2020北师大版七年级数学下册1.5 平方差公式同步练习解析版
2020北师大版七年级数学下册1.5 平方差公式同步练习一．选择题（共12小题）1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．102．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）A．（2x﹣3y）（3y﹣2x）B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）C．（x﹣2y）（2y+x）D．（x+3y）（x﹣3y）3．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）4．下列各式中能用平方差公式是（）A．（x+y）（y+x）B．（x+y）（y﹣x）C．（x+y）（﹣y﹣x）D．（﹣x+y）（y﹣x）5．（﹣5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b26．字母表达式x﹣y2的意义为（）A．x与y的平方差B．x与y的相反数的平方差C．x与y的差的平方D．x与y的平方的差7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）28．若M•（3X﹣Y2）＝Y4﹣9X2，那么代数式M应该是（）A．﹣（3X+Y2）B．﹣Y2+3X C．3X+Y2D．3X﹣Y29．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2+2ab+b2＝（a+b）210．若a﹣b＝3，a2﹣b2＝﹣9，则a+b的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣311．代数式（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）的结果为（）A．0B．4m C．﹣4m D．2m412．如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2二．填空题（共8小题）13．计算2019×2017﹣20182＝．14．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝．15．计算（1+x）（x﹣1）（x2+1）的结果是．16．化简（x+y）（x﹣y）＝．17．若a2﹣b2＝80，a+b＝10，则a﹣b＝．18．在①（2x+3y）（2y﹣3x）；②（2x﹣3y）（3y+2x）；③（﹣2x+3y）（2x﹣3y）；④（﹣2x ﹣3y）（﹣3y+2x）；⑤（﹣2x+3y）（3y﹣2x）中，能用平方差公式计算的是．（填编号）19．计算（x﹣y）（﹣y﹣x）的结果是．20．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为．三．解答题（共6小题）21．运用乘法公式计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）．22．1001×999﹣999223．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．24．化简：（﹣x+y）（﹣x﹣y）25．【观察】51×49＝（）2﹣（）2102×98＝（）2﹣（）22001×1999＝（）2﹣（）2【发现】根据阅读回答问题（1）请根据上面式子的规律填空：998×1002＝2﹣2（2）在上述乘法运算中，设第一个因数为m，第二个因数为n，请用有m、n的符号语言写出你所发现的规律，并证明．【应用】请运用【发现】中总结的规律计算：59.8×60.226．如图1，在一个边长为a的正方形木板上锯掉一个边长为b的正方形，并把余下的部分沿虚线剪开拼成图2的形状．（1）请用两种方法表示阴影部分的面积：图1得：；图2得；（2）由图1与图2面积关系，可以得到一个等式：；（3）利用（2）中的等式，已知a2﹣b2＝16，且a+b＝8，则a﹣b＝．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．10【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．故选：C．2．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）A．（2x﹣3y）（3y﹣2x）B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）C．（x﹣2y）（2y+x）D．（x+3y）（x﹣3y）【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算，故选：A．3．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．4．下列各式中能用平方差公式是（）A．（x+y）（y+x）B．（x+y）（y﹣x）C．（x+y）（﹣y﹣x）D．（﹣x+y）（y﹣x）【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2，故选：B．5．（﹣5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2【分析】根据平方差公式的逆用找出这两个数写出即可．【解答】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，∴应填：﹣5a2﹣4b2．故选：C．6．字母表达式x﹣y2的意义为（）A．x与y的平方差B．x与y的相反数的平方差C．x与y的差的平方D．x与y的平方的差【分析】x2可叙述为x的平方，y2可叙述为y的平方，所以字母表达式x﹣y2的意义为x 与y的平方的差．【解答】解：字母表达式x﹣y2的意义为x与y的平方的差．故选：D．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．8．若M•（3X﹣Y2）＝Y4﹣9X2，那么代数式M应该是（）A．﹣（3X+Y2）B．﹣Y2+3X C．3X+Y2D．3X﹣Y2【分析】根据整式的除法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：M＝（Y4﹣9X2）÷（3X﹣Y2），＝（Y2﹣3X）（Y2+3X）÷（3X﹣Y2）＝﹣（Y2+3X），故选：A．9．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2+2ab+b2＝（a+b）2【分析】由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解．【解答】解：由图1可知剩余部分的面积＝a2﹣b2，由图2可求长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．10．若a﹣b＝3，a2﹣b2＝﹣9，则a+b的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【分析】利用平方差公式解答．【解答】解：∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝﹣9，∴（a+b）（a﹣b）＝3（a+b）＝﹣9，∴a+b＝﹣3．故选：D．11．代数式（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）的结果为（）A．0B．4m C．﹣4m D．2m4【分析】根据平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算．【解答】解：（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）＝（m2﹣4）（m2+4）﹣（m4﹣16）＝（m4﹣16）﹣（m4﹣16）＝0．故选：A．12．如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：左边阴影面积为a2﹣b2右边梯形面积为所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故选：A．二．填空题（共8小题）13．计算2019×2017﹣20182＝﹣1．