上海市行知中学高三期中数学考试试卷(含答案)(2017.11)
2017届上海市闸北区高三第二学期期中练习文科数学试题及答案
闸北区2017学年度第二学期高三数学（文科）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1. 设幂函数()f x 的图像经过点()8,4，则函数()f x 的奇偶性为____________．2. 已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,12,1m y x x y y 如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于____________．3. 直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是____________．4. 已知定义域为R 的函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称，()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=，则()()12g x g x +=____________．5. 设⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n 数列{}n a 的前n项和为nS ，则=∞→n n S lim ___________．6. 设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB，则向量AB对应的复数所对应的点的坐标为____________．7.若二项式nx ⎛+ ⎝展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．8. 观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…………设第n 行的各数之和为n S ，则2lim_______________.nn S n→∞=9. 从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 10. 已知集合(){},,U x y x R y R =∈∈，(){},M x y x y a =+<，()(){},P x y y f x ==，现给出下列函数：①xy a =；②log ay x = ；③()sin y x a =+；④cos y ax =．若01a <<时，恒有U P C M P = ，则所有满足条件的函数()f x 的编号是____________． 二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11.下列命题中，正确的个数是……………………………………………………………【】（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.A、0B、1C、2D、312.已知函数()2f p<，则必f>，()0=++，若()00f x x x c有…………………【】A、()10f p+> B、()10f p+<C、()10f p+的符号不能f p+= D、()1确定13.如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是…………………………………………………………【】A、（1）、（2）B、（1）、（3）C、（2）、（3）D、（1）、（4）（1）棱长为2的正方体（2）底面直径和高均为2的圆柱（3）底面直径和高均为2的圆锥（4）底面边长为2高为2的直平行六面体三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，AB是圆柱体OO的一条母线，已知BC过1底面圆的圆心O，D是圆O上不与点,B C重合的任意一点，5BC=，3CD=．AB=，5（1）求直线AC与直线BD所成角的大小；（2）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求ACD∆的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．15.（本题满分14分，第（1）、（2）小题各3分；第（3）、（4）小题各4分）请你指出函数()1xf x x=+()x R ∈的基本性质（不必证明），并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．（1） 当x R ∈时，等式()()0f x f x +-=恒成立； （2） 若()()12f x f x ≠，则一定有12x x ≠；（3） 若0m >，方程()f x m =有两个不相等的实数解； （4） 函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点．16. （本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题9分）如图所示，某市拟在长为8km 道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>[]()0,4x ∈的图像，且图像的最高点为(3,S ，赛道的后一部分为折线段MNP ，且120MNP ∠=．（1）求M 、P 两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP 长度的最大值．17. （本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ． （1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 我们把一系列向量()1,2,,i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a满足：()1,11=a ，()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ ()2n ≥．（1）证明：数列{}n a是等比数列；（2）设n θ表示向量1n a - 与na 间的夹角，若21n n b n θ=-，n n b b b S +⋅⋅⋅++=32，求n S ；（3）设2log n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．文科答案一． 填空题1、偶函数；2、53、51,4⎛⎫⎪⎝⎭4、2-5、55186、()1,1-7、478、4 9、b a -10、①②④ 二． 选择题11、B 12、A 13、A 、C 三．解答题 14、（1）arccos5 (5)分 （2）15π (7)分 15、由()110111,01x x f x x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪--<⎪-⎩，参考图像：（1）对于任意的Rx ∈，()()1xf x f x x--==-+，故()()0f x f x -+=恒成立；（2）由于()y f x =为单调递增函数，故如果12x x =，则()()12f x f x =恒成立，因此()()12f x f x ≠，一定有12x x ≠；（3）由图像可知当1m ≥时，y m =与()y f x =无公共点，方程()f x m =无实数根，故结论（3）不正确；（4）()11x x xg x x x x-=-=++，若()0g x =，则只有0x =，故结论（4）不正确. 16、解法一：（1）依题意，有A =……………………………………………1分又34T =， 而2T πω=， 6πω∴= ……………………………1分6y x π∴=当4x =时，233y π==，()4,3M ∴，又()8,0P5MP ∴= ………………………………………3分（2）在MNP ∆中，120MNP ∠= ，5MP =. 