第二章地图数学基础分析
第二章 地图的数学基础4-9b1
4、多圆锥投影
特征（1）纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。 （2）中央经线为直线，其余经线投影为对称于中 央经线的曲线
第5节
方位投影
一、 方位投影的概念和种类
方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球
表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上 所得到的图形。
二、正轴方位投影
①定义:既不等角也不等 积的投影。其中，等距投 影是在特定方向上没有长 度变形的任意投影。 ②投影条件：
a=1或b=1或m=1 ③变形椭圆 见右图 ④投影特点：面积变形、 角度变形都不大（面积变 形小于等角投影，角度变 形小于等积投影）。 ⑤用途：用于教学地图、 交通地图。
等角投影 等积投影
等距投影
1、伪方位投影
特征: (1）纬线为同心圆; （2）除中央经线为直线外，其余均投影为对称中 央经线的曲线。
2、伪圆柱投影 特征：（1）经线为任意曲线，纬线为平行直线。 （2）无等角投影，只有等积投影和任意投影。因 为，经线和纬线不正交。 （3）除中央经线为直线外，其余均投影为对称中 央经线的曲线 用途：主要应用于编制沿纬线分布的某些世界自然 地图。
开展成平面，就得到圆柱投影。
当圆柱面和地球体相切时，称为切圆柱投影，和 地球体相割时称为割圆柱投影。 由于圆柱和地球体相切相割的位置不同，圆柱投 影又分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。
正轴圆柱投影——圆柱的轴和地球的地轴一致； 横轴圆柱投影——圆柱的轴和地轴垂直并通过地心；
斜轴圆柱投影——圆柱的轴通过地心，和地轴不垂直 不重合。
（墨卡托Mercator投影）
一、按变形性质分类
根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和 任意投影三种。
（一）等角投影（正形投影）
第2章 地图的数学基础习题及参考答案
第二章地图的数学基础习题及参考答案习题一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
3.1：100万的地形图，是按经差2º，纬差3º划分。
4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。
5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。
6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。
7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。
8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。
9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。
10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。
11.J—50—5—E表示1：5万地形图。
12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。
13.等积投影的面积变形接近零。
14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。
15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。
16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。
17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。
18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。
以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。
）19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。
20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。
二、名词解释1.大地体2.水准面3.大地水准面4.椭球体5.天文经度6.天文纬度7.大地经度8.大地纬度9.1956年黄海高程系10.地图投影11.长度比12.长度变形13.面积比14.面积变形15.角度变形16.等变形线17.方位投影18.圆住投影19.圆锥投影20.高斯-克吕格投影21.直线定向22.真子午线23.磁子午线24.磁偏角25.子午线收敛角26.磁坐偏角27.方位角28.象限角29.三北方向三、问答题1.简述地球仪上经纬网的特点。
地图学第2.2章
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
地图学第2章
（二）表示形式
1.数字式 2.文字式 3.图解式 4.其它
1. 数字式
• 用分数表示，分子是1，分母是100 用分数表示，分子是 ，分母是 的整数倍。 的整数倍。 例如 ：1/5000， 1/10000 ，
2.文字式 2.文字式
• 用文字来说明地图的比例尺 图上1cm的相当于实地100 1cm的相当于实地100米 如“图上1cm的相当于实地100米”
三种纬度关系： 三种纬度关系：
地心纬度
大地纬度
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线
三种纬度关系： 三种纬度关系：
