4 无零因子环的特征
近世代数期末考试题库1
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R,则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有( d ）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是(b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等.5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合;,则有-1,0，1，-2，2。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环.4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---—-—-—-。
9、一个除环的中心是一个—域---——.三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。
《高等数学》.
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
04 无零因子环的特征
第四节 多项式环基本概念：多项式、未定元．重点、难点: 未定元的概念、未定元的存在性．本节中的环均指有单位元的交换环．设R 是环R ＇的子环，且二者有相同的单位元．定义3.4.1 设'R α∈，记集合0101[]{|,,,,}nn n R a a a a a a R n ααα=+++∈∈L L ?，在[]R α中规定运算如下：01010011010101()()()()());()(),.n n n n n n n n m n n m n k i ji j ka a ab b b a b a b a b a a a b b bc c c c a b αααααααααααα+=+++++++=+++++++++⋅+++=+++=∑L L L L L L 其中则[]R α构成一个环，称之为R 上的关于α的多项式环，称[]R α中的元素为R 上的关于α的多项式．注1 []R α是R ＇中包含R 和α的最小子环．注2 与高等代数中类似，对每个()[]f R αα∈，可以定义()f α的次数、系数、首项系数等．值得注意的是，可能存在不全为零的元素01,,,m a a a R ∈L ，使得010m m a a a αα+++=L ．例如，在i ∈£，但2110i +=．又如，若R α∈，则1(1)0αα+-=．于是有下面的概念．定义 3.4.2 设'x R ∈．若不存在不全为零的元素01,,,m a a a R ∈L ，使得010,m m a a x a x m +++=∀∈L ?，则称x 是环R 上的一个未定元．称R 上关于x 的多项式是为R 上的一元多项式．自然会问：环R 上的未定元是否存在？一般而言，对于给定的环R ＇， R ＇中未必含有环R 上的未定元．例如，环[]i ¢中就不含有¢上的未定元．但是有定理3.4.1 假设R 是一个有单位元的交换环，则一定存在环R 上的未定元x ，因此 R 上的一元多项式环[]R x 是存在的．上述结果可以推广到多个的情形，即有定理3.4.2 假设R 是一个有单位元的交换环，n 为任意正整数，则一定存在环R 上的n 个无关的未定元1,,n x x L ，因此 R 上的多元多项式环1[,,]n R x x L 是存在的．（其中无关的意思是指：11111100,n n n n ni i i i n i i i i i i ax x a a R =⇔=∀∈∑L L L L L ．） 定理3.4.3 假设1[,,]n R x x L 和1[,,]n R ααL 都是有单位元的交换环R 上的多元多项式环，若1,,n x x L 是R 上的n 个无关的未定元，则一定存在环的同态满射1111[,,][,,];(,,)(,,)n n n n R x x R f x x f αααα→L L L a L ．作业：Page 109 第1题，第2题。
无零因子环的特征
第19 讲§4 无零因子环的特征（Characteristic of the ring without zero-division）本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法{}+,R做成一个加群。
所以群中元素自然存在阶的概念。
本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。
而将无零因子环的问题只是作为一种特例。
这里要求：（1）对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是()Rch与{}+,R中元素的阶的本质区别。
（2）无零因子R环中的特征的几个性质的证明应该掌握。
（3）对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。
一、环的特征的定义定义 ： 设R 为任意环，如果存在自然数n ，使得任意Ra ∈都有0=na ，那么称这样的最小的自然数n 为环R 的特征，记为()R Ch 。
