人教版数学九年级上册实际问题与一元二次方程
2
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
练习2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的 百分率（精确到0.1%） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 ， 根据题意，得 2
课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
分析： 第一次
a
aX10% 第二次
a+aX10%= a（1+10%）
a（1+10%）X10% 第三次
a(1+10%)+ a(1+10%) X10% = a（1+10%）2
例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m
的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是 120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总 造价是8640元,求池底的边长. 分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm. 2 根据题意得: 240x 120 2.5x 4 8640
5、 在长方形钢片上冲去一个
X
X
30cm
长方形，制成一个四周宽相等的 长方形框。已知长方形钢片的长 为30cm，宽为20cm,要使制成的 2 长方形框的面积为400cm ，求这 个长方形框的框边宽。
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25+100=0 得 x1=20, x2=5 当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
练习4.市第四中学初三年级初一开学时就参 加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶 段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之 后逐年增加，到三年级结束共有183人次在 市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年 增长率.
一元二次方程及应用题
1、直角三角形问题：（勾股定理） 2、体积不变性问题： 3、数字问题： ab 10a b
我发现生活中„„ 我还感到疑惑的是„„
■
■
质点运动问题
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度; 3）常找的数量关系——
面积，勾股定理等； 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地 上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向， 一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地 分成大小相等的六块试验地，要使试验地面 积为570m² ，问道路的宽为多少？
例3、求截去的正方形的边长
用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要 在它的四角截去四个相等的小正方形，折成 一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 180cm２，为了有效地利用材料，求截去的 小正方形的边长是多少cm？
20 32
3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形， 再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米，那么 剪去的正方形边长为多少?
4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、 宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵 三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米， 求小道的宽。（精确到0.1米）
x
a(1 x) 1.2a
解这个方程，得
30 x 1 5 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 x 1 30 不合题意，舍去
5
30 x 1 9.5% 5
答：每次升价的百分率为9.5%.
练习3.小红的妈妈前年存了5000元一年期 的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣 除利息税（利息税为利息的20%），共取得 5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
a(1+x) 2
a
增长21%
a+21%a
a(1+x) 2 =a+21%a
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则 a(1+x) 2 =a+21%a a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1
答:平均每年增长的百分率为10% ．
练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次 降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 1 x 2 1
整理后，得x2-11x+30=0
2
解这个方程，得x1=5,x2=6 22 由x1=5得 x 6 (与题设不符，舍去) 2 22 由x2=6，得 x5 2 答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上， 修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部 分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路 的宽应为多少？
32m
xm
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ， 耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米 。 相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2 即 32 x 20 x 540 .
x 2 52 x 100 0, x1 50, x2 2 化简得：
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
耕地面积= 32 20 100 = 540（米2） 答：所求道路的宽为2米。
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
xm
如图，设路宽为x米， 20m 横向路面为 32x 米2 ， 纵向路面面积为 20x 米2 。
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。
3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少？
答:这个长方形框的框边宽为5cm
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ?
解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得 x (1+x) =190×2 2 X＋ X －380＝0 解得X1＝19，
X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
列一元二次方程解应题
补充练习： （98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
18米
2米
通过这节课的学习:
■
我学会了„„
■
使我感触最深的是„„
求截去的正方形的边长 分析 设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列 出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式．结合 图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式．
28-2x 20cm ２８cm 20-2x
求截去的正方形边长
解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得
(28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0 解这个方程，得：x1=5,x2=19 经检验：x2＝19不合题意，舍去． 所以截去的正方形边长为５cm.
而是从其中减去重叠部分，即应是 32 x 20 x x 2 米2 所以正确的方程是：32 20 32 x 20 x x 2 540
2 化简得，x 52 x 100 0, x1 50, x2 2.
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为： 32 2 20 2 22 =100 (米2)
x
700--x 3
新方案
700-x+2x x
原方案
x+2x
2 3
课堂练习:列方程解下列应用题 1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽 分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上 一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积 的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到 0.1厘米） 2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽 的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余 下的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米， 路宽为多少？
20m
32m
分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、
x米
20m
如图，设道路的宽为x米， 22m
，
所列的方程是不是 32 20 (32 x 20 x) 540 ？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是 32 x 20 x 米2，
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年 的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的 百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为 a）
人教版九年级上册实际问题与一元二次方程课件
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%． 答：增长率为10%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
变化率与销售问题
1．某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份 的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x， 则依题意所列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
心志要坚，意趣要乐。
器让大自者 己声的个必内闳心．，藏志着已高一者条知意巨必龙每远，。既个是一种玩苦刑具，也的是一固种乐定趣。成本为360元，问这种玩具的销
售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 不要志气高大，倒要俯就卑微的人。不要自以为聪明。
燕雀安知鸿鹄之志哉。
000元？
志当存高远。
人不可以有傲气，但不可以无傲骨
思考：什么是下降额？ 什么是下降率？
下降额=下降前的量-下降后的量 增长额=增长后的量-增长前的量
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种 药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1－x）2元，于是有
解方程，得: 5000（1－x）2=3000
x1≈0.225，x2≈1.775 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率
2有0志00不0元在？年高根，无据志空活问百岁题。 的实际意义，甲产品成本的年平均下降
例：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.
