用柯西不等式证明点线距公式
柯西不等式证明点到直线的距离公式
柯西不等式证明点到直线的距离公式在平面几何中，我们经常需要计算点到直线的距离。
这个问题在解析几何中有一个非常有用的公式，即点到直线的距离公式。
本文将通过柯西不等式来证明这个公式。
我们先回顾一下柯西不等式的定义。
给定两个实数序列a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，柯西不等式表述如下：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2其中，等号成立的条件是a1/b1 = a2/b2 = ... = an/bn。
现在，我们考虑一个点P(x1, y1)和直线Ax + By + C = 0，其中A, B, C为常数。
我们需要求点P到直线的距离。
我们设直线上的一点为Q(x2, y2)。
我们可以计算点P到点Q的距离为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)然后，我们考虑直线上的任意一点Q(x2, y2)。
由于点Q在直线上，它满足直线的方程Ax + By + C = 0。
将Q的坐标代入方程，我们可以得到：Ax2 + By2 + C = 0我们可以将这个方程两边同乘以A^2 + B^2，得到：A^2x2 + ABy2 + AC = 0接下来，我们将Ax2 + By2 + C的平方展开，得到：(Ax2 + By2 + C)^2 = (A^2x2 + ABy2 + AC)^2展开后，我们可以得到：A^2x2^2 + 2ABx2y2 + B^2y2^2 + 2ACx2 + 2BCy2 + C^2 = 0我们可以将这个等式进行简化，得到：A^2x2^2 + B^2y2^2 + 2ACx2 + 2BCy2 + C^2 = -2ABx2y2现在，我们可以对这个等式两边同时开方，得到：sqrt(A^2x2^2 + B^2y2^2 + 2ACx2 + 2BCy2 + C^2) = sqrt(-2ABx2y2)注意到左边的表达式是点Q到直线的距离，我们将其记作d。
高中数学第三讲《柯西不等式的证明及其应用》教案新人教A版选修
柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++Λ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ=()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++L L L 22120n n a a a +++≥Q L()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤Q L L L即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当且仅当()01,2i i a x b x i n +==L 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式当 2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立设22212k a a a A ====L 22212k b b b B ====L1122k k C a b a b a b =+++L则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++L L()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
柯西不等式各种形式的证明及其应用演示版.doc
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
平面内点到直线距离公式的推导方法
平面内点到直线距离公式的推导方法平面内点P(x 0,y 0)到直线l ∶Ax+By+C=0(A,B不全为0)的距离为d=|Ax 0+By 0+C|A 2+B 2,这个公式称为平面内点到直线的距离公式。
点到直线距离公式是解析几何中的一个非常重要的的公式,应用它可使很多求解面积问题得以简化,也正因为如此,大多数老师和学生更多地重视它的应用,而对于公式本身的证明却不重视。
笔者以为:研究公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对思维的发展更具有价值。
平面内点到直线距离公式的推导,在旧人教版必修本教材和人教版新教材中给出了两种不同的推导方法,这两种方法虽有不同之处,但都采用了间接法,即构造以垂线段为边的直角三角形,通过解三角形来求垂线段两个端点间的距离。
教材中也认为这种做法“思路自然,但运算较繁”,因为求出垂足的坐标计算量大,所以教材才避开了这种证法。
笔者认为:用这种方法求线段的长,体现了解析几何的本质,即用代数的方法来研究几何问题。
