。而传统的傅里叶变换只能提供频域上的分析，无法捕捉到信号在时间和频率上的局部特征。而小波变换通过将信号分解为不同尺度的小波基函数，能够在时频域上同时进行分析，从而更全面地揭示信号的特征。通过对分形信号进行小波变换，我们可以得到不同尺度上的分形特征，进而对系统的复杂性进行更深入的研究。
其次，小波变换能够提供局部特征的分析。分形信号的自相似性和自我复制性质使得其在局部区域内具有相似的结构和特征。而小波变换通过将信号分解为不同频率和时间的小波基函数，能够在时间和频域上对信号进行分析，从而揭示信号的局部特征。通过对分形信号进行小波变换，我们可以获得不同尺度和频率下的局部分形特征，进而深入理解分形结构的形成机制和演化规律。
此外，小波变换还能够提供多尺度的信号重构。分形信号的自相似性和自我复制性质使得其在不同尺度上都具有相似的结构和特征。而小波变换通过将信号分解为不同尺度的小波基函数，能够对信号进行重构，从而还原信号的分形特征。通过对分形信号进行小波变换和重构，我们可以还原出信号的多尺度结构，进一步研究和分析分形系统的特性和行为。
最后，小波变换还能够提供分形维度的估计。分形维度是描述分形对象复杂性的重要指标，能够反映对象的自相似性和自我复制性质。而小波变换通过将信号分解为不同尺度的小波基函数，能够对信号的分形维度进行估计。通过对分形信号进行小波变换，我们可以得到不同尺度下的分形维度，从而评估和比较不同对象的复杂性。
结合小波算法和分形维数的核磁谱识别
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结合小波算法和分形维数的核磁谱识别
作者：谢剑
来源：《山东工业技术》2015年第07期
摘 要：小波分析以及分形理论是在现代科技领域中新崛起两门在应用数学和工程科学中起重要作用的学科。分形理论被用来研究物体的局部特征以此来确定它的整体部分的特性，核磁谱中的小波也是在有着整体细节化的特点，因此，本文利用小波理论和分形理论的共同特点，以核磁谱数据为研究对象，来把核磁谱变得更细节化，利用小波mallat算法和分形算法，实现对不同核磁谱类型的识别和分析。
关键字：Matlab；小波分析；分形理论
1 引言
核磁共振光谱分析技术[1]在现代科学界是一个值得注意的项目，准确识别的核磁共振光谱能使得整体物质组成的识别更加准确，因此它在鉴别物质的真实性扮演重要的角色的。在核磁共振谱分析过程中，通常是各种计算直接在核磁共振光谱采集的数据分析，以识别不同类型的核磁共振光谱。然而，由于核磁共振在取样时很受限制，会因为谱峰保留时间的偏移而是采样后的频谱和原理频谱有差异。为此，本文提出了一种基于小波变换和分形维数的核磁共振光谱识别系统，把核磁谱用小波分解后得到的小波基为基础参量，然后再做分形参量的计算。这样可以使判决结果更准确，更有利于对核磁图谱的识别。
2 实验方法与设计
总设计思路及方案实现：本设计的总体思路是对核磁图谱的小波分解和分形维数的计算，由此来判断所测试的图谱的准确性。本设计并非是一个用来测定核磁图谱的成分，而只是做对于核磁图谱的认定工作，但是认定对于核磁谱的准确性确实至关重要的，因此本实验采用的是小波和分形相结合的方式。由于在图谱的采样和鉴定的过程中，图谱数据容易受到谱峰保留时间飘逸的干扰，使最后得到的图谱会有在时间上的偏差，会使得鉴定结果出现误差，这对于谱图鉴定是非常重要的。但如果采用了小波变换的图谱分形表达方式，就可以将图谱的采样值转换成小波基分形参量的形式，使得不受时间漂移的干扰。总体算法实现如下所示：
【国家自然科学基金】_时间序列_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729
序号科研热词推荐指数序号科研热词1时间序列621时间序列2预测272预测3相空间重构203相空间重构4混沌204混沌5小波分析185小波分析6支持向量机156支持向量机7lyapunov指数157小波变换8神经网络138神经网络9数据挖掘139混沌时间序列10混沌时间序列1210时间序列分析11小波变换1211arima模型12人工神经网络1012水文时间序列13时间序列分析913分形14预测模型714预测模型15非线性715遗传算法16时间序列预测716磁共振成像17磁共振成像617rna干扰18混沌理论618聚类分析19协整619数据挖掘20非线性时间序列520故障诊断21降水521关联维数22聚类522spss23石笋523风速预测24相似性524重建25最大lyapunov指数525遥感26时空变化526特征提取27复杂度527气候变化28周期528序列分析29原核表达529基因表达30分形530arma模型31关联维数531蚁群算法32仿真532经验模态分解33主成分分析533石笋34rna干扰534相关分析35arma模型535监测36遗传算法436演替37芜菁437滑坡38自回归模型438最小二乘支持向量机39经济增长439时间序列预测40相空间440支持向量机(svm)41生态足迹441嵌入维数42水文时间序列442多时间尺度43气候变化443基因克隆44植被444参数估计45径流预测445原核表达46异常检测446不确定性47序列模式447modis48序列分析448h.26449岩石力学449面板数据50基因表达450非线性51基因克隆451金融时间序列52图像处理452邻域搜索2008年2009年53功率谱分析453运动检测54关联维454视频编码55三江平原455蛋白纯化56ndvi456自适应预测57hurst指数457细胞凋亡58gps458电力市场59arima模型459电价预测60黄河360瓦斯涌出61高边坡361滤波62非趋势波动分析362混沌时间序列预测63降水量363流量预测64阈值364汇率65遥感365气温66近似熵366模式识别67转染367模型68误差修正模型368时间尺度69融合蛋白369无线传感器网络70蛋白质组学370数据预处理71脑电371振动72结构变化372指数平滑法73组织构建373扩频通信74稳定性374慢病毒75神经网络集成375径流76相似性查找376广义极值分布77生态承载力377小波消噪78猪378多变量时间序列79独立成分分析379多元时间序列80混合遗传算法380城市化81水文学381地震82模型382协整分析83最小二乘支持向量机383动态时间弯曲84支持向量回归384分形维数85抗原表位385仿真86径向基函数386交通流量预测87小波387交通流88多重分形388东北地区89多维时间序列389r/s分析90声发射390ndvi91壁湍流391lyapunov指数92均方误差392gps时间序列93因果关系393gps94同步394fpga95变化趋势395风电场96参数估计396风力发电97卡尔曼滤波397频谱分析98功能磁共振成像398预测预报99制造业399非线性时间序列100内建自测试3100非理性交易者101人类活动3101非平稳时间序列102人民币汇率3102青藏高原103中国3103需求预测104上海3104隐马尔可夫模型105web日志挖掘3105隐markov模型106rt-pcr3106降水