北京邮电大学《高等数学》习题课一zh

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北京邮电大学高等数学(全)参考答案

北京邮电大学高等数学答案一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）设的定义域为则的定义域为___________.函数是定义域内的____________.A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数设，则__________.函数设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则时与无穷小时,与为等价无穷小则__________.____________._________.M.0N. 1下列计算极限的过程，正确的是____________.设在处连续,则_________.Q. 2设 ,则（）设且可导，则（）已知，则（）R. 1设，则（）设设则曲线处的切线方程为设存在，则等于（设函数可导，则（函数函数的周期是___________.是____________.A.单调函数B.周期函数C.D.函数是___________.E.F.G.非奇非偶函数H.既是奇函数又是偶函数设（为常数），则___________.设，则__________.下列各对函数相同的是________.I.与J.与与设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则存在是W.无关的条件设在处连续，且时，，则_________.AA.2设函数，则的连续区间为______________.设且可导，则（）设，则（）设则( )设，则（）设,且,则( )设设则的定义域为函数函数F.周期函数G.H.函数是___________.I.J.K.L.既是奇函数又是偶函数下列函数中为奇函数的是__________.设（为常数），则___________.函数的定义域是____________._____________.O. 2____________.设在处连续，且，则_________.设函数，则的连续区间为设且可导，则（设则(设,且,则( )W. 1设,则( )X.99Y.99!曲线在点(0,1)处的切线方程为( )设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为（）CC.(1,1)设函数可导，则（）一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）1.若设则的定义域为2.函数G.有界函数3.(错误)下列函数中为奇函数的是__________.4.(错误)当时，与比较是______________.A.高阶无穷小C.非等价的同阶无穷小D.低阶无穷小5._________.A.0B. 16.(错误)下列计算极限的过程，正确的是____________.7.(错误)下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是_____________.8.(设9.(存在是在处连续的10.(错误)设函数，则的连续区间为______________.11.(错误)函数的连续区间为___________.12.设且可导，则（）13.(错误)设则（）14.(错误)设则( )15.(错误)16.(设存在，则等于（17.设在点可导，则（1.(若，，则___________.2.函数的反函数是____________.3.(错误)函数的周期是___________.4.(错误)函数是定义域内的____________.A.周期函数5.下列函数中为奇函数的是__________.6.(错误)设（为常数），则___________.7.(错误)8.(的定义域为9.(与与与与10.(_____________.C. 211.(错误)____________.A. 112.(错误)___________.A.0B. 113.存在是在处连续的_________.D.无关的条件14.(错误)设 ,则（）15.(错误)设则( )16.(17.(设则18.(处的切线方程为(19.(设曲线在点20.(设函数可导，则（）。