长期以来,人们一直在回避这种方法,原因在于没有更好的办法求得垂足的坐标。
其实完全没有必要求得垂足的坐标,我们的本意只是要求出两点的距离,下面给出笔者的一种做法:解:过点P(x 0,y 0)向直线l作垂线,垂足为Q,设点Q的坐标为(x 1,y 1),已知:直线PQ的方程为B(x - x 0) - A( y - y 0)=0,点Q在直线l上,所以有Ax 1+By 1+c - 0,(1)即A(x 1-x 0)+B(y 1-y 0)=-(Ax 0+By 0+C),(2)又因为点Q在直线PQ上,所以B(x 1-x 0)-A(y 1-y 0)=0,(3)(2)(3)两式平方相加可得(A 2+B 2)[(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0)2]=(Ax 0+By 0+C) 2,所以,点P到直线l的距离d=(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0) 2=Ax 0+By 0+CA 2+B 2.这种方法运用整体思想,并不需要引太多的辅助线,也不需要借助于平面几何和三角函数的知识,同时也避开了分类讨论,从而大大减少了运算量,体现了解析法解题的巨大优越性,反映了解析几何的本质。
柯西-许瓦兹不等式的证明方法及应用
柯西-许瓦兹不等式的证明方法及应用
柯西-许瓦兹不等式，又称柯西-赫瓦尔定理，是数学界著名的最优化理论。
它由美国数学家约翰·柯西和法国数学家许瓦兹在1817年提出，用于证明函数的最值点。
它被广泛应用于各种科学研究中，如机械学、力学、数学分析等，既是数学理论的基础，又是实际应用的基础。
柯西-许瓦兹不等式的数学公式是：若函数f(x)在[a,b]上对任意x ∈ [a,b]可导，则有∫ (b-x)f′(x)dx⩾ f(b)-f(a)，其中f′(x)是函数f(x)的导数。
柯西-许瓦兹不等式的证明方法也比较简单，也是在把数学分析中许多有用的公理和定理的基础上构建起来的。
在把函数f(x)分割成多个子区间
[x1,x2],…[xn-1,xn]，分别用梯形公式积分，利用分几数对称性，重用中值定理，及利用适当的技巧，可以得到上式?
柯西-许瓦兹不等式的应用非常广泛，它可以用于分析和证明函数的极值点、求解参数的最优值，也可以应用到定积分和积分方程等问题中。
比如，可以用来证明函数f在[a,b]上存在最大值或最小值点，也可以用来对最优利用问题进行研究，分析有限资源最优分配问题等。
柯西-许瓦兹不等式在解决数学最优化问题中有非常重要的作用，因此它的证明方法及应用也成为当代数学学习中备受重视的研究内容。
11柯西不等式教学用
柯西不等式∑∑∑===≥∙ni ni i i ni i ib a b a121122)(1 从形的角度去解释柯西不等式（二元） 1.1形的角度——三角不等式右图所示的⊿OPQ 中，由OP+PQ ≥OQ ，即得222222)()(d b c a d c b a +++≥+++将上式两边平方，便得(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2。
（1） 1.2柯西不等式的向量解释21222122)()(cos d c b a bdac +++=θ1.3从点到直线的距离公式入手 如右图，PH 垂直于直线l ：Ax +By +C =0，垂足为H ，Q (x ,l 上任意一点，那么PQ ≥PH 到直线的距离公22002020||)()(BA C By Ax y y x x +++≥-+-化简得(A 2+B2)[(x 0-x )2+(y =[(A (x 0-x )+B (y 0-y )+(Ax +By +C ))2=[(A (x 0-x )+B (y 0-y ))2将A ,B ,x 0-x ,y 0-y 分别用a ,b ,c ,d 来代替，就得到（1）式。
2.4从面积入手 S ⊿ABE =S 提醒BCDE -S ⊿ABC -S ⊿ADE=(a +d )(b +c )/2-ab /2-cd /2=(ac +bd )/2=0dA又S ⊿ABE =2122ba +22dc +sin ∠BAE≤2122b a +22dc +，所以ac +bd ≤22ba +22dc +。
究其本源乃是几何公理：在连结两点的所有线中，线段最短。
2 从数的角度发现与证明柯西不等式 2.1式子变换的角度作差(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc-ad )2，得 (a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2。
推广：(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)-(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2 =(a 1b 2-a 2b 1)2+(a 1b 3-a 3b 1)2+…+(a n -1b n -a n b n -1)2 2.2数学运算的角度途经一：首先由)0"("02=⇔=≥a a ，以ax +b 代替a ，得(ax +b )2≥0对任何实数x 成立。
柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
柯西不等式的证明
1 12 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 21 2§2.3 柯西不等式我们知道，两个向量a = (a 1, a 2 ) ， b = (b 1, b 2 ) 满足a ⋅ b =| a || b | cos < a , b > ，由于| cos < a , b >|≤ 1，从而得 a ⋅ b ≤ a b ，即 a 1b 1 + a 2b 2 ≤得 (a b + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ). 显然等号在a 与b 共线时成立.即当且仅当a 1 = a 21 12 21212时等号成立.从而我们可以得到以下定理：定理 1 设a , a , b , b 为任意实数，则(a b+ a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ).b 1 b 212 121 12 21212当且仅当a 1 = a 2 = 0 或b i = λa i （ λ 为常数， i = 1, 2 ）时等号成立.这就是著名的柯西不等式的二元形式.柯西不等式的证明方法很多，这里我们选择其中一些具有一定代表性的简单的证明方 法.证法一（分析法）欲证(a b + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ).1 12 21212即证a 2b 2 + a 2b 2 ≥ 2a b a b，即证(a b - a b )2 ≥ 0 ，而这是显然成立的，故原不等1 22 11 2 2 1式得证.1 22 1证法二（综合法）由于(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) = a 2b 2 + a 2b 2 + a 2b 2 + a 2b 212121 12 21 22 1= (a 2b 2 + 2a b a b + a 2b 2 ) + (a 2b 2 - 2a b a b + a 2b 2 )1 11 12 22 22 11 12 21 2= (a b + a b )2 + (a b - a b )2≥ (a b + a b )2.证法三（比较法）因为(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) - (a b + a b )2 = a 2b 2 + a 2b 2 - 2a b a b12121 12 21 22 11 12 2= (a b - a b )2 ≥ 0 ，从而(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 22 11 12 21122证法四（构造函数法）构造函数 f (x ) = (a 2 + a 2 )x 2 + 2(a b + a b )x + (b 2 + b 2 ) . 则 f (x ) = (a 2 x 2 + 2a b x + b 2 ) + (a 2 x 2 + a b x + b 2 ) = (a x + b )2 + (a x + b )2 ≥ 0 ， 从而当 a 2 + a 2 ≠ 0 时，其判别式 ∆ = [2(a b + a b )]2 - 4(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) ≤ 0 ，即(a b 1 2+ a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ).1 12 2 1 2 1 2 1 12 21212当a 2 + a 2 = 0 时，不等式显然成立.证法五（构造解析几何法）当a 2 + a 2 ≠ 0 时，欲证原不等式成立，a 1b 2F 2 2 1 21 2 12 1 2 1 2a | ab + a b |上式结构特征与解析几何中点到直线的距离公式很类似.由此不妨设点(a , b ) 到过原点的直线l ： a x + a y = 0 的距离d=，而2212可视为点(a 2 , b 2 ) 到原点的距离，从而d ≤ | a b + a b | ， a 2 + b 2.故(a b + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ). .1 12 21212当a 2 + a 2 = 0 时，不等式显然成立.