相似三角形预备定理

相似形

本章教学目标

本章的主要内容分为“比例线段”和“相似三角形”，“比例线段”主要介绍线段的比和成比例线段的概念及判定成比例线段的一些定理，“相似三角形”主要研究相似三角形的判定与性质.

通过本章的学习，理解比和比例，线段的比和成比例线段、相似三角形等概念，掌握比例基本性质、合比性质和等比性质，较熟练运用上述性质进行比例和变形，灵活应用平行线分比例线段定理，相似三角形判定定理及性质定理，进行计算和简单的证明.

相似三角形的知识在实际中应用广泛.本章较多地运用了类比的方法、矛盾转化的方法，这些方法对培养我们探求知识，提高分析和解决问题能力起着极其重大的作用.

核心知识

一、知识结构

二、主要内容

1.比例线段及其性质

(1)比例线段：在四条线段中，如果其两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段.

(2)比例的性质

①比例基本性质：＝ad＝bc

②合比性质：＝＝

③等比性质：＝＝…0…＝＝(b+d+…+n≠0)

2.平行线分比例线段

定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

推论；平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的线段成比例.

3.三角形一边的平行线判定定理

如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

4.三角形相似预备定理

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形的三边对应成比例. 5.相似三角形的判定

(1)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

(2)定义法，对应边成比例，对应角相等的三角形叫相似三角形(有了判定定理后，就不用定义判定了).

(3)判定定理1.两角对应相等，两三角形相似

(4)判定定理2.两边对应成比例、夹角相等、两三角形相似

(5)判定定理3.三边对应成比例、两三角形相似

(6)直角三角形判定：

①以上方法均可

②如果一个直角三角形的一条直角边与斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角形相似

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.

6.相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

(3)相似三角形的周长比等于相似比

(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方

三、本节常用的解题方法

1.运用中间量变量解题

对于比较复杂的比例关系，有时不能由一对相似三角形直接得出，这时可采用一种中间代替方法，即要

证＝，可证＝，＝.

2.化归思想

在解决线段相等、等积线段等多种结论时，通常要依据已知条件，将其它问题化归比例问题来解决.

例要证ac＝bd，可证＝，要证a＝b时，可证＝或＝等.

3.巧作辅助线

本节常用的辅助线是作三角形一边的平行线，从而得到相似三角形或比例线段.

4.等积变形

要证明线段相等，通过线段所在的三角形面积之间的关系结合等底(同底)、等高(同高)等进行线段等积式变换，进而得到结论.

5.渗透代数法

运用代数法，将比例式中的多个量化成只含一个量的等式，用代数方法求解.

典型例题

初中几何《相似形》一章中,平行线分线段成比例定理是研究相似形最重要和最基本的定理,然而教科书中并没有给出这个定理的严格证明,教参中又指出这个定理的证明涉及到无理数理论、极限思想等等,意指这个定理现阶段无法证明.事实上,对于这个定理,如果运用面积法完全可以给出一个既严谨又简捷的证法.数学杂谈

?作者：张景中著

?丛书名：

?出版社：北京少年儿童出版社

?ISBN：7500772904

?出版时间：2005-1-1

?版次：1

?印次：1

?页数：291

?字数：180000

?纸张：胶版纸

?包装：平装

?开本：小32开

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从正多边形一个有趣的性质谈起

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从反对数表的几何性质谈起

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举例子能证明几何定理吗？

几何定理机器证明的吴法浅谈

规尺作图问题的余波

“生锈圆规”作图问题的意外进展

第五章相似三角形

一、教法建议

【抛砖引玉】

本单元主要研究相似三角形的判定与性质，并在此基础上，通过把多边形分割成若干个三角形的知识，介绍了相似多边形的概念和性质，在教学中，要用类比的方法贯穿教学始终，要把重点放在研究相似三角形的判定定理和性质定理上。