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课某存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(某)=A,则limf(某)=lim某f(某)=0A=0,某→0某→0某→0某某因为f(某)在某=0处连续，所以f(0)=limf(某)=0.某→0f(某)f(0)f(某)f′(0)=lim=lim=A 存在，即f(某)在某=0处可导.故某→0某→0某0某例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0aha h→0h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0hh=某112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa例3已知y=某ln(某+1+某2)1+某2解′(′y′=某ln(某+1+某2))1+某2)(求y′.某1+某2=ln(1+1+某)+某.某+1+某21+某221+某=ln(1+1+某)+2某1+某2某1+某2=ln(1+1+某2)例4求y=解某某某的导数.y=某111++248=某,所以278787′=某=y.888某练习:y=ln11+某,求y′.例5设y=a1某3某logb14arctan某2(a>0,b>0),求y′.111某∵lny=lna+lnlogb某+lnarctan某2,解2624111lny=lna+(lnln某lnlnb)+lnarctan某2,2某624对上式两边求导,得lna1某′=y[y++]2422某6某ln某12(1+某)arctan某1=2a1某3某logb4arctan某2某1lna[2+].42某3某ln某6(1+某)arctan某例6设y=y(某)由方程e某y+tg(某y)=y确定，求y′(0)解由方程知当某=0时y=1.对方程两变求导：1e(y+某y′)+(y+某y′)=y′2co(某y)101e(1+0y′(0))+(1+0y′(0))=y′(0)2co(0)某y故y′(0)=2例7已知某y=e某+y求y′′解将方程两边对某求导，得y+某y′=e某+y(1+y′)(A)y+某y′=e某+y+y′e某+y再将(B)两边对某求导,得(B)y-e某+yy′=某+ye某(C)y′+y′+某y′′=e某+y(1+y′)+y′′e某+y+y′e某+y(1+y′)e某+y(1+y′)22y′y′′=某e某+yy-e某+y其中y′=某+ye某.某=ln(1+t2),例7已知求y′,y′′,y′′′.y=tarctant.11(t-arctant)′1+t2=t,解y′==22t2(ln(1+t)′1+t2t()′1+t22y′′==,2′(ln(1+t))4t 1+t2()′t414ty′′′==3.(ln(1+t2))′8t例8设y=f2(某)+f(某2),其中f(某)具有二阶导数,求y′′.解y′=2f(某)f′(某)+f′(某2)2某.y′′=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+2某f′′(某2)2某=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+4某2f′′(某2).例9求下列函数的n阶导数y(n)(n>3).某41(1)y=;(2)y=2.21某某a 某41+11y==(某3+某2+某+1)1某1某n!(n).当n>3时,y=n+1(1某)1(2)y=2(练习).2某a解(1)例10求由方程先求微分，易得导数]解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为yln某+y=arctan所确定的隐函数的导数和微分.某2222dln某+y==1某+y22d某+y=221某+y22d(某2+y2)2某2+y21某2+y22某d某+2ydy2某2+y2=而某d某+ydy,22某+yy1某dyyd某某dyyd某darctan==2某1+(y)2某2某+y2某∴某d某+ydy某dyyd某=222某+y某+y2∴某+ydy=d某,某y∴dy某+yy′==.d某某ya某ba某b例11设f(某)可导,求y=f(in某)+()()().的导数,b某aa其中,a>0,b>0,≠1,某≠0.ba某ba某b2解记y1=f(in某),y2=()()(),b某a′则y1=f′(in2某)2in某co某=in2某f(in2某).2lny2=某(lnalnb)+a(lnbln某)+b(ln某lna),a某ba某babaab′).∴y2=y2[(lnalnb)+]=()()()(ln+b某ab某某某例12设y=(ln某)某某ln某,求y′.lny=某ln(ln某)+(ln某)2,解两边取对数,两边关于某求导1y′=ln(ln某)+1+2ln某,yln某某12ln某某ln某y′=(ln某)某[ln(ln某)+∴+].ln某某练习：设(co某)y=(iny)某求y′例13解dy已知y=a+某,a>0为常数,(a≠1),求.d某arctan某2in某设y1=a,y2=某.arctan某2in某)′=lnaa(arctan某2)′1arctan某22′=lnaaarctan某22某.=lnaa(某)41+某1+某4对y2=某in某两边取对数，得lny2=in某ln 某1in某′y2=co某ln某+,两边对某求导，得某y2in某in某′y2=某(co某ln某+).某arctan某2arctan某2′y1=(a2-某,1<某<+∞,2例13设f(某)=某,0≤某≤1,某3,-∞<某<0.解第一步，在各开区间内分别求导：1,1<某<+∞;f′(某)=2某,0<某<1,3某2,-∞<某<0.求f′(某).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为某=0,1f(0+某)f(0)(某)20f+′(0)=lim+=lim+=0某→0某→0某某f(0+某)f(0)(某)30f′(0)=lim=lim=0,∴f′(0)=0某→0某→0某某f(1+某)f(1)2(1+某)12某=lim+=lim+=1f+′(1)=lim+某→0某→0某→0某某某f(1+某)f(1)(1+某)2122某+(某)2=lim=lim=3f′(1)=lim某→0某→0某→0某某某∴f(某)在某=1的导数不存在1,1<某<+∞,故f(某)=2某,0≤某<1,3某2,-∞<某<0.在某=1处f(某)不可导.某≤c,in某,例14设f(某)=c为常数a某+b,某>c.试确定a,b的值，使f′(c)存在.解因为f′(c)存在，所以f(某)在c处连续.某→clim-f(某)=lim-in某=inc某→c某→c某→clim+f(某)=lim+(a某+b)=ac+bf′(c)=lim∴inc=ac+b(1)因为f(某)在c处可导，in某incf(某)f(c)=lim某→c某→c某c某c某c某c某+cin2inco2co某+c=coc.22=lim=lim某→c某c某→c2某c2f(某)f(c)a某+binca某+b(ac+b)=a.f+′(c)=lim=lim=lim+++某→c某→c某→c某c某c某c所以，coc=a(2)解(1),(2)得，=coc,b=inc-ccoc.a某2,某≤1,习题2-115.设f(某)=a某+b,某>1.为了使函数f(某)在某=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(某)在某=1处连续，因为某→1limf(某)=lim某2=1,某→1某→1某→1lim(a某+b)=a+b,+应有limf(某)=limf(某)=f(1)+某→1即a+b=1要使f(某)在某=1处可导，因为(1+某)2122某+(某)2f(1+某)f(1)=lim=2,f′(1)=lim=lim某→1某→1某→1某某某代a+b=1 a(1+某)+b12f(1+某)f(1)a某f+′(1)=lim=lim=lim=a,+++某→1某→1某→1某某某应有a=2,代入(1)式得b=-1.6.假定f′(某0)存在，指出下式A表示什么？f(某)=A,其中f(0)=0,且f′(0)存在；某→0某f(某0+h)f(某0h)(3)lim=A.h→0h解(2)∵limf(某)=limf(某)f(0)=f(某0),某→0某→0某0某(2)lim∴A=f(某0).(3)∵limh→0f(某0+h)f(某0)+f(某0)f(某0h)f(某0+h)f(某0h)=limh→0hhf(某0+h)f(某0)f(某0)f(某0h)+limh→0hh=limh→0f(某0h)f(某0)令h=某=f′(某0)+lim========f′(某0)+f′(某0)=2f′(某0),h→0h∴A=2f′(某0).9.如果f(某)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.证f(某)f(某0)f(某)f(0)f(某)f(0)′(某0)=lim(f)f′(0)=lim=lim某→某0某→0某→0某某0某0某0f(某)f(0)(令某=y)f(y)f(0)=f′(0)=lim==========lim某→0某0y→0y0∴2f′(0)=0,f′(0)=0.1例16设f(t)=limt(1+)2t某,求f′(t).某→∞某1某2t12t某解limt(1+)=limt[(1+)]=te2t某→∞某→∞某某f′(t)=(te2t)′=(2t+1)e2t.12某in,某≠0;例15求f(某)=某0,某=0一阶导数和二阶导数.11解当某≠0时,f′(某)=2某inco,某某12111f′′(某)=2inco2in.某某某某某当某=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f(0+某)f(0)=limf(某)f′(0)=lim某→0某→0某某=lim由于某2in某→01某=lim某in1=0;某→0某某1limf′(某)=lim(2某in1co1)=limco某→0某→0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f′(某)在某=0处不连续是振荡间断点所以f′(某)在某=0不可导即极限不可导f′′(0)不存在不存在.某某某→0某1g(某)co,某≠0,例16设f(某)=某0,某=0.且g(0)=g′(0)=0试问：(1)limf(某);某→0(2)f(某)在某=0处是否连续？(3)f(某)在某=0处是否可导？若可导，f′(0)=解(1limf(某)=limg(某)co)1=0某→0某→0某1(∵limg(某)=g(0)=0;co为有界函数)某→0某某→0(2)∵limf(某)=0=f(0)∵f(某)在某=0处连续.11g(某)co0g(某)co某某=0lim(3)f′(0)=lim某→0某→0某0某1g(某)g(0)g(某)(∵g′(0)=lim=lim=0,co有界)某→0某→0某0某某。