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：2019×2017﹣20182＝（2018+1）×（2018﹣1）﹣20182＝20182﹣1﹣20182＝﹣1．故答案为：﹣114．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝9y2﹣4x2．【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝（﹣3y）2﹣（2x）2＝9y2﹣4x2．故答案为：9y2﹣4x215．计算（1+x）（x﹣1）（x2+1）的结果是x4﹣1．【分析】根据平方差公式化简然后计算即可得出答案．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）（x2+1）＝（x2﹣1）（x2+1）＝x4﹣1，故答案为：x4﹣1．16．化简（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2．【分析】根据平方差公式求出即可．【解答】解：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，故答案为：x2﹣y2．17．若a2﹣b2＝80，a+b＝10，则a﹣b＝8．【分析】先根据平方差公式进行变形，再求出a﹣b即可．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝80，a+b＝10，∴a﹣b＝＝8，故答案为：8．18．在①（2x+3y）（2y﹣3x）；②（2x﹣3y）（3y+2x）；③（﹣2x+3y）（2x﹣3y）；④（﹣2x ﹣3y）（﹣3y+2x）；⑤（﹣2x+3y）（3y﹣2x）中，能用平方差公式计算的是②④．（填编号）【分析】本题主要考察平方差公式，形如：（a+b）（a﹣b）＝{a}^{2}\;\dollar +b2可知：②④符合平方差公式形式故答案为：②④．19．计算（x﹣y）（﹣y﹣x）的结果是y2﹣x2．【分析】相同的项是﹣y，相反的项是x、﹣x，利用平方差公式求解即可．【解答】解：（x﹣y）（﹣y﹣x）＝（﹣y）2﹣x2＝y2﹣x2．20．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为（8m+12）．【分析】先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出长方形的长，即可求出答案．【解答】解：∵（2m+3）2＝4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，∴长方形的长为：[4m2+12m+9﹣（m+3）2]÷m＝3m+6．∴这个长方形的周长为：2（3m+6+m）＝8m+12．故答案为：（8m+12）．三．解答题（共6小题）21．运用乘法公式计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）．【分析】分别根据平方差公式以及多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可．【解答】解：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）＝（2x）2﹣1﹣（4x2+3x﹣24x﹣18）＝4x4﹣1﹣4x2﹣3x+24x+18＝21x+17．22．1001×999﹣9992【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：原式＝（1000+1）（1000﹣1）﹣9992＝10002﹣1﹣9992＝（1000+999）（1000﹣999）﹣1＝1999﹣1＝1998．23．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为3．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；【应用】（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2∴2m﹣n＝3故答案为3．（2）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝505024．化简：（﹣x+y）（﹣x﹣y）【分析】原式利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式＝x2﹣y2．25．【观察】51×49＝（）2﹣（）2102×98＝（）2﹣（）22001×1999＝（）2﹣（）2【发现】根据阅读回答问题（1）请根据上面式子的规律填空：998×1002＝（）2﹣（）2（2）在上述乘法运算中，设第一个因数为m，第二个因数为n，请用有m、n的符号语言写出你所发现的规律，并证明．【应用】请运用【发现】中总结的规律计算：59.8×60.2【分析】【发现】（1）根据规律解答即可；（2）规律：，根据完全平方公式证明即可；【应用】根据规律计算59.8×60.2即可．【解答】解：【发现】（1）998×1002＝﹣，故答案为：（），（）；（2）规律：，证明：右边＝＝＝＝mn＝左边，∴；【应用】59.8×60.2＝＝602﹣0.22＝3600﹣0.04＝3599.96．26．如图1，在一个边长为a的正方形木板上锯掉一个边长为b的正方形，并把余下的部分沿虚线剪开拼成图2的形状．（1）请用两种方法表示阴影部分的面积：图1得：a2﹣b2；图2得（a+b）（a﹣b）；（2）由图1与图2面积关系，可以得到一个等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）利用（2）中的等式，已知a2﹣b2＝16，且a+b＝8，则a﹣b＝2．【分析】（1）依据阴影部分的形状，即可得到面积的表达式；（2）依据图中阴影部分的面积相等，即可得到等式；（3）依据平方差公式进行计算，即可得出结论．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（2b+2a）（a﹣b），即（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由图1与图2面积关系，可以得到一个等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）∵a2﹣b2＝16，且a+b＝8，∴（a+b）（a﹣b）＝16，即8（a﹣b）＝16，∴a﹣b＝2．故答案为：2．。
北师大版数学七年级下1.5《平方差公式》测试(含答案及解析)
时间：90 分钟 总分： 100
题号（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列各式中，能运用平方差公式进行计算的是( )
A. (2������ + 3������)(2������ ‒ 3������) C. (������ + ������)( ‒ ������ ‒ ������)
4. 下列式子可以用平方差公式计算的是( )
A. (������ ‒ 4)(4 ‒ ������) C. (������ + ������)( ‒ ������ ‒ ������)
5. 下列运算正确的是( )
B. ( ‒ ������ ‒ 3)(3 ‒ ������) D. (2������ ‒ 4)( ‒ 4 + 2������)
A. ������8 + 1
B. ������8 ‒ 1
C. (������ + 1)8
D. (������2 ‒ 7������) D. (������ ‒ 1)8
9. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”，
按你的理解，下列 4 个数中不是“智慧数”的是( )
A. 2002
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7. 与(7������ ‒ ������2)之积等于������4 ‒ 49������2的因式为( )
A. (7������ ‒ ������2)
B. (7������ + ������2)
C. ( ‒ 7������ ‒ ������2)
8. 计算(������4 + 1)(������2 + 1)(������ + 1)(������ ‒ 1)的结果是( )
2020-2021学年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式同步测试题
