五邑大学,近代物理,物理数学,microscopic_state资料

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相格与量子态
原则上说，量子描述才是准确的，但在统计物理学所处 理的问题中，普朗克常数可以忽略。 这时，物理客体的粒子性占主要地位，粒子近似地沿确 定的轨道运动，可以用半经典方法加以描写。 因此，在统计物理学中，粒子的运动近似地用广义坐标 和广义动量描写，但要加上量子力学的限制：
围的相体积：
相格的体积
对能量的限制相当于三维动量空间中的球体
在代表点能够达到的范围内，相格的总数就是W。 这就是能量等于 E 的系统能够容纳的量子态的总数。
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量子态数的量子描写
在量子描写中，被限制在立方体内的粒子的能量：
如果系统的总能量等于 E，每个粒 子的能量取值仍然在 0~E间变化。 对能量的限制相当于抽象的三维量 子数空间中的球体的第一卦限：
由此得到在空间体积V内，能量处于 范围内，粒子的微观态数
单位能量间隔内的微观态 数叫做能态密度或态密度
如果把自旋考虑进来，则要乘以自旋态数，对电子是2
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宏观态与微观态
当系统处于平衡态时，各种宏观量有确定的值。系统的 宏观态由一组完备的宏观量(态参量)描写。 每一组态参量构成一个抽象的状态空间。状态空间中的 一个点对应于系统的一个宏观态。 尽管系统的宏观态确定，粒子的微观运动状态仍然有各 种可能性，并且在不断地变化。 系统的微观态就是由一组完备的量子数决定的量子态。 考虑由N 个全同粒子组成的系统，它的总能量是 E，这 就是系统的宏观状态。 在这个宏观态下，在各个单粒子能级上粒子数的分配可 以有大量不同的方式：
方程中的一个下标代表一组完备的量子数，也叫守恒量 完全集，而能量本征值一般取分立的数值。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
广义坐标与广义动量
分析力学用广义坐标 q 和广义动量 p 描写粒子的运动。 直角坐标系中的自由粒子： 球坐标系中的自由粒子：
一般地考察有 r 个自由度的系统。任意时刻的状态由广 义坐标与广义动量的值确定：
宏观系统的微观描写
宏观系统的微观描写
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统计方法分类
宏观系统由大量微观粒子组成。 统计物理学的基本观念是：系统的宏观特性是微观粒子 行为的集体表现。宏观量是相应微观量的统计平均。 19世纪已经在经典力学基础上建立了经典统计法。 由于微观粒子遵循量子规律，严格的统计法必须在量子 力学的基础上建立，叫做量子统计法。 两类统计法的基本统计原理相同，经典统计法是量子统 计法在一定条件下的近似结果。 在量子力学中，系统的量子态用波函数描写，它满足定 态薛定谔方程：
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量子态与玻尔兹曼系统
在量子力学中，一个粒子的量子态由一组量子数描写。 两组量子数只要有一对不一样，这两组数就不相同。 由N 个全同粒子组成的系统就要由N 组数描写。 这N 组数的每一种排列代表系统的一种可能的量子态。 考虑由全同粒子组成的近独立粒子系统。 由于相互作用极其微弱，每个粒子孤立存在时量子态的 概率分布不会受到别的粒子的干扰； 由于存在微弱的相互作用，粒子的状态可以互相传递， 最终使系统达到平衡态。 从经典的角度看，每一个粒子都是可分辨的，要确定系 统的微观状态，必须确定每一个粒子的量子态。 由于可分辨性，每个单粒子量子态可容纳任意个粒子。 具有这种性质的全同粒子系叫做玻尔兹曼系统。
结果与用半 经典描写得 到的一样。
它的体积等于其中包含的相格的数目，正是总能量为E 时可能的量子态总数：
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自由粒子的自由度是3，对应的相空间是6维的。 根据相格的定义，在空间体积V内，动量处于
范围内，粒子的微观态数
能态密度
在球坐标系下，动量体积元
对角度积分，就得到在空间体积V内，动量的大小处于 范围内，粒子的微观态数
各种分配方 式必须满足
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等概率假设
系统的宏观态确定后，各种微观态以一定的概率出现。 这反映出个别粒子的行为是受偶然性支配的。 这意味着不可能也没有必要追踪微观态的变化。 系统有确定的宏观量则反映出整体行为受必然性支配。 这意味着宏观行为必定是微观行为的集体表现。 于是，由大量粒子组成的系统遵循统计规律。 在一定的宏观条件下，在某个时刻，各种微观态以一定 的概率出现。确定这个概率是统计物理学的首要任务。 没有任何依据显示，某个微观态比其他微观态更优越。 1871年，玻尔兹曼提出，对于处在平衡态的系统，各个
由 r 个广义坐标构成一个 r 维位形空间，而 r 个广义坐 标和广义动量构成 2r 维相空间。 从经典的观点看，相空间中的一个点代表粒子的一种可 能状态，一条相轨代表一种可能的运动方式。
如果系统由多个没有相互作用的粒子组成，则每个粒子 都有三个自由度，分别对应三个广义坐标和广义动量。
如果组成系统的粒子之间有相互作用，则要加上约束条 件，结果独立的广义坐标与广义动量的数目要减少。
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量子态数的半经典描写
考虑被限制在边长为L的立方体内的全同粒子系。分别 考察对系统的半经典描写与量子描写。
在半经典描写中，三维自 由粒子的能量表达式：
如果系统的总能量等于 E，则每个粒子的能量取值将有
可能在 0~E 之间变化，
在 6 维相空间中，表征粒子运动状态的点所能到达的范
在一维的情况下，这表示在二维相空间中一个面积为 h 的小面元内不可能准确地确定粒子的状态。 把这结果推广到有 r 个自由度的系统，与面元对应的就 是一个2r 维相空间中的小体元，其相体积为 。 显然，这样一个小体元内各点之间的差异可以忽略。 把整个相空间看做由这样的小体元组成，把每个小体元 称为一个相格，每个相格代表一个量子态。
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玻色系统与费米系统
从量子的角度看，全同粒子是不可分辨的，要确定系统 的微观状态，只能确定每一个单粒子态上的粒子数。 由于交换对称性，系统的波函数要么对称要么反对称。 如果波函数关于交换对称，其成员粒子叫做玻色子，由 玻色子组成的全同粒子系叫做玻色系统。 玻色系统不受泡利不相容原理的限制，处在同一单粒子 态上的粒子数可以取任意值。 如果波函数关于交换反对称，其成员粒子叫做费米子， 由费米子组成的全同粒子系叫做费米系统。 费米系统遵从泡利不相容原理，每一个单粒子态 ( 由一 组量子数描写 ) 最多只能容纳一个费米子。 玻色系统与费米系统的这个差别必定造成这两种系统所 遵从的统计法有巨大差别。