在这一章之前，主要研究线段相等问题，在这一章中，则要研究线段之间比的相等关系，由研究相等转化为研究成比例，对学生来说，在认识上要有一个适应过程，虽然相等与成比

例都是等式（a b a

b

c

d

==

,），但由于涉及量多，又出现了分式，变化的形式也多了，学生会感到困难，为此，在教学中，关键要抓住两点：第一教学中注意与相等情况类比，例如，在证明线段相等时，我们常常去证明它们分别与第三个量相等，通过“等量代换”得到所需要的结论，在证明线段成比例时（两个比相等），注意让学生把每一个比看成一个整体，分别证明它们与第三个比相等。通过这个比来过渡，这就是所谓利用“中间比”的方法。这样类比，学生就可以把他们不熟悉的问题，转化为他们已熟悉的问题了；第二是注意关于比例式的变形训练，贯穿教学始终，通过具体实例，反复演练，便可扫除障碍，掌握比例变形的规律。

在教学中，应注意全等三角形与相似三角形之间的联系，不仅可以利用类比法研究相似三角形的判定与性质，也可仿照全等三角形来归纳整理相似三角形知识，通过对比，加深对相似三角形认识和理解。

在教学中要理论联系实际，把学得的课本知识服务于社会，应用在实际中，以调动学生学习的积极性。与此同时，把数学思想方法要贯穿在教学始终，如类比的方法，数形结合法，矛盾转化的方法等，把数学的思想方法交给学生。

【指点迷津】

相似三角形抓住“对应”线段，写出比例式。然后结合比例性质进行变换，便可获证。

在学习中要善于逆向思维。如“两个相似三角形的面积比为1

2

，则它们的相似比

是”。对本单元几个基本图形要熟记，如图：

对于图形(1)─(5)是学好本单元内容常见图形，利用它们可以攻克有关相似形的难题，为以后学习圆也打下了坚实基础。

二、学海导航

【思维基础】

1.填空：

⑴对应角 ，对应边 ，的三角形，叫做相似三角形，相似比等于 的相似三角形就是全等三角形。

⑵判定两个三角形相似的条件有：(i) 个角分别对应相等；(ii)两条边对应 ，并且 角相等；(iii)三边对应 。判定两个直角三角形相似，还有 边和一条 边对应成比例。

⑶相似三角形的对应角 ；对应线段的比等于 ；相似三角形周长比等于 面积比等于 。

⑷如果两个边数相同的多边形的 相等 成比例，这两个多边形叫做相似多边形。

⑸相似多边形周长比等于 ，对应对角线的比等于 ；相似多边形面积比等于 ，相似多边形中的 相似。

2.选择填空：

⑴如右图2，矩形ABCD 中，∠BEF =90°，相似三角形是（ ）

(A)I 和II (B)I 和III (C)II 和III (D)III 和IV

⑵如图3，梯形ABCD 的腰AD ，BC 的延长线交于P ，AC

交BD 于Q ，PQ 交AB ，DC 于M ，N ，图中相似三角形的组数是（ ）

(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 ⑶下列各组的两个图形一定相似的是（ ）

(A)两个矩形；

(B)等腰梯形中位线把它分成的两个等腰梯形； (C)对应边成比例的两个多边形； (D)有一个角相等的两个菱形。

⑷如果两个四边形的四个角分别对应相等，那么这两个四边形（ ）

(A)全等 (B)相似 (C)不相似 (D)不一定相似 3.填空：

⑴在比例尺是1:140000的地图上，量得甲、乙两地距离2.5cm ，那么甲、乙两地的实际距离是 。

⑵如图4，ED ∥BC ，DF ∥AB ，若S △AED ＝4，S △DFC =9， S □

BFDE = 。

⑶Rt △ABC 中，AD 是斜边上的高，AB = 4，AC = 5，则S △ABC : S △DAC : S △DAB = 。 ⑷将长为8cm ，宽为6cm 的长方形ABCD 折叠，使B 、D 两点重合，折线EF 的长为 。

【精典题解】

例，已知△ABC ，P 是AB 上一点，连结CP ，满足什么条件时，△ACP 与△ABC 相似。

图2

图3

图4

揭示思路：这道例题十分简单，图形对大家来说又很熟悉，然而这一基本图形的特点是：有一个公共角的两个三角形相似的证题思维是（一）必须找一对对应角相等；（二）或者夹公共角的对应边成比例。只要按这两条探索，本例圆满解决。

解：∠=∠∠=∠????1B A A ACP ?∽?ABC

∠=∠∠=∠?