1.5 平方差公式 同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 下列式中能用平方差公式计算的有（ ）①(x −12y)(x +12y)；②(3a −bc)(−bc −3a)；③(3−x +y)(3+x +y)；④(100+1)(100−1)A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 如图，边长为(m +2)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，其面积是( )A. 2m +4B. 4m +4C. m +4D. 2m +23. 下列各题中，能用平方差公式的是（ ）A.(a −2b)(−a +2b)B.(−a −2b)(−a −2b)C.(a −2b)(a +2b)D.(−a −2b)(a +2b)4. 下列能用平方差公式计算得是（ ）A.(−x +y)(x −y)B.(y −1)(−1−y)C.(x −2)(y +2)D.(2x +y)(2y −x)5. 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的有（ ）A.(x +12)(−x −12)B.(−2+m)(−m −2)C.(−2a +2b)(2a −2b)D.(3x 3−3y)(3x +3y 3) 6. 计算(−x +2y)(2y +x)的结果是（ ）A.4y −xB.4y +xC.4y 2−x 2D.2y 2−x 27. 运用平方差公式计算，错误的是（ ）A.(a +b)(a −b)=a 2−b 2B.(x +1)(x −1)=x 2−1C.(−a +b)(−a −b)=a 2−b 2D.(2x +1)(2x −1)=2x 2−18. 已知2a+3b=5，2a−3b=3，那么(4a2−9b2)2的值是（）A.15B.30C.225D.229. 下列各式中能用平方差公式计算的是（）A.(2a+b)(a−2b)B.(a+2b)(a−2b)C.(2a+b)(−2a−b)D.(b−2a)(2a−b)10. 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a−b)2=a2−2ab+b2C.a2−b2=(a+b)(a−b)D.(a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 计算：(−1−2a)(2a−1)=________．12. 若x+y=1007.5，x−y=2，则代数式x2−y2的值是________．13. 化简：(x+1)(x−1)+1=________14. 已知：x+y=4，x2−y2=20，则x−y的值是________．15. 若(2x−3y)⋅M＝9y2−4x2，则M表示的式子为________．16. 计算9.8×10.2=________.17. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是________．18. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是________．三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）19. 计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−11002)．20. 利用整式乘法公式计算：899×901+1．21. 乘法公式的探究及应用．（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②(2m+n−p)(2m−n+p)22. 图①是一个边长为2a的正方形花坛，由于城市建设的需要，现将该花坛的一组对边的长度分别减少b，另一组对边的长度分别增加b（2a>b），改造成图②的矩形花坛．你认为改造前后的花坛面积有变化吗？若没有变化，请说明理由；若有变化，请求出现在的花坛面积比原来增加或减少了多少？23. 观察下列等式：(x−1)(x+1)=x2−1(x−1)(x2+x+1)=x3−1(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1…运用上述规律，试求26+25+24+23+22+2+1的值．24. 观察下列算式：39×41=402−12，48×52=502−22，65×75=702−52，83×97=902−72…，请你把发现的规律用字母表示出来．（给定字母m，n）25. 如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由．。
2020-2021学年 北师大版七年级数学下册 1.5 平方差公式 同步测试题
1.5 平方差公式同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）1. 下列运算可直接运用平方差公式的是（）A.(a+b)(−a+b)B.(a+b)(−a−b)C.(a+b)(b+a)D.(a−b)(b−a)2. 下列可用平方差公式计算的是（）A.(2a−3b)(−2a+3b)B.(−4b−3a)(−3a+4b)C.(a−b)(b−a)D.(a−b−c)(−a+b+c)3. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（）A.(2x2y−1)(−2x2−1)B.(a3−b3)(b3−a3)C.(a+b)(a−b)D.(a2+b2)(b2−a2)4. 为了便于直接应用平方差公式计算，应将(a+b−c)(a−b+c)变形为（）A.[(a+b)−c][(a−b)+c]B.[a+(b−c)][a−(b−c)]C.[(a−c)+b][(a+c)−b]D.(a+b−c)[(a−b)+c]5. 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)得（）A.28−1B.210−1C.216−1D.232−16. 如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b−ab2的值为()A.60B.50C.25D.157. 如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（）A.(6a+15)cm2B.(6a+9)cm2C.(3a+15)cm2D.(5a+15)cm2二、填空题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）8. 若a−b=2，a+b=3，则a2−b2=________．9. 如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式________.10. 计算：(x+2)(x−2)=________．11. 已知x2−y2=4，那么(x−y)2(x+y)2=________．12. 若(−x2−4y2)⋅A＝16y4−x4，则A＝________．13. 计算(−m−n)(n−m)=________．14. (x+1)(1−x)=________．15. 观察图，利用图形间的面积关系写出一个代数恒等式：________．16. 如图所示，图1是一个边长为a 的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为(a −1)的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2可化简为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计72分 ， ）17. 计算：(x3+3)(x −9)18. (1)(x −2)(x +2)(x 2+4)；(2)(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)+1215.19. 某同学在计算2×(3+1)(32+1)时，把2写成(3−1)后，发现可以连续运用平方差公式，计算2(3+1)(32+1)=(3−1)(3+1)(32+1)=(32−1)(32+1)=34−1=80 请借鉴该同学的经验计算(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2)(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1215．20. 小明将一个底为正方形，高为m 的无盖盒子展开，如图①所示，测得其边长为n ，（1）请你计算无盖纸盒的表面展开图的面积S 1（即图中阴影部分的面积）．（2）将阴影部分拼成一个长方形如图②所示，这个长方形的长和宽分别是多少？面积S 2是多少？（3）比较（1）、（2）的结果，你得出什么结论？21. 如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积________，________；（2）以上结果可以验证那个乘法公式？________；（3）试利用这个公式计算：20202−2021×2019．22. 如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：________，________;(2)请问以上结果可以验证哪个整式乘法公式？________；(3)试利用这个公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1.。
