一种无外部持续激励的子空间闭环辨识算法
脉冲响应模型的闭环子空间辨识方法
作者简介：陈亮（1993—），男，硕士研究生，研究领域为子空间辨识，控制回路性能评估；潘海鹏（1965—），男，教授，研究领域为系 统建模与控制，智能检测与控制，工业过程控制与综合自动化，E-mail：pan@；吴平（1982—），男，博士，研究领域 为过程建模，系统辨识，子空间系统辨断，性能评估。
陈亮，潘海鹏，吴平，等 . 脉冲响应模型的闭环子空间辨识方法 . 计算机工程与应用，2019，55（8）：195-200. CHEN Liang, PAN Haipeng, WU Ping, et al. Closed loop subspace identification method of impulse response model. Computer Engineering and Applications, 2019, 55（8）：195-200.
Closed Loop Subspace Identification Method of Impulse Response Model CHEN Liang, PAN Haipeng, WU Ping, ZHOU Wei
Faculty of Mechanical Engineering & Automation, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2019，55（8） 195
⦾工程与应用⦾
脉冲响应模型的闭环子空间辨识方法
针对有测量偏差(EIV)的一种增广闭环子空间辨识方法(英文)
针对有测量偏差(EIV)的一种增广闭环子空间辨识方法(英文)刘涛;邵诚【期刊名称】《中国化学工程学报：英文版》【年(卷),期】2012(20)6【摘要】A closed-loop subspace identification method is proposed for industrial systems subject to noisy input-output observations, known as the error-in-variables (EIV) problem. Using the orthogonal projection approach to eliminate the noise influence, consistent estimation is guaranteed for the deterministic part of such a system. A strict proof is given for analyzing the rank condition for such orthogonal projection, in order to use the principal component analysis (PCA) based singular value decomposition (SVD) to derive the extended observability matrix and lower triangular Toeliptz matrix of the plant state-space model. In the result, the plant state matrices can be retrieved in a transparent manner from the above matrices. An illustrative example is shown to demonstrate the effectiveness and merits of the proposed subspace identification method.【总页数】6页(P1136-1141)【关键词】子空间辨识方法;变量系统;闭环;状态空间模型;消除噪声;正交投影;奇异值分解;主成分分析【作者】刘涛;邵诚【作者单位】Institute of Advanced Control Technology,Dalian University of Technology【正文语种】中文【中图分类】TP273;V231【相关文献】1.基于改进闭环子空间的水电机组参数辨识方法 [J], 田田;郭琦;刘昌玉;李伟;袁艺;刘肖;颜秋容2.基于两步方法的闭环子空间辨识算法 [J], 葛亦乔;石春;吴刚3.脉冲响应模型的闭环子空间辨识方法 [J], 陈亮;潘海鹏;吴平;周伟4.电厂脱硫系统闭环子空间辨识方法研究 [J], 杨大州;张寻;姜昊;刘畅;李益国5.基于改进闭环子空间的集气管压力辨识方法 [J], 刘昕明;高宪文;刘昕哲因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