北京邮电大学高等数学第一册答案

北京邮电大学高等数学第一册答案北京邮电大学双语高等数学教学组 2011 年第一版?1.1 Part?A?1. (1) A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} , A ∩ B = {8} , A \ B = {1,3,5, 7} , B \ A = {2, 4, 6} . (2) A ∪ B = {all parallelograms} , A∩ B = {all rectangles} , A \ B = {all parallelograms except rectangles} , B \ A = ? . (3) A ∪ B = {1, 2,3,2. . ∩ Aic = {5, 9} .i =1 5},A ∩B = {2, 4, 6,},A \B = {1,3,5,},B \ A = ?.3.A ∪B = {1 < x ≤ 3} A ∩ B = ? .1? ? ? ?∞, ? . 2? ?5. (1)(2) (α , β ) ∪ ( γ , +∞ ) .π 2π ? ? (3) ? 2kπ + , 2kπ + . 3 3 ? ? ?(4)( 0, +∞ ) .(5) ( ?4, ?2 ) .(6) ( ?3, ?2] . (1, +∞ ) .2 ? (7) (1, 2 ) ∪ ( 2, 4] . (8) ? ? ,1? . (9) ? 2 ?( 0, +∞ ) .(10) [ 0, 2 ) .(11)6.1 ? ? a ≤ x ≤ 1 ? a, 0 < a ≤2 ? . (1) [ ?1,0] .(2) [ 0,1] .(3) ? 2kπ , ( 2k + 1) π ? , k ∈ Z .(4) ? ? ? ?? , a > 1 ? 2 ?7. (1) No. (2) No.(3) 8. (1) Yes.(2) Yes.(3)No. (4)Yes.(5) No. (6) Yes.(7) No. (8)Yes.(9) No. (10) Yes. Yes.5 ? 3x, x < 1 ? 11. f ( x ) = ?3 ? x, 1 ≤ x < 2 . ?3x ? 5 x ≥ 2 ?12. (1) y = u 3 , u = sin v , v = w and w = 1 ? 2 x .(2) y = arccos u , u =x?2 1 .(3) y = , u = 1 + v , v = arctan w , w = 2 x . u 2(4) y = u10 , u = 1 + 2 x .(5) y = u 2 , u = arcsin v , v = x 2 .(6) y = ln (1 + u ) , u = 1 + v , v = x 2 .(7) y = 2u , u = v 3 , v = sin x .13.( f φ )( x ) = sin 3 2 x ? sin 2 x,x ∈ ( ?∞, +∞ ) , (φ f )( x ) = sin 2 ( x 3 ? x ) ,x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,(ff )( x ) = x ? 2 x3 + 3x5 ? 3x 7 + x9 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) .1/ e, | x |< 1 ? ( g f )( x ) = ?1, | x |= 1 ?e, | x |> 1 ?1, x < 0 ? 14. ( f g )( x ) = ?0, x = 0 ?1, x>0 ?Advanced?MathematicsSchool?of?Science,?BUPT?Oct.?2011?北京邮电大学双语高等数学教学组 2011 年第一版?0, x >1 ? 15. f ( x ) = ?h ( x + 1) , ?1 ≤ x < 0 ?? h ( x ? 1) , 0 ≤ x ≤ 1 ?0, x < ?1 ? ? g ( x ) = ? 1 ? x2 , ?1 ≤ x ≤ 1 . ? ? 3 ( x ? 1) , x > 1 ? 3 ? 1 y x = e y ?1 ? 2 .(3) x = arcsin , 3 217. (1) x = ? 1 ? y 2 ,2( 0 ≤ y ≤ 1) .(2)( ?2 ≤ y ≤ 2 ) .(4)x = log 3(1 ? y )y,( 0 < y < 1) .y +1? ?∞ < y < 1 ? y, ? ? ?1 ? ? 1? y ? 1≤ y ≤ 2 . (5) x = y ∈ [ ?1,1) .(6) x = ? y , 2 ?log y, 2 < y < +∞ ? 2Part?B?1. (1)(fg )( x ) = 0,( x = 0) , ( gf )( x ) = 2 ? x 2 ,(1 ≤ x ≤ 2 ) .x ? (2) ( f g )( x ) = arcsin ? ? 1? , ?2 ? 1 ? 2 x 2 + 2 x3 , ?1 + x1 0 ≤ x ≤1 ?2 arcsin ( x ? 1) , ? . ( 0 ≤ x ≤ 4 ) , ( g f )( x ) = ? ?2 ? ? 1 arcsin ? x ? 1 ? , 1 < x ≤ 2 ?2 ? 2 ? ?2.f ( x) =( ?∞ < x < 0 ) .3.x + 1, x ∈ ( ?1, 0] ? f ?1 ( x ) = ? x ∈ [1, 2] ? x ? 1, ?6. 8.f ( x) = x +1 .1? ? 1? 1 ? f ( x ) = x2 ? 2 . f ? x ? ? = ? x ? ? ? 2 = x 2 + 2 ? 4 . x? ? x? x ?21.2 Part?A?1. (1) No. (2) Yes. (3) Yes,.(4) No.2. (1) wrong.(2) wrong(3) wrong.. 5. wrong 6. wrong1 9. (1) . 21 (2) . 3(3) 2 . (4) 2 .(5)1 . 3(6)1 . eAdvanced?MathematicsSchool?of?Science,?BUPT?Oct.?2011?北京邮电大学双语高等数学教学组 2011 年第一版?0, l m ?l l ?113. (1) convergent. (2) divergent. (3) convergent.1.3 Part?A?1. (1) ?ε >0 , ?X > 0 ,f ( x ) ? A < ε holds for all x > X . (2) ?ε > 0 , ?δ > 0 ,f ( x ) ? A < ε holds for all x0 ? x < δ .(3) ?M < 0 , ?δ > 0 , f ( x ) < M holds for all x ? 2 < δ . 2. (1) wrong. (2) right. 3. (1) wrong. (2) right. (2) right. (2) wrong.(2)wrong. (2) wrong. (7) Yes. (8) No.5. (1) No. (2) No. (3) No. (4) No. (5) No. (6) No.6. (1) ?37. (1)1 2(2) 1 (2)1 4(3) 1 (3) ?1(4) 3 (4)1 2(5)33 4 (6) cos x (7) ? sin x (8) 0 22π(5) e ?6(6) e ?2(7) π(8) e 28. (1) a = ?1 b = ?2(2) a =Part?B?1. (1)4 3(2) e ?2(3) e ?1/ 22(4) e πf ( x ) ? A > ε holds for all x ∈ U ( x0 , δ ) .3. some ε > 0 , there exists a δ > 0 , such that24.eπ1.4 Part?A?1. 2.ε > 0 , there exists a δ > 0 ,such that α ( x ) < ε holds for all x ∈ U ( x0 , δ ) . ?M > 0, there exists a X > 0, such that f ( x ) > Mholds for all x > X .3. (1)wrong. (2) wrong. (3)wrong. (4) wrong. (5) wrong.Advanced?Mathematics School?of?Science,?BUPT Oct.?2011?北京邮电大学双语高等数学教学组 2011 年第一版?4. (1)wrong. (2) wrong.5. (1) x (2) x (3) x (4) x 4 / 3 7. (1) 2 (2) 1 3 (3) ?1 2Part?B?1. (2) y = x ? 1a = ±1 ? 2. (1) ?b = ± 1 ? ? 2(2) a =3 1 , b= c=2 16 21.5 Part?A?2. Wrong 5. (1) x = 2 is a removable discontinuous point or discontinuous point of the first type.x = ?2 is an essential discontinuous point or discontinuous point of the second type.(2) x = 1 is an essential discontinuous point. (3) x = 0 is a jump discontinuous point or discontinuous point of first type. (4) x = ±1 are both jump discontinuous point or discontinuous point of the first type. 6. (1) x = 0 is an essential discontinuous point or discontinuous point of second type. (2) x = 1 is an essential discontinuous point or discontinuous point of second type. (3) x = 0 is a continuous point. (4) x = 0 is a jump discontinuous or a discontinuous of the first type. (5) x = ?1 x = 2k + 1 , ( k ∈ N + )are essential discontinuous points or discontinuous points of second type. x = 0 is a jump discontinuous or a discontinuous point of the first kind.. x = 1 is a continuous point. 7. (1) π2(2) 1(3) ?2(4) e1 2(5) 03 29. (1) a = 0(2) a = 3(3) a = 2 b = ? Advanced?Mathematics School?of?Science,?BUPT? Oct.?2011?。

高等数学北邮第2版

高等数学北邮第2版介绍《高等数学北邮第2版》是由北京邮电大学出版社出版的教材，主要面向高等院校的理工科专业学生。

本教材是高等数学领域的经典教材之一，经过多年的使用和改进，逐渐发展成为一本综合性的高等数学教材。

本教材分为多个部分，涵盖了高等数学的各个方面，包括数列与极限、函数与连续、导数与微分、定积分与定积分应用、常微分方程等内容。

每个章节都以理论知识和例题相结合的形式，旨在帮助学生深入理解高等数学的概念和原理，并培养学生的数学思维和解题能力。

目录1.数列与极限2.函数与连续3.导数与微分4.定积分与定积分应用5.常微分方程6.二重积分与曲线积分7.空间解析几何数列与极限在数学中，数列是将自然数映射到数域的一个函数。

