连续型随机变量的分布与例题讲解范文
连续型随机变量及其分布
第三节 连续型随机变量及其分布上一节我们研究了离散型随机变量，这类随机变量的特点是它的可能取值及其相对应的概率能被逐个地列出.这一节我们将要研究的连续型随机变量就不具有这样的性质了.连续型随机变量的特点是它的可能取值连续地充满某个区间甚至整个数轴.例如，测量一个工件长度，因为在理论上说这个长度的值X 可以取区间（0，+∞）上的任何一个值.此外，连续型随机变量取某特定值的概率总是零（关于这点将在以后说明）.例如，抽检一个工件其长度X 丝毫不差刚好是其固定值（如 1.824cm ）的事件{X =1.824}几乎是不可能的，应认为P{X =1.824}=0.因此讨论连续型随机变量在某点的概率是毫无意义的.于是，对于连续型随机变量就不能用对离散型随机变量那样的方法进行研究了.为了说明方便我们先来看一个例子.例2.8 一个半径为2米的圆盘靶，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数.解 1°若x ＜0，因为事件{X ≤x }是不可能事件，所以F （x ）=P {X ≤x }=0.2°若0≤x ≤2，由题意P {0≤X ≤x }=kx 2，k 是常数，为了确定k 的值，取x =2，有P {0≤X ≤2}=22k ，但事件{0≤X ≤2}是必然事件，故P {0≤X ≤2}=1，即22k =1，所以k =1/4，即P {0≤X ≤x }=x 2/4.于是F （x ）=P {X ≤x }=P {X ＜0}+P {0≤X ≤x }= x 2/4.3°若x ≥2，由于{X ≤2}是必然事件，于是F （x ）=P {X ≤x }=1.综上所述F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<,2,1,20,41,0,02x x x x 它的图形是一条连续曲线如图2-2所示.图2-2另外，容易看到本例中X 的分布函数F （x ）还可写成如下形式：F (x )=t t f xd )(⎰∞-，其中 f （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<.,0,20,21其他t t这就是说F （x ）恰好是非负函数f （t ）在区间（-∞，x ]上的积分，这种随机变量X 我们称为连续型随机变量.一般地有如下定义.定义2.3 若对随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负函数f （x ），使对于任意实数x 有F （x ）=⎰∞-xx t f d )(， （2.8）则称X 为连续型随机变量，其中f （x ）称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数(Density function).由（2.8）式知道连续型随机变量X 的分布函数F （x ）是连续函数.由分布函数的性质F （-∞）=0，F （+∞）=1及F （x ）单调不减，知F （x ）是一条位于直线y =0与y =1之间的单调不减的连续（但不一定光滑）曲线. 由定义2.3知道，f （x ）具有以下性质：1°f (x )≥0；2°⎰+∞∞-x x f d )(=1；3°P {x 1＜X ≤x 2}=F (x 2)-F (x 1)=⎰21d )(x x x x f (x 1≤x 2)；4°若f (x )在x 点处连续，则有F ′(x )=f (x ).由2°知道，介于曲线y =f （x ）与y =0之间的面积为1.由3°知道，X 落在区间（x 1，x 2］的概率P {x 1＜X ≤x 2}等于区间（x 1，x 2］上曲线y =f （x ）之下的曲边梯形面积.由4°知道，f （x ）的连续点x 处有f （x ）=.}{)()(lim lim 00x x x X x P x x F x x F x x ∆∆+≤<=∆-∆+++→∆→∆ 这种形式恰与物理学中线密度定义相类似，这也正是为什么称f （x ）为概率密度的原因.同样我们也指出，反过来，任一满足以上1°、2°两个性质的函数f (x )，一定可以作为某个连续型随机变量的密度函数.前面我们曾指出对连续型随机变量X 而言它取任一特定值a 的概率为零，即P {X =a }=0，事实上，令Δx ＞0，设X 的分布函数为F （x ），则由{X =a }⊂{a -Δx ＜X ≤a },得 0≤P {X =a }≤P {a -Δx ＜X ≤a }=F （a ）-F （a -Δx ）. 由于F （x ）连续，所以)(lim 0x a F x ∆-→∆=F （a ）.当Δx →0时，由夹逼定理得P {X =a }=0,由此很容易推导出P {a ≤X ＜b }=P {a ＜X ≤b }=P {a ≤X ≤b }=P {a ＜X ＜b }.即在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，可不必区分该区间端点的情况.此外还要说明的是，事件{X =a }“几乎不可能发生”，但并不保证绝不会发生，它是“零概率事件”而不是不可能事件.例2.9 设连续型随机变量X 的分布函数为F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<.1,1,10,,0,02x x Ax x 试求：（1）系数A ；（2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3）X 的密度函数.