概率母函数
几何分布的概率母函数
几何分布的概率母函数1.引言1.1 概述几何分布是概率论与统计学中一种常见的离散概率分布。
它描述了在一系列独立的伯努利试验中，第一次成功所需的次数的概率分布。
在几何分布中，每次试验都只有两个可能的结果，即成功或失败。
成功的概率保持不变，并且每次试验都是相互独立的。
几何分布最常见的应用是在分析首次成功的情况，比如掷硬币直到出现正面的次数、试验直到观察到一颗坏的机器等。
概率母函数是一种描述离散概率分布的有效工具。
它能够将概率分布的特征转化为数学表达式，从而帮助我们更好地理解和分析分布的性质。
本文将重点讨论几何分布的概率母函数及其性质。
首先，我们将介绍几何分布的定义和特点，包括其数学表达式、期望和方差等。
然后，我们会详细讨论几何分布的概率母函数，并探究其在分布性质推导和统计推断中的作用。
通过研究几何分布的概率母函数，我们可以更深入地理解几何分布的特点和性质。
同时，我们也可以借助概率母函数的计算和性质，进行几何分布相关问题的求解和统计分析。
最后，我们将总结几何分布的概率母函数的重要性，并展望其在实际应用中的潜力。
几何分布作为一种重要的概率模型，在实际中有着广泛的应用。
例如，在可靠性工程、经济学、生物学和市场营销等领域中，几何分布的概率母函数可以帮助我们对随机事件的发生进行建模和分析，从而做出更准确的预测和决策。
总之，本文旨在探讨几何分布的概率母函数及其在实际应用中的重要性和潜力。
通过深入研究几何分布的概率母函数，我们可以更好地理解和分析几何分布的特点，并将其应用于实际问题的求解与分析中。
1.2文章结构文章结构部分内容可以按照以下方式编写:文章结构：本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对几何分布的概率母函数进行概述，并介绍了文章的结构和目的。
正文部分主要从两个方面进行探讨。
首先，在2.1节中，我们将给出几何分布的定义和特点，明确几何分布在概率论中的地位和基本性质。
其次，在2.2节中，我们将详细介绍几何分布的概率母函数及其性质。
应用概率论_研究生_教案 ch2 母函数
对应的集合
相异元素，不重复
n! r !⋅(n − r )!
Pnr =
n! (n − r )!
S = {e1 , e 2 , " , e n }
S＝{ ∞ ⋅ e1 , ∞ ⋅ e2 , " , ∞ ⋅ en } S＝{ n1 ⋅ e1 ， n2 ⋅ e2 ， …， nm ⋅ e m }, n1＋n2＋…＋nm＝n nk≥1, (k＝1,2,…, m)
S = {e11 , e12 , e21 , e22 , ", en1 , en 2 }
n
故其 r 重组合的母函数为 G(x)＝(1＋2x) ＝ 即不同的取法共有 a r = ⎜ ⎟ 2 r 种。 由于每类元素最多只能出现一次，故 G(x)＝ (1 + 2 x ) 中不能有 x 项，再由同双的两只鞋子有区别知， x 的系数应为 2。
相异元素，可重复
r Cn + r −1
nr
n! n1 ! n2 !" n m !
