方程的定义
方程主要知识点总结
方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。
方程的解即是使等式成立的未知数的值。
二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。
一元一次方程的定义和判别方法
一元一次方程的定义和判别方法一、一元一次方程的定义和判别方法1、方程的有关概念（1）方程含有未知数的等式叫做方程。
如$2x-$$5=1$。
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可。
（2）方程的解使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。
（3）解方程求方程解的过程，叫做解方程。
2、一元一次方程（1）一元一次方程的概念只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的判别方法判断方程是否为一元一次方程，需同时满足：① 只含有一个未知数；② 未知数的次数都是1；③ 是整式方程。
这三个条件缺一不可。
3、等式的性质（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果$a=b$，那么$a±c=$$b±c$。
（2）等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b$$(c≠0)$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。
4、解一元一次方程的方法（1）合并同类项与整式加减中所学的内容相同，将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程叫做合并同类项。
合并同类项的目的是向接近$x=a$的形式变形，进一步求出一元一次方程的解。
（2）移项① 概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
② 移项的依据：移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
③ 移项的目的：通常把含有未知数的各项都移到等号的左边，而把不含未知数的各项都移到等号的右边。
使方程更接近于$x=a$的形式。
（3）系数化为1① 概念：将形如$ax=b$$(a≠0)$的方程化成$x=\frac{b}{a}$的形式，也就是求出方程的解$x=\frac{b}{a}$的过程，叫做系数化为1。
② 系数化为1的依据：系数化为1的依据是方程左右两边同时乘未知数系数的倒数。
方程与函数
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1、差根变换 定理 3 方程 f ( y k) 0 的各个根分别等于方程 f (x) 0
的各个根减去k。
例 3 求一个方程，使它的各根分别等于已知方程 x4 6x3 7x2 6x 2 0
的各根减去2。
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对于 f (x) a0xn a1xn1 L an1x an, 若要化成不
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例 5 求一个方程，使它的各个根分别是已知方程 x4 3x3 5x2 x 10 0
的各根的2倍。
例 6 已知方程x4 x3 x2 4x 20 0 的四个根中，有 两个根的绝对值相等，符号相反，解这个方程。
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3、倒根变换 定理 5 如果方程f (x) 0 没有等于零的根，那么方程 f ( 1 ) 0 的各个根分别是方程 f (x) 0的各个根的倒数。
定义6 若方程f 1= g1的任何一个解都是方程f 2= g2的解 那么方程f 2= g2是方程f 1= g1的结果（或导出方程）。
显然互为结果的两个方程同解。
二、 方程（组）同解定理
定理1 如果方程f 1= g1 与方程f 2= g2的定义域相同， f1 f2，g1 g2, 则这两个方程同解。 定理2 D((x)) M , 且对任意的x M, (x) 0, 则
定义 5 若方程f 1= g1的任何一个解都是方程f 2= g2的解 且方程f 2= g2的任何一个解都是方程f 1= g1的解，则称这
两个方程同解。
注：①上述两个方程的定义域必须相同。即方程的同 解与定义域有关。 ② 如果上述两个方程是整式方程，则重根次数相同。
方程的意义基础知识讲解
方程的意义基础知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c 为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x ＝0中，两边加上得x ＋，这个等式不成立; (3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；④2m-3n ＝0； ⑤3x 2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；⑦251x =+； ⑧28553x x -=． 【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】（2020春•宜宾县期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）A. 3+2=5B. x=1C. 2x ﹣3＜0D. a 2+2ab+b 2【答案】B ．2．（2020春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（ ）A. 4x ﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x ﹣1）【答案】C ．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A ．x+1＝4B ．2x+1＝3C ．2x-1＝2D ．2173x += 类型二、一元一次方程的相关概念3．已知方程①32x x -=；②0.4x ＝11；③512x x =-；④y 2-4y ＝3；⑤t ＝0；⑥x+2y ＝1．其中是一元一次方程的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B.【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）；④未知数的次数为2；⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程． 【总结升华】3x 和2x 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 3x不是整式，2x 是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． 举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________；(3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a b c c =++.C ．在等式b c a a=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x 的5倍比x 的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4； (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x ，则1344x x -=；(3)设甲用x 分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x +=．。