解 （1）由于X 为连续型随机变量，故F （x ）是连续函数，因此有1=F （1）=2101lim lim )(Ax x F x x -→-→= =A , 即A =1，于是有F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<.1,1,10,,0,02x x x x (2) P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F (0.3)=(0.7)2-(0.3)2=0.4; (3) X 的密度函数为f (x )=F ′(x )=⎩⎨⎧<≤.,0;10,2其他x x由定义2.3知，改变密度函数f (x )在个别点的函数值，不影响分布函数F （x ）的取值，因此，并不在乎改变密度函数在个别点上的值（比如在x =0或x =1上f （x ）的值）.例2.10 设随机变量X 具有密度函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,43,22,30,其他x x x kx （1） 确定常数k ；（2） 求X 的分布函数F （x ）；（3） 求P {1<X ≤72}. 解 （1）由⎰∞∞-x x f d )(=1,得x xx kx d )22(d 4330⎰⎰-+=1, 解得k =1/6,故X 的密度函数为f (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,43,22,30,6其他x x x x(2) 当x <0时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )( =0; 当0≤x <3时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=⎰⎰∞-+0d )(d )(xt t f t t f =12d 620x t t x =⎰;当3≤x <4时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=033()()()x f t dt f t dt f t dt -∞++⎰⎰⎰=233(2)23;624x t t x dt dt x +-=-+-⎰⎰当x ≥4时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=⎰⎰⎰⎰∞-+++030434d )(d )(d )(d )(xt t f t t f t t f t t f=t t t t d )22(d 64330⎰⎰-+ =1.即F （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<.4,1,43,324,30,12,0,022x x x x x x x(3) P {1<X ≤7/2}=F （7/2）-F (1)=41/48.下面介绍三种常见的连续型随机变量. （1）均匀分布若连续型随机变量X 具有概率密度f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<-.,0,,1其他b x a ab （2.9）则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布（Uniform distribution ），记为X ~U (a ,b ).易知f (x )≥0且⎰⎰∞∞--=ba x ab x x f d 1d )(=1.由（2.9）可得 1°P {X ≥b }=⎰∞bx d 0 =0,P {X ≤a }=⎰∞-ax d 0=0，即 P {a <X <b }=1-P {X ≥b }-P {X ≤a }=1；2°若a ≤c <d ≤b ，则P {c <X <d }=ab cd x a b dc--=-⎰d 1. 因此，在区间（a ,b ）上服从均匀分布的随机变量X 的物理意义是：X 以概率1在区间（a ,b ）内取值，而以概率0在区间（a ,b ）以外取值，并且X 值落入（a ,b ）中任一子区间（c ,d ）中的概率与子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关. 由（2.8）易得X 的分布函数为F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<.,1,,,,0b x b x a a b ax a x (2.10) 密度函数f （x ）和分布函数F （x ）的图形分别如图2-3和图2-4所示.图2-3 图2-4在数值计算中，由于四舍五入，小数点后第一位小数所引起的误差X ，一般可以看作是一个服从在[-0.5,0.5]上的均匀分布的随机变量；又如在（a ,b ）中随机掷质点，则该质点的坐标X 一般也可看作是一个服从在（a ,b ）上的均匀分布的随机变量.例2.11 某公共汽车站从上午7时开始，每15分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于5分钟的概率.