设PMN θ∠=，则060θ<< . ……………………………………1分 由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MNθθ==- ，NP θ∴=，()603MN θ=- ， ……………………………………………………3分 故()()6060NP MN θθθ+=+-=+ ……3分060θ<<，∴当30θ=时，折线段赛道MNP最长. ……………………2分 解法二 ：（1）同解法一. （2）在MNP ∆中，120MNP ∠= ， 5.MP =由余弦定理得2222MN NP MN NP COS MNP MP +-⋅⋅∠=，即2225MN NP MN NP ++⋅=； (3)分故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤…4分即3MN NP +≤，当且仅当MN NP=时等号成立. ………………2分亦即，设计为MN NP =时，折线段赛道MNP 最长. 注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①12926N ⎛+⎝⎭；②12926N ⎛- ⎝⎭；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等.17、（1）2QC 的垂直平分线交1QC 于点P，2PQ PC ∴=. ………………1分2111122PC PC PQ PC QC C C +=+===，所以动点P的轨迹W 是以点1C 、2C 为焦点的椭圆. …………………………2分设椭圆的标准方程为22221x y a b +=()0a b >>，则2a =，22c =，2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2212x y +=…………………………………………………………2分a) 直线l 的方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得221132y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，即()2291212160k x kx +--=，易知点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交于两点.……………………………………1分 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()121222416,312912k x x x x k k +==-++，……………………2分假设在y 轴上存在定点()0,D m 满足题设，则()()1122,,,DA x y m DB x y m =-=-. 因为以AB 为直径的圆恒过点D ，则()()1122,,0DB x y DA m x y m ⋅=-⋅-=. (2)分即()()()12120*x x y m ym +--=，因为112211,33y kx y kx =-=-， 所以(*)变为()()()12122121212121221213111333x x y m y m x x y y m y y m kx m kx kx x x kx m ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫=+--=+-++⋅---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()()()()()2121222222189121133186199521m k m k x x k x m m x m m k +⎛⎫=+--+-+++++=⎝⎭+⎪. ………3分由假设得对于任意的k ∈R ，DA DB ⋅=恒成立，即221818096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =. 因此，在y 轴上存在点D ，点D 的坐标为()0,1 (3)分18、（1）1n n a -=== ………4分 （2）11cos 2n n n n na a a a θ--⋅==⋅，4n πθ∴=……………………………………………2分12n n b π∴=- ………………………………………………2分21n n b n θ=-()2121112224n n S n n n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …………2分或()124121231222+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n S n ππππ都算对(3) 12222n nn a --⎫==⎪⎪⎭，22222nn n c --∴=⋅ ……………………………………………………2分假设 {}n c 中的第 n 项最小，由 12c = ，20c =，210.c c ∴≤< 当3n ≥时，有n c <，又由1n n c c +≤可得()()212222122222n nn n -+--+-⋅≤⋅，即12221n n --≥-，22112n n -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭.2670n n -+≥，3n ≥或3n ≤（舍），5n ∴≥. …………2分即有567c c c <<< ； 由1n n c c +≥，得35n ≤≤，又210c c ≤<，541c c c ∴<<< ； (2)分故数列{}n c 中存在最小项，最小项是325322c -=-⋅ (2)分。
上海行知职业高级中学高三数学文测试题含解析
上海行知职业高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A．6个B．9个C．18个D．36个参考答案：C【考点】计数原理的应用．【分析】本题需要分步计数，由题意知1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．首先确定谁被使用2次，再把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，相乘得结果．【解答】解：由题意知，本题需要分步计数1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2=18个不同的四位数．故选C【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列组合和计数原理中经常出现的问题，这种题目做起来限制条件比较多，需要注意做到不重不漏．2. 在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A． B． C．或 D．参考答案：D3. 设函数在R上可导，,则与大小是( )A. B. C. D.不确定参考答案：B略4. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．5海里B．10海里C．5海里D．5海里参考答案：D略5. 若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣ln2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．6. 设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]参考答案：B7. 已知集合，集合，则为A. B. C. D.参考答案：C略8. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（A）15 （B）20 （C）25 （D）30参考答案：B9. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）A．10 B．8 C．6 D．4参考答案：B试题分析：由成等比数列，则,即，解得，代入.考点：1.等差数列；2.等比数列；10. 数列满足，则的值是A．-2 B． C．2D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ．如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为_________参考答案：12. 给定集合，映射满足以下条件：①当且时，；②任取，若有k组解，则称映射含k组幸运数。