数列的极限是数列中接近某一特定值的值。

数列与极限是高等数学中的重要概念，它们贯穿了高等数学的各个领域。

本章介绍了数列的基本概念和性质，包括数列的定义、极限的定义和性质、极限存在准则等等。

通过学习本章，学生将掌握数列的极限计算方法，并能够应用数列的极限解决实际问题。

函数与连续函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个数集之间的对应关系。

连续是函数在某一点处没有跳跃或间断的特性，连续性是函数中的一个重要概念。

本章介绍了函数的基本概念和性质，包括函数的定义、函数的运算、反函数与复合函数等。

同时，本章还介绍了连续函数的定义和性质，并通过例题讲解了如何判断函数的连续性以及如何应用连续函数解决实际问题。

导数与微分导数是函数在某一点处的变化率，微分是函数在某一点处的近似变化量。

导数与微分是高等数学中的核心概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。

本章介绍了导数的定义和性质，包括导数的计算公式、导数的几何意义、高阶导数等。

同时，本章还介绍了微分的定义和性质，包括微分的近似计算、微分中值定理等。

通过学习本章，学生将掌握导数和微分的计算方法，并能够应用导数和微分解决实际问题。

定积分与定积分应用定积分是计算曲线下面积的数学工具，定积分应用是将定积分应用于实际问题的过程。

北京邮电大学高等函授教育《微积分》综合练习题

北京邮电大学高等函授教育一年级第一学期《高等数学(微积分)》综合练习题与解答经济管理、电子邮政专业第一部分练习题一、判断题1. 设)(x f 的定义域为)1,(-∞，则)11(2x f -的定义域为（0，1）. 2. 设)(x f 的值域为)1,(-∞,则)(x arctgf 的值域为)4,2(ππ-. 3. 2)1(--x e 是偶函数. 4. xxy +-=11ln是奇函数. 5. e x xx =+∞→1)1(lim6. 设)(u f 是可导函数，则2sin 22)(cos 2)(sin x u u f x x x f dxd='=. 7. 设函数)(x e f y -=可微,则dx e f e dy x x )(--=. 8. 设dx xx df 211)(+=,则arctgx x f ='')(. 9. ⎰=)()()()(x df x f x df x f dxd. 10. ⎰+'=''c x f dx x f )()(.11.0sin 2112=+⎰-dx x tgx.12. 如果1102=+⎰+∞dx x A ,则常数π2=A .13. 如果级数∑∞=1n nu发散,则0lim ≠∞→n n u .14. 级数)0(1>∑∞=x xn n收敛的充分必要条件是1<x .15. 级数∑∞=11n pn收敛的充分必要条件是1>p . 16. 如果1)43(1=∑∞=n na ,则常数41=a . 17.0),(),(0x x y y x x y x f y x f x==='=∂∂.18. 设xy x z =,则1-=∂∂xy xyx xz. 19.)()](,[x y f f x y x f dxdy x ''+'=. 20. 设v u f 、、都是可微函数,则xv f x u f y x v y x u f x v u ∂∂'+∂∂'=∂∂)],(),,([. 二、单项选择题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≤≤=2,202,20,)(x x x x x x f 则)(x f 的定义域为___________.A.),(+∞-∞B.)2,2[-C.]2,(-∞D.]2,2[- 2. 设)(x f 的定义域为),0,(-∞则函数)(ln x f 的定义域是_______. A.),0(+∞ B.]1,0( C.),1(+∞ D.(0,1) 3. 设)1()1(-=-x x x f ,则)(x f =_________.A.)1(-x xB.)1(+x xC.)2)(1(--x xD.2x 4. 下列函数中,奇函数为____________. A.)sin(cos x B.)1ln(2++x x C.xx tgx -+11lnD.xe sin 5. =+∞→1sin limn nn _____________.A.0B.1C.1-D.∞6. 当0x x →时,α和β都是无穷小,下列变量中,当0x x →时可能不是无穷小的是___________.A.βα+B.βα-C.αβD.)0(≠ββα7. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x k x x x x f 且)(x f 在0=x 处连续,则=k _________.A.0B.1C.2D.1- 8. 设)(x f 在点0x 可导,则=--+→hh x f h x f h 2)()(lim000___________.A.)(0x f 'B. )(0x f '-C. )(20x f 'D. )(20x f '- 9. 设)(u f 可导,则=)(sin 2x f dxd____________. A.)(sin sin 22x f x ' B.)(sin cos 22x f x 'C. )(sin 2sin 2x f x 'D. )(sin cos sin 2x f x x '10. 已知3)0(,0)0(='=f f ,则=→xx f x )2(lim 0___________.A.3B.3-C.6-D.611. ___________满足罗尔定理的条件.A.2)(x x f =在]3,0[上B.21)(x x f =在]1,1[-上 C.x x x f -=3)( 在]3,0[上 D.x x f =)(在]1,1[-上 12. =)(x f ________是2sin x x 的一个原函数.A.2c os 21x B. 2cos 2x C. 2cos 2x - D. 2cos 21x - 13. 设)(x f 在],[b a 上连续,),(0b a x ∈且是常数,则=⎰0)(x adt t f dx d _________.A.)(0x fB.0C.)()(0a f x f -D.)(0x f ' 14.=⎰-883dx e x ________.A.0B. ⎰8032dx exC.⎰-22dx e xD.⎰-2223dx e x x15. 设1012=+⎰+∞∞-dx x A,则=A ___________. A.π10 B.10π C.π10 D.π10- 16. 如果0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=1n nu___________.A.必收敛B.必发散C.可能收敛D.必绝对收敛 17. 如果级数∑∞=-111n p n收敛,则p 应满足___________.A.2>pB.1>pC.0>pD.0<p 18. 设常数0>k ，则级数∑∞=--112)1(n nn k___________. A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性与k 有关19. 设yx z +=12,则=∂∂y z__________.A.y x+12 B.22)1(y x +- C.221y x +- D.22)1(y x + 20. 二次积分交换积分顺序后=⎰⎰yydx y x f dy ),(1____________.A. ⎰⎰102),(x xdy y x f dx B.⎰⎰12),(xx dy y x f dxC.⎰⎰21),(xxdy y x f dx D.⎰⎰21),(x xdy y x f dx三、填空题1. 函数xxy -+=11ln的定义域是_______________________________.2. 设⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,3)(x x x x x f ⎩⎨⎧>≤=1,ln 1,)(x x x e x g x 则=)]1([g f ___________,当1>x 时, )]([x g f 的表达式为____________________.3. 函数1--=x y 的反函数为_____________________.4. 设函数)(x f 满足x x f =)(log 2, 则)(x f =_________________.5. 设xxx f +-=11)(, 则=)]([x f f __________________________. 6. 函数x y 2cos1π+=的最小正周期是_______________.7. 设x e x f =)(且0>x ,则=-)ln (x f __________________.8. 设函数)(x f 在0=x 处连续,且0≠x 时,xx x f 1)21()(-=,则=)0(f __________. 9. 设1)0(='f ，则=-→xf x f x )0()2(lim_______________.10. 曲线x x y ln 2-=在点(1,1)处的切线方程为_______________________. 11. 设)(x f 可导且2)1(='f , 则==1)(x x f dxd_______________.12. 设1)(+=x xx f ，则=)(x df _______________________. 13. 设x x f dxd=)(ln , 则='')(x f ______________________. 14. 设)1(1)(22x d xx x df +=, 则=)(x f _________________, =')(x f ____________, ='')(x f ___________________________.15. 设)(x f 的一个原函数为x ln , 则=')(x f ________________. 16. 设c x dx x f ++=⎰211)(, 则)(x f =_____________________.17.=''⎰dx x f x )(_________________________________________.18. ⎰=)(x xdf d ______________dx . 19. 设)(x f 是连续函数, 若⎰=+xcdt t f x )(4053, 则=)(x f __________,=c _____.20. =⎰ax dt t f dx d )(_______________________.21. =⎰xdt t xf dxd 0)(_________________________________. 22. 设112=⎰adx x , 则=a ______________________.23.