中考数学复习之实数,与实数有关的概念与练习题
一．实数
知识过关
1.实数有关的概念
1. 有理数:__________________
2. 无理数:无限不循环小数叫做无理数.
3. 实数：有理数和_______统称为实数.
4. 实数的分类：
(1) 按定义分： (2)按性质分：
5. 数轴：(1)规定了______、_______、_______的直线叫做数轴；(2)______和实数是一一对应的关系.
6. 相反数、绝对值、倒数
考点分类
考点1 相反数、倒数和绝对值 例1：2023-的相反数是( )
A.1
B.-1
C.2023
D.
20231
已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图所示，则其中对应的绝对值最大的点是( )
A. N
B.M
C.P
D.Q
考点2 无理数的识别
例2 在实数3897
22，，，π-中，是无理数的是( ) A. 722
- B.9 C.π D.38
考点3 科学记数法
例3 (1) 一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是( )
A. 210864⨯
B. 3104.86⨯
C. 41064.8⨯
D.
510864.0⨯
(2) 目前世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m ，将0.00000004用科学记数法表示为( )
A. 8104⨯
B. 8104-⨯
C.8104.0⨯
D.8104⨯-
考点4 非负数的性质
例4 已知x,y 为实数，且0|2|31=-+-y x 则x -y 的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1
考点5 绝对值的化简
例5 已知有理数a,b 在数轴上如图所示，且||||b a =，则可化简为( )
A.a -b
B.a+b
C.2a
D.2b
真题演练
1．两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入100元记作+100元，那么支出60元应记作（ ） A ．﹣60元
B ．﹣40元
C ．+40元
D ．+60元
2．下列各数不是有理数的是（ ） A ．1.21
B ．﹣2
C ．2π
D ．1
2
3．下列各数：−7
4，1.010010001，8
33，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅
，其中有理数的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．在−1
3，22
7，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m 个，非负整数有n 个，分数有k 个，则m ﹣n +k 的值为（ ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．5
5．有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A ．a ＞﹣2
B ．|a |＞b
C ．a ＞﹣b
D ．|b |＞|a |
6．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |﹣|a ﹣b |+|a ﹣c |的结果为（ ）
A ．﹣a ﹣2b ﹣c
B ．﹣a ﹣b ﹣c
C ．﹣a ﹣c
D ．﹣a ﹣2b +c
7．﹣2022的相反数是（ ） A ．﹣2022
B ．2022
C ．﹣2021
D ．2021
8．−4
3的相反数是（ ） A ．3
4
B ．4
3
C ．−3
4
D ．−4
3
9．新的一年到来了，中考也临近了，你是否准备好了？请选出2023的相反数是（ ） A ．1
2023 B ．−1
2023
C ．2023
D ．﹣2023
10．下列各数中，属于分数的是（）
A．﹣0.2B．π
2C．2
3
4
D．|a|
a
11．已知：（a﹣2）2+|b+3|+|c+4|＝0，请求出：5a﹣b+3c的值是（）A．0B．﹣1C．1D．无法确定12．数据2060000000用科学记数法表示为（）
A．206×107B．2.06×10C．2.06×109D．20.6×108 13．2022年11月27日，宁波舟山港累计完成集装箱吞吐量超过3108万标准箱，提前34天达到去年全年总水平．将3108万用科学记数法表示应为（）A．3.108×106B．3.108×107C．31.08×106D．0.3108×108 14．新型冠状病毒是承载在飞沬上传播的，而飞沬的直径是5um（提示：1m＝1000000um），只要能够过滤小于5um的颗粒的空气净化器都有用，我们常用的医用口罩等都是有用的，飞沬直径用科学记数法可表示为（）
A．5×106m B．5×10﹣6m C．50×10﹣6m D．0.5×10﹣5m 15．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（）
A．7×10﹣9B．7×10﹣4C．0.7×10﹣9D．0.7×10﹣8
课后练习
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．在一部中国古代数学著作中，涉及用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，这部著作是（）
A．《几何原本》B．《九章算术》
C．《孙子算经》D．《四元玉鉴》
2．有理数a、b、c、d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）
A．a B．b C．c D．d
3．下列各数中最小的负整数是（）
A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣1
4．2022年11月13日，第十四届中国国际航空航天博览会在珠海圆满落幕，本届航展参展规模远超预期、参展展品全领域覆盖、商贸交流活动成效显著．航展6天，共签订总值超过398亿美元的合作协议书，39800000000用科学记数法表示为（）
A．3.98×1011B．0.398×1010C．3.98×1010D．0.398×1011 5．已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2022的值是（）
A．1B．﹣1C．0D．3
6．若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则（b+a）2021的值是（）
A．1B．﹣2021C．﹣1D．2021
填空题（共21小题）
7．2022年全国粮食达到13731亿斤，数据13731用四舍五入法精确到1000，并用科学记数法表示是．
8．某头非洲大象的体重大约3880千克，则将3880千克精确到100千克用科学记数法表示记为千克．
9．观察下面式子：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…，那么22023的结果的个位上的数字是．
10．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是．
11．数轴上，点B在点A的右边，已知点A表示的数是﹣1，且AB＝2023，那么点B表示
的数是．
12．若a的相反数等于它本身，b是最小的正整数，c是最大的负整数，则代数式a﹣b+c ＝．
13．若a．b互为相反数，c的倒数是−3
5，则a+b﹣6c的值是．
冲击A+
如图1所示，△ABC是以AB为底的等腰三角形，AC=BC=6，延长CB至P，使得BP=BC，连接AP，AP=4.