判断是否为子空间例题
判断是否为子空间例题判断是否为子空间是线性代数中一个常见的问题。
学好线性代数，必须要对子空间的概念和性质有所了解。
在这篇文档中，我将介绍子空间的定义和相关性质，并提供一些例题进行判断。
首先，我们来定义子空间。
在给定一个向量空间V的情况下，非空集合U被称为V的子空间，如果U本身也是一个向量空间，且U中的所有向量都属于V。
换句话说，U 必须满足三个条件： 1. U非空，且包含零向量。
2. U对于向量的加法运算封闭。
3. U对于向量的数乘封闭。
借助上述定义，我们可以知道如果U是一个子空间，那么U与V具有相同的零向量，且满足线性组合的封闭性。
这些性质使得判断是否为子空间的问题变得相对简单。
接下来，我们将通过一些例题，来具体说明如何判断给定的集合是否为一个子空间。
例题1：考虑三维向量空间R^3，集合U = {(x, y, z) | x + y + z = 0}。
判断U是否为R^3的子空间。
解答：首先，我们需要验证U是否满足定义中的三个条件。
1. U非空，且包含零向量。
零向量是(0, 0, 0)，而且满足x + y + z = 0，所以零向量属于U。
2. U 对于向量的加法运算封闭。
假设(u1, u2, u3)和(v1,v2, v3)是U中的两个向量。
我们需要验证它们的和仍然属于U。
根据集合U的定义，(u1, u2, u3)和(v1, v2, v3)满足u1 + u2 + u3 = 0和v1 + v2 + v3 = 0。
我们计算它们的和：(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)。
根据加法运算的定义，我们可以得到(u1 + v1) + (u2 + v2) + (u3 + v3) = (u1 + u2 + u3) + (v1 + v2 + v3) = 0 + 0 = 0。
因此，(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)也满足x + y + z = 0，即它属于U。
因此，U对向量的加法运算封闭。
闭环子空间辨识方法及其应用
闭环子空间辨识方法及其应用准确的系统模型是先进控制技术得以应用的前提和基础。
作为多变量系统建模的有效工具,子空间辨识方法自上世纪九十年代初提出以来,就受到控制理论、信号处理及结构工程等多个领域的颇多关注。
这些年来,关于子空间辨识方法的研究已逐渐形成基本的理论体系,包括算法实现、性能分析与算法应用等。
基本的子空间辨识方法都是基于开环系统的,之后人们相继提出了针对闭环系统、非线性系统等的子空间辨识方法。
由于闭环系统辨识有着重要的工程实践意义,本论文的工作重点集中于对闭环子空间辨识方法的研究,包括对其理论的完善、算法的扩展以及在工业过程的应用。
本论文的具体研究内容包括：1.大多数子空间辨识方法都只考虑输出噪声,而假设输入变量是不受噪声污染的,这显然不符合实际。
本文针对EIV(errors-in-variables)模型,即考虑系统的输入和输出变量均受到噪声污染,提出了一种基于辅助变量的闭环子空间辨识方法。
对文献中基于辅助变量的子空间辨识方法进行分析,发现这些方法用于闭环系统辨识时可能出现估计偏差。
为了避免偏差的存在,本文提出利用新的辅助变量加以改进。
探讨了多种辅助变量的选择方式,利用仿真实例进行了对比研究。
相比于兼用主元分析(PCA)和辅助变量的子空间方法而言,本文方法仅依赖于辅助变量的选择,算法更为简单直接,易于实现。
2.将传统闭环辨识方法和子空间辨识方法适当结合起来以形成新的辨识方法,可以兼顾各家之长。
本文在传统两阶段法框架下提出一种新的闭环子空间辨识方法。
第一阶段通过信号的正交分解直接估计中间变量,第二阶段利用子空间辨识方法解决一个开环辨识问题,从而获得系统参数矩阵。
在第二阶段考虑了多种子空间辨识方法应用的可能,并用仿真实例进行了对比研究。
本文方法直接辨识系统模型,无需控制器模型信息,算法易于实现。
相比于已有的基于正交分解的r空间辨识方法,本文方法原理简单、易于扩展,而且给出一种较为简单的方法用于估计Kalman增益于噪声方差。
一种无特征分解的快速子空间DOA算法
一种无特征分解的快速子空间DOA算法
彭巧乐;司锡才;李利
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2010(032)004