??

=2ACP A A ACP ?∽?ABC

AB AC AC AP A A ACP =∠=∠?

??

?

?=?∽?ABC 又因AB AC AC AP AC AB AP ::=?=?2，因此，得，当∠1=∠B ，或∠2=∠ACB ，或AC 2 = AB ·AP 时，△ACP ∽△ABC 。

这道例题容易解决，以它为基础，只要告知问题与其基本图形一样，利用它的两大思路作“向导”，便可解决一系列的有关问题。

问题1 如图6△ABC 是等边三角形，∠DAE =120°，D 、B 、C 、E 共线，则图中有相似三角形的个数至少为（ ）

(A)一对 (B)二对 (C)三对 (D)四对 揭示思路：可把△DAB 和△DEA 看作有一个公共角ADB 的基本图形，再把△EAC 和△DEA 看作有一个公共角AEB 的基本图形。 问题2 已知：如图7，D 、E 是△ABC 的边BC 上两点，且∠BAD =∠C ，∠DAE =∠EAC ，求证：BD :BA =DE :EC

揭示思路：把△ABD 和△ACB 看作有公共∠B 的基本图形。 问题 3 已知：如图8，△PQR 是等边三角形， ∠APB =120°，求证：(1)△P AQ ∽BPR ；(2)AQ ·RB =QR 2。

揭示思路：同问题1相仿，不再叙述。

问题4：AD 为△ABC （AB ＞AC ）的角的平分线（如图9），AD 的垂直平分线和BC 的延长线交于点E ，求证：DE 2 = BE ·CE 。 揭示思路：连结AE ，把△ACE 与△ABE 看作公共∠E 的

基本图形。

问题5 如图10，四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，(1)计算AE 、AF 、AC 的长；(2)求证：△AFE ∽△CEA ；(3)求证：∠AFB ＋∠ACB =45°

揭示思路：把△AEF 与△CEA 看作有公共∠AEF 的基本图形。

图5

图6 图7

图8

图9

图10

问题 6 如图11，已知△ABC中，P为AB上的一点，∠PCA=∠B，AP=9cm，PB=3cm，求AC的长。

揭示思路：把△ABC与△ACP看作有公共角A的基本图形。

问题7 如图12，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB·AF=AC·DF。

揭示思路：把△DBF和△ADF看作有公共角F的基本图形。

问题8 如图13，D是△ABC的边BC上的一点，且∠BAD=∠C，若AB=a，AD=b，AC + BC = c，求AC的长。

揭示思路：把△BAD和△BCA看作有公共角B的基本图形。

问题9 如图14，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=

∠A，已知BC=2，△BCD与△ABC的面积的比是2 : 3，则CD的长是（）

(A)4

3

(B)3(C)

2

3

(D)

2

3

3

2

揭示思路：把△ABC 和△BDC看作有公共角C的基本图形。

从以上九个问题可知，涉及求值、求证线段成比例、求角度等方方面面的题目，但有一个不变内容，即其基本图形，对每个问题只要能找到基本图形，思路就能打开，由此看来，对课本中介绍的基本图形（指点迷津已介绍五种基本图形）的特点一定要熟练地掌握住，在遇到新的问题或陌生问题，可进行解剖，从中挖掘出基本图形，应用基本图形作开路先锋，思路便容易畅通，由此也启示我们，要认真学好课本上基本知识，可以以少胜多，事半功倍。