(1)求证：直线AP为圆O的切线；
(2)如图2所示，将△ABC沿着AC翻折至△ACQ处，QC边与圆交于点D，连接AD，求△ACD的面积.
中考数学复习专题汇编---第一单元 第1课时 实数的有关概念
第一部分 数与代数 第一单元 实数 第1课时 实数的有关概念 (60分) 一、选择题(每题4分，共44分) 1．[2017·成都]《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10 ℃记做＋10 ℃，则－3 ℃表示气温为 ( B ) A ．零上3 ℃ B ．零下3 ℃ C ．零上7 ℃ D ．零下7 ℃ 2．[2016·丽水]下列四个数中，与－2的和为0的数是 ( B ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．－12 3．[2017·济宁]1 6的倒数是 ( A ) A ．6 B ．－6 C.16 D ．－16 4．[2017·内江]下列四个数中比－5小的数是 ( D ) A ．1 B ．0 C ．－4 D ．－6 5．[2018·中考预测]实数tan45°，3 8，0，－35π，9，－12si n60°，0.313 113 111 3…(相邻两个3之间依次多一个1)，其中无理数的个数是
( D ) A ．4个 B ．2个 C ．1个 D ．3个 6．[2017·温州] 下列选项中的整数，与17最接近的是 ( B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【解析】 ∵16＜17＜20.25，∴4＜17＜4.5，∴与17最接近的整数是4. 7．[2017·广州]如图1－1，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为 ( B ) 图1－1 A ．－6 B ．6 C ．0 D ．无法确定 【解析】 ∵数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，点A 表示的数为－6，∴点B 表示的数为6. 8．[2016·金华]若实数a ，b 在数轴上的位置如图1－2所示，则下列判断错误的是 ( D ) A ．a ＜0 B ．ab ＜0 C ．a ＜b D ．a ，b 互为倒数 9．[2017·杭州]太阳与地球的平均距离大约是150 000 000 km ，数据150 000 000用科学记数法表示为 ( A ) A ．1.5×108 B ．1.5×109 C ．0.15×109 D ．15×107 10．[2018·中考预测]PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm＝0.000 001 m) 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质， 图1－2
中考数学《实数》专项复习综合练习题-附带答案
中考数学《实数》专项复习综合练习题-附带答案 一、单选题 1．关于√8的叙述正确的是（） A．在数轴上不存在表示√8的点B．√8 = √2 + √6 C．√8 =±2 √2D．与√8最接近的整数是3 2．下列运算中正确的是（） A．√(−4)2=−4B．√9=±3C．√25=√5D．±√16=±4 3．若√x+y−1 +（y+2）2=0，则x﹣y的值为（） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 4．已知a+3和2a﹣15是一个数的两个平方根则这个数是（） A．4 B．7 C．16 D．49 5．如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数-2，-1，0 ，1，2，则表示数2−√5的点P应落在( ) A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上 6．求一个正数的算术平方根有些数可以直接求得，如有些数则不能直接求得，如．但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系运用规律求得． 请同学们观察下表： n 0.09 9 900 90000 … 0.3 3 30 300 … 运用你发现的规律解决问题，已知≈1.435，则≈（） A．14.35 B．1.435 C．0.1435 D．143.5 3.1415 ﹣3π 3.030030003…中无理数的个数是（） 7．下列数中﹣4 23 7 A．1 B．2 C．3 D．4 8．一块正方形的瓷砖边长为√55cm它的边长大约在（） A．4cm-5cm之间B．5cm-6cm之间C．6cm-7cm之间D．7cm-8cm之间 二、填空题 9．比较大小：﹣√3﹣π ． 2
10．若无理数a满足1 专题01 实数 一、单选题 1．（2022·湖北鄂州）实数9的相反数等于（ ） A ．﹣9 B ．+9 C ．1 9 D ．﹣19 2．（2022·湖南永州）如图，数轴上点E 对应的实数是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3 ．（2022·0，1-，2这四个实数中，最大的数是（ ） A ．0 B ．1- C ．2 D 4．（2022·黑龙江绥化）下列计算中，结果正确的是（ ） A ．22423x x x += B ．()3 25x x = C 2=- D 2± 5．（2021· ） A ．±3 B ．3 C ．±9 D ．9 6．（2021·广西河池）下列4个实数中，为无理数的是（ ） A ．-2 B ．0 C D ．3.14 7．（2021·贵州毕节）下列运算正确的是（ ） A ．()0 31π-=- B 3=± C ．133-=- D ．()2 36a a -= 8．（2020·贵州黔南）已知1a =，a 介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ） A ．12a << B ．23a << C ．34a << D ．45a << 9．（2020·山东东营）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板 显示的结果为（ ） A ．2- B ．2 C ．2± D ．4 10．（2022·的值应在（ ） A ．10和11之间 B ．9和10之间 C ．8和9之间 D ．7和8之间 11．（2020·湖北荆州）若x 为实数，在 ) 1x 的“ ”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后， 其运算的结果是有理数，则x 不可能的是（ ） A 1 B 1 C ． D ．