北师大版七年级下(新教材)1.5 平方差公式(二)
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
例4
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) （2）x(x-1)- (x 1) (x 1)
33
自我检测
图1-4
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证 平方差公式吗？
活动探究二
1、计算下列各组算式，并观察它们的共同
特点
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
2、从以上过程中，你发现了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的 正确性吗？
例3
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
5 平方差公式（第2课时）
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2、公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与
这两数差的积；右边是两数的平方差。
3、应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
活动探究一
计算： 1） 2001×1999 -20002
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
3） (1 x 2) (1 x 2) - 1 x（x+8）
2
2
4
2020-2021学年北师大版七年级数学下册 1.5 平方差公式 同步测试题
1.5 平方差公式同步测试题班级：_____________姓名：_____________一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 若x2−y2=100，x+y=−25，则x−y的值是()A.5B.4C.−4D.以上都不对2. 下列可以用平方差公式计算的式子是()A.(x−y)(y−x)B.(a+3)(a+3)C.(−x+y)(−x−y)D.(−a−3)(a+3)3. 下列各式中，计算结果为81−x2的是（）A.(x+9)(x−9)B.(x+9)(−x−9)C.(−x+9)(−x−9)D.(−x−9)(x−9)4. 观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为()A.(a+b)(a−b)=a2−b2B.a2−b2=(a+b)(a−b)C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+2ab+b2=(a+b)25. 已知M=(4−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)，则M的个位为()A.1B.3C.5D.76. (3a−2b)(−3a−2b)=()A.9a2−6ab−b2B.b2−6ab−9a2C.9a2−4b2D.4b2−9a27. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.B.C.D.8. 如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是()A.(a+b)(a−b)=a2−b2B.(a−b)2=a2−2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）9. 已知a+b=4，a−b=3，则a2−b2=________．10. 计算：(−1−2a)(2a−1)=________．11. 计算：(x+2)(x−2)(x2+4)=________.12. 若(2a+2b+1)(2a+2b−1)=63，则a+b=________．13. 若(2x−3y)⋅N=9y2−4x2，那么代数式N应该是________．14. 已知(x−a)(x+a)=x2−9，那么a=________．15. 在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)（如图(1)），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图(2)），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________．（用字母表示）三、解答题（本题共计8 小题，共计75分，）16. 怎样简便就怎样计算：（1）1232−124×122(2)(2a+b)(4a2+b2)(2a−b)17. 化简：(3a+2b)(−3a+2b)(9a2+4b2)．18. (1+2a)(1−2a)(1−4a2)19. 计算：(2x+1)(2x−1)(4x2+1).20. 解答下列小题：25=( )2，9x2=( )2．观察多项式x2−25,9x2−y2，它们有什么共同特征？尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．平方差公式：把乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2反过来，就得到____________．21. 观察下列算式：39×41=402−12，48×52=502−22，65×75=702−52，83×97=902−72…，请你把发现的规律用字母表示出来．（给定字母m，n）22. 乘法公式的探究及应用．（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7①(2m+n−p)(2m−n+p)23. 在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形(a>b)，如图①（1）由图①得阴影部分的面积为________.（2）沿图①中的虚线剪开拼成图①，则图①中阴影部分的面积为________. （3）由(1)(2)的结果得出结论：________=________.（4）利用(3)中得出的结论计算：20212−20202。
(完整版)2019-2020年七年级数学下册1.5.1平方差公式同步练习新版北师大版
