两角和与差的公式与二倍角公式
两角和与差的公式
两角和与差的公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 C ．－43 答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13， cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( ) B ．－33D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. (2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)． ∵0<α<π2， 则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0， 则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )C ．－35D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________. 答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x )＝________. (3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x ) ＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x ) ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cos α2 ＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 (1)－1010 95010 (2)A解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0， ∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或255或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________． 答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( ) A ．－32 B ．－12思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化． 解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )， ∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )， ∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153.由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3C ．4答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654. 4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin(50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.12°－3,(4cos 212°－2)sin 12°)＝________.答案 －43解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9．已知 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 解 因为1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α ＝ (1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α| ＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)等于()A ．－255B ．－3510C ．－31010答案 A 解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________. 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12.由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
两角和与差及二倍角公式优秀课件
,0 , 2 2
例2
求 c o s .
二、公式逆用
例 3 cos15 － sin15 求 的 值 cos15 ＋ sin15
例 4 已 知 tan tan tan tan tan 3 , 4
两角和与差及二倍角 公式
阅读教材第119页， Cα＋β的推导，做好 填空题
重点公式
s i n s i n c o s c o s s i n c o s c o s c o ss i n s i n
（一）两角和与差公式
s i n 2 2 s i n c o s 2 2 cos2 cos sin t a n 2
求
五.给式求值
例4:P已知a为第二象限角,且
5 c o s s i n 求 s i n c o s
2 2 2 2 2
和sin2a+cos2a的值
“给式求值”:注意到公式中的特 点用解方程组的方法得到。
1 1 练习:已知 sin( ) , sin( ) 3 求tanα :tanβ 的值。 2
2 ,
一、公式的直接应用
例1、求值:
1sin300
π 3 知 α∈ （，） 0 ， sin α＝ ， 2已 2 5 π 求 tan （ α＋ ） 的 值 4
1 2 设 c o s , s i n , 2 3 2 9
cos 0,求sin 3 的 值
三、公式的变形应用
例5 tan 10 － 3 计算 csc40
四、给式求角问题
例 5 (成 才 之 路 1 2 4 页 变 式 训 练 )
5.4 两角和与差、二倍角的三角函数公式
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1 + cos 2 x 1 + sin 2 x 解: f ( x) = 2 2
2 2 2 1 = ( sin 2 x + cos 2 x) + 2 2 2 2 2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
3π 2 1 1 (I) f ( ) = sin π + = 8 2 2 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角a在第一象限且
3 cos α = 5
,求 f (α )
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π sin x + ≠ 0 解:(Ⅰ) 由 2 π x ≠ kπ ( k ∈ Z ) 即
π 得 x ≠ + kπ , 2
2
π 故 f ( x) 的定义域为 x ∈ R | x ≠ kπ ,k ∈ Z 2
1 + cos 2α + sin 2α 2 cos 2 α + 2sin α cos α = = cos α cos α
14 = 2(cos α + sin α ) = 5
高考总复习数学 高考总复习 数学 【点评与感悟 点评与感悟】求值,化简,证明是三角函数中最常见的题型, 点评与感悟 其解题一般思路为 "五遇六想"即:遇到切,想化弦;遇多元, 想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值; 想消元,引辅角. "五遇六想"作为解题经验的总结和概括,操 作简便,十分有效.其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联 系,促进转化),两种数学思想(转化思想和方程思想),三 个追求目标(化为特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相 约项),三种变换方法(切化弦法,消元降次法,辅助元素法).