112．（2022·广东广州）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则 （ ） A ．a b = B ．a b > C ．a b < D ．a b > 13．（2022·广东广州）下列运算正确的是（ ） A 2= B ． 11 a a a a +-=（0a ≠） C D ．235a a a ⋅= 14．（2021· ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 15．（2021· ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 16．（2021·山东日照）下列命题：的算术平方根是2；①菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；①天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；①若一个多边形的各内角都等于108︒，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 17．（2020·广西贵港）下列命题中真命题是（ ） A 的算术平方根是2 B ．数据2，0，3，2，3的方差是65 C ．正六边形的内角和为360° D ．对角线互相垂直的四边形是菱形 18．（2020·内蒙古赤峰）估计( （ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间 19．（2020·山东烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ） 实数的有关概念和性质 一、选择题 1. （山东东营，1，3分）－ 1 2的倒数是（ ） A ．－2 B ．2 C ．12 D ．－1 2 【答案】A 【逐步提示】本题考查倒数的概念，先确定符号，然后把分子、分母颠倒得出倒数的绝对值． 【详细解答】解：∵－ 12×(－2)=1，∴－12与－2互为倒数，即－1 2 的倒数是－2．故选A ． 【解后反思】解答本题易于出现弄错符号或把倒数与相反数混淆的错误．整数a 的倒数是1a ，分数b a 的倒数是a b ； 求带分数的倒数时，要先把带分数化为假分数，求小数的倒数时，要先把小数化为分数；一个数与它的倒数的符 号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 【关键词】倒数的概念 2. （山东菏泽，1，3分）下列两数互为倒数的是（ ） A ．4和－4 B ．－3和 31 C ．－2和－2 1 D ．0和0 【答案】C 【逐步提示】根据“乘积是1的两个数互为倒数”，逐一计算得解． 【详细解答】解：∵－2×(－ 21)=1，∴－2和－2 1 互为倒数，故选择C ． 【解后反思】（1）求一个数的倒数，只要用1除以这个数即可，即实数a （a ≠0）的倒数等于1 a ；或把一个数化成假分数的形式，颠倒分子与分母的位置即得其倒数． （2）一定要注意零没有倒数．另外，倒数等于它本身的数是±1． （3）互为倒数的两数一定是同号，注意不要与相反数的定义相混淆． 【关键词】倒数 3. （ 山东聊城，1，3分）在实数－3 1 ，-2 ，0，3中，最小的实数是 A 、-2 B 、0 C 、－ 3 1 D 、3 【答案】A 【逐步提示】第一步先观察三个实数的正、负性，第二步再利用比较实数大小的方法比较三个数的大小，第三步确定最小的实数. 【详细解答】解：因为-2＜－ 31＜0＜3，所以最小的实数是－3 1 ，故选择C . 【解后反思】实数比较大小时，正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而 小；也可利用数轴比较实数的大小关系，数轴上，右边的点表示的实数总是比左边的大. 【关键词】 无理数；实数；有理数比较大小； 4. （ 山东青岛，1，3 ） 一．实数 知识过关 1.实数有关的概念 1. 有理数:__________________ 2. 无理数:无限不循环小数叫做无理数. 3. 实数：有理数和_______统称为实数. 4. 实数的分类： (1) 按定义分： (2)按性质分： 5. 数轴：(1)规定了______、_______、_______的直线叫做数轴；(2)______和实数是一一对应的关系. 6. 相反数、绝对值、倒数 考点分类 考点1 相反数、倒数和绝对值 例1：2023-的相反数是( ) A.1 B.-1 C.2023 D. 20231 已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图所示，则其中对应的绝对值最大的点是( ) A. N B.M C.P D.Q 考点2 无理数的识别 例2 在实数3897 22，，，π-中，是无理数的是( ) A. 722 - B.9 C.π D.38 考点3 科学记数法 例3 (1) 一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是( ) A. 210864⨯ B. 3104.86⨯ C. 41064.8⨯ D. 510864.0⨯ (2) 目前世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m ，将0.00000004用科学记数法表示为( ) A. 8104⨯ B. 8104-⨯ C.8104.0⨯ D.8104⨯- 考点4 非负数的性质 例4 已知x,y 为实数，且0|2|31=-+-y x 则x -y 的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 考点5 绝对值的化简 例5 已知有理数a,b 在数轴上如图所示，且||||b a =，则可化简为( ) A.a -b B.a+b C.2a D.2b 实数 考点1 实数的大小比较 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小． 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数． 例1 比较3－2与2－1的大小． 分析：比较3－2与2－1的大小，可先将各数的近似值求出来， 即3－2≈1.732－1.414=0.318，2－1≈1.414－1=0.414，再比较大小 例2 在-6,0,3,8这四个数中，最小的数是（ ） A.