【思维体操】

例在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中

线BM交AD于P，交AE于Q，若BM= 10cm，试求BP、PQ、

QM的长。如图15

思维扩散1 由AC边的中线BM启示我们，

“遇到中线常加倍”

这是证解中线问题好办法，对本例当然也实用。

延长BM至点N如图16，使MN=MB∵AM=CM，∠BMC=∠

NMA，∴△BMC≌△NMA∴AN=BC。

∵BD∥AN，∴△BPD∽△NP A。∴BD:AN=BP:PN。

即BD:BC=BP:PN=1:3

∴

PB

BP PN

+

=

1

4

∴

PB

BM

2

1

4

=∵BM=10，∴PB=5

同法可求BQ=8

∴PQ=BQ－BP=3，QM=10－BQ=2。

图11

图12

图13 图14

图15

图16

思维扩散2： 因为本例告知的中点有三个，M 是AC 的中点，D 是BE 中点，E 是DC 的中点，根据解题经验告知我们，“遇到中点构造中位线，思路易呈现”。既然本例告知三个中点，构造中位线的方法至少有几种，现分别叙述如下：

过A 点作AN ∥BM 交CB 的延长线于N ，如图17，则BM 是△ANC 的中位线。

∴AN BM BN BC BD DE EC BD ND BE NE ====????==??

?214

25

,:::: (1) △DBP ∽△DAN ? BD :ND =PB :AN (2) △EQB ∽△EAN ? BE :NE =BQ :AN (3)

由，，(1)(2)(3)(cm)

cm cm ?

=

=++==?????

?

?

?

??

===???

?

?BP BM BQ BM BP PQ QM BM BP PQ QM ::()()124510532 思维扩散3（构造中位线（二））如图18 连ME ，可知PD 为△BME 的中位线 ?

==

===????

??

=?=?

?

?

??

???==+=?

??

?==BP PM BM AD ME ME PD AP ME QAP QEM PQ QM AP ME PQ QM PM PQ QM PQ QM 125223232532

,::::,??∽ 思维扩散4（构造中位线(三)）如图19

过点C 作CG ∥BM 分别交AD ，AE 延长线于G ，F 二点，则PM 为△AGC 中位线 ∴GC =2PM

△DBP ∽△D C G ? PB :GC =BD :DC =1:2

?

=+=?

??

?

==PB PM PM PM PB PM ::212105

BM GC QM FC AM AC BE EC BQ FC ∥?====??????

::::::12

21

?

==+=?

??

?=++=?

=BQ FC BQ QM BQ QM QM PQ PQ :::221102

52103

又

思维扩散5（构造中位线(四)）如图20

图17

图18

图19

过M 点作MN ∥BC 分别交AE ，AD ，AN 于点F ，G ，N ，则BD = DE = EC = 2MF = 2FG = 2GN （三角形中位线性质）△PBD ≌△PMG ?PB =PM =

1

2

5BM = MN ∥BC ? △QMF ∽△QBE ? MQ :QB =MF :BE =

1

4

(1) BQ + MQ =10 (2)

由，(1)(2)?==++=?

??

==MQ BQ PQ PQ 2852103,

思维扩散6（构造中位线(五)）如图21

过点D 、E 分别作DN ，EF 均平行于BM 且交AC 于N ，F 两点，则

EF DN BM =

=121

3

MN NF FC AM ===13

??????APM ADN PM DN AM AN AQM AEF QM EF AM AF CEF CBM

BM EF BC EC ∽∽∽?

==?==?==?

??

??

??

?

?:::::::343531

?

====?=??

?

?

??

===BM PM QM BM PM EF BM BP PQ QM ::::,1032

103232135532

思维扩散7（构造中位线(六)）如图22

过D 、E 分别作DN 、EF 平行于AC ，且分别交BM 于N ，F 二点，则BN=NF=FM

DN EF MC AM PDN PAM PN PM DN AM QEF QAM QF QM EF AM QF QM QF QM FM BM QM QF PN PM PN PM BM ===?==?==?

?

???