高三数学两角和与差二倍角公式1(新编2019)
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魏氏诸王皆为县侯 冬十月 傉檀奔于南山 其将牵腾帅众降 义弗可矣 在北河西北 宗之破振将温楷于柞溪 秋七月 三柱一曰三泉 六月 遂泛舟东下 自馀封赏各有差 吴将陶璜等围交趾 武帝受禅 大旱 愍帝崩问至 癸酉 靡不由之 十一月 用告祸福 追复故皇太子位 而其妃后躬行四教 州县 讨斩之 天下同 八月 杀之 缪胤各还本部 异不得至寿春 进安西将军庾翼为征西将军 九坎间十星曰天池 依阿无心者皆名重海内 死之 八月 成帝因削弱之资 及岁常调非军国要急者 死者数千人 敕收其馀 百揆时叙于上 以为远近之数 奏事不名 降于石勒 藩镇有疆理之务 己巳 以兖州刺 史朱序为南中郎将 身服厥劳 斗 迁大将军 禁酒 九卿西五星曰内五诸侯 亦何足特痛哉 获石季龙将支重 谓千年而永治 三月 遣兼司空 右掖门也 章武王范之薨 必以文武为谥 夜行于平地 九月癸酉 十二月庚午 然少为舅氏所制 翟钊寇河南 大破之 舆鬼五星 刺史吴隐之为循所败 二曰宣 夜 示之以好恶 为文所败 众溃 天地之体 帝患之 封新城乡侯 进慕容皝为安北将军 改元 六月 范文寇九德 乞襦 己卯 而鸿雁之歌方远 地震水旱为变者相属 是岁 李雄将李寿寇巴东 色白 固辞策命 帝在长安 使两婢侍 令外人知 其北都没之顷 及帝登阼 天若如推磨右转而日西行者 以 挫其锋 获之 改元 石季龙寇历阳 愍帝奔播之后 浩弃辎重 从官二星 冰退 为天桥 盖出近代 帝复幸江陵 及如战于宛 癸亥 尚书傅嘏帅六军还京师 改元 兴平伯陆玩薨 穆 赞曰 立太原王子缉为高阳王 复以佑为北军中候 大赦 大宛献汗血马 左右皆歔欷 封晋公 角二星为天关 既谋而行 石季龙使其将苻健寇竟陵 赵忆等据宛城反 甲申 皇后见于太庙 震太庙鸱尾 沈举举兵攻长安 星明则吉 朕所以虚想于今日
§15.2 两角和、两角差及二倍角公式
§15.2 两角和、两角差与二倍角公式在诱导公式中，我们有sin(α+2π)=cos α，sin(π-α)=sin α 等等一批公式，公式中同一个三角函数符号下出现了两个角，其中一个角α可以任意，但另一个角2π,π等却是固定的．如果把另一个角改成也是可以任意的例如β，那么sin(α+β)、sin(α-β)等与α,β的三角函数之间会有联系吗？如果有联系，又是怎样的联系？一、两角和与差的余弦1、知识要点设角α的终边与单位圆的交点坐标为P (cos α,sin α)，角β的终边与单位圆的交点坐标为Q (cos β,sin β)．记 a=OP =(cos α,sin α)，b =OQ =(cos β,sin β), 则 a b =|a|⋅|b |cos(α-β)=cos(α-β)； 又应用向量数量积的坐标表示公式 a b=cos α cos β+ sin α sin β，所以cos(α-β)=cos α cos β+ sin α sin β (C α-β )（1）我们把C α-β叫做两角差的余弦公式．在C α-β 中用-β代替β，就可以得到cos(α+β)= cos [α-(-β)] =cos α cos(-β)+ sin α sin(-β)即 cos(α+β)= cos α cos β- sin α sin β． (C α+β )（2）把C α+β 叫做两角和的余弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求cos105°及cos15°的值． 解 设法把105°,15°分解成已知三角函数值的特殊角的和或差，再应用C α-β 或C α+β ．cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=1222⋅=462-； cos15°=cos(45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30°12+=426+． 例2 已知cos α=-54, (2π<α<π)，求cos(6π-α), cos(6π+α)． 解 因为cos α＝--54，且2π<α<π，所以sin α=2)54(1--=53．cos(6π-α)=cos6πcos α+sin6πsin α413)525-+⋅=10343-； cos(6π+α)= cos6πcos α-sin6πsin α413)525--⋅=10343+-． 例3 利用公式C α+β 证明cos [α+(2k +1)π]=-cos α．证明 cos [α+(2k +1)π]=cos αcos(2k +1)π-sin αsin(2k +1)π=cos α(-1)-sin α⋅0=-cos α，所以原式成立． 3、课内练习1. 不查表，求下列三角函数的值： (1)cos75°； (2)cos(-15°)； (3)cos80°cos20°+sin80°sin20°；β)(4)cos20°cos25°-sin20°sin25°； (5)cos22.5°cos22.5°-sin22.5°sin22.5°； (6)cos 215°-sin 215°． 2．利用公式C α+β 、C α-β 证明(1)cos(α+2π)=-sin α； (2)cos(-α)=cos α．3．已知sin α=32,α (2π,π)，求cos(3π+α), cos(3π-α)． 4．已知sin α=1715, cos β=135-, α, β∈(2π,π)，求cos(α+β), cos(α-β)的值．二．两角和与差的正弦.1、知识要点有了C α+β 和C α-β的公式，自然会联想两角和与差的正弦公式如何？因为sin(α+β)=cos [2π-(α+β)]=cos [(2π-α)-β]=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β即 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β． (S α+β)（1）我们把S α+β 叫做两角和的正弦公式．在两角和的正弦公式中，用(-β)代替β就可以得到 sin(α-β)=sin(α+(-β))=sin αcos(-β)+ cos αsin(-β)，即 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β． (S α-β)（2）我们把S α-β 叫做两角差的正弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求sin75︒，sin15︒的值解 sin75︒=sin (45︒+30︒)=sin45︒⋅cos30︒+cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ +2122⋅=426+；sin15︒=sin (45︒-30︒)=sin45︒⋅cos30︒-cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ -2122⋅=426-．