='⎰xdt t f t 02)(______________________________.24. 设)(x f 在[0,1]上连续, 则积分⎰1)(dt at f 经变换)0(≠=a at u 后为___________________________________. 25. 设)(x f 在],[l l -上连续,且为奇函数,2)(0=⎰ldx x f , 则=⎰-0)(ldx x f __________.26. 在],[b a 上, 函数)(x f 连续且0)(≤x f , 则由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积S 的积分表达式为__________________________________.当b a =时, S=_______________.27. 如果级数∑∞=1)31(n na 的和为1, 则=a ___________________. 28. 设x xy z )(=, 则=∂∂xz__________________. 29. 设22yx xz +=, 则=∂∂x z __________________. 30. 交换积分顺序后, =⎰⎰102),(yy dx y x f dy _______________________________.四、计算题1. 求下列各极限(1)2211limxx x +-→ (2)22312lim4---+→x x x(3))11(lim 22+--+++∞→x x x x x (4)11lim 31--→x x x(5)x x x )21(lim -∞→ (6)xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim(7)]ln )1[ln(lim x x x x -++∞→ (8)xx x 220sin arcsin lim → (9)设⎪⎩⎪⎨⎧<+>-+=0,30,sin 11)(x a x x x x x f 且)(lim 0x f x →存在,求常数a 的值.(10)30)1(2)1(lim x e e x x x x --+→ (11))1(log 22lim 20x xx x +--→(12)x ctgx x ln ln lim 0+→ (13)x x x cos 1)1ln(lim 20-+→(14)20)1(lim tgx e x x x -→ (15))sin 11(lim 0x x x -→ (16)xtdt xx ⎰→02sin lim(17)3sin lim2xx dt e xt x -⎰→(18))12753(lim 2222nn n n n n +++++∞→ 2. 求导数或微分(1) 设212sin xxy +=,求y '. (2) 设)1ln(2x x y ++=,求y '. (3) 设x x xarctg y ln 1+=,求y ''. (4) 设)(2)(x fe x =ϕ,且)(1)(x f x f =',证明:)(2)(x x ϕϕ='. (5) 设1)sin(=-y xy ,求dy . (6) 设133=-+y y x ，求y '.(7) 设y y x -=+3)ln(2,求dy . (8) 设y xe y +=1,求y y x '''=,0.(9) 设x x y )(ln =,求y ' (10) 设x x x x y sin +=,求y '. (11) 设)ln(22a x x xa y x +++=,1,0(≠>a a 且为常数),求0='x y .(12) 设x xy n ln )2(=-,求nn dxy d . (13) 求⎰-12x t dt e dxd (14) 设⎰+=2211)(x xdt tx p ,求)(x p '.(15) 设)sin(x ye z x +=,求yzx z ∂∂∂∂,. (16) 设xyxe z =,求yzx z ∂∂∂∂,. (17) 设y x e z xy 2+=,求yz x z ∂∂∂∂,. (18) 设z y z x ln =,求yzx z ∂∂∂∂,. 3. 计算下列各积分 (1)⎰+dx x x x sin cos 2cos (2)⎰-dx x sin 11(3)⎰+dx xxln 11 (4)⎰+++dx x arctgxx 211(5)⎰-dx x x2211(6)⎰xdx x ln 2(7)⎰xdx x ln (8)⎰xdx x 2cos(9)⎰xdx x 2sin (10)⎰xdx arcsin(11)⎰dx x sin (12)⎰+101dx e e xx(13)⎰++4122dx x x (14)⎰-312dx x(15)设⎩⎨⎧<≥=0,0,)(x e x x x f x求⎰-21)(dx x f(16)⎰-4sin ππdx x (17)⎰''tdx x f x 0)((18)⎰+∞-02dx e x x(19)D ydxdy xD,2⎰⎰是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域.(20)⎰⎰++Ddxdy y x2211,其中1:22≤+y x D .五、判断下列各级数的收敛性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛 1.∑∞=+131n n n 2.∑∞=+1)1(1n n n 3.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n n n n 4.∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-1sin 321n nn n n 5.∑∞=1!n n n n 6.∑∞=--111)1(n n n7.∑∞=+-1)!12()1(n n n 8.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n9.∑∞=+131cos n n n 10.∑∞=-121)1(n nn六、应用题1. 设曲线x x y ln 2+=上的点),(00y x M 处的切线平行于直线x y 4=,求点M 的坐标.2. 讨论函数2332x x y -=的单调性与极值.3. 求函数x x e e y -+=2的极值.4. 求由曲线0,1,3===x y x y 所围成的平面图形的面积(要画图).5. 求由曲线2,1,4===x xy x y 及x 轴所围平面图形的面积(要画图).6. 求由曲线212x y +=与2x y =所围平面图形的面积. 七、证明题1. 已知)(2)(x fa x =ϕ且ax f x f ln )(1)(=',证明:)(2)(x x ϕϕ='2. 证明:⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.第二部分解答一、判断题1. ×2. √3. ×4. √5.×6. √7. ×8. ×9. × 10.√ 11. √ 12. √ 13. × 14. √ 15. √ 16. × 17. √ 18. × 19. √ 20. √ 二、单项选择题1.C2.D3.B4.B5.A6.D7.B8.A9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.D 15.A 16.C 17.A 18.B 19.B 20.B 三、填空题1.)1,1(-2. 1, x ln ln3.0,12≤+=x x y4. x 25. x6. 47.x18. 2-e 9. 2 10. x y =11. 1 12.dx x x x 2)1(21+-13. x e 22 14. 222)1(2,11,x xxc arctgx ++-+- 15.21x - 16. 22)1(2x x +- 17. c x f x f x +-')()( 18. )(x f x ' 19. 2,152-x 20. )(x f -21. )()(0x xf dt t f x+⎰22. 32-23.)]0()([212f x f - 24. ⎰adu u f a)(125. 2- 26. ⎰-b adx x f )(, 027. 2 28. )]ln(1[)(xy xy x +29. 22222)(y x x y +- 30. ⎰⎰xxdy y x f dx ),(1四、计算题 1.求下列极限 (1) 2)11(lim 11lim2022-=++-=+-→→x x x x x(2) 232312)22(2lim22312lim44=+++-=---+→→x x x x x x(3) 112lim )11(lim 2222+-+++=+--+++∞→+∞→x x x x xx x x x x x11111112lim22=+-+++=+∞→xx x x x(4) )1()1)(1(lim11lim 2131-++-=--→→x x x x x x x x 3)1(lim 21=++=→x x x(5) 222])21[(lim )21(lim ---∞→∞→=-+=-e xx xx x x(6) 2)11()11(lim 11lim e xx x x xxx xx =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→ (7) 1)11ln(lim ]ln )1[ln(lim =+=-++∞→+∞→xx x xx x x (8) 1arcsin sin lim sin arcsin lim22220220==→→x x x x x x x x (9) 21111sin limsin 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x x xxx x f x x x a a x x f x x =+=--→→)3(lim )(lim 0)(lim 0x f x → 存在)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=∴ 21=a （10）203031lim )1(2)1(lim xe xe x e e x x x x x x x +-=--+→→ （罗必塔法则）x xe xx 6lim0→= （罗必塔法则） 61= （11）exx x x x x x x 2020log 112ln )22(lim )1(log 22lim ++=+--→-→ （罗必塔法则）22)2(ln 2log 2ln 2==e（12）xx x xctgx x x 1cos sin 1lim ln ln lim 00-=++→→ （罗必塔法则） 1cos sin lim 0-=-=+→xx xx（13）xx x x x x x sin 12limcos 1)1ln(lim 2020+=-+→→ （罗必塔法则） 2sin )1(2lim20=+=→xx xx（14）22020cos 21lim )1(lim x x e xe tgx e x x x x x x -+=-→→ （罗必塔法则）x e xe x x x 21lim 0-+=→122lim 0=+=→xx x e xe （15）x x xx xx x x sin sin lim )sin 11(lim 00-=-→→ xx x x x cos sin 1cos lim 0+-=→ （罗必塔法则） x x x xx sin cos 2sin lim 0--=→ （罗必塔法则） 0=（16）xxx tdt x xx 22sin lim2sin lim02→→=⎰ （罗必塔法则）1= (17) 233cos limsin lim22xxex x dt e x x xt x -=-→→⎰（罗必塔法则） 216s i n 2l i m 20=+=→x x xe x x(18) 1)2(lim )12753(lim 22222=+=+++++∞→∞→n n n n n n n n n n2.