m
不尽 相异 元素 （有 限重 复）
r＝n 特例 r＝1 所有 nk≥r 至少有一个 nk 满足 1≤nk< r
1 m
r Cm + r −1
mr
母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系 转化为多项式或幂级数之间的运算。
n
无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是
1 = 1+ x + x2 + "+ xn + " 1− x
（3）说明 ● an 可以为有限个或无限个； ● 数列 {an }与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；
负二项分布两种定义下的概率母函数及生物学应用
负二项分布两种定义下的概率母函数及生物学应用严水仙;高淑京【摘要】本文给出了负二项分布两种不同定义下概率母函数,利用两种不同的方法计算出概率母函数的表达式,最后解释了纯生过程服从负二项分布及其生物学意义.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2015(036)006【总页数】3页(P14-16)【关键词】负二项分布;概率母函数;纯生过程【作者】严水仙;高淑京【作者单位】赣南师范学院数学与计算机科学学院,江西赣州341000;赣南师范学院数学与计算机科学学院,江西赣州341000【正文语种】中文【中图分类】O212.1在概率论、随机过程及种群生态学等领域，负二项分布以其特殊有趣的性质而占有非常重要的地位.负二项分布可用于寄生虫病学、昆虫学、种群生态学、微生物学及流行病学的研究，它在医学上主要用于研究聚集性疾病及微生物、寄生虫分布等数学模型.作为重要的离散型随机变量，负二项分布两种不同定义、性质及结构在国内外有很多研究[1,2].概率母函数在研究离散型随机变量的性质时有着非常重要的作用，它也是研究网络传播动力学建模的一种新方法[3].本文主要给出了负二项分布两种不同定义下概率母函数表达式的计算方法，并结合生物学意义解释了纯生过程服从负二项分布.在伯努利试验中[1]，记每次试验中事件A成功发生的概率为p，不成功发生的概率为q=1-p.定义1 在伯努利试验序列中，如果X为事件A第n次成功发生时的试验次数，则X的可能取值为n,n+1,…，称X服从负二项分布或帕斯卡分布，其分布列为pnqk-n, k=n,n+1,…,记X~Nb(n,p)，(当n=1时，即为几何分布).定义2 在伯努利试验序列中，如果Y表示事件A第n次成功发生时事件A不成功发生的次数，则Y的可能取值为0,1,2,…，称Y服从负二项分布，其分布列为pn(1-p)k, k=0,1,2,….定义3 设是一个实数数列，若在某个区间b<x<c内收敛，则称f(x)是序列的母函数(也称生成函数).定义4 若X是取值为非负整数的离散型随机变量，其分布列为P(X=k)=pk,k=0,1,2,…则称为离散型随机变量X的概率母函数(Probability Generating Function,简称PGF)例1 二项分布的概率母函数为.例2 几何分布pk=qk-1p, k=1,2,…,pk=qkp, k=0,1,2,…的概率母函数为.性质1 已知离散型随机变量X的概率母函数为f(x)，则其概率分布可唯一确定且其概率分布为x=0.性质1说明了离散型随机变量X的概率分布与概率母函数的关系.性质2 离散型随机变量X的概率分布为pk，其概率母函数为，则随机变量X的期望可表示为(1).方差可表示为Var(X)=E[X2]-(E[X])2=f″(1)+f′(1)-[f′(1)]2.由性质1，2可得服从二项分布的随机变量X期望为p.方差为Var(X)=f″(1)+f′(1)-[f′(1)]2=np(1-p).性质3 若随机变量X,Y相互独立，对应的概率母函数分别为f(x),g(x)，则随机变量X+Y的概率母函数为f(x)g(x).(相关证明请参阅文献[4])定理1 若X是服从定义1的随机变量，则其对应的概率母函数为证明当n=1时，则,显然成立.此时函数为几何分布的概率母函数.假设当n=m-1时命题成立，则有.若n=m，则.由数学归纳法知，定理1得证.由定理1可得负二项分布概率母函数的一阶导，二阶导根据概率母函数的性质得，定义1对应得负二项分布期望为：方差为：定理2 若Y是服从定义2的随机变量，则其对应的概率母函数. 证明当n=1时，有下式成立,此时函数为几何分布在另一种定义下对应的概率母函数.假设当n=m-1时命题成立，则有下式成立.如果n=m，则有由数学归纳法，定理2得证.同理，根据概率母函数的性质2，可得到随机变量Y 服从负二项分布定义1的期望和方差分别为：, .根据性质3及负二项分布为几何分布的重独立试验，由例2中几何分布的概率母函数，同样可得定理1及定理2的结论.在时间连续状态离散的随机过程研究中，生灭过程占有十分重要的地位.它能够解释许多生物学(种群生态学)现象，其中纯生过程是一类特殊的生灭过程.纯生过程是泊松过程的一种自然推广，是考虑一个生物种群在保证环境优良、食物充足、没有死亡、不考虑迁移的理想环境下的生长模型.