第十六章二次根式小结与复习 (1)
第16章二次根式复习与小结(课件)八年级数学下册(人教版)
知识梳理
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6.二次根式的除法法则:
两个二次根式相除， 根指数 不变，被开方数 相除.
需要满足什 么条件呢？
a
a
（a≥0，b＞0）
bb
二次根式的除法与乘法中b 的取值范围不同，为什么？
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7.二次根式除法法则的变形：
a a (a 0,b 0). bb 8.最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.二次根式的运算，可以类比整式的运算进行，在进行运算时， 能用公式的尽量用公式.
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1.二次根式
中，字母a的取值范围是 （ D ）
A. a>
B. a＜
C. a≥
D. a≤
2.使
有意义的x的取值范围是 （ B ）
A.x≥3 B.x≥3且x≠4 C.x≤3 D.x<3
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步骤： “一化、二找、三合并”.
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11.二次根式的混合运算:
1.二次根式混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方， 再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的（或者先去括号）.
2.对于二次根式混合运算，实数中的运算律（分配律、结合律、 交换律）运算法则及所有的乘法公式和分式的运算法则仍然适用.
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第16章二次根式复习与小结
知识梳理
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1.二次根式的概念：
一般地，我们把形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
2.如何确定二次根式中字母的取值范围？ ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
新人教版八年级数学下册第十六章二次根式小结与复习1
方法总结 初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0，
a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非 负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的 有效方法之一.
（A）
A.x≥3
B.x≤3
C.x>3
D.x<3
2.若 x x 6 x(x 6), 则（ A ）
A.x≥6
B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值.
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和 (3x y 1)2 均为0.
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项 可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
___被__开__方__数__相__同___的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021年4 月4日 星期日1 0时31 分36秒1 0:31:36 4 April 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午10时3 1分36 秒上午1 0时31 分10:31: 3621.4. 4
谢谢大家
a a＞0，
a2
a
0a
0 ,
a a＜0 .
3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含__分__母___； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
八年级数学下册 16 二次根式小结与复习学案 (新版)新
1 第十六章小结与复习【学习目标】1．通过复习理清本章的知识结构和重要知识点．2．总结本章的重要思想方法和技能技巧．【学习重点】二次根式的性质和运算．【学习难点】整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用．情景导入 生成问题知识结构我能建： 二次根式―→(a )2＝a (a ≥0)a 2＝a (a ≥0)―→二次根式的化简与运算—⎣⎢⎢⎡二次根式的乘除二次根式的加减自学互研 生成能力知识模块一基础知识【自主探究】 1．若a≥0，a a 的算术平方根表示为2．当a ≤12时，1－2a 有意义；当a ＜－53时3a ＋5没有意义． 3.（π－3）2＝π－3，（3－2）2，125－20 4.14×48，72÷18＝2，12＋27 【合作探究】1．在15，0.3，3－1，40中最简二次根式的个数是( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知12－n 是整数，那么自然数n 可以是3、8．(请你写出两个) 3．计算：(1)27＋12－45； (2)8＋313－12＋32；(3)(3－2)100×(3＋2)101; (4)(5－2)2＋(5＋1)(5＋3)．解：(1)原式＝33＋23－35＝53－35；(2)原式＝22＋3－22＋32＝322＋323；(3)原式＝[(3－2)(3＋2)]100×(3＋2)＝(－1)100×(3＋2)＝3＋2；(4)原式＝5－45＋4＋5＋45＋3＝17. 知识模块二 二次根式的化简求值【自主探究】已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．解：∵a＝3＋22，b ＝3－22，∴ab ＝1，a －b ＝4 2.2 ∴a 2b －ab 2＝ab(a －b)＝1·42＝4 2.【合作探究】已知m ，m 为实数，满足m ＝n 2－9＋9－n 2＋4n －3，求6m －3n 的值． 解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9≥0，9－n 2≥0，n －3≠0，解得n ＝－3，∴m ＝－23，∴6m －3n ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－3×(－3)＝5. 知识模块三 二次根式的综合应用【自主探究】 对于任意的正数m 、n 定义运算※为m※n＝⎩⎨⎧m －n （m≥n），m ＋n （m<n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( B ) A ．