求导数或微分（1）222)1(2sin 22cos )1(2x xx x x y +-+=' （2）22211]11[11xxx xx y +=++++='（3）21ln 1)1(1122++-+='x x x y21ln 112+++-=x xx x x y 21)1(222++='' （4）)()(2)()(2x f x f e x x f'⋅⋅='ϕ)(22x f e= ))(1)((x f x f =' )(2x ϕ= （5）等号两边微分0])[cos(=-+dy ydx xdy xy0)cos(]1)cos([=+-dx xy y dy xy xdx xy x xy y dy )cos(1)cos(-=∴（6）等号两边对x 求导03322='-'+y y y x22313y x y -='∴ （7）等号两边微分dy dy xdx yx -=++]2[12dy y x dx y x x )11(222++-=+dx y x xdy 122++-=∴ （8）等号两边对x 求导y xe e y y y '+=' （*）yyxee y -='∴1 （因当0=x 时，1=y ） e y x ='∴=0（*）式两边再求导y xe y xe y e y e y y y y y ''+'+'+'=''2)( 2)(2)1(y xe y e y xe y y y '+'=''-232)1(12y yy y xe xe xe e -+-=232)1(2y yy xe xe e --= 32)1()2(y yy xe e xe y --=''∴ （9）x x x e x y ln ln )(ln ==]ln 1ln [ln )(ln ]ln 1ln [ln ln ln xx x x x e y x x x +=+=' (10) x x x x x x e e x x y ln sin ln sin +=+=]sin ln [cos ]1[ln ln sin ln xxx x e x e y x x x x +++=' ]s i n ln [cos ]1[ln sin xxx x xx x xx+++= (11) ]1[1ln 2222ax x ax x a xa a y xx++++++='221]ln 1[ax a x a x +++=ay x 110+=='∴= (12) x x x x dx y d n n 211ln 1ln ln -='⎪⎭⎫ ⎝⎛=-- xx x x x x xx x dx y d n n 342ln ln 2ln )1(ln ln 2ln 1-=--=∴ (13)][1122⎰⎰---=x t x t dt e dx d dt e dx d x e x21-=(14) ⎰⎰+++=2221111)(x xdt tdt tx p⎰⎰+++-=xx dt tdt t 02221111421211)(xx xx p +++-='∴(15))1)(cos(++=∂∂x x ye x ye xz)cos(x ye e yzx x +=∂∂ (16) x yx yx ye xy e x y e x z )1(-=-=∂∂x ye yz=∂∂ (17)xy ye xzxy 2+=∂∂ 2x xe yzxy +=∂∂ (18) 设zy z x z y x F ln ),,(-=221,1,1zxz z z x F y F z F z y x -=+-=-==z x z F F x z z x -=-=∂∂∴， )(2x z y z F F y z z y -=-=∂∂ 3.计算下列各积分(1)⎰⎰++=-=+c x x dx x x dx x x xcos sin )sin (cos sin cos 2cos(2) ⎰⎰+=-dx xxdx x 2cos sin 1sin 11 ⎰⎰-=x d x dx xcos cos 1cos 122 c xtgx ++=cos 1(3)⎰⎰-+=+x d x dx xxln )ln 1(ln 1121c x ++=ln 12 (4)⎰⎰+++++=+++dx x arctgxx x x dx x arctgx x )1111(112222⎰⎰⎰++++=tgx arctgxdarc dx x dx x222112111 c arctgx x arctgx ++++=22)(21)1ln(21(5) 令 tdt dx t x cos ,sin ==⎰⎰+-==-c c t g t dt tdx x x222sin 111c xx +--=21（6）⎰⎰=)31(ln ln 32x xd xdx x⎰-=dx x x x 2331ln 31 c x x x +-=3391ln 31 （7）⎰⎰=)32(ln ln 23x xd xdx x⎰-=dx x x x 212332ln 32 c x x x +-=232394ln 32 （8）⎰⎰=)2sin 21(2cos x xd xdx x ⎰-=x d x x x 2s i n 212s i n 21c x x x ++=2c o s 412s i n 21 （9）⎰⎰-=dx xx xdx x 22cos 1sin 2⎰⎰-=x d x x x d x 2c o s 2121c x x x x +--=2c o s 812s i n 41412(10)⎰⎰--=dx xx x x xdx 21arcsin arcsinc x x x +-+=21arcsin(11) 令tdt dx t x 2,==⎰⎰⎰-==)cos (2sin 2sint td tdt t dx x⎰+-=t d t t t c o s 2c o s 2c t t t ++-=s i n 2c o s2 c x x x ++-=s i n 2c o s 2（12）2ln )1ln()1ln(11010-+=+=+⎰e e dx e e x xx （13）令udu dx u x u x =-==+,2121,122 ⎰⎰+=++3124)2321(122du u dx x x 322)2361(313=+=u u （14）⎰⎰⎰-+-=-322131)2()2(2dx x dx x dx x=1 (15) 121213)(----=+=⎰⎰⎰e xdx dx e dx xf x(16)⎰-4sin ππdx x ⎰⎰--=040sin sin ππxdx xdx223cos cos 040-=+-=-ππxx(17)⎰⎰'-'=''tt tdx x f x f x dx x f x 000)()()()0()()()()(0f t f t f t x f t f t t +-'=-'=(18)⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=002022dx xe ex dx e x x x x⎰+∞-∞+-+-=0022dx e xex x220=-=+∞-xe(19)⎰⎰⎰⎰=2122122xDydy dx x ydxdy x ⎰-=2212)212(dx x29)2132(2213=-=x x (20)⎰⎰⎰⎰+=++1022022111dr r rd dxdy y xDπθ2ln π=五、判断下列级数的收敛性, 若收敛, 指出绝对收敛还是条件收敛. 1. )(113∞→→+=n n nu n , 所以发散 2. ,2,1,11)1(1=+≥+=n n n n u n 而级数∑∞=+111n n 发散, 由比较法知原级数发散. 3. ,2,1,)21()12(=≤+=n n n u n n n而级数∑∞=1)21(n n 收敛,由比较法知, 级数收敛(绝对收敛). 4. n n n n n n n n n u )21()2()sin 321(=≤+-= 而级数∑∞=1)21(n n收敛, 由比较法知, 级数收敛(绝对收敛)5. ,!n n u nn =e n n n n n u u n n nn n nn n =+=++=∞→+∞→+∞→)11(lim !)!1()1(lim lim111> 由比值法知, 级数发散 6. 这是交错级数, nu n 1=,2,1,111=+≥n n n,2,1,1=≥∴+n u u n n又∴==∞→∞→,01limlim nu n n n 级数收敛.但∑∑∞=∞=-=-11111)1(n n n nn发散, 所以此级数条件收敛.7.∑∞=+-1)!12()1(n n n ∑∑∞=∞==+=11)!12(1n n n u n)!12(1)!32(1lim lim1++=∞→+∞→n n u u n nn n 0)22)(32(1lim=++=∞→n n n由比值法知,∑∞=+1)!12(1n n 收敛,所以原级数绝对收敛. 8. 这是交错级数, )1ln(1+=n u n ,,2,1,)2ln(1)1ln(1=+≥+n n n,2,1,1=≥∴+n u u n n ; 又0)1ln(1limlim =+=∞→∞→n u n n n所以级数收敛. 但∑∑∞=∞=-+=+-111)1ln(1)1ln(1)1(n n n n n 发散, 所以原级数条件收敛. 9. 23331111cos nn n n u n ≤+≤+=而级数∑∞=1231n n收敛, 由比较法知∑∞=+131cos n n n 收敛,所以原级数收敛且绝对收敛.10. 221)1(n n u n n =-=, 而∑∞=121n n 收敛, 所以原级数绝对收敛. 六、应用题 1. ,412)(00=+='x x y2ln 1ln 2,210000-=+==∴x x y xM ∴点的坐标为 )2ln 1,21(- 2. 定义域为),(∞+-∞ )1(6662-=-='x x x x y令 0='y 得 1,0==x x 列表讨论在(－∞，0)，（1，+∞）内单调增，在（0，1）内单调减，有极大值0)0(=y ，极小值1)1(-=y . 3. x x e e y --='2，x x e e y +=''2 令 0='y ，得驻点 2ln 21-=x 022)2ln 21(>=-''y 22)2ln 21(=-∴y 为极小值。