例2 已知向量OP =(3,4)，绕原点旋转45︒到P O '的位置(见图10-2)，求点P ’的坐标(x ’,y ’)． 解 设∠xOP =α．因为|OP |=2243+=5，所以cos α=53，sin α=54，x ’=5cos(α+45︒)=5(cos αcos45︒- sin αsin45︒)=5(53⨯22-54⨯22)=-22；y ’=5sin(α+45︒)=5(sin αcos45︒+ cos αsin45︒)=5(54⨯22+53⨯22)=227．所以 P ’( -22, 227)．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值(1)sin105︒； (2)sin165︒； (3)sin(-125π)； (4)sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒； (5)sin70︒cos25︒-sin25︒cos70︒．2. 化简(1)sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin α； (2)sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β．图10-2• yxαPO•P ' 45︒3．已知sin α=1715,α∈(2π,π)，求sin(3π+α), sin(3π-α)．4．已知sin α=32, cos β=-43，且α, β都是第二象限的角，求sin(α+β), sin(α-β)．5．向量OP =(4,3)绕原点旋转60︒, 120︒, -60︒到1OP ,2OP ,3OP 的位置，求点P 1,P 2,P 3的坐标．三．两角和与差的正切1、知识要点根据同角三角函数的关系：tan(α+β)=)cos()sin(βαβα++，得tan(α+β)=βαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin -+；分子、分母同除以cos αcos β, (cos αcos β)≠0)， 则tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+． (T α+β )（1）我们把T α+β 叫做两角和的正切．在T α+β 中用-β代替β，并用负角公式tan(-x)=-tanx ，就可以得到tan(α-β)=βαβαtan tan tan tan ⋅+-1． (T α-β )（2）我们把T α-β 叫做两角差的正切． 2、例题分析例1 不查表，求下列各式的值(1)tan75︒； (2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan ．解 (1) tan75︒= tan (45︒+30︒)=︒⋅︒︒+︒30tan 45tan -130tan 45tan =3333-+=2+3；(2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan =tan(17︒+43︒)= tan60︒=3例2 不查表，求下列各式的值(1)151151tan tan -+； (2)tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒． 解 (1)︒-︒+15tan 115tan 1=︒︒-︒+︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan (45︒+15︒)=tan60︒=3；(2)因为tan(23︒+22︒)=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan(23︒+22︒)(1- tan23︒tan22︒)，原式=tan45︒ (1-tan23︒tan22︒)+tan23︒tan22︒=1-tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1． 3、课内练习1. 不查表，求下列各式的值：(1)tan15︒； (2)tan105︒； (3)︒︒-︒+︒33tan 21tan 133tan 21tan ； (4)3tan125tan 13tan 125tanππππ-+． 2. 已知tan x =2, tan y =51，求tan (x +y ),tan (x -y )． 3. 不查表，求下列各式的值(1)︒+︒-75tan 175tan 1； (2)tan17︒ +tan43︒+3tan17︒ tan43︒．4. 求证(1)θθtan 1tan 1+-=tan(θπ-4)； (2)θθtan 1tan 1-+=tan(θπ+4)． 5. 已知tan α=52，tan β=73，求tan(α+β)． 6. 已知tan α=23，tan β=53，求tan(α-β)．四．倍角公式1、知识要点在和角公式S α+β , C α+β , T α+β 中，取β=α，就可得出相应的二倍角的三角函数公式： （1）sin2α=2sin αcos α； (S 2α ) （2）cos2α=cos 2α-sin 2α=2 cos 2α-1=1-2 sin 2α； (C 2α )（3）t a n2α=αα2tan -12tan ． (T 2α ) 2、例题分析例1 已知sin α=135, α∈(2π,π)，求sin2α, cos2α, tan2α的值．解 因为sin α=135, α∈(2π,π)，所以cos α=-α2sin 1-=-2)135(1-=-1312．sin2α=2sin αcos α=2⨯135⨯(-1312)=-169120；cos2α=cos 2α-sin 2α=(-1312)2-(135)2=169119； tan2α=αα2cos 2sin =-169120÷169119=-119120．例2 证明恒等式θθθθθθtan cos sin 22cos 2sin 2sin 2=+++． 证明 左边=θθθθθθθcos sin 2)sin (cos 2sin cos sin 2222++-+=)1cos 2(cos )1cos 2(sin ++θθθθ=θtan =右边．