在大地测量学中， 在大地测量学中，常以天 文经纬度定义地理坐标。 文经纬度定义地理坐标。 在地图学中， 在地图学中，以大地经纬 度定义地理坐标。 度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中， 小比例尺制图中，通常将椭球 体当成正球体看， 体当成正球体看，采用地心经 纬度。 纬度。
• 4、国家级基础测绘成果的转换与提供 2008年底前 完成1:5 年底前， 1:5万及以小比例尺地形图图幅坐标平 2008年底前，完成1:5万及以小比例尺地形图图幅坐标平 移量计算并提供使用。 移量计算并提供使用。 2009年底前 提供具有三套坐标系（1954年北京坐标系 年底前， 年北京坐标系、 2009年底前，提供具有三套坐标系（1954年北京坐标系、 1980西安坐标系 2000国家大地坐标系 下图廓、 西安坐标系、 国家大地坐标系） 1980西安坐标系、2000国家大地坐标系）下图廓、控制 格网等1:5万坐标参考模片电子版；计算并提供1:1 1:5万坐标参考模片电子版 1:1万地形 格网等1:5万坐标参考模片电子版；计算并提供1:1万地形 图图幅坐标平移量；开展2000国家大地坐标系下的1:5 2000国家大地坐标系下的1:5万 图图幅坐标平移量；开展2000国家大地坐标系下的1:5万 地形图编制印刷。 地形图编制印刷。 2010年底前 完成1:5 年底前， 1:5万 1:25万基础地理信息数据库坐 2010年底前，完成1:5万、1:25万基础地理信息数据库坐 标系的转换并向社会提供。 标系的转换并向社会提供。 2012年底前 完成2000国家大地坐标系下的1:5 年底前， 2000国家大地坐标系下的1:5万地形 2012年底前，完成2000国家大地坐标系下的1:5万地形 图编制印刷并提供使用。 图编制印刷并提供使用。
第二章：地图的数
地球上的经纬线的长度的特点： 第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
地球上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等
第二，在同一经度带内，纬度愈高，
网格面积愈小
地球上的经纬线角度的特点：
在地球上经线和纬线处处都呈直角相交
§2.5 地图的分幅与编号 主要内容：
1. 2. 3. 4. 地图编号 我国基本地形图的分幅和编号 地图分幅的概念和方法 地形图编号的计算方法
一、地图的分幅
1.为什么要分幅？ 区域表达，编图、印刷、保管和使用 的方便。 2.地图分幅的方法 矩形分幅
经纬线分幅
拼接 不拼接
矩形分幅
拼接分幅：
适用：挂图和大于1：2000的地形图
或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，
然后将椭圆柱面展开成平面即成。
中央子午线：与椭圆柱重合的子午线
两种常用的分带方式及中央子午线的计算 6°带：从0°子午线开始每6 °经差为一带，中间的子 午线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=6n-3 n为带号 3°带：从1°30′开始每3 °经差为一带，其中间的子午 线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=3n n为带号
2.4 地图比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影 长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）
d 1 D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
2. 地图比例尺的形式
二、 椭球定位与定向
第二章 地理空间数学基础(1)分解
（1）天文经纬度：
天文经度： 经过观测点子午面与本初子午面的 两面角(时差角） 天文纬度（赤纬）： 观测点的铅垂线方向与赤道平面间的 夹角。 本 初 子 午 线 子 午 线 φ
λ
赤道
天文纬度
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
（2）大地经纬度
大地经度： 参考椭球面上，观测点的大地子 午面与本初子午面的两面角。 东经为正，西经为负 大地纬度： 参考椭球面上，观测点的法 线与赤道平面间的夹角
第二章 地理空间数学基础
主讲：刘瑞娟
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
1. 地球体的量度 对地球体认识及量度的过程 天圆地方说 亚里士多德 首次提出地球是球形的 埃拉托色及 首次估测了地球的大小 我国张遂 最早对地球实测 现代 天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量
2.1 地球空间参考
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
地球体的数学表面：地球椭球体的表面可用数学模型定 义和表述，即地球数学表面。
它是对地球形体的二级
逼近，用于测量计算的基 准面。
§1 地球体与地面参照系统
一．地球体的基本特征
3. 地球体的数学表面
椭球体三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
青 水 岛 准 观 原 象 点 山一．地 Nhomakorabea体的基本特征
地球体形状 地球是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体。
2.1 地球空间参考
一．地球体的基本特征
2. 地球体的物理表面
重力等位面：和重力方向线相垂直的，形成无数个曲面 ，每个曲面上重力位相等。把重力位相等的面称为，即 水准面，也是地球的物理表面 大地体：由大地水准面包裹的球体，称为大地体。 3.地球体的数学表面 地球椭球体：将大地体绕短轴（地轴）飞速旋转，形成 一个表面光滑的球体，即旋转椭球体，或称地球椭球体 。