-6 B.0 C.3 D.8 答：2－1，A 利用数轴 考点2 无理数 常见的无理数类型 (1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· (2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数 逐次加1)。 (3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265··· (4).开方开不尽的数。如：35,3 注意：（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环； （2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一 定都是无理数（例如4，327就是有理数）． 例3 下列是无理数的是（ ） A.-5/2 B.π C. 0 D.7.131412 例4在实数中－2 3 ，0 3.1 4 ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答：B ，A 考点3 实数有关的概念 实数的分类（1）按实数的定义分类： ??? ??? ??? ??? ?? ?? ?????? ? ??? ?? ? ??????? ???无限不循环小数负无理数正无理数无理数数 有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类： ???? ? ? ? ? ? ???????? ??? ???????? ?负无理数负分数 负整数负有理数负实数负数） 零（既不是正数也不是正无理数正分数 正整数 正有理数正实数实数 例5若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2 a D.－(a -+1) 分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2 a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2 a ≤0．而0既 不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D 例6实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2 )2(1-+ -a a = 分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22) 2(,112 a a a a a -=-=--=- 所以, 2 )2(1-+ -a a =a －1+2－a =1. 例7 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） 第一单元数与式 第1课时实数的有关概念 知点一：数及其分 1．数：和称数 . 2．有理数：能精确地表示两个之比的数叫做有理数. 有理数包括整数和通常所 的分数，此分数亦可表示有限小数或无限循小数.如 2、 -3 、1 等都有理数 . 3 3．无理数：叫做无理数 . 4．有理数的分 ①按有理数的“定”分②按数的“正性”分 正整数 正有理数 零 有理数整数零 有理数 正分数 整数 分数 分数 例 1 从数－2，－ 1 ，0，л，4 中，挑出的两个数都是无理数的（）3 A.－1 ，0 B.л， 4 C. －2，4 D.－ 2 ，л3 点：数的概念及分多在填空和中考. 于数的概念要理解好无理数的概 念，无理数要包含无限小数和不循两个条件，缺一不可，常的无理数有π 、开方开不尽含有根式的数（如 5 等）、无限不循小数（如 3.010010001 ?等）、用三角函数表示 的（如 cos 30 °等），在判断一个数是否是无理数，不要只看形式，要看化的果； 数的分要理清准是按照什么分的，不能重复也不能漏. 解析：本无理数的概念行了考. 判断一个数是否是无理数的条件就是无限不循 小数；－ 2 含有根式并且开方不能开尽，－1 是分数，整数和分数称有理数，因此3 －1 、0、 4都是有理数，π 是属于常的无理数. 故两个数都是无理数的－ 2 ，л.故3 本 D. 同步 1．在数0， 1， 2 ， 0.1235 中，无理数的个数（） A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个2．把下列各数填入相的大括号里. 1 ，1 ，π ， 3 ， 3.6 ， 9 ，38 ， 50%， 2010. 5 整数集： {?} 有理数集： {?} 无理数集： {?}. 知点二：数的有关概念及性 1．数 （ 1）数的三要素：、和. （ 2）数与数上的点建立了的关系. （ 3）数上点的大小比：数上右的点表示的数是大于左的点表示的数. 2．相反数 （ 1）求法：a的相反数是.如：5的相反数是-5. （ 2）性：若 a 与 b 互相反数， a b，a (b0) . b 3．倒数 （ 1）求法：a的倒数是.如：6的倒数是 1 . 6 （ 2）性：若ab 互倒数，ab. 4． （ 1）求法： 正数的是它本身，数的是它的，0的是0.即a,a0, a0, a 0, . 如：2 2 . a, a 0. （ 2）性： ①非性，即 a 0 ； a 表示数上点 a 到原点的距离； ②几个非数之和等于0，每个非数都等于0，因此，若 a b 0 ，a，b. 例 2 -3 的相反数是（） 中考专题复习 实 数 1、有理数：像3、53- 、11 9 ……这样的 或 。 2、数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的 三要素缺一不可）。 3、相反数:只有 不同的两个数，如a 的相反数是 ，0的相反数仍是 。若a 与b 互为相反数，则 . 4、绝对值：正数的绝对值是它 ，负数的绝对值是它的 ，0的绝对值是0.任何实数的绝对值都是 ，a ≧0.互为相反数的两个数的绝对值相等，a =a -。 5、倒数: 没有倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。若a 与b 互为倒数，则 . 6、有理数的四则混合运算：(1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(4)如有括号，先做括号内的运算，按 ，中括号， 依次进行。 7、乘方：求n 个 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 。在a n 中，a 叫做 ，n 叫做 。 