所以原式成立．例3 证明sin50︒(1+3tan10︒)=1．证明 左边=sin50︒(1+10cos 10sin 3)=sin50︒ 10cos 10sin 310cos + =2sin50︒1010102321cos sin cos +=2 sin50︒10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2sin50︒ 10cos 40sin = 10cos 50cos 50sin 2=10cos 100sin =10cos 10cos =1=右边．所以原式成立． 在例10的证明过程中，使用了正弦函数的和角公式、倍角公式，两次应用了诱导公式，还使用了分子、分母同除以2的技巧，其目的是要把看似互不关联的三角函数值关联起来，应用已知公式予以简化，达到证明的目的．可见熟悉公式并灵活应用的重要性．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值：(1)2sin67°30cos67°30'； (2)cos 28π-sin 28π； (3)2cos 212π-1；(4)1-2sin 275°；(5)5.22tan 15.22tan 22-； (6)sin15°cos15°． 2．化简下列各式：(1)(sin α-cos α)2； (2)sin 2θcos 2θ； (3)cos 4ϕ-sin 4ϕ； (4)θθtan 11tan 11+--． 3．已知sin α=0.8，α∈(0, π)，求cos2α，sin2α．4．已知cos α=1312-，α∈(2π,π)，求cos2α，sin2α．5．已知tan α=21，求tan2α．6．证明下列恒等式：(1)2sin (π-α)cos (π+α)=-sin2α； (2)1+2cos 2θ-cos2θ=2； (3)αααsin 2sin 2cos 1=-； (4)ααα2tan 2cos 12cos 1=+-．五、和、差、倍角公式的综合应用1、知识要点（1）两角和与差的三角函数的简单应用应用三角函数的和差角公式和倍角公式，为许多数学问题和实际问题的解决，提供了有力的工具．（2）三角函数式的变形 三角式化简、求值及三角恒等式证明中，主要手段是对三角函数式作各种变形，使之或简单或易于求值或与另一种形式相等．三角函数的和差角公式、倍角公式本身就是一种变形，因此在上述各类问题讨论中有广泛应用．下面将通过一些例子来看一下具体问题中是如何灵活应用的．2、例题分析例1 应用三角函数的和差角公式导出三角函数诱导公式．解 只要取和差角公式中两角之一为诱导公式中的特殊角，就能导出所有的诱导公式．下面挑选几个予以证明，类似可以证明其余．(1)sin(π-α)=sin πcos α-cos πsin α=0⋅cos α-(-1)sin α=sin α； (2)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=(-1) cos α+0⋅sin α=-cos α； (3)cos(2π+α)=cos 2πcos α-sin 2πsin α0⋅cos α-1⋅sin α=-sin α．例2 求函数y =sin x +cos x 的最大值和最小值，并判断它是否是周期函数．解 y =sin x +cos x =2(21 sin x +21cos x )=2(sin x cos4π+ cos x sin 4π)=2sin(x +4π). 当x +4π=2π+2k π (k ∈Z )，即x =4π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最大y max =2；当x +4π=-2π+2k π(k ∈Z )，即x =-43π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最小y min =-2 因为sin(x +4π)是以2π为周期的周期函数，所以y =sin x +cos x 是周期是2π的周期函数．例3 如图2三个相同的正方形相接，求证α+β=4π．证明 如图2易知tan α=21, tan β=31，且α,β∈(0,2π)．tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=312113121⨯-+=1，因为α,β∈(0,2π)，所以α+β∈(0, π)．在区间(0,π)内，正切值为1的角只有1个，即tan4π=1，所以α+β=4π．例4 求cos20°cos40°cos80°的值．解一 由sin2α=2sin αcos α，得cos α=ααsin 22sin ．分别应用于原式中三个因子，得cos20°cos40°cos80°=︒︒20sin 240sin ⋅︒︒40sin 280sin ⋅︒︒80sin 2160sin =︒︒20sin 8160sin =81．解二 将所求式的分子分母同乘以23sin20°，逐次应用S 2α ，原式=︒︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 233=︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 40sin 232=︒︒︒20sin 280cos 80sin 23=︒︒20sin 8160sin =81． 例5 已知2π<β<α<43π，cos(α-β)=1312，sin(α+β)=-53，求sin2α． 分析 2α=(α-β)+(α+β)， sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)．解 由2π<β<α<43π，知π<α+β<23π，0<α-β<4π，所以 sin(α-β)=)(cos 12βα--=2)1312(1-=135；cos(α+β)=-)(sin 12βα+-=-2)53(1--=-54， 故 sin2α= sin(α+β)cos(α-β)+ cos(α+β)sin(α-β)=-135)54(131253⨯-+⨯=6556-．例6 不查表，求︒-︒10sec 2310csc 21的值．解 原式=︒-︒10cos 2310sin 21=︒︒︒-︒10cos 10sin 210sin 310cos =︒︒-︒20sin )1030sin(2=︒︒20sin 20sin 2=2． 切割化弦(把正切、余切、正割、余割函数化为正弦或余弦函数表示)，使函数名得到统一，是化简三角式中常用手段；遇到三角式a sin α+b cos α时，常用技巧是a sin α+b cos α=2222b a b a b a ++⋅+ααcos sin ，进而简化为22b a +cos(α+ϕ)或22b a +sin(α+ϕ)．