在流行病学的研究中纯生过程可有用来建立新病例增长的数学模型.设随机过程{X(t)∶t∈[0,∞)}是时间连续状态离散的纯生过程，X(t)代表t时刻种群的数量，不考虑种群死亡及环境迁移等因素，并且种群的初始数量为X(0)=N.令pj,i(t)=Prob{X(t)=j|X(0)=i}表示在i状态经过t时刻后在j状态的转移概率，pi(t)=Prob{X(t)=i}表示t时刻在i状态的概率, 当Δt充分小时，无穷小转移概率为：其中参数λ是常数.因为纯生过程只有出生，不考虑死亡，种群的大小只可能增加.概率pi(t)=Prob{X(t)=i}是前向Kolmogorov微分方程dp/dt=Qp的解，其中Q 是生成矩阵,p=(p0(t),p1(t),p2(t),…)tr这里有初始条件为.利用概率母函数法求解偏微分方程(详细求解请参阅文献[5-6])可得：上式表明简单的纯生过程服从负二项分布.由公式可得，简单纯生过程的的期望和方差是m(t)=N/p=Neλt, σ2(t)=Nq/p2=Ne2λt(1-e-λt). 即简单纯生过程的期望是满足X(0)=N的指数增长过程.方差也随时间指数增加.【相关文献】[1] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与树立统计教程[M].(第2版).北京：高等教育出版社，2011.[2] 康殿统.负二项分布的结构研究[J].华中师范大学学报，2015，(3)：339-343.[3] 靳祯，孙桂全，刘茂省.网络传染病动力学建模与分析[M].北京：科学出版社，2014.[4] 林元烈.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2002.[5] Linda J.S.Allen.An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology (Second Edition)[M].New York: Taylor & Francis Group,2011.[6] 何书元.随机过程[M].北京：北京大学出版社，2013.·算法设计与应用·。
概率母函数--解决离散型随机变量相关问题的利器(上)
概率母函数--解决离散型随机变量相关问题的利器（上）在过去的学习中，大家已经能熟练求解"抛一枚均匀硬币，连续出现两次正面朝上的次数的期望"。
但是如果连续出现5 次、10 次、甚至n次正面朝上，该如何解决呢？或者在平时的学习中，是否会为求解一些随机变量和的分布乃至随机个随机变量和的分布，而艰辛计算其概率函数，为冗杂的计算而苦恼呢？本文将为大家介绍一个研究离散型随机变量分布的重要分析工具------概率母函数。
它不仅能帮我们便利地解决以上问题，较为轻松地得到随机变量的分布，还能有效地帮助我们认识和探究随机过程。
直观理解相信大家看到这个名字都颇感眼熟，过去我们在概率论以及随机过程等课程中学习过"矩母函数"和“特征函数”。
而他们某种程度上比较相像，都是设法引进适当的变换，将分布的常见刻画方式变换为与它具有对应关系的、易于考察的另一类形式，对新形式处理完毕后，把所得的结果再变换到原始形式，以此化难为易，以简驭繁地解答有关概率以及分布的问题。
现在,我们来认识一下它的英文名------Probability Generating Functions。
这个名字揭示了概率母函数的一个重要用途，能用来生成一个分布的所有概率。
可能过程很单一枯燥，但是它却能告诉我们关于这个分布我们想知道的全部信息。
在此，我们给出概率母函数的定义：如果 X 是在非负整数域{0，1，...} 上取值的离散型随机变量，那么 X 的概率母函数定义为：但在使用过程中，我们一般不会用这种带着无限以及求和号的式子，我们一般会利用级数的知识把它化成简单的函数。
以我们十分熟悉的二项分布为例：由此，我们即可得到二项分布的概率母函数。
下面我们将根据概率母函数的定义探究其基本性质，并将它们应用于概率与分布的计算和刻画一个分布的数字特征，以及解决文章开头提到的探究随机变量和的分布乃至随机个随机变量和的分布等问题。
主要性质当 s 取特殊值时概率母函数与概率的关系我们可以发现，P（X=0）可以由G X（0）求出，我们猜测概率母函数可以求出任何一点的概率。
概率母函数
0 m 1 m r m 0 n 1 n r n n n m m
个数字之和随机变量 x 的概率分布列。 由以上解题过程可知, 随机变量 x 具有分布列 P k = P ( x= k ) , k = 0, 1, …, 70 随机变量 X 的概率母 函数为g Nhomakorabea(x ) =
0 1 r r m m m Cm + Cm x+ …+ Cm x + …+ Cm x = ( 1+ x )
其中 P k =
ak , 这样, 把求 x 的概率分布列问题转化 107
70
( 7)