2－4 6 B ．2 C ．2 5 D ．20【合作探究】已知实数x 、y 、a 满足：x ＋y －8＋8－x －y ＝3x －y －a ＋x －2y ＋a ＋3，试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由．解：根据二次根式的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≥0，8－x －y≥0，解得x ＋y ＝8， ∴3x －y －a ＋x －2y ＋a ＋3＝0，根据非负数的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，3x －y －a ＝0，x －2y ＋a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，a ＝4.∴可以组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12.交流展示 生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一 基础知识知识模块二 二次根式的化简求值知识模块三 二次根式的综合应用检测反馈 达成目标【当堂检测】1．如果代数式x x －1有意义，那么x 的取值范围是( D ) A ．x ≥0 B ．x ≠1C ．x>0D ．x ≥0且x≠12．若y ＝x －3＋3－x ＋2，则x y＝9．3．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为3．34．如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，且正方形①②的面积分别为4和3，求图中阴影部分的面积．解：阴影部分的面积为(2－3)[3－(2－3)]＝(2－3)(3－2＋3)＝(2－3)(23－2)＝63－10.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
16章二次根式小结与复习(课件)
本章思想方法：三、类比思想
2
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 a b 3 m n 3 ，
用含m、n的式子分别表示a，b，得
2+3n2
m
2mn
a=_______;b=______;
(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：
学问题。
回顾与思考：
本章在数的开方知识的基础上，学习了二次根式的
概念、运算法则和加减乘除运算.
对于二次根式，要注意被开方数必须是非负数.在
二次根式的运算和化简中，要利用运算法则.二次根式
的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化为最简二
次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就可
以了。二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的
当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;
当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1;
当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
本章思想方法：二、整体思想
x y
已知 x 2 1, y 2 1 ，求 的值.
y x
解：∵ x y 2 1 2 1 2 2,
乘除运算
加减运算
混合运算
知识点梳理：
1．二次根式的概念
a
一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式.
对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0.
[易错点] 二Biblioteka 根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.
知识点梳理：
2．二次根式的性质:
a
2
a a 0 ;
第16章二次根式知识点梳理
第16章 二次根式知识点梳理一、二次根式的相关概念1.平方根：如果一个数和平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根。
2．二次根式： 形如a ()0a ≥的式子叫做＿＿＿＿＿；3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式称为＿＿＿．4.最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是＿＿＿，因式是＿＿＿；②被开方数中不含能开得尽方的＿＿＿或＿＿＿＿．特别提示：二次根式a 有意义的条件是＿＿＿＿．二、二次根式的性质1.（1）三个非负性：①0(0)a ； ≥②2(0)a a =；≥0≥a a =≥0(为任意实数）．2.四个性质： ①2(0)a a =；≥0≥a =＝a （a ≥0）或-a(a ＜0)③0,0)a b =≥≥；0,0)a b=＞≥．三、二次根式的运算：（1）二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，只需对同类二次根式进行合并；（2）二次根式的乘除法：0,)b a =≥≥0,0)a b =＞≥ 特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式．四、思想方法：（一）数形结合的思想：“数”可以准确刻画量的特征，“形”能直观反映状态特点，数学上常用数形结合的方法来描述物体某些特征．（二）分类讨论思想：分类的思想是初中数学的重要思想，当被研究的问题包含多种情况时，不能一概而论，必须按可能出现的每种情况分别讨论，得出各种情况下相应结论，然后根据情况合并，作出严密的结论，这种处理问题的思维方法称为分类的思想．（三）特殊到一般的思想：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想．归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形。
第十六章二次根式知识点归纳
第十六章二次根式知识点归纳一、形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．三、二次根式（）的双重非负性：1、被开方数非负。
2、a的值非负。
四、二次根式的化简。
1、化简2a时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.2a=∣a∣①若a是正数，则∣a∣等于a本身；②若a是负数，则∣a∣等于a的相反数-a,③若a是0，则∣a∣等于0.2、()2a=a (a≥0).3、被开方数是乘积用ab =a ·b（a≥0，b≥0）化，4、被开方数是商的形式用ab=ba（a≥0，b>0）或ba=b1ab5、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中的因数或因式不能再开方。