例7 若α, β均为锐角，且cos α=552，cos β=10103，求α+β的值． 分析 求α+β的值，一般可先求(α+β)的三角函数值．解 因为α、β均为锐角，所以图2 αβsin α=α2cos 1-=2)552(1-=55，sin β=β2cos 1-=2)10103(1-=1010，cos(α+β)=cos α cos β- sin α sin β=因为0<α+β<π，所以α+β=4π．例8 在斜∆ABC 中，求证：tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．分析 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π，A +B =π-C ，考虑选用两角和的正切公式． 证明 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π, A +B =π-C ，且A ,B ,A +B 都不等于π，所以 tan(A +B )=tan(π-C )，即BA B A tan tan 1tan tan -+=-tan C ．所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．3、课内练习 1．不查表，求值(1)cos65°sin70°+sin65°sin20°； (2)︒-︒5.22tan 15.22tan 2； (3)1-22cos 8π； (4)sin40°(tan10°-3)； (5)cos 10°cos20°cos40°．2．已知α+β=4π，求(1+tan α)(1+tan β)的值．3．已知tan(α+β)=52, tan(β-4π)=41，求tan(α+4π)的值．4．若α, β是锐角，且满足cos α=54, cos(α+β)=53，求sin β的值．5．已知sin α=53, α∈(2π,π), tan(π-β)=21，求tan(α-2β)的值．6．已知α, β是锐角，且tan α, tan β是方程6x 2-5x +1=0的两个根，求α+β的值． 7．求证：(1)sin2x (cot2x -tan 2x)=4cos 2x ； (2)2sin(2π+x )cos(2π-x )cos α+(2cos 2x -1)sin α=sin(2x +α)．8.求下列函数的最小值和最大值： (1)y =x x sin cos 2123-； (2)y =2(sin x -cos x )． 9．如图在ΔABC 中，AD ⊥BC 垂足为D ，BD :DC :AD =2:3:6,求∠BAC ． 10．已知等腰三角形的顶角的余弦等于257，求它底角的正弦、余弦和正切．第9题图AB§15.2 知 识 体 系一、三角化简变换：1、同角变换：①1cos sin 22=+αα， ②1cot tan =⋅αα， ③αααcos sin tan =2、负角变换：①ααsin )sin(-=-， ②ααcos )cos(=-， ③ααtan tan(-=-）3、余角变换：①ααπcos )2sin(=±， ②ααπsin )2cos( =±， ③ααπcot )2tan( =±4、平角变换：①ααπsin )sin( =±， ②ααπcos )cos(-=±， ③ααπtan )tan(±=±5、周期变换：①ααπsin )2sin(±=±，②ααπcos )2cos(±=±，③ααπtan )tan(±=± 二、两角和公式1、两角和的正弦： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；2、两角和的余弦：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；3、两角和的正切：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+。
第24课--两角和与差公式及二倍角公式
第24课两角和与差公式及二倍角公式基础知识：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ--+=；②()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ-=+＋③():sin sin cos o n )i (c s s S αβαβαβαβ-=-－；④()sin sin cos :(cos sin ) S αβαβαβαβ+=+＋⑤()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ---=+；⑥()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ+++=-(2)公式变形①(tan tan tan 1tan ta )()n αβαβαβ++-＝；②tan tan tan 1tan t ()n )(a αβαβαβ-=-+.2.二倍角公式(1)公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-.(2)公式变形①221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==；②()21sin 2sin cos ααα+=+，()21sin 2sin cos ααα-=-，sin cos 4αααπ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭.一、典型例题1.若1sin ,3α=且ππ2α<<，则sin2α=（）.A. B. C. D.答案：B解析：∵1sin ,3α=且ππ2α<<，∴22cos 3α==-，∴1sin22sin cos 2339ααα⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭，故选B.2.若1sin 33απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）.A.79 B.23 C.23- D.79-答案：D 解析：sin sin cos 3266αααπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，1cos 63απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，217cos 2cos 22cos 12136699αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.3.