上海市宝山区行知中学2019-2020学年高三年级第一学期期中考试数学试卷(解析版)
上海市行知中学2019学年第一学期期中高三年级数学学科试卷一．填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1.已知集合{}|2A x x =≤，3|01x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭则A B ⋂= 【答案】[)2,1-【分析】先解不等式，再求交集2.函数arcsin(21)y x =-的定义域为 【答案】[]0,1【分析】求反正弦定义域3.已知3sin 4cos sin()(0)A A θθθϕ-=+>，则tan ϕ= 【答案】43-【分析】利用辅助角公式求解 4.若22log log 4x y +=，则11x y+的最小值 【答案】12【分析】利用基本不等式5.函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图像的一个对称中心为(,0)6π，则ϕ=【答案】3π-【分析】图像平移 6.已知命题:13p x -<<，命题:314q m x m +<<+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是 【答案】21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】小范围是大范围的充分非必要条件7.在中ABC ∆，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若满足4a =,4A π=的三角形有两个，则b的取值范围是【答案】(4, 【分析】正弦定理8.已知两定点(3,0)A -，B(1,0),如果动点P 满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图像的面积等于 【答案】12π【分析】建系求轨迹方程9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有lim()k n k n a S S →∞=-成立，则公比q = 【答案】12【分析】无穷等比数列求和与等比数列前n 项和公式的运用10.记椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，斜率为1的直线过椭圆的右焦点()22,0F ，且与椭圆在第一象限交于点P ，1215PF F ∠=，则椭圆的长轴为【答案】2【分析】根据正弦定理解三角形即可求出12,PF PF ,相加即为答案 11.不等式()()21430x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出1+1y x =和2243y x x =-+的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≥，都有()()2220ax x b ++≤，则a b +=【答案】3-【分析】考虑1+2y ax =和222y x b =+在0x ≥时的图像关系，要满足120y y ≤即让两个函数不在x 轴同侧出现图像。
上海市行知中学高三数学上学期期中试题沪教版
上海市行知中学高三数学上学期期中试题沪教版高三年级 数学试卷一、 填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．若3cos 5α=-，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=________. 2．直线l 的方程为10223012xy =-，则l 的一个方向向量是____________.3．等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +=⋅=, 则16a a ⋅=_______________. 4．ABC ∆的三边,,a b c 所对角分别是,,A B C ,若33,1,4ABC a c S ∆===，则cos B =_________.5．已知ai +2，i b +（其中R b a ∈,）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则qip bia ++的值为____________. 6. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足()115f =，且对任意的x 都有()()13f x f x +=-，则()2014f =_________.7．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是_________.（结果用分数表示）8．设a 为函数2arcsin 2π-+=x x y 的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是 ．9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中实数a 的取值范围是 _________ ．10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且()*1323,n n a S n N ++=∈记12S a a =+++k a<n a +，则S 的值是__________.11．设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP 的坐标为________． 13．设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a ___ .14．已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()24g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．已知a R ∈，则“2a <”是“2||x x a -+>恒成立”的 （ ）. （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y )20(πϕ<<的图像如下图，则（ ）. （A ）6,21,21πϕω===k （B ）3,21,21πϕω===k（C ）6,2,21πϕω==-=k （D ）3,2,2πϕω==-=k17．函数1211111(),(),,(),,()()n n f x f x f x x x f x x f x +===++则函数2014()f x 是（ ）.（A ）奇函数但不是偶函数 （B ）偶函数但不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数 18．设Q 是有理数，集合{}|2,,,0X x x a b a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：2（1）{}2|x x X ∈（2）|2x x X ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭（3）1|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭（4）{}2|x x X ∈与X 相同的集合是（ ）.（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1，其体积为4，求异面直线PA 与CD 所成角的大小. 20．（本题满分14分,第一小题6分，第二小题8分）已知函数2()[2sin()sin ]cos 3sin 3f x x x x x π=++-．（1）若函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （2）若函数()2y mf x =-在5[0,]12x π∈存在零点，求实数m 的取值范围.21．（本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）如图，相距200海里的A 、B 两地分别有救援A 船和B 船．