【摘要】基于子空间正交特性的MUSIC算法具有优良的超分辨性能,但由于其需要对空间协方差矩阵进行特征分解,因而计算量比较大.为了降低计算复杂度,提出一种快速子空间算法.该方法利用信号特征值大于噪声特征值的特性,通过对空间协方差矩阵的高阶次幂或者空间协方差矩阵逆的高阶次幂来逼近信号子空间或者噪声子空间,从而避免了特征分解.获得噪声子空间后再采用MUSIC算法实现波达方向估计.仿真结果表明,该方法减少了计算量同时能够达到MUSIC算法的估计性能.【总页数】3页(P691-693)
【作者】彭巧乐;司锡才;李利
【作者单位】哈尔滨工程大学信息与通信工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001;哈尔滨工程大学信息与通信工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001;哈尔滨工程大学信息与通信工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.23
【相关文献】
1.一种平稳子空间分析的快速不动点算法 [J], 林原灵;陈前
2.一种无外部持续激励的子空间闭环辨识算法 [J], 邬芬;杨马英;田保林;王海波
3.一种新的基于Krylov子空间的快速子空间分解 [J], 安志娟;苏洪涛;包志强;保铮
4.一种快速特征分解方法及其在高分辨率谱估计中的应用 [J], 王曙光; 何振亚
5.一种新的基于子空间三角不等式快速搜索的参考矢量选择方法 [J], 马肖肖;潘志斌;李阳;方洁
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一种无外部持续激励的子空间闭环辨识算法
ａ ｔａ ｄ ｎ ｉ ｉ ｇ ａ ｐ ｉａｉｎ ，ｔｉ ｕ ｄ ｓｒｄ ｔ ａ ｅ ｃ ｎ ｅ ｕ ｉｅ ｅ ｃｔｔ ｎ ｄ ｅ ｔ ｒ ｃ ｓ ｐ ｒ ｔ ｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｃ ｎ ｍｉ ｌ ｔ． ｎ ｔ ｉ ｃｕ ｉｅ ｔ ｙ ｎ ｐ ｌ ｔ ｓ ｉ ｓ ｎ ｅ ｉ ｏ ｈ ｖ ｏ ｓ ｃ ｔ ｘ ｉ ｉ ｕ ｏ ｐ ｏ ｅ ｓ ｏ ｅ ａｉ ｏ ｄ ｔ ｎ ｒ ｅ ｏ ｏ ｃ ｉ ｓ Ｉ ｈ ｓ ｌ ｆ ｃ ｏ ｅ ｖ ａｏ ｏ ｉ ｍｉ ｐ ｐ ｒｗ ｉｃ ｓ ｈ ｄ ｎｉ ａ ｉ ｔ ｏ ｌｓ ｄ ｌ ｐ ｗ ｔ ｏ ｔ ｅ ｔｒ ａ ｘ ｉ ｔ ｎ ｆｒ ｆｓ・ａ ｌ ｇ ｂ ｓ ｄ ｍｕ ｔ－ａｉ ｂｅ ｓ ｂ ｐ ｃ ｄ ｌ ａ ｄ ａ ｅ ｅ ｄｓ ｕ ｓ ｔ ｅ ｉ ｅ ｔ ｉｂ ｌ ｙ ｆ ｃｏ ｅ — ｏ ｉ ｕ ｘ ｅｎ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ａ ｔ ｍｐ ｉ — ａ ｅ ｌ － ｒａ ｌ ｕ ｓ ａ ｅ ｍｏ ｅ ｎ ｆ ｉ ｏ ｈ ａｏ － ｓ ｎ ｉｖ ｐ ｏ ｏ ｅ ａ ｎ ｗ ｉｅ ｔ ｃ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ ｆｒｃ ｏ ｅ — ｏ ａ ｔｓ ｍｐｉ ｇ ｓ ｂ ｐ ｃ ｄ ｌｉ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｔ ｏ ｔ ｈ ｏ ｓ ｃ ｔ ｅ ｅ ｔｒ ａ ｘ ｉ ｔ ｎ ｒ ｐ ｓ ｅ ｄ ｎ ｉ ａ ｉ ｔ ｏ ｏ ｌ ｓｄ ｌ ｐ ｆ ｓ—ａ ｌ ｕ ｓ ａ ｅ ｍｏ ｅ ｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｆｗｉ ｕ ｅ ｃ ｎ ｅ ｕ ｉ ｘｅ ｌｅ ｃｔ ｉ ． ｉ ｆ ｏ ｏ ｎ ｉ ｈ ｔ ｖ ｎ ａｏ Ｗｈ ｌ ｈ ｙ ｔｍ ｎｃ ｒ ｕ ｔｎ ｅｔ ａ ｔｅ ｉｅ ｔ ａ ｉ ｔ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｏ ｖ ｎ ｉｎ ｌ ａ ｌ ｇ ｉ ｕ ｓ ｔ ｆ ｄｏ ａ ｔ ｔ ｆ ｄ， ｅ ｉｅ ｔ ｃ ｔ ｎ ｉ ｔｅ ｓｓｅ ｉ ｉ ｉｃ ｍｓａ ｃ ｔ ｈ ｄ ｎ ｉ ｂｌ ｙｃ ｎ ｉ ｏ ｆ ｎ ｅ ｔ ａ ｍｐ ｉ ｎ ａｉｉ ｒｐ ｒ ｙｓ ｉ ｅ ｔ ｎ ｉ ａｉ ｅ ｓ ｈ ｉ ｆ ｉ ｉ ｃ ｏ ｓ ｎ ｓ ｓｅ ｌ ａｓ ｉ ｈ ｄ ｉ ｆ ｏ
子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中的应用