如果不存在这样的自然数，则称的为无穷大，记().∞=R Ch例1． 整数环Z 中上述定义的自然数n 不存在. ∴ ()R Ch =∞. 不仅如此,还可知 ()()()().,∞=∞=F M Ch x F Ch n例 2. 在模4的乘余类环4Z 中,][][][][]{}3,2,1,04=∈∀Z i ,当取 ,16,12,8,4=n 时,都有[][]0=i n 而最小的显然是4 ()44=∴Z Ch 明示1: 模剩余类环而言,().m Z Ch m =注意1：1°如果环R 的加群中有一个元素的阶为无穷，由()R Ch 的定义知 必有()∞=R Ch .2° 如果R 的加群{}+,R 中每个元素都是有限阶而最大的阶若为()n R Ch n =⇒.譬如中∆Z ;最大者是[][][]4317,10===, []22=, ()44=⇒∆Z Ch .结论1. 若()n R Ch =,那么,加群{}+,R 中每个元素a ,都有n a =1. 明示2. 在此,我们要强调二点:① 确定存在这样的环R ,使得其加群{}+,R 中既有无穷阶的元素又有有限阶的元素.设()()c G b G ==21,是两个循环加群,又设,∞=b 而n c =. 所以{}.00,1=⇔=∈∀=h hb Z h hb G 且 {}n kc Z k kc G ⇔=∈∀=0,2且 k .现令 (){}Z k h kc hb G G R ∈∀=⨯=,,21并规定R 中加法“+”: ()()()c k c k b h b h c k b h c k b h 21212211,,,++=+乘法“·”： ()()()0,0,,2211=c k b h c k b h 。
D34无零因子环的特征
在代数数论中，D34无零因子环可以 作为构建域的扩张的工具，有助于深 入理解域的代数性质和结构。
在物理领域的应用
量子力学模型
D34无零因子环在量子力学中可以用来构建模型，描述粒子 的状态和相互作用，为理解量子现象提供数学工具。
场论中的对称性
在物理场论中，D34无零因子环可以用来研究场的对称性和 变换性质，有助于深入理解场的内在结构和性质。
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无零因子环的概念
定义
无零因子环是指环中没有零因子的一种特殊环，即对于任意非零元素$a$和$b$，如 果$ab=0$，则至少有一个因子必须为零。
特征
无零因子环具有一些特殊的性质和结构，如每个元素都可以分解为其素因子的乘 积，且每个素因子只出现一次。此外，无零因子环的乘法封闭，即如果两个非零 元素的乘积为零，那么至少有一个元素必须为零。
• 建立与其他数学领域的联系：D34无零因子环作为数学领域中的一个概念，可 以尝试与其他数学领域建立联系，如代数几何、微分几何、概率论等，通过交 叉研究促进数学的发展。
• 开展跨学科研究：除了数学领域，D34无零因子环在其他学科领域也有潜在的 应用前景，如物理学、工程学等。开展跨学科研究有助于拓展D34无零因子环 的应用范围，为解决实际问题提供更多可能性。
在工程领域的应用
控制系统的稳定性
D34无零因子环可以用于分析控制系统的稳定性，通过环的代数性质来研究系统的动态行为和稳定性 条件。
信号处理中的滤波器设计
在信号处理中，D34无零因子环可以用于设计滤波器，通过环的运算性质来实现信号的滤波、降噪和 特征提取等功能。
05
结论
D34无零因子环的重要性
理论意义
性质
第16讲 第3章第3-4节除环和域,无零因子环的特征
证：(1)若 [ a ] 为
(2)若 [ a ] 为 Z 的可逆元,则 [ b ] Z m , [ a ][ b ] [ a b ] [1]. 于是, m | ab 1 ,即 c Z
m
使得 a b 1 c m ,也就是 a b ( c ) m 1 所以 ( a , m ) 1 . 反之, 如果 ( a , m ) 1 ,则 x , y Z
说明：（1）整环，除环和域都是无零因子的环;
(2)R中至少2个元，则
环R为除环当且仅当R中全体非零元集合 R*关于乘法做成群； 环R为域当且仅当(R,+)和(R*,.)都是交换 群. （3）除环 中
a , b R , a 0, 方 程 a x b及 ya b都 有 解
例5
R { ( , ) | , 为 复 数 }， 其 中 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 当 且 仅 当 1 2 , 1 2， R 中 运 算 为 ( 1 , 1 ) + ( 2 , 2 ) = ( 1 + 2 , 1 + 2 ) ( 1 , 1 )( 2 , 2 ) = ( 1 2 - 1 2 , 1 2 1 2 )
解 (1) 全部零因子:
[ 2 ], [ 3 ], [4 ], [6 ], [8 ], [9 ], [1 0 ]
(2) 全部可逆元: [1], [5 ], [7 ], [1 1] 直接计算可知,相应的逆元为
[1]
1
[1], [5 ]
1
[5 ], [7 ]
1
[7 ], [1 1]
1
则 R 做 成 环 ， 而 且 有 单 位 元 （1 ，） ， 非 零 元 （ ， ） 0 的逆元是 (
近世代数复习
第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
无零因子环的特征
无零因子环的特征
一个环被称为无零因子环，如果它不含有非零的因子，即对于环中的任意元素a和b，如果ab=0，则a=0或b=0。
一个无零因子环的特征可以有以下性质：
1. 加法群：无零因子环一定是一个加法群，因为它满足加法封闭性、结合律、存在加法单位元和加法逆元。
2. 乘法幺元：无零因子环一定存在乘法幺元，即一个元素可以与环中的任意元素乘得自身。
3. 分配律：无零因子环满足左分配律和右分配律，即对于环中的任意元素a、b和c，有a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac+bc。
4. 可交换性：无零因子环不一定是可交换环，即乘法不一定是可交换的。
总结起来，一个无零因子环的特征是它满足加法群、乘法幺元和分配律，但不一定满足可交换性。
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§4 无零因子环的特征
提问
（1） 00m a ma a a a ≠⇒=++
+≠个
在环里成立吗？
在整数环里，这是成立的.但我们将看到，在有的环里，这是不成立的.
例1 设F 是模p （p 是素数）的剩余类环，则F 是一个域.
证 只需证明F 的所有非零元作成一个乘群*.F 因F 的乘法适合结合律，而*
F 是一个有限集，故由有限群的另一定义知，要证明*F 是一个乘群，只需证明：Ⅰ.*F 对于乘法来说是闭的； 'Ⅲ.消去律成立.
