第四章 水文统计基础知识..
《工程水文学》四五章复习
第四章水文统计基本知识一、概述1.随机现象：是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。
水文现象2.随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统计规律的学科称为概率论而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。
3.水文统计：将概率论和数理统计引入水文学，研究水文现象的统计变化规律的学科，被称为水文统计。
二、概率的基本概念1.事件2.概率：随机事件A在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是概率。
m出现随机事件的结果数n试验中所有可能出现结果数古典概型P(A)=m/n3.频率：水文事件不属古典概型事件。
设事件A在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称为事件A的频率 P(A)=m/n，当n趋于无穷大时，P(A)稳定并趋于概率。
4.概率定理加法定理：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ，当A、B互斥时P(AB)=0乘法定理：P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ，当A、B独立时，P(AB)=P(A)P(B)三、随机变量及其概率分布1.随机变量：表示随机试验结果的一个变量，一般用大写变量表示，如 X，Y，Z等。
水文统计研究的是水文随机变量。
离散型随机变量、连续型随机变量总体与样本总体：随机变量所有取值的全体，样本：从总体中随机抽取的一部分，样本容量：样本包括的项数，样本大小。
2.随机变量的概率分布随机变量的取值与其概率之间的对应关系，记为F(X)。
连续型随机变量的概率分布(区间概率)对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即分布函数F(x)—概率分布曲线 即: F(X)=P(X>Xp)=p水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数3. 随机变量的统计参数：说明随机变量统计规律某些特征的数字，称为随机变量的统计参数。
例如平均降雨量、年平均流量等， （1）均值(数学期望值)均值为分布的中心，表示对象的平均情况，即总体水平的高低（2）均方差表示分布函数的绝对离散程度。
工程水文学课后复习思考题参考答案
工程水文学课后复习思考题及答案第一章绪论1、什么是水资源？怎样理解水资源并非是取之不尽，用之不竭的？水资源是指地球上可供人类利用的淡水。
与煤、石油等矿产资源不同，水资源的数量具有可更新补充的特点，但随着城市和农业的发展，人口和用水量的急剧增长，人类对水资源需求量日益增长，而可利用的水资源是有限的，可更新补充的水资源并非取之不尽、用之不竭的，必须十分重视，珍惜利用。
2、中国的水资源有哪些特点？中国的水资源总量不算少，但人均水量低；地区上分布极不均匀；与耕地、人口分布不相匹配；年内、年际变化大。
3、实施水资源可持续利用发展战略有何意义？在水资源开发利用中，应当使预期得到的社会效益和环境效益，亦即正面效益与因开发利用所导致的不利于环境的副作用，亦即负面效益相平衡，并力求前者稍大于后者以利人类社会的不断完善和进步。
4、水资源与水文学有何关系？水文学是研究地球水圈的存在与运动的科学。
主要研究地球上水的形成、循环、时空分布、化学和物理性质以及水与环境的相互关系，为人类防治水旱灾害、合理开发利用和保护水资源、不断改善人类生存和发展的环境条件提供科学依据。
5、水文分析计算在水利工程建设和管理中的作用是什么？规划设计阶段水文学计算的主要任务是确定工程规模；施工阶段要修建一些临时性建筑，也需要进行水文计算；运用管理阶段，需知道未来一定时期的来水情况，据此编制水量调度方案。
6、水文分析计算经常采用哪些研究方法？根据是什么？成因分析法、数理统计法、地理综合法。
第二章水循环与径流形成1、何谓自然界的水循环？产生水循环的原因是什么？水圈中各种水体通过蒸发、水汽输送、凝结、降水、下渗、地面和地下径流的往复循环过程成为水循环，海陆间的水循环成为大循环，局部的水循环成为小循环。
产生水循环的内因是水在通常环境下气、液、固易于转化；外因是太阳辐射和重力作用。
2、何谓水量平衡原理？水量平衡方程中经常考虑的因素有哪些？根据物质不灭定律可知，在水循环过程中，对于任一区域，在任一时段内，进入的水量与输出的水量之差额必等于其蓄水量的变量，这就是水量平衡原理。
第四章水文统计
由此得到经验分布曲线:
X（年降雨量：mm）
1400
1300
1200
验频率分布 900
是否80符0 合实际？ 700
600
P (Xx)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
量及其过程，以确定工程的规模。
对未来长期径流情势（属随机变量）的估计，只能依 据其统计规律，利用数理统计方法进行概率预估。 所谓“概率预估”，即分析水文变量出现超过某个数 值的可能性为多少。
水文统计的任务
（1）频率计算 根据已有的资料（样本），应用概率理论和频率 计算，推求指定频率的水文特征值。
水文统计的任务
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
