奈魁斯特稳定判据

四、利用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性
频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿 越情况来表示。当 增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴 的 (,1)段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的 (,1) 段 的正穿越（这时随着 的增加，频率特性的相角也是增加的）； 意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。
n
( j si ) n
i 1
:
为与频率特性对应，可写成
n i 1
( j
:0
si )
2
n
如果有p个根在虚轴右侧，其余(n-p)个根在虚轴左侧（系统是不 稳定的），则有
n
i 1
( j
:0
si )
2
(n
p)
(
)p
2
(n
2 p)
2
上式说明，如果一个向量在ω由
0
时，幅角变化等于
2
n
,其中
n是特征式阶数，那么系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。
而1＋G(jω)H(jω)绕原点的转角等于G(jω)H(jω)绕点（－1，j0） 的转角，如图：
辅助函数F(s)与闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)之间的关系为
G(s)H (s) F(s) 1
从上式可以看出，将[F(s)]平面的虚轴向右平移，令其通过点(1， j0)，将得到由新位置上的虚轴与原实轴构成的新平面— [G(s)H(s)]平面。新平面的(－1，j0)点便是[F(s)]平面的原点。
例：系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K0 s2 (Ts 1)
试判断闭环系统的稳定性。
0
Im
-1 0
G( j)H ( j)
100
( j 1)( j 2)( j 3)
100
(6 6 2 ) j(11 3 )
由11－3 0 得 0,g 11
其中是 0起点，将 g 11代入得：
G( j)H ( j) g
100 1.7 6 66
则 G( j)H ( j)的幅相特性图为：
＝0时，G( j)H ( j) 0 17
100
s(0.2s 1)(0.02s 1)
试用频率特性判断该系统是否稳定。
解：根据Bode图的绘制方法，绘出G( j)H ( j)的Bode图。
此系统开环传递函数的特征根全部位于虚轴左侧，即P＝0。 但在 L() 0的频率范围内，() 负穿越－180°线一次，故 系统闭环后是不稳定的。
开环传递函数含有积分环节时，与奈奎斯特稳定判据一样，在 计算P值时，把位于原点的开环极点作为s左平面的极点处理， 在对数相频曲线的 为0＋的地方，由下向上补画一条虚线，该 虚线通过的相位为 v( 2)。计算正、负穿越时，应将补上的虚 线看成对数相频曲线的一部分。
将奈奎斯特稳定判据引申到Bode图上，以Bode图的形式表现 出来，就成为对数稳定判据。在Bode图上运用奈奎斯特判据 的关键在于如何确定G( j)H ( j)包围（－1，j0）点的圈数N。
系统开环频率特性的奈氏图与Bode图存在一定的对应关系， 如下图所示。
奈氏图与Bode图的对应关系
四、在对数坐标图上判断系统的稳定性： 开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）
(c)由于 v 1 因此首先补上ω从0到 0＋部分；又因P＝1（奇数），所以 该部分起于负实轴。由图可见，存 在半次负穿越，即N＋＝0，N－＝1/2， 所以不稳定的极点数为
z P 2(N N ) 2
（c） 1, P 1
所以，闭环系统不稳定。
5.4.3 对数稳定判据 实际上，系统的频域分析设计通常是在Bode图上进行的。
-1
(b)由于v 2 因此首先补上ω从0到 0＋部分；又因P＝0，所以该部分起
于正实轴。由图可见，存在一次负 Re 穿越，即N＋＝0，N－＝1，所以不
稳定的极点数为
（b） 2, P 0