证法六（构造解析几何法）如图，不妨设 A (a 1, a 2 ), B (b 1, b 2 )（1）当(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) ≠ 0 时，由余弦定理，得 yB (b 1, b 2 )OA (a 1, a 2 )xOA 2 + OB 2 - AB 2 (a 2 + a 2 ) + (b 2 + b 2 ) - [(a - b )2 + (a - b )2 ]cos ∠AOB = = 1 21 2 1 1 2 22OA ⋅ O B=由于| cos ∠AOB |≤ 1 ，从而≤ 1 ，即(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 12 21122（2）当(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2) = 0 时，不等式显然成立. 证法七（构造平面几何法）设线段 AB 、OA 、OD 、OF 的长分别为| a | 、| a | 、| b | 、| b | ，构造如图的几何图形， AB1212则S 矩形O -C+S 矩形A - F 1 = | a 1b 1 | + | a 2b 2 | ，21O因为S ∆OFB = 2 S 矩形A - F ， S ∆OFE = 2 S 矩形O -E ，S = 1S ，所以∆BFE2 矩 形 F -Cb 1 DECS ∆OBE = 1 (S 2 矩形O -C +S 矩形A - F ) ，即 1 OB ⋅ O E sin ∠BOE = 1(S 2 2矩形O -C +S 矩形A - F ) ，即 (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) sin ∠BOE =| a b | + | a b |≥ a b + a b .12121 12 21 12 2b2b2 +b212⎩b1 1 ⎩b2 21 2 1 21 2 1 21 2 1 21 2 1 2≥∠BOE ，于是有(a b +a b )2 ≤ (a2 +b2 )(a2 +b2 ) .1 12 2 1 1 2 2⎧a1 =r1cosα,⎧a2=r2cos β,证法八（三角代换法）不妨设⎨=r sin α,⎨=r sin β（r1, r2均为变量）则a1b1+a2b2=r1r2(cosαcos β+ sin αsin β) =r1r2 cos(α-β).又r r =r ⋅r 及rr cos(α-β) ≤r r ，得1 2 1 2 1 2 1 2(a b +a b )2 ≤ (a2 +b2 )(a2 +b2 ) .1 12 2 1 1 2 2证法九（换元－三角代换法）（1）当(a2+a2)(b2+b2)=0时，不等式显然成立；（2）当(a2 +a2 )(b2 +b2 ) ≠ 0 时，欲证原不等式成立，只需证1 +≤1.⎛⎫2 ⎛⎫2⎛⎫2 ⎛⎫2注 意到a1 +a2 = 1 与b1 +b2= 1 与cos2 x + sin2 x = 1 的结构特征很类似，不妨设a= cosα,⎧且= sin α,2= cos β,从而= sin β.+= cosαcos β+ sin αsin β = cos(α-β) ≤ 1.所以(a b +a b )2 ≤ (a2 +b2 )(a2 +b2 ) .1 12 2 1 1 2 2证法十（标准化方法）（1）当(a2+a2)(b2+b2)=0时，不等式显然成立；（2）当(a2 +a2 )(b2 +b2 ) ≠ 0 时，令 x = ， x ，1 2 1 2 1 2y1，y2则x2 +x2 =y2 +y2 = 1.a1a2 +a21 2a 1b 1 a 1b 1 + a 2b 2 a 2b 2 a 1b 1 + a 2b 2122 2 2 2 1 1 2 2 1 12 2 1 2 12 1 2 1 2 1 11 1 1 12 2 1 2 ⎦ ⎣ 1 1 2 2 1 2≤ x y + x y1 12 2≤x + y + x + y = 1 2 + 2 +1 2 + 2 =1 12 2 (x 1x 2 ) ( y 1 y 2 ) 1. 2 2 2 2从而(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 12 21122证法十一（标准化方法）由于(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 )a 2 (b 2 + b 2 ) a 2 (b 2 + b 2 ) b 2 + b 21 2 1 2 +1 = 1 1 2 + 2 1 2 + 1 2(a b + a b )2 (a b + a b )2 (a b + a b )2 b 2 + b 21 12 21 12 21 12 212⎡ a 2 (b 2 + b 2 ) b 2 ⎤ ⎡ a 2 (b 2 + b 2 ) b 2 = ⎢ 1 1 2 + 1 ⎥ + ⎢ 2 1 2 + 2 ⎥ ≥⎣(a b + a b )2 (b 2 + b 2 ) (a b + a b )2 (b 2 + b 2 )≥ 2+ = 2 .