2019-2020年七年级数学下册1.5.1平方差公式同步练习新版北师大版一、选择题：1．下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-62．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b-a）C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2）3．若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是 ( )A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2 D．3 x- y2二、填空题：4．( )(1-2x)＝1—4 x2．5．(-3x+6 y2)(-6 y2-3 x)＝．6．(x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．7．(4 x m-5 y2) (4 x m+5y2)＝．8．(x+y-z) (x-y-z)＝( ) 2-() 2．9．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝( ) 2-() 2．三、计算与解答：10．计算．(1)(0.25 x -)(0.25 x +0.25)；(2)(x-2 y)(-2y- x)-(3x+4 y)(-3 x +4 y)；(3)(2 a+ b-c-3d) (2 a-b-c+3d)；(4) ( x-2)(16+ x4) (2+x)(4+x2)．11．某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米?12．化简．(1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．13．先化简，再求值．(a2 b-2 ab2- b3)÷b-( a+b)(a-b)，其中a＝，b＝-1．14．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和xx这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?参考答案1．C2．B3．A4．1+2x5．9x2-36y26．z-x+y7．16 x2m-25 y48．x-z y9．m n+p+q10．(1) x2-． (2)8 x2-l2 y2． (3)(2 a-c)2-( b-3 d)2． (4) x8-256．11．解：设操场原来的边长为x米，则原面积为x2平方米，改建后的面积为(x+5)(x-5)平方米，根据题意，得 (x+5)( x-5)- x2＝(x2-52)- x2＝-25．答：改建后的操场比原来的面积小了25平方米．12．解：(1)原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)·…·(x16+y16)=(x4-y4)(x4+ y4)·…·(x16- y16)＝…＝x32- y32．(2)原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)=(232-1)．13．解：(a2b-2 ab2- b3)÷b-( a+ b)· (a- b)= a2-2ab- b2-( a2- b2)= a2-2 ab-b2=-2 ab.当a=，b=-l时，原式＝1．14．解：(1)找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，xx=4×503＝5042-5022，所以28和xx都是神秘数． (2)(2k+2) 2-(2 k) 2＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数． (3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．2019-2020年七年级数学下册1.5.1平方差公式导学案新版北师大版一、预习与质疑（课前学习区）（一）预习内容：P20-P21（二）预习时间：10分钟（三）预习目标：1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理（四）学习建议：1．教学重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理2．教学难点：理解理解平方差公式及其探索过程（五）预习检测：计算：（多项式乘多项式）(1) (2)(3) (-2x-y)2(4) (x+y)(x2-xy+y2)活动一：探索发现：一、探索平方差公式计算下列各题，并用自己的语言叙述你的发现(1) (x+2)(x-2)(2) (1+3a)(1-3a)(3) x+5y)(x-5y)(4) (y+3z)(y-3z)你的发现：__________________________________________________________________再举例验证你的发现：例：归纳：平方差公式：(a+b)(a-b)=__________________语言叙述：_____________________________________________________________（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
2020北师大版七年级数学下册1.5平方差公式同步练习含答案
1.5平方差公式一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )A. (a+b)(−a−b)B. (a+b)(a−b)C. (a+b)(a−d)D. (a+b)(2a−b)2.计算(a−2)(−a−2)的结果正确的是( )A. a2−4B. a2−4a+4C. 4−a2D. 2−a23.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )A. (x−y)(−x+y)B. (−x+y)(−x−y)C. (−x−y)(x−y)D. (x+y)(−x+y)4.若a+b=1，则a2−b2+2b的值为( )A. 4B. 3C. 1D. 05.下列算式能用平方差公式计算的是( )A. (x−2)(x+1)B. (2x+y)(2y−x)C. (−2x+y)(2x−y)D. (−x−1)(x−1)6.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为( )A. 2m+6B. 3m+6C. 2m2+9m+6D. 2m2+9m+97.已知x−y=1，x+y=3，则y2−x2=()A. 1B. −1C. 3D. −38.已知a−b=3，则a2−b2−6b的值为( )A. 9B. 6C. 3D. −39.设a,b,c,d都是自然数，且a5=b4,c3=d2,a−c=17，则d−b的值为( )A. 289B. 269C. 243D. 19610.若三角形的底边长为2a+1，高为2a−1，则此三角形的面积为( )A. 4a2−1B. 4a2−4a+1C. 4a2+4a+1D. 2a2−12二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.计算：(2x+y)(2x−y)=_____．=______．12.计算：201722016×2018+113.已知a+b=12，且a2−b2=48，则式子a−b的值是______．14.若a，b互为相反数，则a2−b2=____________．15.已知(x−a)(x+a)=x2−9，那么a=______．16.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm2，这个正方形的边长是______cm．17.若a+b=4，a−b=1，则(a+1)2−(b−1)2的值为．18.若a+b=3，则a2−b2+6b的值为________．19.如果有理数a、b同时满足(2a+2b+3)(2a+2b−3)=72，那么a+b的值为________．20.式子3(22+1)(24+1)…(232+1)+1计算结果的个位数字是__________三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）21.计算(a−3b)(a+3b)−(−a−2b)(a−2b)．22.观察探索：(x−1)(x+1)=x2−1(x−1)(x2+x+1)=x3−1(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1（1）根据规律填空：(x−1)(x n+x n−1+⋯+x+1)=______；（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；（3）试确定22017+22016+⋯+2+1的个位数字．23.已知下列等式；(1)22−12=3；(2)32−22=5；(3)42−32=7，…（1）请仔细观察，写出第4个式子；（2）请你找出规律，并写出第n个式子；（3）利用（2）中发现的规律计算；1+3+5+7+⋯+2005+2007．24.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：2x(x+y)=2x2+2xy就可以用图的面积表示．