北京邮电大学《高等数学教学课件》5-习题课

4 (cos x sin x)dx
0
2(sin x cos x)dx
4
2 2 2.
例5
求
1
2 1
2
[
sin x x8 1
ln2(1 x)]dx.
1
解
原式 0
2 1
ln(1
x)dx
2
0
1
1 ln(1 x)dx
2 ln(1 x)dx
0
2
3 ln 3 ln 1 . 22 2
x
x
x 0 f (u)du 0 uf (u)du
所以
x
0
u 0
f
( x)dxdu
x
( x u) f (u)du ．
0
1/ 2
例设 f ( x ) 在[0，1]可微，且满足 f (1) 2 xf ( x)dx 0
证明：（0，1）使
f ( ) f ( )
0
分析：变形为： f ( ) f ( ) 0, [ xf ( x)] 0
0
1 x
5、 1 dx ；
1
1
1 2x
7、 2
dx
；
1 x 3x2 2x 1
2、 a
dx
；
0 x a2 x2
4、 5 x 2 2x 3 dx ； 2
6、
x 2
dx 4x
； 9
8、
1
dx .
1 x x1
五、设 f ( x)在 0 , 1 上有连续导数， f (0) 0 ,
且0 f ( x) 1,试证：
f (u a2 ) du u 2u
1 a2 21
f (u
a2 ) du uu

高等数学b北京邮电大学教材答案

高等数学b北京邮电大学教材答案高等数学B 北京邮电大学教材答案[注意：本文所提供的答案仅供参考，具体结果请以教材及教师为准。

]第一章微积分基础1. 概念与方法(a) 函数的定义：设A和B是非空实数集合。

对于每一个x∈A，一个确定的实数y与之对应，称之为函数f:X→B，在此情况下，称A为f的定义域，B是f的值域。

y=f(x)（x∈A）表示x与y之间的关系。

(b) 常用函数：- 常函数：f(x) = C；- 幂函数：f(x) = x^m（m∈N*）；- 指数函数：f(x) = a^x（a>0，且a≠1）；- 对数函数：f(x) = loga x（a>0，且a≠1）；- 三角函数：正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。

2. 极限与连续(a) 极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε（ε>0），都存在另一个正数δ（δ>0），使得当0<|x-a|<δ（0<|x-a|<δ并且x∈D）时，都有|f(x)-A|<ε，则称数A是函数f(x)在x=a处的极限，记作limf(x)=A（x→a）。

(b) 连续函数：设函数f(x)在点x=a处有定义，在该点的邻域内有定义。

如果limf(x)=f(a)（x→a），则称函数f(x)在点x=a处连续。

3. 导数与微分(a) 导数的计算：- 基本运算法则：常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等；- 高阶导数：表示导数的导数，如f''(x)、f'''(x)等。

(b) 微分的计算：- 定义：设函数y=f(x)在点x=a处有定义且可微，dx是x的增量，dy是对应的y的增量，当dx→0时，引入一个新的变量Δx=dx，Δy=dy，则有Δy=f'(a)Δx+o(Δx)，称Δy为y的微分。

北京邮电大学出版社-高等数学第3版(张卓奎)第一章习题选解

习题选解第一章习题选解.习题 1－11．若2(+1)x +3x 5f x =+，求 ()f x ．解：因为 ()22(+1)x +3x 5=1(1)3f x x x =+++++，所以 2()3f x x x =++.2．下列各题中，函数)(x f 与)(x g 是否相同？为什么？（1） 24)(2--=x x x f ，2)(+=x x g ；解：因为)(x f 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，而()g x 的定义域为(,)-∞+∞，所以()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同．（2） 2)13()(-=x x f ，13)(-=x x g ；解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同．（3） 11ln )(-+=x x x f ，)1ln()1ln()(--+=x x x g ；解：由10101x x x -≠⎧⎪+⎨>⎪-⎩解出()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞，而由1010x x +>⎧⎨->⎩解出()g x 的定义域为(1,)+∞，所以()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同．（4） 11ln )(2++=x x x f ，)1ln()1ln()(2+-+=x x x g ．解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同．3．设⎩⎨⎧>+≤-=11121)(2x x x x x f ，，，求 )0(f ，)1(f ，)1(-f ，)23(f ，)23(-f ．解：(0)1f =，(1)1f =-，(1)3f -=，313()24f =，313()24f -=． 4．设函数y()f x =是以T>0为周期的周期函数，证明(a )(0为常数)f x a >是以a T为周期的周期函数，并求出函数y sin 3cos 2x x =+的周期．证：因为 a (+)()()=+=⎡⎤⎣⎦T f a x f ax T f ax ，所以(a )f x 是以aT 为周期的周期函数。