率约为30％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
2、为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作， 盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”， 为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学 生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如 果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同， 求这个增长率.
人教版九年级数学《实际问题与一元二次方程》(数学人教九上)
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【合作互动】
问题2 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的 小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
[解]设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为1+x+x2=91, 解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去), 答：每个支干长出9个小分支.
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【合作互动】
问题2 [变式练习]例2 元旦当天，小明将一条短信发送给了若干人，每个收到短 信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157 人，问小明给多少人发了这条短信？
【内化导行】
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问题3 1.根据题意，填空: (1)某农户的粮食产量，平均每年的增长率为10%，第一年的产量是6万kg，第二
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(352x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中 墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进 行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方 程的根的情况可得到结论.
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解:(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由
（1）知AB=35 x m,从而有x·35 x =160,方程整理为x2-35x+320=0.
2
2
此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用
35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
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【内化导行】
人教九年级数学上册- 实际问题与一元二次方程(变化率问题和销售问题)(附习题)
推进新课
知识点1 有关增长/下降率的问题
探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在 生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成 本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
解：设平均每月的增长率为x. 依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122. 解得x1=0.25，x2=-3.25(舍去). 二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册) 三月份发行图书32×(1+0.25)2=50(万册)
答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.
课堂小结
下降率是下降额与原成本的比值；
原成本－终成本
下降率=
原成本
×100%
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则 下降一次后的成本变为 5000(1-x) ，再次下降 后的成本变为 5000(1-x) 2 .（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等 量关系 终成本=原成本×(1－下降率)2 可得方 程 5000(1-x)2=3000 ，解这个方程，得到方程的 两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？ 为什么？
21.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
变化率问题和销售问题
新课导入
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元， 生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技 术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药 品成本的年平均下降率较大?
人教九年级数学上册-实际问题与一元二次方程(传播问题和数字问题)(附习题)
答：共有10个队参加了比赛.
4. 有一人利用手机发送短信，获得信息的人 也按他的发送人数发送了该条短信息，经
过两轮短信发送，共有90人的手机上获得 同一信息，则每轮平均一个人向多少人发
送短信？ 解：设每轮平均一个人向x人发送短信. 由题意，得x+x2=90. 解得：x1=9，x2=-10(舍去). 答：每轮平均一个人向9个人发送短信.
答：这个两位数是82或28.
课堂小结
两个要点： 传染源和传播速度
传
播 问 题
传染轮数 与传染总 人数之间
设1个人每次可以传染x人 第一轮：(1+x)人 第二轮：(1+x)+x(1+x)人
的关系： 第三轮：(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人
第n轮： (1+x)+x(1+x)+…x(1+x)n=(1+x)n人
知识点 列一元二次方程解决实际问题
有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人 传染了几个人？
你能解决这个问题吗？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第一轮传染后有 x+1 人患了流感. 第二轮传染中的传染源为 x+1 人，第二轮传染后 有 x+1+x(x+1) 人患了流感. 根据等量关系 “ 两轮传染后，有121人患了流感 ” 列出方程 x+1+x(x+1)=121 .
21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 实际问题与一元二次方程（1）
人教版九年级数学上册2实际问题与一元二次方(互赠问题、握手问题)课件
感染问题：总次数=1+x+x(1+x) =(1+x)²（x≥2，且x为整数）
主 干 问 题 ： 总 次 数 = 1 + x + x ²（ x ≥ 2 ， 且 x 为 整 数 ）
区分在于传播源是否进入下一轮传播！
谢谢
一、互赠问题 练1 双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红 包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包， 若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，该群一共 有多少人？
解：设该群一共有 x 人． 依题意，得 x(x－1)＝156. 解得 x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝13. 答：这个群一共有 13 人．
解：(1)根据题意，得n（1＋n） ＝300. 2
整理，得 n2＋n－600＝0. 解得 n1＝－25，n2＝24. ∵n 为正整数，∴n＝24. ∴300 是前 24 行的点数的和．
拓展 (2)三角点阵前n行的点数和能是600吗？
如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程，说明理由．
(2)不能．理由如下：
二、握手问题（1种） 练2 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共有比 赛55场，求总共有多少支球队参加比赛．
解：设总共有 x 支球队参加比赛． 根据题意，得12 x(x－1)＝55. 整理，得 x2－x－110＝0. 解得 x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝11. 答：总共有 11 (n≥2，且n为正整数)
R版九年级全一册
互赠、握手(单循环比赛)问题解题技巧： (1)互赠问题：总次数＝n(n－1)(n≥2，且 n 为正整数)； (2)握手(单循环比赛)问题：总次数＝n（n2－1）
(n≥2，且 n 为正整数).