子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中的应用一、Hammerstein-Wiener系统简介Hammerstein-Wiener系统是一种将线性系统和非线性系统结合起来的模型，通常由一个线性动态子系统和一个静态非线性子系统组成。
其基本结构如下所示：y(t) = G(u(t)) + e(t)y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，G为非线性静态函数，e(t)为系统的噪声。
Hammerstein-Wiener模型通常用于描述具有非线性特性的系统，例如电机、水泵、风力发电机等。
由于其能够较好地描述实际系统的非线性特性，因此在工业控制和自动化领域得到了广泛的应用。
二、子空间辨识方法简介子空间辨识方法是一种基于矩阵计算的现代辨识技术，它利用输入输出数据的矩阵表示进行系统辨识。
该方法主要通过SVD（奇异值分解）和TLS（总体最小二乘）等技术，将系统的输入输出数据转化为子空间中的特征向量和特征值，从而实现系统的参数辨识。
相对于传统的参数辨识方法，子空间辨识方法具有较强的鲁棒性和快速的计算速度，因此在非线性系统的建模和控制中具有一定的优势。
三、子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中的应用1. 建模子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统的建模中具有一定的优势。
由于Hammerstein-Wiener系统通常包含线性动态子系统和非线性静态子系统两部分，其建模具有一定的难度。
传统的参数辨识方法往往需要对系统进行线性化处理，以便进行参数辨识。
而子空间辨识方法能够直接对非线性系统进行建模，无需线性化处理，因此在描述系统非线性特性方面具有一定的优势。
子空间辨识方法还能够将系统的输入输出数据转化为子空间中的特征向量和特征值，从而实现对系统的参数辨识，避免了对系统进行复杂的数学推导和参数估计。
结论子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中具有一定的优势和应用前景，但也面临一些挑战。
子空间方法辨识
1.子空间辨识方法直接利用输入输出数据估计得到系统状态空间模型。
2.
3.子空间辨识的目标：
给定一个未知的单入单出或多入多出系统，假定系统的输入测量值为u ，输出测量值为y 在系统可能存在输入、输出、状态噪声的情况下，估计出系统的状态空间模型。
4.
5.几何工具：正交投影，斜向投影。
无噪声子空间辨识方法：
确定性系统。
推出：
设：
可以得到：
其中Y是可知的，需要消除U，最简单的方法是子空间正交投影法，数学表达式是：
故有：
将上面得到的，右乘，得，这样就消除了U。
只要求得，系统状态空间矩阵A和C就可以利用广义可观测矩阵计算得到。
因为X未知，需要对做一个近似变换。
的估计为。
将进行SVD分解，
令，故有：
这样就可以得到系统矩阵A和C。
下面确定系统矩阵Ｂ和Ｄ以及初始状态ｘ（０）。
将输出方程写成以下形式：
，
此时假设为两输入两输出系统：
因此ｙ（０）的Ｂ，Ｄ，ｘ（０）部分可以由下式表示：
将式用比例矩阵表示，为：。
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一种无外部持续激励的子空间闭环辨识算法邬芬;杨马英;田保林;王海波【摘要】The identifiability of traditional closed-loop system is restricted by external excitation and controller' s structure. However in actual identifying applications,it is undesired to have consecutive excitation due to process operation conditions or economic limits. In this paper we discuss the identifiability of closed-loop without external excitation for fast-sampling-based multi-variable subspace model and propose a new identification method for closed-loop