（1）请写出图（2）所表示的代数恒等式：______；（2）请写出图（3）所表示的代数恒等式：______；（3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示(x+y)(x+3y)=x2+4xy+3y2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、(a+b)(−a−b)=−(a+b)(a+b)两项都是相同，不能用平方差公式计算．故本选项错误；B、(a+b)(a−b)存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项正确；C、(a+b)(a−d)中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项错误；D、(a+b)(2a−b)中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项错误；故选：B．根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．2.【答案】C【解析】解：(a−2)(−a−2)=(−2)2−a2=4−a2．故选C．利用平方差公式计算即可．本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即(a+b)(a−b)=a2−b2.掌握公式是解题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、(x−y)(−x+y)=−(x−y)(x−y)，含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误．故选：A．4.【答案】C【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b=(a+b)(a−b)+2b=a−b+2b=a+b=1．故选：C．首先利用平方差公式，求得a2−b2+2b=(a+b)(a−b)+2b，继而求得答案．此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．5.【答案】D【解析】解：能用平方差公式计算的是(−x−1)(x−1)=(−1)2−x2=1−x2，故选D利用平方差公式的结构特征判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键．首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案．【解答】解：∵(2m+3)2=4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，∴[4m2+12m+9−(m+3)2]÷m=3m+6．故另一边长为：3m+6．故选：B．7.【答案】D【解析】解：∵x−y=1，x+y=3，∴原式=(y−x)(y+x)=−(x+y)(x−y)=−3，故选：D．原式利用平方差公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】此题考查了代数式求值，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把原式化简，整体代入，两次利用平方差公式，即可得到结果．【解答】解：由a−b=3，则原式=(a+b)(a−b)−6b=3(a+b)−6b=3a+3b−6b=3(a−b)=3×3=9，故选A．9.【答案】B【解析】【分析】设a=m4，b=m5，c=n2，d=n3，这样a、b可用m的式子表示，c、d可用n的式子表示，减少字母的个数，减低问题的难度．【解析】解：由a 5=b 4，可知a 必为一个4次方的数，b 为5次方的数，由c 3=d 2，可知c 为2次方的数，d 为3次方的数，设a =m 4，b =m 5，c =n 2，d =n 3，∵a −c =17，即m 4−n 2=(m 2+n)(m 2−n)=17，且17是质数，m 2+n ，m 2−n 是自然数，m 2+n >m 2−n ，∴m 2+n =17，m 2−n =1，∴m =3，n =8，∴d −b =83−35=269．故选B ．10.【答案】D【解析】解：三角形的面积为：12(2a +1)(2a −1)=2a 2−12，故选：D ．利用三角形的面积等于底与高乘积的一半列示求解即可．本题考查了平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算．11.【答案】4x 2−y 2【解析】【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.直接应用平方差公式计算即可．【解答】解：原式=(2x)2−y 2=4x 2−y 2．故答案为4x 2−y 2．12.【答案】1【解析】解：原式=20172(2017−1)(2017+1)+1=2017220172=1，故答案为：1．首先利用平方差公式可得2016×2018=20172−1，再化简分母进而可得答案． 此题主要考查了平方差公式，关键是掌握(a +b)(a −b)=a 2−b 2．13.【答案】4【解析】解：∵a 2−b 2=(a +b)(a −b)，∴48=12(a −b)，∴a −b =4，故答案为：4．根据平方差公式即可求出答案．本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．14.【答案】0【解析】【分析】本题主要考查了代数式的值，相反数，平方差公式，掌握相反数的定义及平方差公式是解决本题的关键．由a，b互为相反数，可得a+b=0，再利用平方差公式将a2−b2变形为a2−b2=(a+ b)(a−b)，将a+b=0代入求值即可．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=0．故答案为0．15.【答案】±3【解析】解：根据平方差公式，(x−a)(x+a)=x2−a2，由已知可得，a2=9，所以，a=±√9=±3．故答案为：±3．可先将式子(x−a)(x+a)变形为x2−a2，然后，再根据a2与9的相等关系，来解答出a的值即可．本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．公式：(a+b)(a−b)= a2−b2．16.【答案】5【解析】解：设这个正方形的边长为a，依题意有(a+2)2−a2=24，(a+2)2−a2=(a+2+a)(a+2−a)=4a+4=24，解得a=5．本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有(a+2)2−a2=24，先用平方差公式化简，再求解．本题考查了平方差公式，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．17.【答案】12【解析】【分析】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答．对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．【解答】解：∵a+b=4，a−b=1，∴(a+1)2−(b−1)2=(a+1+b−1)(a+1−b+1)=(a+b)(a−b+2)=4×(1+2)=12．故答案是12．18.【答案】9【解析】解：a 2−b 2+6b=(a +b)(a −b)+6b=3(a −b)+6b=3a +3b=3(a +b)=9．故答案是：9．把前两项分解因式，然后把a +b =3代入，化简，然后再利用a +b 表示，代入求值即可．本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键．19.【答案】92或−92【解析】【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．已知等式整理后，利用平方差公式计算即可求出a +b 的值．【解答】解：已知等式变形得：[2(a +b)+3][2(a +b)−3]=72，整理得：4(a +b)2−9=72，即(a +b)2=814，则a +b =92或a +b =−92，故答案为92或−92． 20.【答案】6【解析】【分析】本题考查了平方差公式的运用．解答此题的突破点是将3转化为22−1，然后利用平方差公式进行计算．先将3转化为22−1，然后重复使用平方差公式计算，得出最简结果，再判断结果的个位数．