?=

+===

?

???

?

???===+==??

??

?

??

?

?

??????121313

13232

3

131032431323203

????∽∽::::::,:

图21

图22

图20

?==+=?

??

?

??==+=+=PM PN PQ PM PQ BP BN PN 55323

1035

3

5

, 扩散8（构造中位线（七））如图23

过D 作DG ∥AE 交CA 的延长线于G 点，又分别交BM ，BA 于点N ，F 。 根据三角形中位线性质。已知

DN QE AE GD AG AC ===121

2

,,

∵AE ∥DG ，AE=MC ，∴AQ =1

3

GN

DN QE AE AQ ==-121

2

()

=-=+-=+-=+?-=+?====?

?

?

?===121

214121414121414312141413210532

()()::,,,GD AQ DN GN AQ DN GN AQ DN AQ AQ DN AQ DN AQ BN NQ QM BM BP PQ QM

思维扩散9 一般告知中点问题通常也采用中心对称法，再数形结合，可找到十分简捷、巧妙的解法。以M 为对称中心，作△ABC 的中心对称图形AB’C （如图24），则D’C ∥AD ，E’C ∥AE ，设BP=x ，PQ=y ，QM=z ，中心对称性质可得

x

y z x y z

x y z x y z 2212

2214+=-+=

??

??????=++=??? ?==?

???????????

???=++=????

???

?======x z y z x y z x y z x y z BP PQ QM 523253210532532

::::,

,,,即

思维扩散10 由图形可发现n 个三角形有等底共高的特点，因而，可联想面积法证明，

图23 图24

思路也很畅通。

连结PC ，QC 。（如图25）

由

12===BD DC S S S S PBD PCD ABD

ACD

???? =

--==?=S S S S S S BP

PM

BP PM ABD PBD ACD PCD PAB PAM ??????22

同理?=+=+=??

??===BQ QM BP PM BQ QM PB PQ QM ::

,,,411010532

对于求线段的长，可添设平行线，构造出相似三角形，使各线段之间发生关系，再借助比例性质进行变换，便可达到目的。

（二）过点B 添设平行线。

思维扩散11 过点B 作BN ∥AC 交AE ，如图26， AD 的延长线于N 、G ，则△EAC ∽△ENB ，

∴AC :BN =CE :EB =

12

∴AM :BN =1:4

∵AC ∥BN ∴△QMA ∽△QBN ， ∴AM :BN =QM :QB =1:4 ∴QM (BM －QM )=1:4 ∵BM =10，∴QM =2

∵BN ∥AC ，∴△PBG ∽△QMA ，△DBG ∽△DCA

∴为中点故BG AC BD DC BG AM BP PM BP PM P BM BP BM PM

PQ PM QM :::::::===?

?

??=??====-=-=12111

2

5523

思维扩散12如图27过B 作BF ∥AE 交CA 、AD 的延长线于F ，N 二点，余下步骤留给读者实战练习。写出具体解题步骤。

思维扩散13如图28过点B 作BF ∥AD 交CA 的延长线于点N ，EA 的延长于点F 。余下步骤请读者完成。

（二）过点C 添没平行线

图27

图

25

图26

思维扩散14如图29过点C 作GN ∥AB 交AD 、AE 、BM 的延长线分别为G 、F 、N ，则

????MAB MCN ECF EBA FC AB CE EB CN AB CN FC

≌∽?

?

?

?===???????=:::12

2

GN AB ABD GCD AB GC BD DC GC AB GN AB BP PN AB GN BP PN PB ∥∽??==?=?=?==+=?

??

?=??:::

:::122313205

AB GN AQB FQN BQ QN AB FN AB FC CN CN FC CN FC FC BQ QN ∥∽??==+=+==+=??:::():()

::232320

∴∵∴∴BQ BQ PQ PQ BP PQ QM QM QM ==+???