fast-sampling subspace model in condition of without the consecutive external excitation.While the system is in circumstance that the identifiability condition of conventional sampling is unsatisfied or partly satisfied, the identification of the object model can be implemented by fast-sampling the input and output variables of controlled object of closed-loop. Simulation example attested the validity of the proposed method.%传统的闭环系统可辨识性受到外部激励和控制器结构的限制,然而在实际辨识应用中,由于过程操作条件的限制或者经济原因不希望存在外部持续激励.讨论了在无外部激励下基于快采样的多变量子空间模型闭环可辨识性,提出了无外部持续激励条件下的闭环快采样子空间模型辨识方法,在常规采样的可辨识性条件不满足或部分满足的情况下,通过对闭环系统控制对象的输入输出变量快采样来实现对象模型辩识,并通过仿真实例验证了基于快采样的辨识算法的有效性.【期刊名称】《计算机应用与软件》【年(卷),期】2011(028)002【总页数】5页(P184-188)【关键词】系统激励;子空间辨识;快采样方法;闭环辨识【作者】邬芬;杨马英;田保林;王海波【作者单位】浙江工业大学信息工程学院,浙江,杭州,310023;浙江工业大学信息工程学院,浙江,杭州,310023;浙江工业大学信息工程学院,浙江,杭州,310023;浙江工业大学信息工程学院,浙江,杭州,310023【正文语种】中文0 引言在控制器结构不太复杂、控制参数固定的情况下，传统的闭环辨识方法需要有充分的外部激励得到输入输出数据来辨识模型结构和参数［1，2］。
但在许多实际控制系统运行中，由于过程操作条件的限制和经济原因，过程变量的参考设定值一般要求保持不变，难以满足持续激励条件，因此不能为闭环系统辨识提供所需要的有用信息。
比如，在工业过程中产品质量是其中的一个控制目标，改变其设定值就会影响过程操作导致产品质量的不均匀，在大多数情况下是不能接受的［3］。
在更多的时候，过程变量设定值只是部分激励。
由此引发人们的思考:应用中没有持续的外部激励能否达到系统可辨识性条件?是否需要激励所有的过程变量设定值才能满足可辨识性条件?文献［3］指出在线性时不变控制器的闭环多变量系统中不需要对所有的设定值都进行激励，并从定量上分析了多个设定值和单个设定值的激励对方差的影响，但并没有提出满足部分激励条件时具体可行的闭环辨识解决方法。
文献［4］基于频域分析了无外部激励时运用快采样方法(用于系统辨识的过程变量采样频率高于用于闭环控制的采样频率)进行预报误差参数估计(PEM)的可行性，并给出了单回路系统的闭环辨识效果。
进一步的仿真研究可以发现文献［4］的结果应用于多变量系统的预报误差参数估计会带来较大误差。
子空间辨识由于其容易得到多变量系统状态空间模型等优势是近十几年来备受关注的算法。
本文针对无外部持续激励的多变量系统，借鉴文献［4］的闭环可辨识性研究成果，讨论了基于快采样的子空间闭环可辨识性问题，提出了相应的子空间闭环辨识方法，并以仿真实例验证了基于快采样的子空间辨识算法的有效性。
1 无激励闭环子空间方法可辨识性分析与传统的辨识方法比较，子空间模型辨识算法(SMI)不需知道模型的结构参数和先验知识，仅依赖于一些简单可靠的线性代数工具，如QR分解、SVD分解等，就可利用过程采集数据进行模型辨识，得到的状态空间的模型形式在估计、滤波、预测和控制等方面应用非常方便，尤其是非常适合于多变量系统建模［5］。
文献［4］基于频域理论分别分析了常规采样、快采样下闭环系统PEM法的辨识性。
本节将把此结果用于子空间闭环辨识算法的可辨识性分析。
1.1 常规采样下闭环子空间算法可辨识性分析线性时不变离散系统可以描述成如下状态空间模型形式:图1 闭环系统简单框图图1中，F为反馈控制器，r为过程输出设定值。
过程输出估计可表示为:λ是白噪声 e的方差，Φu(ejω)是 u的功率谱，Φue(ejω)和Φeu(ejω)是u和e 的交互频谱。
当无外部激励时，r=0，系统闭环控制采样周期为T，图1就可以简化为图2。
图2 无激励常规采样闭环系统框图图2中GT、HT分别表示在常规采样周期为T下的控制模型、噪声模型［4］。