在接到求救信息后，A 船能立即出发，B 船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A 船早于B 船到达的区域称为A 区，否则称为B 区．若在A 地北偏东45︒方向，距A 地1502海里处的M 点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移． ⑴求A 区与B 区边界线（即A 、B 两船能同时到达的点的轨迹）方程；⑵问：①应派哪艘船前往救援？②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）22．（本题满分16分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分）已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数. （1）已知关于x 的方程()()()log 17a mf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围. 23．（本题满分18分，第一小题4分，第二小题7分，第三小题7分） 对于数列{}n u ，若存在常数0M >对任意*n N ∈恒有：1121n n n n u u u u u u M +--+-++-≤, 则称{}n u 是B -数列.（1）首项为1，公比为12-的等比数列是否是B -数列？请说明理由. （2）若数列{}n a 是B -数列, ①证明：{}2n a 也是B -数列； ②令12nn a a a A n+++=，求证：数列{}n A 是B -数列.上海市行知中学2014—2015学年度第一学期期中考试（答案）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．若3cos 5α=-，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=________43 2．直线l 的方程为10223012xy =-，则l 的一个方向向量是____()2,1-（不唯一）___3．等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +=⋅=, 则16a a ⋅=_______________14 4．ABC ∆的三边,,a b c 所对角分别是,,A B C ,若33,1,4ABC a c S ∆===，则cos B =____32±_____ 5．已知ai +2，i b +（其中R b a ∈,）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则qi p bi a ++的值为____________41314i- 6. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足()115f =，且对任意的x 都有()()13f x f x +=-，则()2014f =____-5_____7．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是____115_____（结果用分数表示）8．设a 为函数2arcsin 2π-+=x x y 的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是 -192 ．9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中实数a 的取值范围是____(]10,11 ．k a<10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，12,a =且()*1323,n n a S n N ++=∈记12S a a =+++n a +，则S 的值是_____32_____ 11．设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________[2,)+∞12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP 的坐标为___()2sin 2,1cos2--_____． 【解析】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的弧长为2. ∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π. ∴DP ＝AP·sin 22π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2， DA ＝APcos 22π⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin 2. ∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 13．设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a 121【解析】当a 最小d 最大，即100,1==d a 时dcb a +相对较小， 此时b c b c c b 5110021001=≥+，当且仅当1001c b =时取“=” 又c b ≤，所以b c 1≥，当c b =时bc最小为1，所以10==c b 从而121,100,10,1=+++∴====d c b a d c b a14．已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()24g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 。
上海市宝山区行知中学2016届高三上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析
2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．13．已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题（每小题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜116．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f ﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号=其||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1=|a，a n+1中n=1，2，3，…（1）若a=，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立，并证明你的结论．2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】交集及其运算．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于4．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]）∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为4，故答案为：4．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】复数求模；二阶矩阵．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是2．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据这组数据的平均数是10，写出平均数的表示式，得到关于x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．【解答】解：∵数据8，9，x，11，12的平均数是10，∴=10∴x=10，∴这组数据的方差是（4+4+0+1+1）=2故答案为：2．