解 设乘客于7时过X 分钟到达车站，由于X 在［0，30］上服从均匀分布，即有f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,300,301其他x显然，只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时，他（或她）等车的时间才少于5分钟，因此所求概率为P {10＜X ≤15}+P {25＜X ≤30}=⎰⎰+15103025d 301d 301x x =1/3.（2）指数分布若随机变量X 的密度函数为f (x )=⎩⎨⎧≤>-.00,,0,e x x x λλ （2.11）其中λ>0为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布（Exponentially distribution ），记作X ~E (λ).显然f (x )≥0，且x x x f x d e d )(0⎰⎰∞∞-∞-=λλ=1.容易得到X 的分布函数为F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.00,,0,e 1x x x λ指数分布最常见的一个场合是寿命分布.指数分布具有“无记忆性”，即对于任意s ,t >0,有P {X >s +t |X >s }=P {X >t }. (2.12)如果用X 表示某一元件的寿命，那么上式表明，在已知元件已使用了s 小时的条件下，它还能再使用至少t 小时的概率，与从开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等.这就是说元件对它已使用过s 小时没有记忆.当然，指数分布描述的是无老化时的寿命分布，但“无老化”是不可能的，因而只是一种近似.对一些寿命长的元件，在初期阶段老化现象很小，在这一阶段，指数分布比较确切地描述了其寿命分布情况.（2.12）式是容易证明的.事实上，(){,}{}{}{}{}1()ee {}.1()es t t λsP X s X s t P X s t P X s t X s P X s P X s F s t P X t F s λλ-+->>+>+>+>==>>-+====>--（3）正态分布若连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=222)(e π21σμσ--x， -∞＜x ＜+∞， (2.13)其中μ，σ（σ＞0）为常数，则称X 服从参数为μ，σ的正态分布（Normal distribution ），记为X ~N （μ，σ2）.显然f (x )≥0，下面来证明⎰∞∞-x x f d )(=1.令σux -=t ，得到.d eπ21d e π2122)(222t x t x ⎰⎰∞∞--∞∞---=σμσ记I =t t d e22⎰∞∞--，则有I 2=⎰⎰∞∞-∞∞-+-ds d e222t s t .作极坐标变换：s =r cos θ,t =r sin θ,得到I 2=22π22r redrd πθ∞--∞=⎰⎰,而I >0,故有I =2π，即有.π2d e 22=⎰∞∞--t t于是.1π2π21d e 21222)(=⋅=--∞∞-⎰x x σμσπ 正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布之一.在实际问题中大量的随机变量服从或近似服从正态分布.只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性作用，那么就可以断定随机变量服从或近似服从正态分布.例如，因人的身高、体重受到种族、饮食习惯、地域、运动等等因素影响，但这些因素又不能对身高、体重起决定性作用，所以我们可以认为身高、体重服从或近似服从正态分布.参数μ，σ的意义将在第四章中说明.f （x ）的图形如图2-5所示，它具有如下性质：图2-5 图2-61°曲线关于x =μ对称；2°曲线在x =μ处取到最大值，x 离μ越远，f (x )值越小.这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X 落在这个区间上的概率越小；3°曲线在μ±σ处有拐点； 4°曲线以x 轴为渐近线；5°若固定μ，当σ越小时图形越尖陡（图2-6），因而X 落在μ附近的概率越大；若固定σ,μ值改变，则图形沿x 轴平移，而不改变其形状.故称σ为精度参数，μ为位置参数. 由（2.13）式得X 的分布函数F （x ）=t xt d eπ21-2)(22⎰∞--σμσ. （2.14）特别地，当μ=0，σ=1时，称X 服从标准正态分布N （0，1），其概率密度和分布函数分别用)(x ϕ，Φ(x )表示，即有22e π21)(x x -=ϕ， （2.15）Φ(x )=t xt d eπ2122⎰∞--. （2.16）易知，Φ（-x ）=1-Φ（x ）.人们已事先编制了Φ（x ）的函数值表（见本书附录）.一般地，若X ~N （μ，σ2），则有σμ-X ~N (0,1).事实上，Z =σμ-X 的分布函数为 P {Z ≤x }=}{x X P ≤-σμ=P {X ≤μ+σx }=t t xd e π21222)(σμσμσ--+∞-⎰，令σμ-t =s ，得P {Z ≤x }=s xs d eπ2122⎰∞--=Φ(x )，由此知Z =σμ-X ~N (0,1).