z P 2( N N ) 0 2(0 1) 2
所以，闭环系统不稳定。
0
Im
0
Re
1
G(s)Fra Baidu bibliotekG(s)H
(s)
G(s)
1
M s N s
取辅助方程F(s)令： F(s)＝1＋G(s)H(s)
F (s) 1 M (s) M (s) N (s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
N (s)
N (s)
(s p1)(s p2 ) (s pn )
式中，s1, s2 , …,sn为N(s)+M(s)=0的根，即闭环特征根； p1,p2…,pn为N(s)=0的根，即开环特征根。
闭环系统稳定的充要条件是：
在开环对数幅频特性 L()大于0dB所有频段内，对数幅频特
性 ()与－180°线的正穿越与负穿越次数之差为P/2。这里P是
开环传递函数中处于虚轴右侧的极点数目。若P＝0（开环稳定） 时，则上述正负穿越次数之差等于零，即正负穿越次数相等。
例：已知系统开环传递函数 G(s)H (s)
由于闭环系统的稳定性决定于闭环特征根的性质，因此运用 开环特性研究闭环的稳定性，首先应该明确开环特性和闭环特征 式的关系，并进而寻找和闭环特征根性质之间的规律性。
一、系统开环频率特性和闭环特征式的关系
假定一个典型的闭环控制系统，其开环传递函数为：
G(s)H (s) M (s) N (s)
则闭环传递函数(s)
2
②若开环是非最小相位系统，也应补上半径为无穷大的圆，但 其起始位置可能是正实轴，也可能是负实轴，它取决于开环不 稳定零极点数。若该数为奇数，则起于负实轴；若该数为偶数， 则起于正实轴。
③无论是最小相位系统还是非最小相位系统，无穷大的圆总是 沿顺时针方向的。
例：下图给出三个含有积分环节的开环系统幅相曲线，试 判断系统的稳定性。
第五节 奈奎斯特稳定判据
主要内容
幅角定理 奈奎斯特稳定判据 在波德图上判别系统稳定性
奈奎斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定 性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且还能够指出闭环系统的 相对稳定性，并可进一步提出改善闭环系统动态响应的方法，对 于不稳定的系统，奈氏判据还能像劳斯判据一样，确切的回答出 系统有多少个不稳定的根(闭环极点)。因此，奈氏稳定性判据在 经典控制理论中占有十分重要的地位，在控制工程中得到了广泛 的应用。奈氏判据的理论基础是复变函数理论中的幅角原理。
Im
(a)由于 v 2 因此首先补上ω从0到
0
-1
0＋部分；又因P＝0，所以该部分起 Re 于正实轴。由图可见，不存在穿越，
0
即N＋－N－＝0，所以不稳定的极点
数为
（a） 2, P 0
z P 2( N N ) 0 2(0 0) 0
所以，闭环系统稳定。
0
Im
0
由图可见，G( j)H ( j)的幅相特性绕（－1，j0）点的转角 不为零，所以系统闭环状态是不稳定的。
三、开环传递函数中含有积分环节时奈奎斯特判据 的应用
G(s)H (s)中含有积分环节，开环特征方程出现零根，开 环系统临界稳定。这种情况下，应用奈氏判据时，把零根视为 稳定根，然后按照前所述方法应用奈氏判据。
正穿越 负穿越
1
这时奈奎斯特稳定判据可以描述为：
设开环系统传递函数 G(s)H (s)在右半平面的极点为P，则闭
环系统稳定的充要条件是：当 从 0 时，频率特性曲
线在实轴 (,1) 段的正负穿越次数差为 P 。
2
如果系统开环是稳定的（P＝0），闭环系统稳定的充要条件是： 当ω由零变到无穷大时，开环幅相频率特性 G( j)H (正j负) 穿越负实轴上（－∞ ，－1 ）段的次数相等。
例: 已知系统开环传递函数
G(s)H (s)
100
(s 1)(s 2)(s 3)
试用奈氏判据判断闭环状态的稳定性。
解：开环系统有三个特征根: p1 1, p2 2, p3 3 三个特征根均在虚轴左侧（开环稳定，即P=0）
首先绘制出幅相特性图： ①特性曲线的起点（ω＝0）在实轴上； ②终点（ω∞）是以－270°进入原点； ③求系统开环幅相特性曲线与负实轴的交点值
以s代 jω ，得： F ( j) 1 G( j)H ( j) ( j s1)( j s2 ) ( j sn ) ( j p1)( j p2 ) ( j pn )