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=log2x．【考点】反函数．【分析】由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，求得曲线方程，x2=y（0≤y≤2），由抛物线的性质，即可求得示曲线的准线方程．【解答】解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程（θ为参数）化为普通方程可得x2=y（0≤y≤2），则抛物线的焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为（0，），∴曲线的准线方程，故答案为：．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为1．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为：1．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，=×AB×h=××=．∴S△V AB故答案为：11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．【考点】程序框图．【分析】由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，列举出从集合A中选三个不同的数的情况即可解决问题．【解答】解：由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A={1，2，3，4，5}中选三个不同的数共有10种取法：123、124、125、134、135、145、234、235、245、345，满足条件的6种，所以概率为．故答案为：．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．【解答】解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．13．已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．再由（a n﹣p）（a n﹣p）＜0+1恒成立求得实数p的取值范围．【解答】解：由，得；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==．若n为偶数，则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则==，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．若（a n﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，+1则a1＜p＜a2，即．故答案为：．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【考点】抽象函数及其应用．【分析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），从而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T•f （x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；③由f（x+T）=T•f （x）得2x+T=T2x恒成立；从而可判断；④由f（x+T）=T•f （x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．二、选择题（每小题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据a2＞λ＞b2，将双曲线化成标准形式：，再用平方关系算出半焦距为c=，由此即可得到该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵a2＞λ＞b2，∴a2﹣λ＞0且λ﹣b2＞0，由此将双曲线方程化为∴设双曲线的半焦距为c，可得c==∵双曲线的焦点坐标为（±c，0）∴该双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：B18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】正弦函数的图象．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．（2）分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD ﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程，求得点R的坐标，即可得到圆R的方程；（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．【解答】解：（1）由题圆R的半径为，因为直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，所以，即，①又R（x0，y0）在椭圆C上，所以，②由①②及R在第一象限，解得，所以圆R的方程为：；（2）证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，所以，化简得，同理有，所以k1，k2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f ﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．【考点】反函数；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】（1）由，解得x=，把x与y互换，即可得出y=f﹣1（x）；（2）任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，利用不等式的性质即可证明；（3）设（a，b）是y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点，即，可得a=f（b），b=f （a），对a与b的大小关系分类讨论，再利用反函数的性质即可证明．【解答】（1）解：由，解得x=，把x与y互换，可得y=f﹣1（x）=，x，M=．（2）证明：任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（3）证明：设（a，b）是y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点，即，∴a=f（b），b=f（a），当a=b，显然在y=x上；当a＞b，函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a）＞f（b），∴b＞a矛盾；当a＜b，函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a）＜f（b），∴b＜a矛盾；因此，若y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号=其||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1=|a，a n+1中n=1，2，3，…（1）若a=，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立，并证明你的结论．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题设知=，a2====，由此能求出．（2）由a1=||a||=a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n=0．【解答】解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，=其中n=1，2，3，…a1=，a n+1∴=，a2====，…a k=，则a k===，+1所以．