常规采样子空间辨识其闭环控制采样频率和系统辨识采样频率是一致的，如图2所示，采样周期都为T。
式中，S0是灵敏系数，S0=(1+GT F)-1，因为F、S0和NT是线性时不变LTI系统，从文献［7］第2章得:其中λT是e的方差，因此，(5)式中的第二项的权变为:意味着偏差不能抵消，因此≠GT，即常规采样下闭环子空间算法可辨识性不能满足。
1.2 快采样闭环子空间可辨识性分析对于快采样子空间辨识来说，其闭环控制采样频率和系统辨识的采样频率是不一致的，控制采样周期为T，而辨识的采样周期是h，h=(p为正整数)。
此时线性周期时变(LPTV)控制器代替了常规采样时的线性时不变控制器，对象的输入、输出、噪声和预测误差都是周期为p的周期性平稳信号，简记为(CWSS)p［4］。
由式(14)-式(16)得到式(13)右边第二项的权的描述:W的值域为(0，1)，W越大噪声的估计越准确，也就是说F0在所有的Fn里只占了很小的一部分。
当n≠0时，重叠部分Fn就使闭环系统具有了可辨识性［4］。
所以，当 n=1，2，…，p-1 时，式(17)为非零，从而保证了可辨识性。
从上面分析可以看到，采样信号频率的加快可以缓解闭环辨识的主要问题，即输出噪声和过程输入的相关性。
LPTV控制器的出现使得快采样即使没有得到外部激励也能获得辨识性。
2 无持续激励子空间快采样方法描述辨识算法选取时需要注意的问题:(1)传统的开环子空间辨识(CVA，N4SID，MOESP)在应用于闭环数据时是有偏的，以N4SID为例说明如下。
从式(1)通过迭代得到子空间矩阵等式:其中 Hankel矩阵 Ep、Ef、Uf、Up、Yp、Yf，状态向量 Xf的定义参照文献［2］，下标p表示过去，下标f表示将来，i、j分别表示Hankel矩阵的行列数。
把等式(18)沿着Uf的行空间在Wp的行空间上投影［2］，得:由斜投影的特性可得Uf/UfWp=0，在开环中由于噪声与输入信号无相关性，使Ef/UfWp=0。
式(20)可以简化为:Γf的列空间就是Yf/UfWp的列空间，可通过 SVD分解Yf/UfWp得到。
但在闭环系统中，由于反馈的存在，使得噪声与输入信号具有相关性，使得Ef/UfWp≠0，式(20)变成为:因此，用式(21)计算闭环系统中的Γi造成了有偏性，选择算法时最好选择闭环子空间算法。
(2)选择闭环子空间算法时，算法推导过程中除了需要知道u、y信息外，不需要外部激励r的信息。
如文献［2］中介绍的CSOPIM算法，Rf为输出设定值r的Hankel矩阵表示控制器的广义可观测矩阵和下三角Toeplitz矩阵，⊥表示正交补，具体推导过程见文献［2］。
如果辅助变量W=Wp、Ef、Rf和W不相关，等式右边为0，WfWT的列空间包含了过程模型和控制器的信息。
要确保上式中WfWT的列空间只包含过程模型子空间，必须满足CSOPIM算法选择了辅助变量，其推导过程中引入了外部激励r 的信息，不适用于无激励的快采样法。
基于上述考虑，本文选择Qin等人提出的闭环子空间算法［6］，进行无外部激励下的闭环模型辨识。
基于快采样的子空间辨识方法实施的基本步骤如下:(1)对控制对象G的输入输出进行快采样，使得闭环辨识的采样频率是控制采样频率的p倍。
采集得到快采样的输入输出数据集合u、y。
(2)用采集到的数据集合 u、y构建 Hankel矩阵 Uf、Up、Yp和Yf。
(3)估计过程噪声E^i。
Yfi表示 Yf的第 i行，Ui、Ei表示 Uf、Ef的前 i行。
(4)把E^i用到后来SIM程序的投影中。
由式(19)和式(22)可估计系统矩阵 A，B，C，D，K 。
相似的估计过程可参考文献［9］。
简单算法流程图如图3所示。
图3 算法流程图3 仿真实例Shell精馏塔的对象模型［10］，包括两个输入:顶部抽出(u1)和侧线抽出(u2);两个输出:顶部干点(y1)和侧线干点(y2);两个未知干扰:中间回流负荷(d1)和顶回流负荷(d2)。
对应的过程、噪声模型分别为:仿真中设计MPC控制器，预测时域为24，控制时域为14，采样周期T=8s。
扰动信号e取两个零均值，方差为0.01的白噪声。
不施加外部持续激励信号，分别对此闭环系统实施常规采样和快采样，并进行子空间辨识，对比所得到的辨识模型与原始对象的频率特性。
当p=20时，原对象、常规采样、快采样法得到的模型频率特性如图4所示。
图中，直线表示实际模型，‘-.’表示用常规采样子空间辨识的模型，‘--’表示用快采样子空间辨识的模型。
图4 对象和辨识模型频率特性比较从图4可看出，无论是低频段还是高频段，快采样辨识得到的模型与实际模型都十分吻合。