8、科学记数法：把一个数写做 的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 9、平方根：如果一个数的平方等a ，那么这个数叫做a 的 或 ，0的平方根是0，负数 平方根。a 的平方根记为a ± （a ≧0），读作“正负根号a ”，a 叫做被开方数。 10、算术平方根：如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的 ，0的算术平方根为0。a 的算术平方根记为a （a ≧0），读作“根号a ”，a 叫做被开方数。 11、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 或 ，0的立方 根是0，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。3a -=3a ,a 的立方根记为3a ，读 作“三次根号a ”，a 叫做 ，3是 。 知识回顾 中考总数学复习之：实数 一、知识点： 1．平方根：如果x2＝a，那么x就叫做a的，也称为． 2．一个正数a平方根的表示为：． 3．性质：（1）一个正数的平方根有2个，它们互为数； （2）0只有1个平方根，它是0本身； （3）负数平方根． 4．正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，叫做a的． 特别地， 0的算术平方根是． 5．立方根：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的，也称为．如果x3＝a，那么x叫做a的，数a的立方根记作，读作“ a”．6．求一个数的立方根的运算叫做． 7．正数的立方根是；负数的立方根是；0的立方根是． 8．用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．9．科学记数法：把一个正数写成的形式，其中1≤a＜10，n是整数． 10．数的分类： ?? ?? ?? ? ? 有限小数 有理数－分数 数无限循环小数无理数－无限不循环小数 一、选择题 1. 实数√10的值在( ) A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 2. 下列说法正确的是( ) A. 4的平方根是?2 B. 8的立方根是±2 C. 任何实数都有平方根 D. 任何实数都有立方根 3. √16的值等于( ) A. 4 B. ?4 C. ±2 D. 2 4. 在3.14，?√7，π，1 3 ，?0.23，1.131331333133331?（每两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 计算?√49 25 的值是( ) A. ?√7 5B. ?7 5 C. 7 5 D. √7 5 6. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10?这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 ?这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是( ) A. 13=3+10 B. 25=9+16 C. 36=15+21 D. 49=18+31 7. √81的值为( ) A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3 8. 下列实数中，介于5和6之间的是( ) A. √21 B. √30 C. √47 D. √39 3 9. 表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是( ) A. a b <0 B. a?b<0 C. ab<0 D. a+b<0 10. 若方程(y?2)2=144，则y的值是( ) A. 10 B. ?10 C. ?10或14 D. 12 11 如图所示，数轴上表示2，√5的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是 ( ) A. ?√5 B. 2?√5 C. 4?√5 D. √5?2 12. 一个正数的平方根是a+3和a?1，则a的值是( ) 初三数学复习教学案 第一讲 实数 【回顾与思考】 【例题经典】 理解实数的有关概念 例1 ①a 的相反数是- 1 5 ,则a 的倒数是_______． ②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示:0a b 则化简│b-a │． ③（2006年泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________． 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 掌握实数的分类 例2 下列实数 227、sin60°、3 π ）0、3.14159、）-2理数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断． 快速准确地进行实数运算 例3 （2006年成都市）计算：-1 13-⎛⎫ ⎪⎝⎭ +（-2）2×（-1）0-│ 【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。 【基础训练】 1．下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数，其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．②④ 2．（2005年长沙市）已知a 、b 两数在数轴上对应的点如图所示,下列结论正确的是（ ） A ．a>b B ．ab<0 C ．b-a>0 D ．a+b>0 a b 3．（2006年芜湖市）三峡工程是世界防洪效益最为显著的水利工程,它能有效控制长江上游洪水，增强长江中下游抗洪能力,据相关报道三峡水库的防洪库容22150000000m 3，用 科学计数法可记作（ ） A ．221.5×108m 3 B ．22.15×109m 3 C ．2.215×1010m 3 D ．2215×107m 3 4．9的相反数的倒数是（ ） A ．-9 B ． 19 C ．9 D ．-19 5．（2005年武汉市）如图，一电线杆AB 的高为10•米，•当太阳光线与地面的夹角为60度时，其影长AC 取1.732，结果保留3个有效数字） A ．5.00米 B ．