…（2）∵a 1=||a ||=a ，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，==﹣1=a ，所以a 2+a ﹣1=0，解得a=，（a=∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a 2==，所以a 2+2a ﹣1=0，解得a==，（a=﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a 2+3a ﹣1=0，解得a=（a=，舍去）．… 综上，{a=，a=，a=}．…（3）成立．…证明：由a 是有理数，可知对一切正整数n ，a n 为0或正有理数， 可设（p n 是非负整数，q n 是正整数，且既约）．…①由，得0≤p 1≤q ；…②若p n ≠0，设q n =ap n +β（0≤βP n ，α，β是非负整数）则=a +，而由，得=，==，故P n +1=β，q n +1=P n ，得0≤P n +1＜P n ．…若P n =0，则p n +1=0，…若a 1，a 2，a 3，…，a q 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有q ﹣1个，矛盾．…故a 1，a 2，a 3，…，a q 中至少有一个为0，即存在m （1≤m ≤q ），使得a m =0．从而数列{a m }中a m 以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n ，都有a n =0．… （其它解法可参考给分）2017年1月4日。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
2017年行知中学高三数学第一次月考试题 精品
上海市行知中学高三年级第一次月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（满分56分，每小题4分）1．若12200102x x -=-，则x =___________2．抛物线24y x =的焦点坐标是____________3．设集合{}221|cos sin ,,|,M y y x x x R N x x x R i i ⎧⎫==-∈=-<∈⎨⎬⎩⎭为虚数单位，则M N =____________4．已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===，若()//a c b - ，则k =_________5．已知()()()13521,2f n nn f n n a =++++-= ，则数列{}n a 的前10项和等于_____6．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为_______ 7．如图，已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外的一点P ，PD ⊥平面ABCD ，8PD =，连接PA ，则PA 与平面PBD 所 成角的大小_____（用反三角函数表示）8．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦 点，那么双曲线的渐进线方程是________________9．已知函数()31log f x x =-，若a b ≠且()()f a f b =，则a b ⋅=_________ 10．（理）设l 为平面上过点()0,1的直线，l的斜率等可能地取-,0,2-2，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ=__________（结果用最简分数表示）（文）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。
从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为_________（结果用最简分数表示） 11．若函数()()2lg 1f x x ax =--上是()1,+∞增函数，则a 的取值范围是_________ 12．将边长为1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S =梯形的面积梯形的周长,则S 的最大值是_______13．设O 为ABC ∆的三个内角平分线的交点，当6,5===BC AC AB 时，+=λ),(R ∈μλμ，则μλ+=__________ 14．将杨晖三角形中的每一个数rnC 都换成分数()11rn n C +，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形。
行知中学2016学年第一学期高三年级期中考试.DOC.doc
行知中学2016学年第一学期高三年级期中考试.DOC行知中学2016学年第一学期高三年级期中考试一、填空题（每小题4分）1．已知集合，，则．2．函数的定义域是．3．若（是虚数单位），，且为纯虚数，则实数的值为．4．求函数的反函数．5．若，则的取值范围是．6．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高米．7．已知，，，若，则的值是．8．已知实数满足约束条件，则的最大值是．9．设奇函数满足，且，若，则的值为．10．等差数列中，，数列满足，则数列的通项公式为．11．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲丙相邻的概率是．12．已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是．13．已知函数，若对任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是．14．若数列满足，则称数列为“差递减”数列．若数列是“差递减”数列，且其通项与其前项和（）满足（），则实数的取值范围是．二、选择题（每小题5分）15．“”是“函数在上单调递增”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．设，则（）．A．共有项，当时，B．共有项，当时，C．共有项，当时，D．共有项，当时，17．如图所示的是函数和函数的部分图像，则函数的解析式是（）．A．B．C．D．18．已知函数是定义在上不恒为零的函数，且对于任意实数，满足考察下列结论①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列．其中正确的结论共有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分已知各项都为正数的无穷等比数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，且为数列的前项和，求数列的各项和．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数的一系列对应值如下表（1）根据表格提供的数据求函数的解析式和对称中心；（2）若当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中，为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知函数，．（1）若有且仅有两个不同的解，求的值；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若时，求在上的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个阶子数列．已知数列的通项公式为（为常数），等差数列是数列的一个3阶子数列．（1）求的值；（2）等差数列是的一个阶子数列，且（为常数，，求证；（3）等比数列是的一个阶子数列，求证．。
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行知中学高三期中试卷
2017.11 一. 填空题
1.不等式的解集是
a
2.若是单位矩阵，则
z1 为纯虚数，则实数 3.