因此，若X ~N （μ,σ2），则可利用标准正态分布函数Φ（x ），通过查表求得X 落在任一区间（x 1,x 2]内的概率，即P {x 1<X ≤x 2}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-<-σμσμσμ21x X x P=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-σμσμσμσμ12x X P x X P =⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φσμσμ12x x .例如，设X ~N （1.5，4），可得P {-1≤X ≤2}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--25.1225.125.11X P=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=Φ(0.25)-[1-Φ(1.25)]=0.5987-1+0.8944=0.4931.设X ~N （μ，σ2）,由Φ（x ）函数表可得P {μ-σ<X <μ+σ}=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=0.6826,P {μ-2σ<X <μ+2σ}=Φ(2)-Φ(-2)=0.9544, P {μ-3σ<X <μ+3σ}=Φ(3)-Φ(-3)=0.9974.我们看到，尽管正态变量的取值范围是（-∞,∞),但它的值落在（μ-3σ,μ+3σ）内几乎是肯定的事，因此在实际问题中，基本上可以认为有|X -μ|<3σ.这就是人们所说的“3σ原则”.例2.12 公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X 服从μ=170(cm),σ=6(cm)的正态分布，即X ~N （170，62），问车门高度应如何确定？解 设车门高度为h (cm)，按设计要求P {X ≥h }≤0.01或P {X ＜h }≥0.99，因为X ~N （170，62），故P {X ＜h }=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-617061706170h h X P ≥0.99， 查表得 Φ（2.33）=0.9901＞0.99.故取6170-h =2.33，即h =184.设计车门高度为184（cm ）时，可使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.例2.13 测量到某一目标的距离时发生的随机误差X （单位：米）具有密度函数f (x )=3200)20(2eπ2401--x .试求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率.解 X 的密度函数为f (x )=222402)20(3200)20(eπ2401eπ2401⨯----⨯=x x ,即X ~N （20，402），故一次测量中随机误差的绝对值不超过30米的概率为P {|X |≤30}=P {-30≤X ≤30}=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ402030402030=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=0.5981-(1-0.8944)=0.4931.设Y 为三次测量中误差的绝对值不超过30米的次数，则Y 服从二项分布b (3,0.4931)，故P {Y ≥1}=1-P {Y =0}=1-(0.5069)3=0.8698.为了便于今后应用，对于标准正态变量，我们引入了α分位点的定义. 设X ~N （0，1），若z α满足条件P {X ＞z α}=α，0＜α＜1， （2.17）则称点zα为标准正态分布的上α分位点，例如，由查表可得z0.05=1.645,z0.001=3.16.故1.645与3.16分别是标准正态分布的上0.05分位点与上0.001分位点.分享源源不断。
1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
连续型随机变量及其分布
2
2
a
大家应复习有关积分的方法与公式。
请看P.40-41:例9；例10.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
三、几种重要的连续型随机变量 1、均匀分布
定义2 设连续型随机变量X具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其它,
则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为
X ~ U (a,b).
到x的一块面积；
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
概率密度的几何意义
b
P{a X b} f (x)dx
xx
a
f (x)dx f (x)x.
概率论与数理统计 x
数学与计算科学学院 徐 鑫
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即 P{X a} 0.