然后把多项式 ( 6) 与 ( 7) 相乘, 得 0 1 2 2 r r n n 0 (C n + Cn x+ C n x + … + C n x + … + C n x ) (Cm + 1 r r m m n m Cm x+ …+ cm x + …+ Cm x ) = ( 1+ x ) ( 1+ x ) ( 8) 左边展开式中 x 的系数是
( 3) 的展开式共包含 107 项, 其一般项是
m m m m + m + …+ m 7 x 1 x 2 …x 7 = x 1 2 其中 xm k ( k= 1, 2, …7) 分别取自第 k 个多项式中的 mk x ∴m k m m m x 1 x 2 …x 7 ∴m 1 + m 2 + …+ m 7 这样, ( 3) 的展开式中的每一项 x 20 , 就对应于从 1 到
( 4) ( 5)
C , C , …, C , …, C
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。
特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。
2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。
第三周 初识母函数
上式的组合意义：即整数n拆分成1到m的和 的拆分数减去拆分成1到m-1的和的拆分数， 即为至少出现一个m的拆分数。
18
硬币的组合
• 人民币常用硬币：1角，5角，1元。 • 人民币硬币的母函数 G( x) (1 x10 x 20 ...)(1 x50 x100 ...)(1 x100 x 200 ...) • 美元常用硬币： 1角，2角5分，5分 10 20 25 50 10 10 20 xx ...)(1 ...) x25 x50 ...) G( x) (1 x5 ...)(1 xx xx ...)(1
雅各布· 伯努利 Jakob I. Bernoulli
瑞士数学家1654年－1705年
(x+x2+x3+x4+x5+x6)
6
§ 1.母函数和计数法则
• 定义2-1 对于计数序列c0, c1, c2…, 拉普拉斯 G(x) = c0 + c1 x+c2 x2+ …… 函数G(x)是序列c0, c1, c2 … 的母函数。 • 1812年，法国数学家拉普拉斯在著作《概率的分析理 论》的第一卷中系统地研究了母函数方法及与之有关 的理论
§2.母函数的应用：整数拆分数
• OEIS: On-line Encycopedia of Integer Sequences – 数论相关权威数据库和算法库 – p(n): A000041序列 • 整数拆分p(n)的母函数
G(x) = (1+x+x2+…)(1+x2+x4+…) (1+x3+x6+…) … (1+xm+x2m)…
非强占优先权模型中高优先权顾客队长平稳分布的概率母函数
ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ａ ｓ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗ ｓ ：ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ａ ｒ ｅ ｔ ｗ ｏ ｔ ｙ ｐ ｅ ｓ ｏ ｆ ｃ ｕ ｓ ｔ ｏ ｍｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ａ ｒ ｒ ｉ ｖ ａ ｌ ｒ ａ ｔ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ；ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ － ｔ ｅ ｍ ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｓ ｅ ｒ ｖ ｉ ｃ ｅ ｔ ｉ ｍｅ ｆ ｏ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｃ ｕ ｓ ｔ ｏ ｍｅ ｒ ａ ｎ ｄ ａ ｌ ｌ ｓ ｅ ｒ ｖ ｉ ｃ ｅ ｔ ｉ ｍｅ ｏ ｂ ｅ ｙ ｓ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｔ ｈ ｅ ｈ ｉ ｇ ｈ
单 一的服 务标 准 往 往 无法 满 足 某 些业 务 的 要
级的顾客根据优先级确定服务的先后顺序． 设第 １
类顾 客 的优先 级高 于第 ２类 顾 客 的优 先级 ． ３ ）系统 中只有一个 服务 窗 口， 容量 无 限． ４ ）系 统为 每一 类顾 客服 务 的时 间服从 一般 分 布， 且第 ｉ 类 顾客 的服 务时 间分 布记 为 （ ） ， 规定 不 同类 型 的顾 客服 务过 程独立 ．
Ｐ ａ ｎ Ｑ ｕ ａ ｎ ｒ ｕ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｚ ｈ ｅ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ ２ １ ２ ０ ０ ３ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