实际问题与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
甲
5000元 3000元
乙
6000元 3600元
知识讲解
难点突破成本Fra bibliotek药品两年前的成本
现在的成本
年平均下降额
年平均下降率
甲
5000元 3000元 1000元
？
乙
6000元 3600元 1200元
？
知识讲解
难点突破
本年成本=前一年成本-前一年成本×年下降率 =前一年成本×(1-年下降率)
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x
2011年平均每公顷产量为 2012年平均每公顷产量为
7200(1+x) kg 7200(1+x)2 kg
由此可列方程： 7200(1+x)2=8450
知识讲解
难点突破
探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的 成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
由题意得
5000(1-x)2=3000
年平均下降 率应为小于1
解方程，得
(1-x)2=0.6
的正数
1 x 0.6
x1 1 0.6, x2 1 0.6
x1 0.225, x2 1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
知识讲解
难点突破
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
知识讲解
难点突破
成本
药品
年平均下降额
年平均下降率
甲
1000元 22.5%.
实际问题与一元二次方程-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)
第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=1202．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=120003．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．244．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=9305．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=50006．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=120【答案】D【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．2．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000【答案】D【解析】由题意可得：2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，确定问题的等量关系是解题关键. 3．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．24【答案】A【解析】（x−3）（x−4）=0，x−3=0或x−4=0，所以x1=3，x2=4，∵菱形ABCD的一条对角线长为6，∴边AB的长是4，∴菱形ABCD的周长为16．4．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=930【答案】D【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x−1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.5．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000【答案】A【解析】设教育经费的年平均增长率为x，则2017的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）万元，2018的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．故选A．【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．6．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．【答案】（x＋1）2＝2【解析】设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，由题意得：整理得：故答案为：8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．【答案】2【解析】设人行道的宽度为x米，根据题意得，（36−3x）（24−2x）=600，化简整理得，（12−x）2=100．解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是2 m．故答案为：2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600 m2得出等式9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．【答案】100（1−m）2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【答案】（1）（40−x），（20+2x）；(2)20【解析】（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，∴现在每件的利润为(40−x)元，每天可以售出件.故答案为：(40−x)，.（2）由题意，得(40−x)(20+2x)=1200，解得：x1=10 ，x2=20 ,为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.答：如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了20元.11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【答案】（1）；；（2）【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）利用长方形的面积减去四个正方形的面积，列出代数式；（2）根据剩余部分与减去部分面积间的关系，列出一元二次方程．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．【答案】（1）田丰每次价格下调的百分率是20%；（2）小李选择方案一购买更优惠．【解析】（1）设田丰每次价格下调的百分率为x．由题意得：15（1−x）2=9.6．解这个方程，得：x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：田丰每次价格下调的百分率是20%．（2）小李选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000−400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小李选择方案一购买更优惠．。
人教版九年级上册数学实际问题与一元二次方程(如何列方程)
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
1.一个长方形的长比宽多1cm，面积 是132cm2，长方形的长和宽各是多 少？
2.有一根1m长的铁丝，怎样用它围 成一个面积为0.06m2 的长方形？
解：设每件应减少x元
每件商品的利润 × 销量 = 总利润
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
如何列方程：
第一步：找关键词或运用平 时所学的公式列出等量关系
第二步：把等量关系翻译成方程
要用一条24cm长的铁丝围成一个斜边长为10cm的 直角三角形，则直角三角形的两条直角为多少？
A
勾股定理：
AB2 + BC2 = AC2
10cm
设AB为x，BC为
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
B
C
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
3.一个直角三角形的两条直角边相差 5cm，面积是7cm2，求斜边长
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
如何列方程：
第一步：找关键词或运用平 时所学的公式列出等量关系
第二步：把等量关系翻译成方程
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
人 教 版 九 级 上册数 学实际 问题与 一元二 次方程 (如何列 方程)
精品店出售一批商品，若每件利润a元， 销售量为（a+2）件，商店共盈利120元， 每件商品的利润是多少？
新人教版九年级上《实际问题与一元二次方程》
• 列方程：1+x+x(1+x)=121 • 解方程，得 • x1= 10 x 2= -12 • 平均一个人传染了（ 10 ）个人 。 思考:如果按照这样的传染速度，三 轮传染后有多少人患流感？
121+10*121
• 青山村种的水稻2001年平均每公 顷产7200 • 千克，2003年平均每公顷产 8450千克，求 • 水稻每公顷产量的年平均增长率 • 解：设水稻每公顷产量的年平均 增长率 为x • 列方程：7200（x+1）2=8450
22.3实际问题与一元二次方程
探究1：有一人患了流感 ，经过两轮传染后共 有121人患了流感，每 轮传染中平均一个人 传染了几个人？
• 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人。开始有一人换了流感， 第一轮的传染源就是这个人，他 传染了 x个人，用代数式表示， 第一轮后共有（ ）人换了流感 ；第二轮传染中，这些人中的每 个人又传染了x个人，用代数式 表示，第二轮后共有（ ）人 患了流感。Fra bibliotek探究2
• 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1 吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进 步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生 产1吨乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本 的年平均下降率较大？
• 解：设甲种药品成本的年平均下 降率为x，则一年后甲种药品成 本为5000（1-x）元，两年后甲 种药品成本为5000（1-x）2元， 于是有 • 5000（1-x）2=3000 • 解方程，得 • x1≈ 0.225 x2≈1.775
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9