证明
数学与计算科学学院 徐 鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
x0 x0
(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)
=1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ;
或P{X>0.1}=
f (x)dx
ex dx
e x
|
0.1
e 0.1
0.1
0.1
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
练习 设随机变量X的概率密度为
f
(x)
2
0,
求X的分布函数。
P{ X
a}
连续型随机变量的分布与应用
连续型随机变量的分布与应用连续型随机变量是概率论与数理统计中重要的研究对象之一，它与离散型随机变量相辅相成，被广泛应用于各个领域。
本文将探讨连续型随机变量的分布特性以及在实际问题中的应用。
一、连续型随机变量的定义与性质连续型随机变量是在一定范围内取任意实数值的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是实数区间内的任意一个点，且其概率密度函数可用来描述其分布特性。
1. 概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意x，有f(x) ≥ 0；（2）归一性：∫f(x)dx = 1。
2. 分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)定义为X ≤ x的概率，即F(x) =P(X ≤ x)。
由于连续型随机变量无论取任何具体值的概率都是0，因此F(x)可用概率密度函数进行求解。
二、常见的连续型随机变量分布在概率论与数理统计中，涉及到很多形式不同的连续型随机变量分布。
下面介绍几种常见的分布类型及其特点。
1. 均匀分布均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在给定区间上的密度函数是常数。
均匀分布常用于模拟实验、随机抽样等场景。
2. 正态分布正态分布，又称高斯分布，是自然界中许多现象的分布模型。
它以其钟形曲线而著名，均值、方差是正态分布的两个重要参数。
正态分布在统计推断、假设检验等方面有广泛的应用。
3. 指数分布指数分布广泛应用于描述一些事件的持续时间或间隔时间，如设备寿命、电话呼叫等。
它具有无记忆性质，也就是说未来的发生与过去无关，仅与当前时刻有关。
4. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间（或单位面积、单位长度等）内某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布常用于描述到达某一地点的车辆数、电话呼叫数等。
5. 威布尔分布威布尔分布常用于描述产品寿命或可靠性的分布。
它是指数分布的一般形式，通过加入形状参数来调整分布的形态。
三、连续型随机变量在实际问题中的应用1. 风险分析连续型随机变量在风险分析中有着广泛的应用。
连续型随机变量的分布与例题讲解
连续型随机变量的分布（一）连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量X 的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x ，有()()xF x f t dt -∞=⎰，则称X 为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
注：F (x )表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。
2 .密度函数f(x)的性质：注：f (x )不是概率。
1) f(x )≥02) ()1f x dx3) 21x 1221x {x x }f (x)x(x )(x )P Xd F F特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即{}0.P Xx （但{X =x }并不一定是不可能事件）因此 P(a ≤X ≤b)= P(a<X<b)= P(a ≤X<b) = P(a<X ≤b)=F(b)-F(a )4）若f (x )在点x 处连续，则()().F x f x '= 分布函数性质i) 0≤F(x )≤1；ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；ⅲ) 当x 1≤x 2时，F(x 1)≤F(x 2)；（单调性）iv) F(x )是连续函数注：iv)与离散型随机变量不同，离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。
例1 设随机变量X 的分布函数为F(x )=A+B arctanx,求 （1）系数A ，B （2）P(-1<X<1)； （3）密度函数f(x )分析：主要是应用分布函数的性质。
解 （1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得0212A B A B ππ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解之，得 121A B π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）由(1)知F(x )=11arctan ,2x π+基 本 内 容备 注故得P （-1<X<1）=F(1)-F(-1)1111arctan1(arctan(1))22111()442(3) f(x)21()()(1)F x x x例2 设随机变量X 的概率密度为3xk , x 0, f (x)0, x0,e试确定常数k ，并求其分布函数F(x)和P{X>0.1}.解：由f (x)x1d 得0f (x)x()()d f x dxf x dx3xk x k /31,ed3.k3x3, x 0, f (x)0, x0.e当0x 时，()00x F x dt -∞==⎰ 当0x时，0330()031x t xF x dte dt e于是， 3x1, x 0,F(x)0, x0.e0.3{0.1}1{1}1(1)1(1)P X P X F e0.30.7408.e（二）正态分布（1）设随机变量X 的概率密度函数为22(x )21f(x),x ,2e μσπσ--=-∞<<+∞,(0)μσσ>其中为常数，则称X 为服从参数为,μσ的正态分布，记作2~(,).X N μσ其图象为（右图）。
几种常用的连续型分布
0.2514
15
故
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
作业2-4： 1，5，6
P(A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60} 5 20 5 1 60 2
f (x)
2. 指数分布(P40)
若 X～ f (x)＝ex , x 0
0, x 0
x
0
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
F (x)＝1 ex , x 0 0, x 0
峰的陡峭程度.