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，它的’ordinary’ 生成函
数被定义成以下形式：
其中 s 的值使得函数值收敛。那么我们就可以针对这样一个序列，定义一个收敛半径R(≥ 0)使得级数在|s| < R时绝对收敛，同时在|s| > R时发散。������(������)可以是任意阶可微的，或者 是按项可积的，当|s| < R。
概率母函数的定义和一些性质
（在这里要假设求和和 r 阶导顺序是可以互换的）。那么这个序列在|s| ≤ 1时是收敛的。所 以 证毕。 特殊地， 同时
那么 例如：对于泊松分布，我们有
独立随机变量的和（随机变量数已知）
定理：定义 X 和 Y 是独立可数的随机变量（注意，并没有要求他们是同分布的），它们的 PGFs 是������������(������)和������������(������)。那么定义������ = ������ + ������， 证明：
考虑一个可数随机变量 X，例如，他是一个离散的，非负值的随机变量。可以写作
（当 X 有有限多个可取值时，我们可以让 X 不能取到的数出现的概率都为 0）。它的概率生 成函数（PGF）被定义为
注意，当 s=1 时，GX（1） = 1 ，所以当|s| ≤ 1 时收敛的情况是肯定可以出现的。同时， ������������(0) = ������0。对于一些常见分布，PGF 的形式如下： （1） 常分布——当������������ = 1, ������������ = 0, ������ ≠ ������
围很广，在具体数学这门课中，我们主要学习了如何用生
成函数求解递推式的封闭形式以及求和的封闭形式。在概率论中，生成函数同样起到了很
大的作用。这篇小论文主要总结了我在学习概率母函数的过程中看到的一些定理和性质，
希望能对其他同学起到参考作用。考虑一个实数序列
1−qs
q=1-p，那么我们可以得到结论
给定一个函数 A(s)，且已知它是变量 X 的 PGF，那么我们可以得到pk = P(X = k)，获得pk 有以下两种方法： 1） 展开 A(s)，同时
2） 对 A(s)进行求导，那么 k 阶导的常数项就是pk。 我们可以把 PGF 的概念扩展到 X 的函数上。那么 Y=H（X）的 PGF 如下
证毕。 推论：令������1, ������2, … , ������������是独立可数的随机变量，它们的 PGFs 分别为 ������������1 (s), GX2 (������), … , ������������������ (������)，，
例子：寻找 n 个服从泊松分布的独立随机变量������������~������������������������������������������(������������)的和。 解：对于������������ , 所以
证明略。 例子：一只母鸡下了 N 个蛋，������~������������������������������������������(������)。鸡蛋孵化的概率为 p，求孵化出小鸡的概 率。 解：定义小鸡个数的随机变量为 Z， 对于N 和������������，概率生成函数为
所以
Z 服从泊松分布，������~������oisson(������������).
（5） 泊松分布
（6） 负二项分
唯一性定理
如果 X 和 Y 有 PGF，分别是Gx和GY，
Iff 指当且仅当。 证明：我们只需要证明（a）能推出（b）即可。他们的收敛半径都≥ 1，那么他们有唯一 的指数展开序列。
如果Gx = Gy，那么这两个序列有相同的系数。 证毕。
例
子
：如果
X
的
PGF
为 ps ，其中
如果 H 是一个很简单的函数，那么我们可以把 Y 的 PGF GY用GX的形式表现出来。这在求 复合函数的时候很有用。 例如，如果������ = ������ + ������������。
矩
定理：令 X 是一个可数的随机变量，同时���������(���������)(1)是 X 的 PGF������������(������)在������ = 1处的 r 阶导。那 么 证明：（不严格的证明）
（2） 伯努利分布——p1 = ������, ������0 = 1 − ������ = ������
（3） 几何分布——������������ = ������������������−1, ������ = 1 − ������
（4） 二项分布——������~������������������(������, ������)
那么 Z 是一个服从泊松分布的随机变量。这和我们用一般方法得出的结论相同。
独立随机变量的和（随机变量数是一个随机变量）
定理：令������, ������1,������2,… , ������������是独立可数的随机变量，其中{Xi}是独立同分布的，那么它们的 PGF 相同，为GX
证明：
证毕。 推论：