g(x)
G(x)(%)
100
g(x)
0 xP
x
(a) xp
p(x xp ) G(xp ) g(x) dx
G(xp) 0 xP
G(x)
x (b)
2. 水文统计与概率论和数理统计的主要差别
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
水文上通常称概 率分布曲线为累 积频率曲线
G(X) p(X x)
水文学上，习惯研究随机变量的取值等于或大于某 个值的概率，采用超过制累积概率形式：
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
lim W(A) P(A)
n
五、概率的加法定理与乘法定理
1、概率的加法定理
互不相容（互斥）：P(A1+A2+…An)= P(A1)+P(A2)+……P(Ai)
非互斥事件 ： P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)- P(A1A2)
式中：P(A1+A2+……An)为它们中任一个出现的概率
目估外延。 2、理论累积频率曲线
四．理论累积频率曲线
1.频率密度
正态分布：
1 ( x x )2 f ( x) exp 2 2 2
P
x
x
1 ( x x )2 exp dx 0.683 2 2 2
1 ( x x )2 P exp dx 0.997 2 x 3 2 2 1 ( x x )2 P exp dx 1 2 2 2
若求百年一遇的洪水
,m=1 ，得,n=99年。即
是说，在推求百年一遇的洪水时，至少需要99年的实测资料。
2.经验累积频率曲线绘制步骤
1)将实测水文特征值如水位、流量或降雨量不论年序，按大小 排序，对于洪水资或大于某特征值 x≥xi，的
例4-1：江河中出现的最高水位或最大流量，每年的实测值 各不相同，为互斥事件。某水文站观测到一河段50年的洪 水水位资料如下表4-2，求小于258m水位出现的频率。
水位高程Hi(m) 出现的频数 fi(年) 频率w(Hi)%
250 3 6
255 7 14
258 9 18
265 16 32
268 15 30
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
工程水文第4章水文统计的基本知识
样本抽样误差的均方值称为均方误，是衡
量抽样误差的大小的常用指标。
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：
X
n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
第四章
第一节
水文统计的基本知识
水文现象
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
概率的基本概念
随机变量及其概率分布 水文常用频率曲线 统计参数估算 适线法估计水文分布参数
第一节
水文现象
水文现象是自然现象的一种，在其发生和
演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶
然性的一面。
必然现象是在一定条件下，必然出现或不
样本参数的均方误（相对误差，%）
参数
EX
100 50 25 10 100 50
CV
25 10 100 50
CS
25 10
n Cv
0．1 0．3 0．5 0．7 1．0
1 3 5 7 10
1 4 7 10 14
2 6 10 14 20
3 10 12 22 23
7 7 8 9 10
50 10 11 12 14
F（x）
概率分布函数与密度函数关系
三、随机变量的分布参数
概率分布曲线完整地刻划了随机变量的
统计规律。但在一些实际问题中，有时只要 知道概率分布某些特征数值。这种以简便的 形式显示出随机变量分布规律的某些特征数 字称为随机变量的分布参数。
均值
x
x i pi i
工程水文第4章水文统计的基本知识精品PPT课件
＝0.3×0.1 / 0.2
＝0.15
第三节 随机变量及其概率分布
一、水文随机变量 随机变量是表示随机试验结果的数 量表示。水文随机变量一般指水文特征 值，如水位、流量、雨量等，属连续型 随机变量。
二、随机变量的概率分布
随机变量的取值x与其概率P 的对应关系，
二、概率
随机事件A在试验结果中可能出现也可 能不出现，但其出现可能性的大小的数量标 准就是概率。
古典概率表达式
P(A) m n
三、频率
水文事件不属古典概型事件，只能通过
试验来估算概率。设事件A在ｎ次试验中出 现了ｍ次，则称
W (A)
m n
为事件A的频率。
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
掷币试验出现正面的频率表
称为随机变量的概率分布。水文统计学研究随 机变量的取值大于某一个值的概率
F（x）＝P（X＞x）
称此为随机变量的概率分布函数或概率 分布曲线。
x
1100
某雨量站的年雨量分布曲线
1000
900
800
700
0.2
0.4
0.6
0.8
（（（1（）23）4）年）年P雨P（雨（量X量X＞超小≤x过）于9x=08）000m0=.mm1的m0的的.概1设概的率计率设值计x值x
P（P（PX（＞Xx＞X9=＞08009x）09））5=m==m01.0-2.502.1= 0.9 P（X≤x 8=007）20=m1m－0.52=0.48
1.0
P（X ＞ x）
函数f（x）＝-F ’（x）为概率密度函数，