4.标准正态分布(p41) 参数＝0，2＝1的正态分布称为 标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
(x)
1
x2
e 2 , x .
2
分布函数表示为
( x) P{X x}
x t2
1 e 2 dt, x 2
( x)
( x)
1 0 1 ;
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
几个常用的连续型随机变量
均匀分布 P{c<X<d}
正态 分布
指数分布 无记忆性
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p39)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
浅谈连续型随机变量函数分布的解法
Ｙ ｇ （ ） ＝Ｐ 的 值域为（ ０ ， ＋ ｏ 。 ） ；
在区 间［ 口 ， ６ ］ 上的 表 达 式 不 为 零 称［ 口 ， ］ 为
，
） 的 非
代 入＾ （ ） 得 ：
＾ ∞： … 搬
零区间，此时定理中的条件变成在非零区间Ｌ ａ ， ｂ Ｊ 上
式法求Ｙ 的 概率密 度 （ ） ：
第二 步求 ｇ ） 的 反函 数 ＝ （ ） 及 ＝ （ ） ；
第三步 求 ｇ （ ） 的值域即 和 如果 （ ｘ ） 是分
，
段函数， 则根据ｉ ｘ （ ） 的非零区间求
第 四步 把第 二步和第 三步的结果代入
ｇ （ ＞０ （ 或恒有ｇ （ ＜０） 此 时
，
＝ ｍ ｉ ｎ （ ｇ （ ａ ） ， ｇ （ ６ ） ） ， ＝ｍ ａ ｘ （ ｇ （ ａ ） ， ｇ （ ６
根据定理得 到公 式法 的解题步骤 ：
。
第一步 判断是否可以 用公式法求Ｙ 的 概率密度厂 ｙ （ ） ， 求 Ｙ ｇ （ ） 若ｇ （ ） ＞Ｏ 或ｇ （ ） ＜０
教学研究
浅谈连续型随机变量函数分布的解法
廖 为鲲 秦 州职 业技 术学 院 ，江 苏 泰 州 ２ ２ ５ ３ ０ ０
摘 要 ： 本 文 归 纳分 析 了连 续 型 随机 变量 函数 分 布 的 解 法 ， 并 详 细 介 绍 了解 题 步 骤 。 且 通 过例 题作 了具 体说 明 。 关键词 ：连续型随机 变量 函数；分布 函数 ；概 率密度
中图分 类号：０ ２ １ １
文 献标 识码 ：Ａ
文章 编号 ：１ ６ ７ １ ． ５ ８ ６ １ （ ２ ０ １ ５ ） １ ７ ． ０ ０ ４ ２ ． ０ １
连续型随机变量与分布
连续型随机变量与分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它描述了试验结果的不确定性。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
在本文中，我们将重点讨论连续型随机变量及其分布。
一、连续型随机变量的定义连续型随机变量是指其取值范围为连续的实数集合的随机变量。
与之相对应的是离散型随机变量，其取值范围为有限或可列的数集。
举例来说，假设我们研究某地每天降雨的量，用X表示降雨量。
如果我们用毫升作为单位，X可以取任意实数值，包括小数。
这种情况下，X就是一个连续型随机变量。
二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，我们不能像离散型随机变量那样用概率质量函数来描述其概率分布，因为连续型随机变量可能取无限个实数取值。
为了描述连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）。
概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1. 非负性：对于任意实数x，有f(x)≥0；2. 归一性：∫f(x)dx = 1，其中积分范围为整个样本空间。
概率密度函数f(x)表示了随机变量X落在无穷小区间(x, x+dx)内的概率。
具体而言，对于一个事件A，其对应的概率可以通过计算f(x)在该区间上的积分得到。
三、连续型随机变量的分布函数与离散型随机变量相似，连续型随机变量也有分布函数（Distribution Function），又称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。
对于连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)，表示X小于等于x的概率。
分布函数具有以下性质：1. 非减性：对于任意实数x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)；2. 右连续性：对于任意实数x0，有F(x0) = lim(x→x0⁺)F(x)。
通过分布函数，我们可以计算随机变量X落在任意区间上的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=2×0.-1 =0.