方程的有关概念
应用
利用根与系数的关系可以求解方程的根，或 者判断方程的根的情况。例如，对于一元二 次方程ax^2+bx+c=0，如果其根的和与积的 符号相同，则该方程有两个实数根；如果其 根的和与积的符号不同，则该方程有一个实
描述
数值解法通常使用迭代或搜索算法来 逼近方程的解，适用于无法得到精确 解的方程。
适用范围
数值解法适用于各种类型的方程，特 别是难以得到精确解的复杂方程。
例子
求解方程 $sin(x) = x$，可以通过数 值解法得到近似解为 $x approx 1.5708$（即 $pi/2$）。
03
方程的应用
代数问题
求解。
04
方程的性质与定理
唯一解定理
总结词
唯一解定理是指一个方程只有一个解。
详细描述
在数学中，唯一解定理是指一个方程在给定条件下只有一个确定的解。这个解可 以是实数、复数或其他数学对象，但只能有一个。这个定理是方程求解的基本原 则之一，确保了方程的解的唯一性。
无解定理
总结词
无解定理是指一个方程无解。
解线性方程的方法有多种，如加减消 元法、代入法、公式法等。线性方程 在数学、物理、工程等领域有广泛应 用。
二次方程
二次方程是包含一个未知数的二次项、一次项和常数项的代数 方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常 数，x 是未知数。
解二次方程的方法有公式法和因式分解法等。二次方程在几 何学、物理学等领域有重要应用，如求解物体运动轨迹等。
方程式的概念
方程式的概念
含有未知数的等式叫方程式。
方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
含有未知数的等式叫方程，这是中学中的逻辑定义，方程的定义还有函数定义法，关系定义，而含未知数的等式不一定是方程，如0x=0就不是方程，应该这样定义，如f（x1,x2,x3......xn）=g(x1,x2,x3......xn)的等式，其中f（x1,x2,x3......xn）和g(x1,x2,x3......xn)是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一的不是常数。
《方程的定义》说课稿
《方程的定义》说课稿
方程的定义
方程是数学中常见的概念之一。
它是由未知量和已知量之间关系所构成的等式。
简单来说，方程就是表示两个事物相等的数学句子。
方程通常用字母表示未知量，例如，我们常见的一元一次方程可以写成：ax + b = 0。
其中，a和b是已知数，而x是未知数。
方程的目标就是找到使等式成立的未知数的值。
方程中的未知数可以有多个，例如，二元一次方程可以写成：ax + by + c = 0。
解这个方程就是要找到同时满足这个等式的两个未知数x和y的值。
在解方程的过程中，我们可以使用各种方法，例如代入法、化简法、分离变量法等。
不同的方程类型可能需要使用不同的方法来求解，所以熟悉各种解方程的方法是很重要的。
方程的定义对于数学的各个领域都是非常重要的。
在代数学中，方程是研究代数运算和代数结构的基础。
在几何学中，方程用来描
述图形和曲线。
在物理学和工程学中，方程被用来描述自然和工程
现象。
总而言之，方程是一个有着重要定义和应用的数学概念。
掌握
方程的定义和解方程的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
*请注意：以上内容仅供参考，具体内容需要根据教学需要进
行调整和补充。
*。
方程与不等式的关系与转化
方程与不等式的关系与转化一、方程与不等式的定义知识点1：方程的定义方程是一个含有未知数的等式，其中等号两边的表达式相等。
方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。
知识点2：不等式的定义不等式是一个含有未知数的数学表达式，其中等号被大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）或不等号（≠）代替。
不等式的目的是找到使表达式成立的未知数的范围。
二、方程与不等式的关系知识点3：方程与不等式的联系方程和不等式都是用来描述变量之间关系的数学工具。
方程是通过等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下相等；而不等式是通过不等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下不相等或不具有大小关系。
知识点4：方程与不等式的区别方程是通过等号表示两个表达式的相等关系，而不等式是通过不等号表示两个表达式的不相等关系或不具有大小关系。
方程的解是唯一的，而不等式的解集是一个范围。
三、方程与不等式的转化知识点5：方程转化为不等式将方程中的等号改为不等号，可以得到相应的不等式。
例如，将2x + 3 = 7转化为2x + 3 ≥ 7，得到的解是x ≥ 2。
知识点6：不等式转化为方程将不等式中的不等号改为等号，可以得到相应的一般方程。
例如，将3x - 5 < 8转化为3x - 5 = 8，解这个方程得到的解是x = 5/3。
知识点7：线性方程与一元一次不等式的转化线性方程和不等式可以通过解集的性质进行转化。
例如，解线性方程2x - 5 = 3，得到的解是x = 4/2。
相应的不等式是2x - 5 ≥ 3，解集是x ≥ 4/2。
四、方程与不等式的解法知识点8：线性方程的解法线性方程可以通过代数方法（如移项、合并同类项、系数化）求解。
例如，解方程3x + 4 = 19，可以得到x = 5。
知识点9：一元一次不等式的解法一元一次不等式可以通过同解原理和数轴法进行解法。
例如，解不等式2x - 5 > 3，可以得到x > 4。
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方程的定义
◎ 方程的定义的定义
方程：
含有未知数的等式，即：
1、方程中必须含有未知；
2、方程式是等式，但等式不一定是方程。
未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部字母都可以。
一道题中设两个方程未知数不能一样！
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
◎ 方程的定义的知识扩展
方程：含有未知数的等式，即：
1、方程中必须含有未知；
2、方程式是等式，但等式不一定是方程。
未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部字母都可以。
一道题中设两个方程未知数不能一样！
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
◎ 方程的定义的特性
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
，广泛应用于数学、物理等理科应用题的
运算。
◎ 方程的定义的教学目标
1、通过对多个实际问题的分析，去体验从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解次方程的概念,领悟方程的意义和作用。
2、在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中,培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力。
3、学生在经历把实际问题抽象为数学方程的过程中，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想。
◎ 方程的定义的考试要求
能力要求：知道
课时要求：30
考试频率：少考
分值比重：1。