8.66米 C ．17.3米 D ．5.77米 6．（2006年常德市）下列计算正确的是（ ） A ±4 B ． =1 C ．24 =4 D =2 7．（2006年南通市）一个篮球需要m 元，买一个排球需要n 元，则买3个篮球和5个排球共需要_________元． 8．（2006湖州市）青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）•网格的格点 A•开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是________． 9．图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果． 【能力提升】 10．计算：│-12│÷（- 12+23-14-56 ）; 11．若a 、b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2，求a 2-b 2+（cd ）-1 ÷（1-2m+m 2）的值． 2022-2023学年九年级数学中考一轮复习《实数》同步专题提升训练（附答案）一．选择题 1．在，0.6，，0.3333，这四个数中无理数有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 2．下列各组数中，互为相反数的是（） A．4与B．﹣与0.3 C．﹣||与D．|﹣3|与﹣|﹣3| 3．下列各式计算中，正确的是（） A．﹣7﹣3＝﹣4B．（﹣3）2＝6 C．D． 4．估计的值（） A．在6和7之间B．在5和6之间C．在4和5之间D．在3和4之间5．估计运算结果应在（） A．7和8之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间6．若a＝，b＝，c＝3，则a、b、c的大小关系为（） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 7．已知一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，则a＝（）A．49B．7C．7D．﹣7 8．观察下列等式：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，…，那么41+42+43+44+…+42022的结果的末位数字是（） A．0B．4C．6D．9 9．已知a2＝9，|b|＝7，且|a+b|＝﹣（a+b），则a+b＝（） A．﹣4B．﹣4或﹣10C．4D．4或10 10．估计÷+2×的运算结果应在（） A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间二．填空题 11．比较大小：﹣﹣1；﹣2 ﹣|﹣3|；﹣（﹣）﹣|﹣|． 12．若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是． 13．计算：，则x y＝． 14．计算的结果是． 15．珠穆朗玛峰的最新测量高度为8848.86米，请你用四舍五入法对8848.86取近似数，结果为．（精确到十位） 16．若|m﹣2023|与|2022﹣n|互为相反数，则 的值为． 17．计算＝． 18．我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制数101换算成十进制数应为1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5，将1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+1×20＝13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为． 三．解答题 19．计算：（﹣1）2022﹣（﹣2）3×（﹣5）+（﹣4）2÷（﹣16）． 20．计算下列各题： （1）； （2）． 21．数学老师布置了一道思考题“计算”：（） 小华的解法：（）＝+． 大白的解法：原式的导数为……………………第一步， ＝…………………第二步， ＝﹣4+10……………………………第三步， ＝6…………………………………第四步． 所以（） 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： 2019 初三中考数学复习 实数及其运算 专项复习训练 1．－2的倒数是( D ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 2．－23 的相反数是( C ) A.32 B ．－32 C.23 D ．－23 3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10 ℃记作＋10 ℃，则－3 ℃表示气温为( B ) A ．零上3 ℃ B ．零下3 ℃ C ．零上7 ℃ D ．零下7 ℃ 4．如图，数轴上点A 表示数a ，则|a|是( A ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 5．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是( ) A ．Φ45.02 B ．Φ44.9 C ．Φ44.98 D ．Φ45.01 6. 关于8的叙述不正确的是( C ) A.8＝2 2 B ．面积是8的正方形的边长是8 C.8是有理数 D ．在数轴上可以找到表示8的点 7．纽约、悉尼与北京时差如下表(正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数)： 当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是( A ) A ．6月16日1时；6月15日10时 B ．6月16日1时；6月14日10时 C ．6月15日21时；6月15日10时 D ．6月15日21时；6月16日12时 8．把0.081 3写成a×10n (1≤a＜10，n 为整数)的形式，则a 为( D ) A ．1 B ．－2 C ．0.813 D ．8.13 9. 在实数0，π，227，2，－9中，无理数的个数为( B) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm＝0.000001 m)的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( C ) A ．23×10－5 m B ．