已知()()π3π123,cos ,sin 24135βααβαβ<<<-=+=-，则cos2α=__________.答案：3365-解析：∵π324βαπ<<<，()12cos 13αβ-=，()5sin 13αβ∴-==，()()34sin ,cos 55αβαβ+=-∴+==- ，则()()()()()()cos 2cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-⎡⎤⎣⎦412533351313565⎛⎫=-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭.二、课堂练习1.已知31tan(),tan()534αββπ+=-=，那么tan()3απ+的值为（）.A.318B.1323C.723 D.717答案：C解析：由31tan(),tan()534αββπ+=-=，知tan(tan[()(33ααββππ+=+--=31tan()tan(735431231tan()tan()1354αββαββπ+---==π++-+⨯，故选C.2.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________.答案：12-解析：sin cos 1 αβ+=，22sin 2sin cos cos 1a a b b \++=，又cos sin 0 αβ+=，22cos 2cos sin sin 0a a b b \++=，两式相加可得22sin()1a b ++=，1sin()a b \+=-.3.记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan2sin2αα+的值为________.答案：112-解析：∵直线:210l x y -+=的斜率为2，∴tan 2α=，∴22222sin cos 2tan 224sin2=sin cos 1tan 125ααααααα⨯===+++，222tan 224tan21tan 123ααα⨯===---，∴1541tan2sin24312αα+=-=-.三、课后作业1.若1sin 3α=，则cos2α=（）.A.89B.79 C.79- D.89-答案：B解析：227cos2α12sin 199α=-=-=，故选B.2.已知cos 63θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 26θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.23 C.13- D.23-答案：C解析：由已知得221cos 22cos 116633θθ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1cos 233θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 262333θθθπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.3.已知1sin 23α=，则2cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.13- C.23 D.23-答案：C 解析：由降幂公式可得，21cos 21111124cos sin 242222233αααπ⎛⎫+- ⎪π⎛⎫⎝⎭-==+=+⨯= ⎪⎝⎭，故选C.4.已知0α<<π2β<，满足cos 5α=，sin 10β=，求αβ+的值（）.A.π4 B.π4或3π4 C.π2π4k + D.3π4答案：D解析：由题意得sin αβ==()cos αβ+=-，又0παβ<+<，所以3π4αβ+=，故选D.5.已知(),0,παβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan2α的值为__________.答案：3356解析：()()()tan tan tan tan 1tan tan αββααββαββ-+=-+=⎡⎤⎣⎦--11325,1111125-==⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭22322tan 3311tan 2.1tan 563111ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭6.在ABC 中，已知()()212cos cos sin sin cos 22A B B A B B A C ---++=，（1）求角A ；（2）若π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()3sin 5A B -=，求sin B .答案：（1）π3A ∠=；（2）43310-解析：（1）由题可得，()()11cos cos sin sin cos 2AB B A B B B +----=⎡⎤⎣⎦，则()()1cos cos cos sin sin cos 2B A B B A B B B +----=，则1cos 2A =，∴π3A ∠=.（2）∵π3A ∠=，π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3sin 5A B -=，∴()4cos 5A B -=，∴()()()413sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B =--=---=-⨯=⎡⎤⎣⎦。
两角和与差的公式与二倍角公式
两角和与差的公式与二倍角公式1.两角和的公式：当两角A和B的和为角C时，我们有以下公式：sin(C) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(C) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)tan(C) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这些公式可以简单地通过将三角函数的和角公式代入得到。