Ⅰ.设[][]*,a b F ∈，则[][][][]0,0a b ≠≠，从而p ∣/a ，p ∣/b .于是p ∣/ab ，从而[][][][]0.a b ab =≠因此[][]*.a b F ∈
'Ⅲ.设[][][]*,,a x x F '∈，且
[][][][].a x a x '=
由[][][]*,,a x x F '∈得p ∣/a ，p ∣/x ，p ∣/.x '
由[][][][]a x a x '=及[][][][][][],a x ax a x ax ''==得，[][].ax ax '=于是，
()|.p ax ax a x x ''-=-
因p ∣/，故由上式得[][]|,.p x x x x ''-=
在这个域F 里，任取一个非零元[]a （这里p ∣/a ）
，有 [][][][][][]0.p p a a a a pa =++
+==个
分析原因：是因为F 中除零元外，其余元的阶（对加群F 而言）均为p .
对一般的环F ，设a F ∈且0a ≠，若a 在加群F 里的阶是无限大，则（1）成立；若a 在加群F 里的阶是有限的，则（1）不成立.
在一个环F 里，可能会出现这种情况：某个元a F ∈的在加群F 里的阶是有限的，另一个元b F ∈在加群F 里的阶是无限的.
例2 设()()12,G b G c ==是两个循环群，b 的阶无限，c 的阶是.n 1G 和2G 都是交换群，它们的代数运算都用+来表示.用加群符号，我们有
{}1|,G hb h Z =∈
0hb =，当且仅当0h =时.
{}2|,G kc k Z =∈
0kc =，当且仅当|n k 时.
设
(){},|,.R hb kc h k Z =∈
规定R 的一个加法：
()()()11221212,,,.hb k c h b k c hb h b k c k c +=++
再规定R 的一个乘法：
()()()1122,,0,0hb k c h b k c =.
那么R 是一个环.在这个环里，元(),0b 的阶是无限大，而元()0,c 的阶是.n 但在无零因子环里，情况就不会这样了.
定理1 在一个没有零因子的环R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的. 证 若环R 的每一个非零元的阶都是无限大，则定理结论正确.
若环R 存在阶为有限的非零元，设a R ∈，a 的阶是有限的，设其阶为正整数n .再设b 是R 的任一非零元，则
()()0na b a nb ==
（根据课本P84，（13）式）.
因0a ≠，环R 无零因子，故0.nb =于是，b 的阶不超过n ，即b 的阶不超过a 的阶. 同理可证，a 的阶不超过b 的阶.
于是，b 的阶等于a 的阶.
定义 一个无零因子环R 的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环R 的特征. 定理2 若无零因子环R 的特征是有限整数n ，那么n 是一个素数.
证 假设n 不是素数，则n 可以表示为12,n n n =其中121,1n n n n <<<<.
设a 为环R 的一个非零元，则a 的阶为n ，于是0na =，但120,0.n a n a ≠≠ 又因
()()()()()22121212120n a n a n a n a n n a n n a ⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦
， 这与R 没有零因子矛盾.
推论 整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数.p
在一个特征p 的交换环R 里，有
()p p p a b a b +=+，
其中,.a b R ∈
这是因为
()1111p p p p p p p a b a a b ab b p --⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭， 而p i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是p 的倍数，1,
, 1.i p =- 习题选解 1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.
(a )的特征是2;
(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程
证 (a ) 设F 的特征为P
则P 的(加)群F 的非零元的阶
所 4P (4是群F 的阶)
但要求P 是素数, .2=∴P
(b ) 设},,1,0{b a F =
由于2=P ,所以加法必然是
,0=+x x ,而b a a a =+⇒≠+11
故有
0 1 a b
0 1 a b 1
1 0 b a a
a b 0 1 b b a 1 0 又 },,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是
1,=⇒≠≠ab b ab a ab
1,22≠≠a a a (否则b a = )b a =⇒2
故有
.
1 a b
1
1 a b a
a b 1 b b a 1
这样, b a , 显然适合12
+=x x
2. 假定 ][a 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,
那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素).
证 设][a x ∈ 且d n x =),(
则11,dn n dx x ==
由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=⇒=-
故有 ,a d ,且有 n d
因为 1),(=n a 所以1=d
3. 证明, 所有同 n 互素的模 n 的剩余类对于剩余类的乘法来说
作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ 来表示,并且把它叫做由拉φ函数)
证]{[a G =而][a 同n 互素} G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G
(ⅰ)G b a ∈][],[
则][]][[ab b a =
又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n ab
G ab ∈∴][
(ⅱ)显然适合结合律.
(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限.
若]][[]][['
x a x a =
即][]['ax ax = 由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴= 即有][]['
x x =
另一个消去律同样可证成立. G 作成一个群
4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)(n a n ≡φ(费马定理)
证 ),(n a 则G a ∈][
而 ][a 的阶是G 的阶 )(n φ的一个因子
因此]1[]
[)(=n a φ 即]1[][)(=n a φ
)(1)(n a n ≡∴φ。