若z1 ，z2 ，且
z2
4. 已知数列{ }a n 为等差数列，若a a a1 5 9 ，则sin(a a2 8
5.若，且，则a与b的夹角为
6.已知，，，点D 为AB延长线上一点，，联结CD ，
则的面积是
7.已知一个无穷等比数列{ }a n 的每一项都等于它以后各项和的k 倍，则实数k 的取值范围是
8.函数f x( ) 在) 单调递减，且为奇函数，若，则满足
的x的取值范围是
9.已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若函数
) （）的图像关于直线0对称，则tan
x
10. 在矩形 ABCD 中，，
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
若
AD
，则
的最大值为 11. 已知 f x( ) ，对任意 x
，恒有
成立，且当
时，
，则方程
x 在区间[1,100]上所有根的和为
12. 我们把一系列向量a i （
）按次序排成一列，称之为向量列，记作{ }a n ，
已知向量列{ }a n 满足：a 1 ，a
n
y n ,
n
,x )
（n
），
n 2
设
n 表示向量
a
与a n 间的夹角，若b n
n ，对于任意正整数
n ，不等
式
log (1a
恒成立，则实数a 的取值范围是
二. 选择题
13.
已知全集
，
，
，则M (C
N U
（ ）
A. {1}
B. {1,2}
C. {2}
D. {0,1,2}
14. 已知等比数列{ }a n 前n 项和为S n ，则下列一定成立的是（ ）
A. 若a 3
，则a 2017
B. 若a 4
，则a 2018
C. 若a 3
，
则a 2017
D. 若a 4
，则a 2018
1
2
15.已知 2 1)(x2 2)(x2 3)(x2 4)(x2
5) ，设集合1, 29，c c1 2
，则c c1 5为（）
3 4 5
A.20
B. 18
C. 16
D. 14
16.已知平面直角坐标系中两个定点E(3,2) 、，如果对于常数，在函数
，的图像上有且只有 6 个不同的点P，使得
成立，那么的取值范围是（）
A. )
B. ,11)
C.
D.
三. 解答题
1
17. 已知， .
2 5
（1）求的值；
2 x x x 2 x
（2）求2 2 2 2 的值.
18. 已知数列{ }a n 中，a3 是a2、a4的等差中项，且满足对任意*，都有a
，数列{ }a n 的前n项和记为S n .
n
（1）求{ }a n 的通项公式；
1
（2）若b n 2 S n ，求数列{ }的前n项和T n 以及limT n .
b b
19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元，该建筑物每年
k
的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：
（），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设f x( ) 为隔热层建造费用与
20 年的能源消耗费用之和.
（1）求k 的值及f x( ) 的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f x( ) 达到最小，并求最小值.
20. 已知，函数f x( ) 2 .
（1） 若函数 f x( ) 的图像关于原点对称，求a 的值； （2） 当时，解不等式
2
x 2 ；
（3） 设，函数 f x( ) 在区间(2,3) 内存在零点，求实数a 的取值范围.
21. 设S n 是数列{ }a n 的前n 项和，对任意
*都有
2S n
1 n
p （其中k 、 b 、 p 都是常数）.
（1） 当，， 时，求S n ； （2） 当
，
，
时，若a 3
，a 9
，求数列{ }a n 的通项公式；
（3） 若数列{ }a n 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭
数列”，当，，
时，a 2
1
，试问：是否存在这样的
“封闭数列” { }a n ，使
*，都有
S n
，且
，若存在，求数列
{ }a n
的首得对任意
12 S 1 S 2 S n 18 项a 1的所有取值的集合，若不存
在，说明理由.
参考答案
一. 填空题
8
1. [1,2)
2.
3.
4. 5.
3
3 2 3
6. 7. 8. [1,3] 9. 2
11. 12.
二. 选择题
13. D 14. C 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）；（2） .
18.（1）a n n ；（2） .
19.（1）（）；（2）70.
35
20.（1）a ；（2）；（3） .
42
3n
21.（1）S n ；（2）a n ；（3）{4,6,8,10}.
2。