(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 )所以 1212≥ 1 ，即有(a 1 b 1 + a 2b 2 ) (a b + a b )22 ≤ (a 2 + b 2)(a 2 + b 2 ) .比值法是证明不等式的一种常用的、基本的方法.方法十与方法十一也称为标准化方法，这个方法可以简化许多不等式的证明，需要认真体会.方法十二（1）当(a 2 + a 2)(b 2 + b 2 ) = 0 时，不等式显然成立；（2）当(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) ≠ 0 时，令 x =， x ，121212y 1， y 2 则 x 2 + x 2 = y 2+ y 2 = 1.则原不等式等价于 x y + x y ≤ 1 ，即 2(x y + x y ) ≤ x 2 + x 2 + y 2 + y 2 ，又等价于1 12 21 12 21212(x - y )2 + (x - y )2 ≥ 0 ，这个不等式显然成立，且等号成立的条件是 x= y ， 且 x = y ，1122从而原不等式成立.方法十三（利用含参数的平均值不等式）对于m ∈ R + ，得1122a 1b 1 ≤ 1(m 2a 2+ 12 m 2b 2) ，令m 2=a 1b 1 ⎤ ≤ a 2 + b 2 ⎥ ，⎥⎦122 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 21 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 22 1 1 2 212同理， a 2b 2 ⎤ ≤ a 2 + b 2 ⎥⎥⎦ 从而| a b + a b |≤| a b | + | a b |≤ 11 12 2 1 1 2 2 2=.故(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 12 21122利用含参数的平均值不等式来证明不等式，具有较高的灵活性和技巧性，我们将在后讲述进程中作专门介绍.证法十四（内积法）设向量a = (a 1, a 2) ， b = (b 1, b 2 ) ，对任意的实数t ，我们有0 ≤ (a + t b , a + t b )2 = a 2 + 2a ⋅ b t + b 2t 2于是(a 2 + a 2 ) + 2(a b + a b )t + (b 2 + b 2 )t 2≥ 0 ，由t 的任意性，得∆ = 4 ⎡⎣(a b + a b )2 - (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 )⎤⎦≤ 0 ，即(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ).1 12 21122证法十五（二次型法）因为(a 2 + a 2 )x 2 + 2(a b + a b )xy + (b 2 + b 2 ) y 2 = (a x + b y )2 + (a x + b y )2 ≥ 0所以，关于 x , y 的二次型(a 2 + a 2 )x 2 + 2(a b + a b )xy + (b 2 + b 2 ) y 2 非负，因此a 2 + a 2a b + a b121 12 2≥ 0 ，即(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ).a b + a b b 2 + b2 1 12 21122对于二元柯西不等式的证明，包括引言部分在内，我们提供了十六种证明方法.这十六种证明方法都比较简单，但对于不等式的证明来讲，怎样入手是十分重要的.现在我们将其拓展到n 元的形式定理 2（柯西 Cauchy 不等式）设a 1, a 2 , , a n 及b 1, b 2 , , b n 为任意实数，则(a b + a b + + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 + + a 2 )(b 2 + b 2 + + b 2 )1 12 2n n12n12n等号当且仅当a 1 = a 2 = = a n = 0 或b i = λa i （ λ 为常数， i = 1, 2, , n ）时成立. 仿照柯西不等式二元形式的证明，对于n 元形式的柯西不等式，我们给出以下几种证明方法供大家参考.证法一：令 A = a 2 + a 2 + + a 2 ，B = a b + a b + + a b ，C = b 2 + b 2 + + b 2.n12nn1 12 2a ib in n n12nnn22不妨假设 A n ≠ 0 ， C n ≠ 0 ，令 x i =， y i = ∑ x i i =1 + ∑ y i i =1 = 1. + (a + a )(b + b ) 1 2 1 2 )2 2 2 2n nA CBi i i i i i i in n n n n 则原不等式等价于∑x y ≤ 1 ，即2∑x y ≤∑x2 +∑y2. 