（五）二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
（六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。
构成()2a 化去分母中的根号。
分母有理化有两种方法I.分母是单项式 II.分母是多项式 要利用平方差公式注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。
第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(超全)(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(超全)单选题1、下列二次根式中，最简二次根式是（）A．√5B．√4C．√12D．√12答案：A分析：根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．解：A、√5是最简二次根式，符合题意；B、√4=2不是最简二次根式，不符合题意；C、√12=2√3不是最简二次根式，不符合题意；D、√12=√22不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．小提示：本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．2、二次根式√1x−2有意义，则x满足的条件是（）A．x＜2B．x＞2C．x≥2D．x≤2答案：B分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．解：根据题意得：x﹣2＞0，解得，x＞2．故选：B．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．3、若a=√3b−1﹣√1−3b+6，则ab的算术平方根是（）A ．2B ．√2C ．±√2D ．4 答案：B试题解析：∵a =3b √−1−√1−3b +6， ∴{3b −1≥01−3b ≥0, ∴1−3b =0， ∴b =13， ∴a =6，∴ab =6×13=2， 2的算术平方根是√2, 故选B.4、下列各式中，是二次根式有（ ）①√7；②√−3；③√103；④√−3−x 2；⑤√a 2+9；⑥√1x 2+1．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 答案：B分析：根据二次根式的概念进行分析判断． 解：①√7是二次根式，②√−3没有意义，不是二次根式， ③√103是三次根式，不是二次根式， ④√−3−x 2没有意义，不是二次根式， ⑤√a 2+9是二次根式， ⑥√1x 2+1是二次根式，∴①⑤⑥是二次根式，共3个， 故选：B ．小提示：本题考查二次根式的定义，理解二次根式的概念（形如√a ，a ≥0的式子叫做二次根式）是解题关键．5、计算2√5×3√10=( )A．6√15B．6√30C．30√2D．30√5答案：C分析：根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.解：2√5×3√10=6√50=30√2,故选C.小提示：本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.6、计算√8+√18的值等于（）A．√26B．4√2C．5√2D．2√2+2√3答案：C分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、若a＝√2﹣1，则a+1a的整数部分是（）A．0B．1C．2D．3答案：C分析：把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．解：∵a=√2−1，∴a+1a =√2−1√2−1=√2−1+√2+1=2√2，∵4<8<9，∴2<2√2<3，∴a+1a的整数部分是2，故选：C小提示：本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．8、下列计算正确的是（ ） A ．32＝6B ．（﹣25）3＝﹣85C ．（﹣2a 2）2＝2a 4D ．√3+2√3＝3√3 答案：D分析：由有理数的乘方运算可判断A ，B ，由积的乘方运算与幂的乘方运算可判断C ，由二次根式的加法运算可判断D ，从而可得答案． 解：32=9，故A 不符合题意； (−25)3=−8125, 故B 不符合题意； (−2a 2)2=4a 4, 故C 不符合题意； √3+2√3=3√3, 故D 符合题意； 故选D小提示：本题考查的是有理数的乘方运算，积的乘方与幂的乘方运算，二次根式的加法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．9、估计√12×√13+√10÷√2的运算结果应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间 答案：C分析：先进行二次根式的运算，然后再进行估算． 解：原式=2√3×√33+√10÷√2=2+√5， √4<√5<√9， 即2<√5<3， 4<2+√5<5，故选：C．小提示：题目主要考查二次根式的混合运算及运用“夹逼法”估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．10、2,5,m是某三角形三边的长，则√(m−3)2+√(m−7)2等于（）A．2m−10B．10−2m C．10D．4答案：D分析：先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．解：∵2,3,m是三角形的三边，∴5−2<m<5+2，解得：3<x<7，∴√(m−3)2+√(m−7)2=m−3+7−m=4，故选：D．小提示：本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化简．填空题11、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________cm2.答案：8√3-12分析：根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，√12＝2√3cm，∴AB＝4cm，BC＝（2√3＋4）cm，∴空白面积＝（2√3＋4）×4－12－16＝8√3＋16－12－16＝（8√3－12）cm2，故答案为8√3－12.小提示：本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB 、BC 的长度，从而求出空白部分面积. 12、化简：(√x −2)2+√(1−x )2＝_________． 答案：2x -3分析：根据二次根式的性质可知，x ≥2，再根据x 的取值范围进行化简即可． 