上式即为开环频率特性和闭环特征式的关系。
二、奈奎斯特稳定判据
1、幅角定理： 在辅助函数中，以某一根si为例，在复平面上随频率ω的变
当频率ω从0＋∞变化时，积分环节的相角恒为－90°。为 了说明 G( j)H ( j对)（－1，j0）点的转角，可作辅助线， 将ω从00 ＋变化时，积分环节的相角变化考虑进去。
可以认为，ω＝0时，开环幅相频率特性从实轴上无穷远一 点开始，即ω＝0时，G( j)H ( j) 0。 分环节在的ω＝个0数＋时。，处G理( j后，)H当(ωj由)0∞时[，v G((j2 ))]H，(其j中)对v为积 （－1，j0）的转角。
2、奈奎斯特稳定判据： 根据辅助函数的幅角变化关系，可写出
Δ[1 G( j)H ( j)] [N ( j) M ( j)] N ( j)
:0
:0
:0
n
n
[ j si ] [ j p j ]
i 1
:0
j 1
:0
设开环特征方程的n个根，有p个在虚轴右侧，则有
N ( j) (n 2 p)
例：下图示出了开环幅相频率特性的三种情况，若系统开环都 是稳定的
图（a）的G(jω)H(jω)绕（－1，j0）点的转角为零，系统闭环状 态是稳定的。 图（b）的G(jω)H(jω)绕（－1，j0）点的转角不为零，系统闭环 状态是不稳定的。 图（c）的G(jω)H(jω)恰好通过（－1，j0）点，则说明系统闭环 状态是临界稳定的。
N N N
正穿越次数
负穿越次数
显然，闭环系统是稳定的，则z=0。
例：下图给出来三个开环传递函数不含有积分环节的奈奎斯特 （幅相）曲线，试判断系统的稳定性。
Im
0 0
-1
Re
（a） P 0
Im
0 0
-1
Re
（b） P 0
(a) P=0, N=0 Z=P-2N=0
所以，闭环系统稳定。
(b) P=0, N=N+-N-=-1 Z=P-2N=2
所以，闭环不系统稳定。
Im
0
0
-1
Re
（c） P 1
(c) P=1, N=N+-N-=1/2 Z=P-2N=0
所以，闭环系统稳定。
用穿越情况来讨论系统的稳定性，对于不包含积分环节的较容 易处理，当开环包含积分环节时，要注意：
关于在奈氏图上看（－1，j0）点左侧的穿越情况，分下列几 种：
①若开环是最小相位系统，应补上半径为无穷大的圆弧，其起 始位置从正实轴开始顺时针旋转 v. 的角度。
有如下的对应关系：
1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； A() 1, 20 lg A() 0
单位圆以外区域，对应于对数幅频特性零分贝线以上的区域；
单位圆以内区域，对应于零分贝线以下的区域。
2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的－180°相位线。
奈氏图频率特性曲线在 (,1) 上的正负穿越在对数坐标图 上的对应关系：在对数坐标图上 L() 0 的范围内，当 增加时， 相频特性曲线从下向上穿过-180°相位线称为正穿越。因为相角 值增加了。反之称为负穿越。
:0
2
如果系统闭环后是稳定的，闭环特征方程的n个根应均在虚轴左
侧，则有
[N ( j) M ( j)] n
:0
2
因此
Δ[1 G( j)H ( j)] n－(n 2 p) ＝p
:0
2
2
上式说明：若开环系统不稳定，有p个虚轴右侧根，欲使构成的 闭环系统稳定，则充要条件是：
当ω由0∞时，向量1＋G(jω)H(jω)的幅角变化为pπ，即向量1＋ G(jω)H(jω)绕坐标原点的转角是pπ。
化(jω在虚轴上移动)，向量(jω- si)的辐角 j si 也在变化。
如果si位于虚轴左侧，那么当ω由 时，向量(jω- si)逆时
针转180°，则有
( j si )＝
:
如果si位于虚轴右侧，则有
( j si )＝
:
因为复数相乘，幅角相加。如果系统特征方程n个根全部在虚轴 左侧（系统是稳定的），则有
如果穿越是从负实轴上（－∞ ，－1 ）区间上开始的，记为半 次正（或半次负）穿越。
在极坐标图上，绘制ω由0∞的开环系统幅相曲线，闭环系统 位于s平面右半平面的极点个数为z，则
z P 2N
P—开环传递函数位于s右半平面的极点个数
N—开环幅相曲线包围（－1，j0）点的圈数，逆时针包围为正， 顺时针包围为负。