?=++=++==8

53

1053102

思维扩散15如图30过C 点作CN ∥AD 分别交AE 、BM 的延

长线于F 、N 二点，则△MAP ≌△MCN ，……，请读者继续完成余下的步骤。

思维扩散16如图31过点C 作CG ∥AE ，分别交BM 、BA 、DA

的延长线于N 、F 、G 三点，……，余下步骤，请读者接着写下去，一定能达目的。

【集中分析】

这道例题还可继续扩散，达20余种扩散，但归纳起来，在解有

关相似三角形问题时，思路纵横、宽阔，使人感到有些茫然，到底走哪条思路好，沿那条思路走下去“平坦”。本例已告知我们当遇到中线问题，可有两大常规思路，“遇到中线常加倍，思路明白又省劲”，因为中线加倍后，可构造平行四边行，全等三角形等，各种隐含关系被挖掘出来，把分散的条件又集中起来，使思路明朗化，这一规律要熟记，以便今后更好地应用，其次是“遇到中点构造中位线，思路出现在眼前”，从思维扩散2～8，七种构造三角形中位线的方法，从不同角度，不同位置，不同的方法构造出三角形中位线，使问题都得到圆满解决，展示了构造三角形中位线的各种方法，开阔了眼界，拓宽了思路，学到了构造三角形中位线方法，使数学素养得到提高。再者，遇到中点问题转化为中心对称问题，思维扩散9已作出示范，读者可仿效。

对于研究线段之间的关系，“添设平行线”，添设平行线后，可构造出相似三角形，出现

图30

图28

F

图29 图31

新的比例式，进行新的组合（如中间比代换、等积代换、等线段代换等），便可发现新的关系，再借助比例的基本性质便可找到思路，思维扩散11～16是读者学习的典范。

面积法对等高或等底，等高不等底，等底不等高方面的问题，也是行之有效的，思维扩散10的求解过程确实证明这一点。

【难题解析】

例 自△ABC 的顶点引两条射线交BC 于P 、Q ，使∠BAP =∠CAQ ，求证：

BP BQ CP CQ AB AC

??=2

2

。 揭示思路：本例题设简练，结论复杂，同时两者又很难牵涉着关系，给证题带来极大难度，此时，只要观察一下图形，真是似曾相识，仔细一想，不难发现，与本文“思维扩散”例题十分相似，而且这几个三角形都共高，“面积”法的火花在脑海中闪现，在前进的道路出现光明，试探如下：

S S S S BP BQ

CQ CP

ABP ABQ ACQ ACP

??????=

?? 啊！给人一个惊喜！给所证结论左边完全相同，良好的开端是成功的一半，那么下步当然仿效面积证法，再试探如下：

S S S S AB AP AB AQ AC AQ AC AP AB AC ABP ABQ ACQ ACP

??????=???+???+=

12

1

22222

sin sin()

sin sin()ααθααθ 成功了！面积法威力大，遇到等高（或等底）别忘“它”。“它”可帮你想办法。请读者写出它的证明过程吧！

思路再剖析 添设平行线，构造相似三角形，是研究线段之间关系的重要方法，尽管结论复杂，荆棘从生，只要勇于探索，黎明前的黑暗即将过去，胜利曙光在“招手”，我试添设平行线吧！会成功的。

作PF ∥AB 交AQ 于点F ，作QE ∥AC 交AP 于点E ，则

∠=∠=∠=∠∠=∠?

??

12BAP CAQ PAF QAE

??=??PAF QAE EQ PF AQ AP ∽:: (1)

AC EQ PQE PCA EQ AC PQ PC AB PF PQF BQA PF AB PQ BQ ∥∽∥∽??=??=?

??????::::

?

?=?=?EQ AC AB PF BQ CP AB AC BQ CP PF

EQ

(2)

图33

图32

由(1)，(2)?

=?AB AC BQ CP AP

AQ

?=???=??=??

??

??