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x3
f ( xy,
y ), ( f
具有二阶连续偏导数)，
x
求 z , 2 z , 2 z . y y 2 xy
解
z y
x 3 ( f1x
f 2
1 x
)
x 4 f1 x 2 f 2,
2z y 2
x 4 ( f11 x
f12
1 )
x
x 2 ( f21 x
f 22
1 )
x
x 5 f11 2 x 3 f12 xf 22 ,
求 u ，v .
x x
解所给方程两端对x求偏导，得
u x
f
1
'
u
x u x
v f 2 ' x ,
v x
g1
'
u x
1
g2
'2vy
(
xf
1
'1)
u x
v f2 ' x
v x uf1'
整理可得
g1
'
u x
(2vyg2 '1)
v x
g1 '
20
J xf1 1 g1
f 2 2vyg2 1
F t
dt dx
0.
f F f F
dy
x
t
t
x
dx f F F
t y t
24
证法三：利用全微分形式不变性
dy f xdx ft dt
F
x
dx
F y dy
Ft dt
0
f F f F
解出 dy x t t x dx f F F
t y t
dy
f x
F t
f t
F x
dx f F F
f12 xe y f13 e y f 3 e y f 32 xe 2 y f 33 12
例5
设z
f (x2
y
2
),
其中f
具有二阶导数，求
2z x2
解 z f 2x x
2z x 2
2
f
2 xf
2x
2 f 4x 2 f
13
例6 设u f ( x, y)的所有二阶偏导连续，
11
例4 设z=f (x，y，u)，u=xey，f 具有二阶连续偏
导数，求 2 z
x
xy
解
z
u
x f1 f3 x f1 e y f 3 ,
z yx y
u
2z xy
y
(
f1
ey
f3 )
f1 y
ey
f3
ey
f 3 y
f12
f13
u y
e
y
f3
ey(
f 32
u f 33 y )
f12 f13 xe y e y f 3 e y ( f 32 f 33 xe y )
u yy
代入得证。
15
例7 设 1 1 f ( 1 1 )，f可微，证明
zx
yx
x 2 z y 2 z z 2 .
x
y
证明：两端求对x的偏导数，得
1 z 1
1
f '(u)
z 2 x x 2
两端同乘以x2z2：z 2 x 2
z
z2
x2
f '(u)
(1)
两端求对y的偏导数：
x
1 z2
第一次习题课
一、内容及要求 1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义. 2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性. 3 能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.
4 理解多元函数连续、可导、可微的关系．
1
5 熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算（重点）
1 y
z x z
) F2(
F2
z xz2x2
1 x
F1 '
z ) x
0
x
1 y
F1
1 x
F2
方程两端求对y的偏导数，有
dz
F2
z x2
F1 ' dx
F1 (
z y z y2 )
F1
(
z y2
F2
1 x
F2
dy
) F2
1 y
F1
1 y
F1
1 x
F2
1 x
F2
1 y
F1
17
或利用全微分形式的不变性求偏导
t y t
25
例11 设函数f ( x, y)可微，f (1,1) 1, f x (1,1) a,
f y (1,1) b, 又记（x) f ( x, f ( x, x)), 求(1), (1).
解（1) f (1, f (1,1)) f (1,1) 1
（x)
f x (x,
f (x, x))
x2
y2
cos
x2
y2
1
2y
1
f y ( x, y) 2 y sin x 2 y 2 x 2 y 2 cos x 2 y 2
lim
yx x0
1
f
x
(x,
y)
lim(2x
y x x0
sin
2x 2
1 cos 1 )不存在 x 2x2
f x (x, y)在(0,0)处偏导不连续 9
例3
设z
14
2u 1 x
y 3 x
y
s2
2 [uxx
s
uxy
] s
2
[uyx
s
uyy
] s
11
331
பைடு நூலகம்
3
2 [uxx 2 uxy
] 2
2 [u yx 2 u yy
] 2
1
3
3
4 uxx 2 u yx 4 u yy
同理：u t
31 2 ux 2 uy
2u t 2
3 4
uxx
3 2
uxy
1 4
21
例10. 设y=f (x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确
定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导
数，试证明
dy
f x
F t
f t
F x
dx f F F
t y t
证法一：首先分析一下变量间的关系。
t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数， t=t(x，y)，于是有 y=f [x，t(x，y)] (1)
y0
cos 3
7
例２
讨论f
( x,
y)
( x 2
y 2 )sin
x2
1
y2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
在(0,0)处（1）偏导是否存在？（2）可微？（3）偏导连续？
解
f (0 x,0) f (0,0)
fx
(0,0)
lim
x0
x
x 2 sin 1
lim x 0
F(x
z y
，y
z x
)
x
F1
F2
(
z x2
)
y
F1
(
z y2
)
F2
z
于是
F1
1 y
z
x
F2
1 x
x z
z F1 x 2 F2 11 y F1 xzF2
z y F2 y 2 F1
y
z
11 y F1 x F2
19
例9 . 设
u v
f (ux, v ，y)其中f、g具有一阶连续偏数， g(u x,v2 y)
F1d( x
z) y
F2d( y
z) x
0
ydz zdy
xdz zdx
F1 (dx y 2 ) F2 (dy x 2 ) 0
整理可得
11
z
z
( y F1 x F2 )dz (F1 F2 x 2 )dx (F2 F1 y 2 )dy
由此可求得
18
也可利用公式，令：
( x，y，z)
10
因为f 具有二阶连续偏导数 z x 3 f ( xy, y ) x
2z 2z xy yx
x
(x4
f1
x2
f 2)
4x3
f1
x4[
f11 y
f12 (
y x2
)]
2
xf2
x 2[ f 21 y
f 22 (
y )]
x2
4 x 3 f1 2 xf 2 x 4 yf11 yf 22 .
注：多元复合函数的偏导数
链式法则—“连线相乘，分线相加”
（1） z f (u,v), u ( x, y), v ( x, y)，
变量关系图 z u x z f [( x, y), ( x, y)]
vy
则有
z x
z u u x
z v
v x
f u x
fv x
z y
z u u y
z v
v y
( xf1 1)(2vyg2
1)
f 2g1
u 1 uf1
f2 uf1(2vyg2 1) f2g1
x J g1 2vyg2 1 ( xf1 1)(2vyg2 1) f2g1
v 1 xf1 1 uf1
g1 ( xf1 uf1 1)
x J g1
g1 ( xf1 1)(2vyg2 1) f2g1