引理若 则
证 的分布函数为
令 得 可知
基 本 内 容
备 注
于是，若 则它的分布函数 可写成：
对于任意区间 ，有
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
为常数，则称X为服从参数为 的正态分布，记作 其图象为（右图）。其中： 称为位置参数， 的图Байду номын сангаас关于 对称， 影响 的最大值及曲线的形状。分布函数为
基 本 内 容
备 注
性质：
1.曲线关于 对称，这表明对于任意 有
2.当 时，
（2）标准正态分布
特别地，当 时，称X服从标准正态分布，
记为 相应的概率密度函数和分布函数分别记为
(3)求常数C，使之满足P{X<C}=0.05,即
基 本 内 容
备 注
例5某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线（500分）以下的2075人,问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？
连续型随机变量的分布
（一）连续型随机变量及其概率密度函数
1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x，有 ，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
注：F(x)表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为1。
2.密度函数f(x)的性质：注：f(x)不是概率。
1)f(x)≥0
2)
3)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 （但{X=x}并不一定是不可能事件）
因此P(a≤X≤b)= P(a<X<b)= P(a≤X<b) = P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
4）若f(x)在点x处连续，则
分布函数性质
i) 0≤F(x)≤1；
ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；
解（1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得
解之，得
（2）由(1)知F(x)=
基 本 内 容
备 注
故得P（-1<X<1）=F(1)-F(-1)
(3) f(x)
例2设随机变量X的概率密度为 试确定常数k，并求其分布函数F(x)和P{X>0.1}.
解：由 得
当 时，
当 时，
于是，
（二）正态分布
（1）设随机变量X的概率密度函数为
ⅲ)当x1≤x2时，F(x1)≤F(x2)；（单调性）
iv) F(x)是连续函数
注：iv)与离散型随机变量不同，
离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。
例1设随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctanx,
求（1）系数A，B（2）P(-1<X<1)；（3）密度函数f(x)
分析：主要是应用分布函数的性质。
本次课小结：
介绍了连续型随机变量的概念,连续型随机变量概率密度函数的概念及其性质.介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。
分析设学生考试成绩X~N( )，首先应求出 及 之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解设学生成绩X~N( )，由题设知应有
从而得
即
查表得 解之得
故知，X~N( )
又设该大学实录线为a，由题设知：
即
查表得
即是说该大学的实录线约为512分。
（三）对数正态分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
基 本 内 容
备 注
其中， 为常数，则称X服从参数为 和 的对数正态分布，记作
对数正态分布的分布函数为
若 则
（四）Weibull分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
其中， 为常数，则称X服从参数为 的Weibull分布，记作
Weibull分布的分布函数为
——形状参数
——位置参数
——尺度参数
Weibull分布概括了许多典型的分布。
例如，设X~N(1,4)，则
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:
(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;
(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;
(3)求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05。
易知 。
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X~N(0,1)，查表计算：
(1) P(X≤2.5)；(2) P(X>2.5)；(3) P(|X|<2.5).
解(1)P(X≤2.5) =Φ(2.5) =0.
(2)P(X>2.5) =1- P(X≤2.5) =1-Φ(2.5) =0.