????=

AB AC BQ CP AP AB AQ AC S S AP AB AQ AC BP CQ BP BQ CP CQ AB AC ABP ACQ 2222

?? 再应用添设平行线方法，试证如下： 作BE ∥AQ 交AP 延长线于E 点，作CF ∥AP 交AQ 延长线于F 点，

则∽∠=∠=∠∠=∠?

??

?E PAQ F BAE CAF BAE CAF ??

?=AB AC BE CF ::

????BPE APQ BP PQ BE AQ CAF APQ CQ PQ CF AP ∽∽?=?=?

??::::

?

=?BP CQ BE CF AP

AQ

(2) 由、(1)(2)?=??=???==

???

????

??AB AC BP CQ AQ AP AB AC

BP CQ AQ AB AP AC S S BQ CP AB AQ AC AP ABQ ACP 22

ΛΛ

???=

BP BQ CP CQ AB AC 2

2

遇到难题是学习中的常事，但对难题要有攻破的必胜信心，再者就是研究攻破的方法。方法不是天上掉来的，也不是现成就有的，要积极进行思维，这道题可否剖析成几个基本图形，可否用数形结合？可曾和我们学过的问题有否相似之处？是否可转化为我们熟悉问题？是否能用我们学过的面积法？……积极进行思维，光明前程在招手。如本例，通过思维，进而联想与本文“思维扩散”的例子有相仿之处，便把这个陌生难题转化为我们熟悉的问题。

在遇到难题时，首先应用常规方法投石问路，说不定也能打开思路，如本例，添设平行

线，构造相似三角形，使各线段之间发生了关系，使证题出现了契机，要抓住契机，与面积法配伍，使问题出现了新生。总之，要积极思维，多方位探索，金石可开！

三、智能显示

【心中有数】

图34

相似三角形在初中数学中至关重要，它非常“随和”，与全等三角形、圆、函数、方程、方程组、三角函数、解直角三角形都很“亲近”，在中考中的综合题“它”也经常参予。因而，对相似三角形这一单元的学习必须强化，要投入更多的精力学好它，对基础知识一定要娴熟掌握，达到举一反三触类旁通，对本单元学习的基本图形，思维方法也要熟练驾驭。把这些基础的东西储存牢，再遇到新问题，通过联想，便可引发出新的思维。

【动脑动手】

1.如图35，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE ，△EFG ，△GIC 的面积分别为20cm 2，45cm 2，80cm 2，求△ABC 的面积。

2.在△ABC 中，AB =AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于K 点，求证：AB =3AK 。

3.已知△ABC 的AB =23，AC =2，BC 边上的高AD =3，

(1)求BC 的长；(2)如果有正方形的一边在AB 上，另两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形面积。

4.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，AC =4cm ，以C 为顶点，作一个内接等边三角形，且使它的一边在Rt △ABC 的一边上。

(1)符合上述条件的等边三角形能作几个，请你分别画出图形。

(2)在这些等边三角形中，哪一个面积最大？最大面积是多少？（精确到0.01cm 2） 5.一块直角梯形的田地与两底垂直的一腰长84m ，

两底长分别为44m ，65m ，现在要修一条与两底平行，宽4m ，并使道路两旁面积相等，试确定路的位置（即求道路的一边与一底之间的距离）

【动脑动手】答案或提示：

1.本题是研究相似三角形面积，应用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”即可找到思路。

思维一：设AE=a ，EG=b ，GC=c ，由题设可知：△ADE ∽△EFG ∽△GIC ∽△ABC 2045802

22S a a b c S b a b c S c a b c ABC ABC

ABC

???=++?? ?

??=++?? ???=++?? ???

????

?

?????? 三式分别开方，并相加，得

204580

1++=

++++=S a b c

a b c

ABC

?

将上式两边平方，得

S ABC ?=405(cm 2)

D

F 图35

M

图36

思路二：设AE=a ，BG=b ，GC=c 由题设可证：

△ADE ∽△EFG ∽△GIC ∽△ABC

2045208023422

=?? ??

?=?? ?

???????

???=a b a c a b c :::: ∴

20294052

S S ABC

ABC ??=?? ?