简称为密度函数或密度曲线。
f（x）
f（x）dx
水文统计课件
致接近实际，可用矩法或权函数法求出3个参数， 作为3个参数第一次的假定值。当用矩法估计时， 因
Cs 的抽样误差太大，一般不计算Cs，而是根据经 验假定 Cs为 Cv的某一倍数（如 Cs=2Cv）。
（4）根据假定的 x 、Cv、Cs，查附表1或附表2， 计算xp值，以xp为纵坐标，p为横坐标，即可得
p(x
xp
)
( )
xp
(
x
a0
)
1
e
(
x
a0)
dx
令 xΦ是x 均值为零，标准差为1的标准化变量
xCV
（离均系数）
则有 X X (1 cV ) dx xCv d
p( p ) f ,Cs d
p
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附表1，由 已知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然后 利用已知的 x和Cv值，通过下式即可求出与各 种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。
（函数）、密度曲线（函数）的含义及其之间的关 系； ❖ （3）了解随机变量的概率分布曲线在水文上称为 频率曲线，它有超过制概率与不及制概率之分，常 用的是超过制概率。 ❖ （4）掌握统计参数的含义和计算方法。
一、随机变量 水文特征值：年径流、洪峰流量 离散型随机变量 连续型随机变量：水位、流量
二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称
为随机变量的概率分布。 对于水文变量，研究大于等于某一取值x的
概率，即F(x)
F(x) P(X x)
水文上通常称概率分布曲线为频率曲线
概率分布函数导数负值，称为概率密度函数
f (x) F ' (x) dF (x) dx
第四章 水文统计基本知识
水文现象的统计规律
水文现象是一种自然现象，它具有必然性，也具有偶然性。 其中偶然现象(随机现象)所遵循的规律称为统计规律 水文统计及其任务 研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由随机现象的 一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为 数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则 称为水文统计
对于连续型随机变量：
变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其 每一个可能值，只能以区间的概率分析其分布规律
连续系列按由大到小顺序排列，分成N组，组距 值△ x=xi+1 - xi，任一组内概率为△p，则区间平均概 率为f(x)= △p/△x，此值称为△x区间对应的概率密 度
区间足够小时，
x
f ( x)
2 （－ 1 10） (10 10)2 (19 10)2 乙 7.35 3
表明：乙系列的离散程度大于甲系列 均值相同时，均方差可以反映其离散程度；但均值不 同时，却无法比较。因此引入离差系数（变差系数）
2 离差系数(变差系数、离势系数)：均方差和平均数 的比值，表征随机变量分布的相对离散度
三
频率
水文事件不属古典概率事件，其试验结果可能的
总数未知，试验结果是否等可能也未知，因而不能
预先推知某事件的概率。为此引入“频率”概念来 计算随机水文事件的概率 频率：设随机事件A在重复试验n次中出现 f 次，则 f 与 n 的比值称为事件A的频率，即 W(A)＝f / n
这里的n 不是所有可能的结果总数，仅是随机试验
(3) 年重现期与次重现期
水文计算中为延长实测样本系列的容量，常在一年中 取多个样本系列，所得重现期为次重现期 排水工程的设计标准常遇T<1年，因而需一年多次取样 设平均每年所取样本为α个，n年所得样本容量 由年频率P(χ≥χi) = m／n 次频率Pˊ(χ≥χi) = m／S=P/ α S=nα，
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的现象，也称随机现象。
二、确定性规律 1、周期性：年周期，多年周期。 2、地区性：气候及下垫面相似地区的水文现象规律
相似。
3、相关性：水文现象之间存在一定的因果关系。
第一节 一、随机变量
随机变量及其概率分布
随机变量系列：x1, x2,…, xn
离散随机变量 随机变量 连续随机变量 水文统计法就是将流量、水位、降雨量等实测水文资料作 为随机变量，通过统计分析和计算，推求水文现象（随机事 件）客观规律性的方法。
0.01
0.050.1 0.2 0.5 1
2
5
10
20 30 40 50 60 70 频率(%)
80
90
95
98 99 99.5 99.8 99.9
99.99
水文特征值的选取：年最大值法
流量（m /s） 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
3
潮白河流域下会站流量（m /s）
频率密度 Dp/Dx(%)
累积次 数m
累积频率 P=m/n(%)
2300~2101 2100~1901 1900~1701 …
1 2 3 …
1.6 3.2 4.8 …
0.008 0.016 0.024 …
1 3 6 …
1.6 4.8 9.6 …
700~501
合计
1
62
1.6
100
0.008
62
100
问题启发