【解答】解：原式=(22−1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1=(24−1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1=264−1+1=264；∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环， 而64=16×4，∴原式的个位数为6．故答案为6．21.【答案】解：原式=a 2−9b 2−(4b 2−a 2)=2a2−13b2．【解析】直接利用平方差公式计算得出答案．此题主要考查了平方差公式应用，正确应用公式是解题关键．22.【答案】解：(1)x n+1−1(2)26+25+24+23+22+2+1=(2−1)(26+25+24+23+22+2+1)=27−1(3)22017+22016+⋯+2+1=(2−1)(22017+22016+⋯+2+1)=22018−1，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，∴2n的个位数2，4，8，6循环，2018=504×4+2，∴22018的个位数为4，∴22017+22016+⋯+2+1的个位数字为3．【解析】【分析】本题考查平方差公式、多项式乘多项式、规律问题等知识，解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．(1)直径利用规律填空即可；(2)构造规律模型即可解决问题；(3)探究规律，利用规律即可解决问题；【解答】解：(1)根据规律填空：(x−1)(x n+x n−1+⋯+x+1)=x n+1−1；故答案为x n+1−1．(2)见答案；(3)见答案．23.【答案】解：(1)依题意，得第4个算式为：52−42=9；(2)根据几个等式的规律可知，第n个式子为：(n+1)2−n2=2n+1；(3)由(2)的规律可知，1+3+5+7+⋯+2005+2007=1+(22−12)+(32−22)+(42−32)+⋯+(10042−10032)=10042．【解析】本题考查了平方差公式的运用．关键是由已知等式发现一般规律，根据一般规律对算式进行计算．(1)由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此得出规律；(2)等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第n个式子；(3)由3=22−12，5=32−22，7=42−32，…，将算式逐一变形，再寻找抵消规律．24.【答案】(1)(x+y)(2x+y)=2x2+3xy+y2;(2)(x+2y)(2x+y)=2x2+5xy+2y2(3)以边长为(x+y)，(x+3y)画长方形，如图所示，由图可知，(x+y)(x+3y)=x2+4xy+3y2．【解析】解：(1)由图(2)的面积关系可知，(x+y)(2x+y)=2x2+3xy+y2；故答案为：2x2+3xy+y2；(2)由图(3)的面积关系可知，(x+2y)(2x+y)=2x2+5xy+2y2；故答案为：(x+2y)(2x+y)=2x2+5xy+2y2；(3)以边长为(x+y)，(x+3y)画长方形，如图所示，由图可知，(x+y)(x+3y)=x2+4xy+3y2．(1)图(2)中，大长方形边长为(x+y)，(2x+y)，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式；(2)图(3)中，大长方形边长为(x+2y)，(2x+y)，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式；(3)根据题意，画出边长为(x+y)，(x+3y)的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式．本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景．关键是利用形数结合的方法，由大长方形得出图形的长与宽，计算面积，再看图形中包括的小长方形个数及每个小长方形的面积，得出面积结论．。
北师大版初中数学七年级下册《1.5 平方差公式》同步练习卷(含答案解析
北师大新版七年级下学期《1.5 平方差公式》同步练习卷一．选择题（共22小题）1．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．a2+2ab+b2=（a+b）2C．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab2．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）3．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b24．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b26．如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则周长是（）A．m+3B．2m+6C．2m+3D．4m+127．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）8．如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2B．m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．m（m﹣n）=m2﹣mn9．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣abC．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）10．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）A．a+3B．a+6C．2a+3D．2a+611．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），由图中面积关系可以直接得到的公式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．a2+b2=（a+b）2﹣2abC．（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab12．如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（）A．100B．125C．150D．17513．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab14．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图2中Ⅱ部分的面积是（）A．60B．100C．125D．15015．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．无法确定16．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（）A．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2．17．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）18．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2=（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b219．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）20．从如图的变形中验证了我们学习的公式（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）21．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）22．根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2二．填空题（共3小题）23．