地图学复习要点归纳
地图学复习要点归纳第⼀章地图与地图学1.地图的基本特征：具有特定的数学法则（地图投影）——地球曲⾯到地图平⾯的转换；采⽤符号系统表⽰地物或现象——表现信息的语⾔⼯具对信息进⾏综合（制图综合）——解决复杂的海量信息和有限的平⾯容量的⽭盾2.地图的定义：地图是空间信息的载体，是将空间信息按特定的数学法则定位于平⾯，并经科学提炼和有机概括后以符号化的形式描述在平⾯上地图形。
3.地图的构成要素：数学要素，地理要素，辅助要素数学要素是地图数学法则的具体表现形式。
决定了地图上物体的分布位置。
（1）坐标⽹：地理坐标⽹：我们常说的经纬度就是⼀种地理坐标，它标定了物体在地球椭球⾯上的位置，可约略认为是物体在地球表⾯上的位置；平⾯直⾓坐标⽹：在⼤⽐例尺地形图上，还绘有棋盘状的⽅格⽹，俗称“⽅⾥⽹”，是地图上的平⾯直⾓坐标⽹，主要⽤于图上快速判定物体间的距离。
(2)⽐例尺：⽐例尺是指地图上线段长度与相应的实地长度之⽐，它标志着地图模型的缩放程度，通过它，我们才能将图上量测的距离换算为实地的距离。
(3)测量控制点：测量控制点是地图测量和绘制时的控制基础，只出现在⼤⽐例尺地形图上。
每个点都有准确的平⾯坐标和地⾯⾼程，是确定周围地物的控制和依据。
地理要素是地图内容的主体部分。
它表⽰了图区范围内各种⾃然和社会经济要素的分布、联系及变化状况，是地图使⽤者阅读的⽬标和主要信息。
辅助要素是⼀些帮助我们阅读和使⽤地图的⼯具，类似于产品的使⽤说明。
包括地图名称、图例、制作和出版单位、出版时间等。
4.地图分类（1）按照内容的不同，地图家庭有两⼤分⽀：普通地图和专题地图。
普通地图：各种基本地理要素（⽔系、地貌、⼟质、植被、居民地、交通⽹、境界等）齐全，且内容详细程度相对均衡，能满⾜多⽅⾯的应⽤需求，因⽽也是最基本的地图，是制作专题地图的基础地图。
专题地图：重在表⽰某⼀种或⼏种专题要素，这些作为地图主题的要素通常⽐普通地图中详细得多，包含了普通地图上所没有⽽属于专业领域特殊需要的内容。
第2章地图数学基础习题及参考答案
第二章地图的数学基础习题及参考答案习题 一、判断题（对的打“√”，错的打“×”） 1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
3.1：100万的地形图，是按经差2o，纬差3o划分。
4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。
5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。
6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。
7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。
8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。
9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。
10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。
11.J—50—5—Ｅ表示1：５万地形图。
12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。
13.等积投影的面积变形接近零。
14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。
15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。
16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。
17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。
18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。
以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。
）19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。
20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。
二、名词解释 1.大地体2.水准面3.大地水准面4.椭球体 5.天文经度6.天文纬度7.大地经度8.大地纬度9.1956年黄海高程系10.地图投影11.长度比12.长度变形13.面积比14.面积变形15.角度变形16.等变形线17.方位投影18.圆住投影19.圆锥投影20.高斯-克吕格投影21.直线定向 22.真子午线23.磁子午线24.磁偏角25.子午线收敛角26.磁坐偏角27.方位角28.象限角 29.三北方向 三、问答题 1.简述地球仪上经纬网的特点。
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第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面
一、地理坐标系——地球椭球面
这是一个纯粹的数学表面，用 简单的数学公式即可表达 ：
x2 y2 z2 a2 a2 b2 1
常用的符号有a、b、α、
e、e，这些符号的含义
叫做地球椭球的基本元
素。
第二章地图数学基础分析
短 半 径
b
0
长半径a
地球椭球面
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面 其中 α 、e、e 的名称和公式为：
1975
6 378 140
6 356 755
1979
6 378 137
6 356 752