• 1、如何由工程设计标准（设计洪水频率或重 现期）推求设计洪水流量（设计洪水水位）？ • 2、设计洪水频率和重现期之间是什么关系？
• 3、理论频率曲线的形式是什么样的？
• 4、如何求理论频率曲线的三个参数？
• 5、求矩适线法中，如何选取水文资料？
经验频率曲线
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q K P Q
Ki
2）.中值 x
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值
x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y y
y
o
xxx a)
x 0Leabharlann xxx b)x 0
xxx
c)
x
a）正偏态；
b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概
率是十分接近的。
二、随机变量的概率分布
概率分布 例 4-1
X（日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(%)
2
4
6
8
10
13
15
17
13
8
4
100
例4-2 1）计算频率密度及累积频率
年降水量组距 Dx(=200mm)
发生在组距中 的次数Dm
区间频率 Dp=Dm/n(%)
频率直方图
累积频率曲线
x
P( x x P ) F ( x P )
∞
xP
f ( x)dx
x x
P
F(x )=∫ x f (x )dx (分布曲线)
p
P
>
f (x ) (密度曲线)
f ( x)dx 1
P (%)
分布曲线与密度曲线的关系
三、随机变量的分布参数
一个随机变量系列的频率密度曲线和频率分布曲线的形 状和方程，都可以用几个数值特征值来反映，这些数值特征 值称为统计参数（特征参数，分布参数） 。 水文计算中常用的统计参数有均值 和偏态系数 C 。
保持幽默感
要能处乱不惊
第四章 水文统计基础知识
本章重点：
1、理解随机变量及概率分布的概念，掌握常用概率分布曲线；
2、理解总体、样本与抽样误差的概念及统计参数的估计；
3、掌握现行频率计算的方法——适线法，理解频率计算中 几个特殊问题的处理； 4、掌握二元相关分析法。
本章学习思路：
表5.1~5.3 工程设计标准
2）绘制频率直方图 3）绘制累积频率曲线
概率密度曲线
2300 2100 1900 1700 1500
年降水量
概率分布曲线
2500
f(x)
年降水量
2000 1500 1000 500 0 0 20 40 累积频率 60 80 100 120
F(x)
1300 1100 900 700 0 0.02 0.04 0.06 频率密度 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线） 设计洪水水位 设计洪水流量
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期） 经验频率曲线
公式4-18~公式4-20
曲线选用（P- Ⅲ曲线）
频率曲线 理论频率曲线
QP (Cv 1)Q K P Q
求矩适线法 适线方法
三点适线法
统计参数（x，Cv，Cs）（P37~40）
3
1973年 1975年 1978年 1981年 1983年 1986年 1989年 1992年 1994年
水文现象的特性
一、随机性 水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程
中，包含着必然性的一面，也包含着偶然性的一面。
必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现 象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出现
重现期 10000 800 700 600 500 采样点 400 300 200 100 0 1000 200 100 50 20 10 5 2 5 10 20 50 100 200 1000 10000 Cv=2Cs CS=2CV Cv=2.5C CS=2.5CV s Cv=3Cs CS=3CV Cv=3.5C CS=3.5CV s CS=4CV Cv=4Cs
和变差系数 C v 均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离 散程度的参数。 系列中各随机变量 D i 表示， D i xi x 。
s
x
、变差系数 C v
1.位置特征参数
1）.均值
x
x1 x 2 x n 1 n x xi n n i 1
均值反映了系列在数值上的大小（系列总体水平的高低）， 可以作为系列之间数值大小（水平高低）的比较标准。
系列中各个变量与均值的比值，称为模比系数（或变率）， 以K 表示。对任一变量 x，则有：
1、随机变量：随机试验取值随机的变量，分为离散型、连 续型随机变量。 2、概率P：随机变量出现某取值的可能性。 3、频率P：随机变量某取值在试验中出现的比率。
m P (A) n
掷币试验出现正面的频率表
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００ 出现正面次数 ２０４０ ６０１８ １２０１４ 频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６