解：∵x −2⩾0， ∴x ⩾2，∴√(1−x )2=x −1，∴原式=x −2+(x −1)=x -2+x -1=2x -3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．13、已知√x +5有意义，如果关于x 的方程√x +5+a =3没有实数根，那么a 的取值范围是__． 答案：a >3．分析：把方程变形为√x +5=3−a ，根据方程没有实数根可得3−a <0，解不等式即可． 解：由√x +5+a =3得√x +5=3−a ， ∵ √x +5有意义，且√x +5⩾0，∴方程√x +5=3−a 没有实数根，即3−a <0， ∴a >3，所以答案是：a >3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a 的取值范围． 14、人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =√5−12，b =√5+12，得ab =1，记S 1=11+a +11+b ，S 2=11+a 2+11+b 2，S 3=11+a 3+11+b 3，…，则S 1+S 2+⋅⋅⋅+S 2022=______． 答案：2022分析：根据异分母分式加法法则分别求出S 1、S 2、 S 3⋯ 、S 10的值，发现结果均为1，依此解答即可． 解：S 1=11+a +11+b =1+b+1+a(1+a)(1+b)=2+a+b1+a+b+ab =2+a+b1+a+b+1=2+a+b2+a+b =1，S 2=11+a 2+11+b 2=1+b 2+1+a 2(1+a 2)(1+b 2)=2+a 2+b 21+a 2+b 2+a 2b 2=2+a 2+b 21+a 2+b 2+1=2+a 2+b 22+a 2+b 2=1， S 3=11+a 3+11+b 3=1+b 3+1+a 3(1+a 3)(1+b 3)=2+a 3+b 31+a 3+b 3+a 3b 3=2+a 3+b 31+a 3+b 3+1=2+a 3+b 32+a 3+b 3=1， S n =11+a n +11+b n =1+b n +1+a n(1+a n )(1+b n )=2+a n +b n1+a n +b n +a n b n =2+a n +b n1+a n +b n +1=2+a n +b n2+a n +b n =1， ∴S 1+S 2+⋯+S 2022=1+1+⋯1=2022． 所以答案是：2022小提示：本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键． 15、当_____时，式子√x −3+√5−x有意义．答案：3≤x ＜5．分析：根据二次根式和分式的意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 根据题意，得：{x −3≥05−x ＞0，解得：3≤x ＜5． 小提示：本题考查了的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数． 解答题16、如图，正方形ABCD 的面积为8，正方形ECFG 的面积为32．(1)求正方形ABCD 和正方形ECFG 的边长； (2)求阴影部分的面积．答案：(1)正方形ABCD 的边长为2√2，正方形ECFG 的边长为4√2 (2)阴影部分的面积为12分析：（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可；（2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD 和直角三角形BGF 的面积，即可得出阴影部分的面积． （1）解：∵正方形ABCD 的面积为8，正方形ECFG 的面积为32，∴正方形ABCD的边长为√8=2√2，正方形ECFG的边长为√32=4√2．（2）阴影部分的面积为：S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECFG−SΔABD−SΔBGF=8+32−12×2√2×2√2−12×4√2×(2√2+4√2)=12小提示：本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键．17、计算：(1)√24÷√12−(√6+√2)2+(π−√3)0；(2)(7+4√3)(2−√3)2−(2+√3)(2−√3)+√3．答案：(1)-7(2)√3分析：（1）直接利用乘法公式以及零指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而合并得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案．(1)原式＝√24×2﹣（6+4√3+2）+1＝4√3﹣8﹣4√3+1＝﹣7；(2)原式＝（7+4√3）（7﹣4√3）﹣（4﹣3）+√3＝49﹣48﹣1+√3＝√3．小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质，正确运用乘法公式化简是解题关键．18、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．。
2019人教版八年级数学下册第十六章 二次根式 二次根式知识点归纳及题型总结
2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。
2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。
3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。
4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。
5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。
6.若a≥0，则√a²=a。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。
8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。
3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。
人教版八年级下册第十六章 二次根式复习归纳总结(提高题参考答案详解)
第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。
二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。
②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。
③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。
二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。
第十六章二次根式小结与复习