第二章地图数学基础分析
扁 率 1∶300.80 1∶299.15 1∶294.98 1∶293.47 1∶297.00 1∶298.30 1∶298.26 1∶298.257 1∶298.257
2-1 空间坐标系
大地坐标的取得首先需要建立合适的大地坐标原 点，以此为测量基准来布设大地控制网，再由此逐点 推算各控制点的坐标，即大地经纬度。根据不同的坐 标原点推算出来的同名点的大地坐标是不同的，因此， 获取地面点的地理坐标信息时，不仅要获得其经纬度 坐标，还要知道该坐标所依据的地球椭球和大地坐标 原点。这些信息都可以从地形图的图外说明中得到。
扁 率 ab
a
第一偏心率
e2
(a2 b2) a2
第二偏心率
e'2
(a2 b2 b2
)
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面
扁率和偏心率都反映了椭球的扁平程度。决定 地球椭球的形状和大小，只要知道上面五个基本元 素中的两个就够了，但其中至少必须有一个是长度 元素（a或b）。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——椭球体的采用
各国根据适合本国的区域地球特点来采用椭球体。 §中国： • 1932年前采用白塞尔椭球，其后采用海福特椭球；
• 1952年采用克拉索夫斯基椭球；
• 1980年进行天文大地网平差时，采用国际大地测量 协会1975年推荐的GRS—75椭球，坐标原点设在陕 西西安——1980国家大地坐标系；
• 现在我国军用地图上所采用的就是“整体平差值的 1954年北京坐标系”，区别于从原苏联1942年坐标 系联测、平差第推二算章地到图数我学基国础的分析“1954年北京坐标系”。
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
纬线圈 起始经线
B——纬度，从赤道起算
P
L——经度，从格林尼治
A
首经线起算
B L
P＇
地理坐标系中某点 的纬度和经度，是用大 地测量的方法测定的， 赤道 故又称这种地理坐标系 为大地地理坐标系，简 称大地坐标系。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
第二章 地图的数学基础（1）
第二章地图数学基础分析
上一节 内容回顾
数字地图制图的流程
地图的分幅与编号
地图学的定义
地图学是研究地理信息的表达、处理和传输的理论和方法，以 地理信息可视化为核心，探讨地图的制作
地图学的发展趋势
第二章地图数学基础分析
地图的数学基础
第二章地图数学基础分析
Aristotle
通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量 等精密测量，发现：
地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤 道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的 椭球体。
第二章地图数学基础分析
地 球 的 自 然 表 面
第二章地图数学基础分析
地球的自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表 面。对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式 表达的曲面。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
目前，最常用的坐标系有两种： §地理坐标系 §平面直角坐标系
高程系根据陆高和水深的计量也分为两种： §陆高高程系 §水深高程系
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系
地理坐标系是一种较古老的按经纬 度计量的坐标系，是由公元前古希腊哲 学家和地理学家亚里士多德首先用于实 践的。这是一种基本坐标系统，被用于 一切基本定位计算，例如基本测量、航 空、航海以及全球定位系统（GPS）的 定位。地理坐标系统的建立与地球体形 和地球表面密切相关。
一、空间坐标系 二、地图比例尺 三、地图定向 四、地图投影
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
人们对空间数据的一个基本应用就是获取事物在 地球空间中的位置信息，由此可了解地物与地理环境 的定位关系，而空间坐标系的选择则是给事物定位的 前提。
确定事物在空间中的位置，需要三个维量，分别 由坐标系统和高程系统来规定，其中坐标系用于确定 地物在地球椭球面和地图平面上的位置，高程系用于 确定陆地地形表面离高程起算面的高度或海底地形表 面离水深起算面的深度。
6 377 276
6 356 075
1841
6 377 397
6 356 079
1866
6 378 206
6 356 534
1880
6 378 249
6 356 515
1909
6 378 388
6 356 912
1940
6 378 245
6 356 863
1972
6 378 135
6 356 750
§地球表面不规则，最大高差2万米；
§接近一个由大地水准面构成的大地体；
§这种形体的表面接近具有微小
短
半
扁率的旋转椭球面，即以椭圆
径
b
自然表面
大 地 水 准 面
的短轴（地轴）为旋转轴的椭 球面。这种椭球面是用来代表
长半径a
0 地球椭球面
地球形状的，因而又名“地球
椭球面”。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
这些基本元素，由于推求的年代不同，测定的 地区不同，其成果很不一致，因此地球椭球的元素 值有多种。
第二章地图数学基础分析
几个著名的地球椭球元素值
椭球名称 埃弗勒斯 白塞尔 克拉克 克拉克 海福特 克拉索夫斯基 WGS—72 GRS—75 GRS—80
年代 长半径a (米) 短半径b (米)
1830