2.3×10－5 m C ．2.3×10－6 m D ．0.23×10－7 m 11．写出一个比3大且比4小的无理数：__π(答案不唯一) ____． 12. 如图，数轴上点A 表示的实数是． 13. 若a b ＝2，b c ＝6，则a c ＝__12__． 14．计算－(2)2＋(2＋π)0 ＋(－12)－2的结果是__3__． 15．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为__－3__． 16．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是． 17．定义：A ＝{b ，c ，a}，B ＝{c}，A ∪B ＝{a ，b ，c}，若M ＝{－1}，N ＝{0，1， 知识点一：实数及其分类 1．实数： 和 统称为实数. 2．有理数：能精确地表示为两个 之比的数叫做有理数. 有理数包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数. 如2、－3、3 1 等都为有理数. 3．无理数： 叫做无理数. 4．有理数的分类 ①按有理数的“定义”分类 ②按数的“正负性”分类 例1从实数－2，－3 1 ，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ） A .－ 3 1 ，0 B . л，4 C .－2，4 D .－2，л 点拨：实数的概念及分类多在填空和选择中考查.对于实数的概念要理解好无理数的概念，无理数要包含无限小数和不循环这两个条件，缺一不可，常见的无理数有π、开方开不尽含有根式的数（如5等）、无限不循环小数（如 3.010010001…等）、用三角函数表示的（如30cos °等），在判断一个数是否是无理数时，不要只看形式，要看化简的结果；实数的分类要理清标准是按照什么分类的，不能重复也不能遗漏. 解析：本题对无理数的概念进行了考查.判断一个数是否是无理数的条件就是无限不 循环小数；－2含有根式并且开方不能开尽，－3 1 是分数，整数和分数统称为有理数，因此－ 3 1 、0、4都是有理数，π是属于常见的无理数.故两个数都是无理数的为－2，л.故本题选D . 分数 零 负整数 正分数 有理数 正有理数 零 正整数 负整数 负分数 有理数 同步测试 1．在实数0，1，2，0.1235中，无理数的个数为（ ） A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 2．把下列各数填入相应的大括号里. 1，5 1 - ，π，3-，3.6，9，38-，50%，2010. 整数集：{ …} 有理数集：{ …} 无理数集：{ …}. 知识点二：实数的有关概念及性质 1．数轴 （1）数轴的三要素： 、 和 . （2）实数与数轴上的点建立了 的关系. （3）数轴上点的大小比较：数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数. 2．相反数 （1）求法：a 的相反数是 .如：5的相反数是－5. （2）性质：若a 与b 互为相反数，则=+b a ，=b a )0(≠b . 3．倒数 （1）求法：a 的倒数是 .如：6的倒数是6 1. （2）性质：若ab 互为倒数，则=ab . 4．绝对值 （1）求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的 ，0的绝对值是0.即⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>=. 0,,0, 0,0,a a a a a a .如：22=-. （2）性质：①非负性，即0≥a ；a 表示数轴上点a 到原点的距离； ②几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，因此，若0=+b a ，则 =a ，=b . 例2 －3的相反数是（ ） 实数—知识讲解 【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质； 3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的分类 1.按定义分类： ⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪ ⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪ ⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪ ⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩ 正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类： ⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨⎪ ⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩ 正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零 负整数负有理数负实数负分数 负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n m （m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释： 常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如π是无理数， 24 ππ 、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； （3 …都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 考点二、实数的相关概念 1.相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为：⎪⎩⎪ ⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 要点诠释： 若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数 （1)实数(0)a a ≠的倒数是 a 1 ；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=. 