又等价于∑(x -y )2 ≥ 0.i=1 i=1i=1i=1i=1而这个不等式是显然成立的，且等号成立的么要条件是 xi=yi（i = 1, 2, , n ），即bi=λa i （其中λ），从而原不等式成立.证法二（比值法）按证法一中的方法记An, Bn, Cn，不妨假设An≠ 0 ，Cn≠ 0 ，令x =| ai|y=，则∑ x2 +∑ y2 = 1.i ii=1i ii=1n n 1 1 ⎛n n ⎫∑x y ≤∑ (x2 +y2 ) =∑x2 +∑y2= 1，i i 2 i i 2 i i ⎪i=1 i=1 ⎝i=1 i=1 ⎭n n a2 b2且等号当且仅当 ∑a i b ii=1=∑a i b ii=1，且iAn=iCn时成立.第一个条件表明aibi≥ 0 （i = 1, 2, , n ）即ai与bi同号.第二个条件表明等号成立充要a2 A | a |条件是i=n ，即i 为常数.b2 C | b |i n i由于ai与bi（i = 1, 2, , n ）同号，从而命题成立.证法三（比值法）按证法一中的方法记An, Bn, Cn，则A C n a2C n b2n ⎛a2C b2 ⎫n a bn n +1 =∑i n +∑i =∑ i n +i ⎪≥∑2 ⋅i i = 2B2 i=1 B2 i=1 C i=1 ⎝B2 C ⎭i=1 Bn n n n n n所以 n n≥ 1，即B2 ≤A C .2 n n nn等号当且仅当ai （i = 1, 2, , n ）为一个常数.bi上面三种证法，我们借助标准化方法将柯西不等式进行了简化证明，需认真体会.证法四（利用参数平均值不等式）对于m ∈R+，得n n nii iii i2a b ≤ 1(m 2a 2+ 1b 2) ，令m 2=i i2im 2 i⎫则 a b ≤ 1 a 2 + b 2 ⎪ ⎪ ，故 i i 2 i i ⎪ ⎪ ⎭n n1 ∑ a i b i ≤ ∑| a i b i | ≤2 ⎪ =i =1 i =1从而原不等式得证.⎛ n 2 ⎫ 2 ⎛ n ⎫ ⎛ n 2 ⎫ 2 n 2证法五（二次型）因为 ∑ a i ⎪ x + 2 ∑ a i b i ⎪ xy + ∑b i ⎪ y = ∑(a i x + b i y ) ≥ 0 ，⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭ i =1 ⎛ n 2 ⎫ 2 ⎛ n ⎫ ⎛ n 2 ⎫ 2所以关于 x , y 的二次型 ∑ a i ⎪ x + 2 ∑ a i b i ⎪ xy + ∑b i ⎪ y 非负，因此⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭n n∑ a 2 ∑ a b2i =1 ii ii =1 ≥ 0 ，即⎛ ∑ a b ⎫ ≤ ∑ a 2 ⋅∑b 2. nni i ⎪ i i∑ a b ∑b2⎝ i =1 ⎭ i =1i =1 i iii =1i =1从而原不等式得证.证法六（利用拉格郎日恒等式）对于a 1, a 2 , , a n 及b 1, b 2 , , b n ，我们有如下拉格郎日⎛ 恒等式 ∑ a 2 ⎫ ⋅⎛ ∑b 2 ⎫ - ⎛ ∑ a b ⎫ = ∑ (a b - a b )2 ≥ 0 ，从而命题得证. ⎝ i =1 i ⎪ ⎭ ⎝ i =1 i ⎪ ⎭ ⎝ i =1 i i ⎪ ⎭ 1≤i < j ≤ni j j i证法六实际上是证法五的一种特殊情况，但在不等式的证明中，拉格郎日恒等式往往作为已知结论使用，此外，拉格朗日恒等式也可以用其他方法来证明.证法七（内积法）设向量a = (a 1, a 2 , , a n ) ， b = (b 1, b 2 , , , b n ) ，对任意的实数t ， 我们有0 ≤ (a + t b , a + t b )2 = a 2 + 2a ⋅ b t + b 2t 2于是(∑ a 2 ) + 2∑(a b ) ⋅t + (∑b 2 )t 2 ≥ 0 ，由t 的任意性，得i =1⎡⎛ n i =1⎫2 i =1n n ⎤ ∆ = 4 ⎢ ∑(a i b i ) ⎪ - (∑ a 2 )(∑b 2 )⎥ ≤ 0 ， ⎢⎣⎝ i =1 ⎭ i =1 i =1 ⎥⎦nn n n n nnnnnnnnn +1 i i ⎪ i ⎪ i ⎪ i i ⎪i ⎪ i ⎪ i i ⎪ n +1 n +1 n +1 n +1 i ⎪ n +1 2 2即⎛∑ a b ⎫ ≤ ∑ a 2 ⋅∑b 2. ⎝ i =1i i⎪⎭i =1 iii =1证法八（向量法）设向量a = (a 1, a 2 , , a n ) ， b = (b 1, b 2 , , , b n ) ，则对向量a , b ，我们有cos < a , b >= a ⋅ b | a || b |，从而有 = cos < a , b > ≤ 1，nn n⎛ n ⎫2n n 由a ⋅ b =∑ a b ， a 2 = ∑ a 2 , b = ∑b 2 ，从而得 ∑ a b ≤ ∑ a 2 ⋅∑b 2. i i i =1 i =1 i ii =1 ⎝ i =1 i i ⎪ ⎭ i =1 i i i =1等号当且仅当 cos < a , b > = 1即a 与b 共线时成立，命题得证.