二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）； （3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______.4.二次根式的乘、除法则：（1（a ___0，b ___0）；（2=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后 ____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.考点呈现考点1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43 解析：要使43-x 在实数范围内有意义，必须满足条件43-x ≥0，所以x ≥34，故应选A.方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.考点2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±= 解析：本题利用二次根式的性质=2a ()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a进行解答，运用排除法不难知道只有选项B 正确，故应选B.方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况. 考点3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 解析：由52-x ≥0，且x 25-≥0，解得25=x ，所以3-=y ，因此xy 2＝2×25×（—3）＝—15，故应选A.方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0.考点4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.51 B.5.0 C.5 D.50 解析：因为5551=，22215.0==，2550=，所以A 、B 、D 均不是最简二次根式.方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.考点5 二次根式的运算例5 计算1824-×31＝____. 解析：本题是二次根式的混合运算，必须按法则进行，要注意最后结果的化简问题，即原式＝1824-×31＝2362-×33＝662-＝6. 方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.考点6 二次根式的化简求值例6 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____. 解析：先化简m 的值，得m ＝()()()()2014120141201420131201412014120142013=-+=+-+＋1. 再变形所求代数式34520132m m m --＝()()[]20141201322323--=--m m m m m ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∙+20141120141201423＝0. 方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.误区点拨一、考虑问题不全面例1 代数式21-x 中，x 的取值范围是______. 错解：根据题意，得2-x ≥0，解得x ≥2，故填x ≥2.剖析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件.正解：根据题意，得2-x ＞0，解得x ＞2，故填x ＞2.二、理解性质出错例2 求()23-的值. 错解：()23-＝—3. 剖析：()23-表示()23-的算术平方根，应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错.正解：()23-＝9＝3.三、忽略运算顺序例3 计算3312⨯÷. 错解：原式＝212=÷. 剖析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行.正解：原式＝23332=⨯⨯.四、对最简二次根式判断不准例4 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A.23B.36C.2.1D.49错解：选C.剖析：最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B. 错解只看表面形式，不求甚解，C 中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简.正解：选B.跟踪训练1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ≤3C.x ＜3D.x ＞32.下列各式是最简二次根式的是（ ） A.20 B.1.2 C.72 D.51 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ） A.18 B.24 C.12 D.94.化简122154+⨯的结果是（ ） A.25 B.36 C.3 D.355.下列运算正确的是（ ） A.25＝±5 B.12734=- C.9218=÷ D.62324=∙ 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A.3- B.33 C.223- D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.8.当m ＜0时，化简mm 2＝____. 9.计算：()2850÷-的结果是_____.10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-a a ＝_____.11.已知011=-++b a ，则20132013b a +＝____. 12.如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝____，m ＝____. 13.先化简，再求值：()()()633--+-a a a a ，其中215+=a . 14.先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a . 下图是小亮和小芳的解答过（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a .跟踪训练参考答案：1.A2.C3.C4.D5.D6.A7.3226+ 8.—1 9.3 10.32-a 11.0 12.1，313.解：（1）原式＝366322-=+--a a a a ，当215+=a 时，原式＝6×（215+）—3＝56.14.解：（1）小亮；（2）a a -=2（a ＜0）；（3）原式＝()()a a a a -+=-+32322＝a -6＝6—（—2007）＝2013.。