实数的有关概念及计算考点训练 【考点一 实数的有关概念】 1．（2022•玉环市一模）如果向东走5米记作+5米，那么﹣3米表示（ ） A ．向东走5米 B ．向西走5米 C ．向东走3米 D ．向西走3米 2．（2022•海曙区校级一模）在﹣6，3，0，4这四个数中，负数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．（2022•鹿城区校级三模）下列实数中，为无理数的是（ ） A ．﹣5 B ．0 C ．23 D ．√7 4．（2022•丽水二模）实数π，0，﹣1，√2中，有理数的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 5．（2022•上虞区模拟）实数2，0，﹣2，√2中，为负数的是（ ） A ．2 B ．0 C ．﹣2 D ．√2 6．（2020•杭州模拟）下列对实数π−12说法正确的是（ ） A ．它是一个有理数 B ．它是一个单项式 C ．它是一个分数 D ．它的值等于1.07 【考点二 科学记数法与近似数】 【例2】（2022•宁海县模拟）中国疾控中心免疫规划首席专家王华庆在2022年3月25日国务院联防联控机制新闻发布会上表示，我国60岁以上的老年人中有2.12亿人完成了新冠病毒疫苗的全程接种．其中2.12亿用科学记数法表示为（ ） A ．2.12×107 B ．2.12×108 C ．0.212×109 D ．2.12×109 1．（2022•拱墅区校级二模）中国信息通信研究院测算.2020﹣2025年，中国5G 商用带动的息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元，其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ） A ．10.6×104 B ．1.06×1013 C ．10.6×1013 D ．1.06×108 2．（2022•瑞安市校级三模）截至北京时间5月24日6时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例约为167000000例，累计死亡348万例．数字“167000000”用科学记数法可表示为（ ） A ．1.67×109 B ．0.167×109 C ．1.67×108 D ．16.7×108 3．（2022•长兴县模拟）新型冠状病毒有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性．某种新冠病毒的直径大约为0.00000012米，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．1.2×10﹣7 B ．12×10﹣8 C ．120×106 D ．0.12×10﹣9 4．（2022•萧山区二模）2019年11月，联合国教科文组织正式宜布，将每年的3月14日定为“国际数学日”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字．将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到（ ） A ．个位 B ．十分位 C ．百分位 D ．千分位 5．（2020•西湖区校级模拟）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为 ． 6．（2020•温岭市一模）疫情无情人有情，截至2月18日17时，仅我市慈善总会就接收到防控新冠肺炎疫情捐赠12525390元，用科学记数法表示这个捐赠款数，并精确到万元，可记作 元． 【考点三 相反数、倒数、绝对值】 【例3】（2022•江汉区校级模拟）实数−√2的相反数是（ ） A ．−√2 B ．√2 C ．√2 D ．√2 1．（2020•江岸区模拟）−√3的相反数为（ ） A ．√3 B ．− √33 C ．3 D ．﹣3 2．（2021•兰溪市模拟）实数﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3 B ．13 C ．3 D ．−13 3．（2022•下城区校级二模）2的相反数是 ，﹣3的绝对值是 ． 4．（2022秋•拱墅区月考）−12的倒数是 ；绝对值等于2的数是 ． 5．（2022秋•义乌市校级月考）已知|ab ﹣2|+|a ﹣1|＝0，则b ＝ ． 6．（2022秋•临平区月考）式子4+|x ﹣1|能取得的最小值是 ，这时x ＝ ；式子3﹣|2x ﹣1|能取得的最大值是 ，这时x ＝ ． 【考点四 平方根、立方根及实数的估算】 【例4】（2022春•嵊州市期末）计算√(−3)2的结果是（ ） A ．9 B ．﹣3 C ．3或﹣3 D ．3 1．（2022•婺城区一模）正数2的平方根可以表示为（ ） A ．22 B ．±√2 C ．√2 D ．−√2 2019-2020年中考数学专题复习训练3：实数的概念 一．填空题： 1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 ； 2．列各数：①3.141、②0.33333……、③75- 、④π、⑤252.±、⑥3 2 - 、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中。其中是有理数的有 ；是无理数的有 ；（填序号） 3．下列各数： 3π，3.1415926，0，0.010010001·····，8 1， 23-，65 4.0 ，其中无理数是 ； 4.算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 ； 5． 6的相反数是 ；绝对值等于2的数是 ． 6．估算面积是20平方米的正方形，它的边长是 米（误差小于0.1米）； 7．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 倍； 8．若一正数的平方根是12-a 与2+-a ，则_____=a ； 9．满足52<<- x 的整数x 是 ； 10．若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 ； 11．.若2-=xy ，125-=-y x ，则________)1)(1(=-+y x ； 12．如果0中考一轮复习 数学专题01 实数(学生版)
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