证法九（构造单调数列）构造数列S =⎛∑ a b ⎫ - ⎛ ∑ a 2⎫⎛∑b 2 ⎫，则S = 0. n⎝ i =1 i i⎪ ⎭ ⎝ i =1 i⎪ i⎪1⎭⎝ i =1 ⎭⎡⎛ n +1 ⎫2 ⎛ n +1 ⎫⎛ n +1 ⎫⎤ ⎡⎛ n ⎫2 ⎛ n ⎫⎛ n ⎫⎤ S - S = ⎢ ∑ a b - ∑ a 2 ∑b 2 ⎥ - ⎢ ∑ a b - ∑ a 2∑b 2 ⎥ ⎢⎣⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭⎝ i =1 ⎭⎥⎦ ⎢⎣⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭⎝ i =1 ⎭⎥⎦ = 2 ⎛∑n a b ⎫ a b + a 2 b 2- ⎛ ∑na 2 ⎫b 2 ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭n= -∑(a i b n +1 - b i a n +1 )2≤ 0i =1所以S n +1 ≤ S n ，从而数列{S n } 为单调递减数列，从而对一切n ≥ 1，有S n ≤ S 1 = 0 . 故原命题得证.证法十（构造二次函数）按证法一中的方法记 A n , B n , C n ，构造二次函数f (x ) = A x 2 + 2B x + C = ∑(a x + b )2 ≥ 0 ，从而∆ = B 2 - 4 A C ≤ 0nnnii =1a等号当且仅当 i 为常数成立.从而原不等式得证.b inn n柯西不等式还有许多种证明方法，有些方法我们将在后续章节中给出，在此不再赘述.a ⋅ b| a || b |n。
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、 定义法证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为B A'l ∴的方程：00()B y y x x A-=-与l 联立方程组 解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BCQ A B A B ----++ 2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=+++|PQ ∴= 二、 函数法证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：222200222222220000220000220000()[()()]()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=当且仅当00()B A y y x -=-（x ）时取等号所以最小值就是d =三、不等式法证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
(2021年整理)柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明与应用(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（柯西不等式的证明与应用(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为柯西不等式的证明与应用(推荐完整)的全部内容。
柯西不等式的证明与应用（推荐完整）编辑整理:张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望柯西不等式的证明与应用（推荐完整）这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为 <柯西不等式的证明与应用（推荐完整）> 这篇文档的全部内容。
柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用,最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： C auchy’s inequality is a very important inequality， this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality， solving the most value, solving equations， trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula， better explains the Cauchy inequality。