2.两角差的公式：当两角A和B的差为角C时，我们有以下公式：sin(C) = sin(A) * cos(B) - cos(A) * sin(B)cos(C) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)tan(C) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A) * tan(B))同样，这些公式可以通过将三角函数的差角公式代入得到。
二倍角公式：1. sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A)这个公式表示正弦函数的两倍角，可以通过将正弦函数的和角公式中A与B都设为A得到。
sin(2A) = sin(A + A) = sin(A) * cos(A) + cos(A) * sin(A) = 2 * sin(A) * cos(A)2. cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)这个公式表示余弦函数的两倍角，可以通过将余弦函数的差角公式中A与B都设为A得到。
cos(2A) = cos(A - A) = cos(A) * cos(A) + sin(A) * sin(A) = cos^2(A) - sin^2(A)3. tan(2A) = (2 * tan(A)) / (1 - tan^2(A))这个公式表示正切函数的两倍角，由正切函数的和角公式和差角公式推导而来。
我们有 tan(A + A) = (tan(A) + tan(A)) / (1 - tan(A) * tan(A))代入 tan(2A) 和进行简化得到：tan(2A) = (2 * tan(A)) / (1 - tan^2(A))这些公式在解决各种三角函数相关的问题中非常有用。
初中数学三角函数的二倍角公式有哪些
初中数学三角函数的二倍角公式有哪些小编已经为大家找来了二倍角公式，而且小编还整理了三角函数的两角和差公式及常用三角函数，赶快跟随小编一起来看看吧。
三角函数的二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos(α)^2-sin(α)^2=2cos(α)^2-1=1-2sin(α)^2tan2α=2tanα/[1-tan(α)]两角和差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)常用三角函数α=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1 cotα=1 secα=√2cscα=√2α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3 cotα=√3/3 secα=2 cscα=2√3/3α=90°(π/2) sinα=1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1三角函数定义三角函数（也叫做"圆函数"）是角的函数；在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例之阿布丰王创作知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝；S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝； 2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β==. 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝()2、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－16654、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3C ．2 D ．1题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒-题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”暗示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---例2 设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步调：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
两角和与差及二倍角公式
cos2α-sin2α=cos2α, 2tan =tan2α, 2 1 tan
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα =(sinα±cosα)2,
1+cos2α=2cos2α,
1-cos2α=2sin2α.
考点陪练
1.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于(
第十八讲
两角和与差及二倍角公式
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1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ C(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
S(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
S(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
答案:B
则sin 等于 33 A. 65 33 C. 65
3 5 5.已知cos( ) , sin , 且 0, , , 0 , 5 13 2 2
63 B. 65 63 D. 65
解析 :由于 0, , , 0 ,因此 (0, ). 2 2 3 又由于cos( ) 0,因此 0, . 5 2 4 12 sin( ) 且cos , sin sin 5 13 sin cos cos sin 4 12 3 5 33 .因此选A. 5 13 5 13 65
3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2αsin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α= 1 cos 2 1 cos 2 2 ,cos α= ,它的双向应用分别起到缩角