?

??=(cm 2) 思路三：设S S S S S S EHC EFG GIC ???===,,12

FG BC EFG EHC S S EG EC GI EH GIC EHC S S GC EC S S

S S

EG EC GC

EC

S S S ∥∽∥∽??=?? ?????=?? ???

?

?

?

?

?

?

??

+

=

+=?=+????12

221212

1

将(1)式两边平方，得

S S S S S =++12122

S S S S S S FHIG =--=12122 (2)

将S 1=45，S 2=80，代入(2)，得：

S S FHIG EHC =?==++=245801204580120245()()

cm cm 22

故?

再应用(2)式，得

S □DBHE =?=220245140()cm 2

∴S ABC ?=++=20245140405()cm 2

2.本题由AB=AC ，且AD ⊥BC ，得BD=DC 即D 为BC 中点，又AM=MD ，M 为AD 中点，由于有两个中点，可架设中位线，可中线加倍，可架设平行线，可用面积法，可用射影法……近30种解法，本文只重点写出几种有代表性的解法，其余许多种解法，请读者一一研究，进行思维扩散，写出出完整证明过程。

（一）架设中位线法

思路一：取BK 的中点N ，连结DN ∵D 为BC 中点，∴DN ∥MK ∵M 为AD 中点，∴AK =KN ∵N 为BK 的中点，∴BN =NK =AK =

1

3

AB ，∴AB =3AK

（二）中线加倍法

思路二：延长MD 至N ，且使DN=DM=AM ∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ∴BNCM 为□，∴BN ∥CM ∴

AB AK AN AM ==3

1

，∴AB =3AK

（三）添加平行线法

思路三：如图40，过点A 作AN ∥KC 交BC 的延长线于点N ，则

则CN DC BD AB AK BN

CN AB AK AB AK ===?

?????=?=313 （四）面积法

思路四：连结BM ，如图41 AK KB S S S S S S S S S S S S AK AB AB AK AKM BKM ACK

BCK

ACK AKM BCK BKM ACM BCM ACM DCM ==

=--===?=?=????????????212133 （五）射影法

思路五：如图42，分别过A ，B ，D 作CK 的垂线，垂足分别为N ，E ，F ，则BE =2DF =2AN （△MDF ≌△AMN ?AN =DF ）

AN BE BK AK BE AN AK AB AB AK

∥?==?=?=121

3

3

3.因AB AC ==232,，商AD =3，显然AB ，AC 均比AD

长，本题应考虑两个方面，D 点在BC 上或在BC 的延长线上，二者缺一不可。

思路：∵AB ，AC 均比AD 长，于是知点D 在BC 上或BC 的延长线上。

M

图38

图39

图40

图41

图42

(1)(i)若D 在BC 上，如图(1)

则∴BD CD BC BD DC =-==-==+=()(),()23332314

2222

(ii)若D 在BC 延长线上，如图(2) ∴BC=BD －CD =2 (2)(i)当BC =4时

∵BC 2=AB 2 + AC 2，∴△ABC 为直角三角形，这时，内接正方形AEGF 应如图所示，设正方形边长为x 。

GF AB CGF CAB x x

x ∥∽??=-?=-??23223

3

∴S 正方形AEGF =-=-()3312632

(ii)当BC =2时，AC =2，AB 边上的高为23122-=() 如图，正方形EFGH 的边EF 在AB 上。

设∥∽EF x GH AB CGH CBA x x x =??

=

-?=+,??23

1123

123

∴正方形S EFGH

=+?? ??

?=-231231564831212

思路：在Rt △ABC 中，∠C =90° AB =5cm ，AC =4cm ，∴BC =3cm

(1)符合条件的等边三角形能作出3个，如上图(1)～(3)所示。 (2)(i)如图(1)过E 作ED ⊥AC 于D ，有DE ∥BC ∴△ADE ∽△ACB ，∴DE :BC =AD :AC 设DE=x ，则CD x AD x =

=-33433

,