（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．24．（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=．25．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=．三．解答题（共25小题）26．计算：（1）（3a+b2）（b2﹣3a）（2）（m﹣2n）227．利用乘法公式计算：（1）5002﹣499×501．（2）50×4928．计算：（1）4（a﹣b）2﹣（2a+b）（﹣b+2a）（2）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）29．化简：（2x+3y）2﹣2（2x+3y）（2x﹣3y）+（2x﹣3y）230．计算：（1）2016×2018﹣20172（2）×+×÷31．利用乘法公式计算：（1）1282﹣129×127（2）（2x﹣4y+3z）（2x﹣4y﹣3z）32．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）33．以下是小嘉化简代数式（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2的过程解：原式=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣y2）﹣2y2……①=x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣y2﹣2y2……②=y2﹣4xy……③（1）小嘉的解答过程在第步开始出错，出错的原因是；（2）请你帮助小嘉写出正确的解答过程，并计算当4x=3y时代数式的值．34．计算：（3x+4y）2﹣（4y﹣3x）（3x+4y）35．计算：（1）（m2）3•m2（2）（a+2b）（a﹣2b）+（2b）236．计算下列各题：（1）20172﹣2018×2016（2）（3x﹣y+2）（3x+y﹣2）37．计算：（1）a2•a4+（2a3）2；（2）9+（2x+3）（2x﹣3）．38．计算：（1）（2a+1）（﹣a﹣2）；（2）（x+y﹣3）（x﹣y+3）．39．计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）40．计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）41．化简（1）（a+b）2﹣a（a+2b）（2）（2a﹣1）（2a+1）﹣a（4a﹣3）42．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．43．计算：（1）（x+2y）（2x﹣y）（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）44．（2a+3b）（2a﹣3b）﹣（a﹣3b）2．45．已知：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则：（1）a5﹣b5=（a﹣b）（）；（2）若a﹣=2，你能根据上述规律求出代数式a3﹣的值吗？46．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×；②92﹣（）2=8×4；③（）2﹣92=8×5；④132﹣（）2=8×；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？47．化简：4x•x﹣（2x﹣y）（y+2x）48．乘法公式的探究及应用：（1）如图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）49．如图，在图（1）中的正方形中剪去一个边长为2a+b的正方形，将剩余的部分按图（2）的方式拼成一个长方形（1）求剪去正方形的面积；（2）求拼成的长方形的长、宽以及它的面积．50．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．北师大新版七年级下学期《1.5 平方差公式》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．a2+2ab+b2=（a+b）2C．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab【分析】左边阴影的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即a2﹣b2，右边平行四边形底边为a+b，高为a﹣b，即面积=（a+b）（a﹣b），两面积相等所以等式成立．【解答】解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．2．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2，第二个图形面积=（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．3．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．4．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a ﹣b），根据“长方形的面积=长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．6．如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则周长是（）A．m+3B．2m+6C．2m+3D．4m+12【分析】根据图形表示出拼成长方形的长，即可表示出周长．【解答】解：根据题意得，长方形的长为2m+3，宽为3，∴周长=2（2m+3+3）=4m+12．故选：D．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2，矩形的面积=（a+b）（a﹣b），故（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．8．如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2B．m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．m（m﹣n）=m2﹣mn【分析】根据图形的面积公式以及等量关系即可求出答案．【解答】解：左边图形的阴影部分可表示为：m2﹣n2右边图形可表示为：（m﹣n）（m+n）由于阴影部分面积相等，故m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），故选：B．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是找出图形中的等量关系，本题属于基础题型．9．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣abC．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．10．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）A．a+3B．a+6C．2a+3D．2a+6【分析】依图可知，拼成的长方形的另一条边是由原来正方形的边长（a+3）+剪去正方形的边长3，可得答案是：a+6．【解答】解：长方形的另一边长是：（a+3）+3=a+6，故选：B．【点评】本题主要考查了图形的变换，及变换后边的组成．11．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），由图中面积关系可以直接得到的公式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．a2+b2=（a+b）2﹣2abC．（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab【分析】根据阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2﹣b2；【解答】解：阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．故选：A．【点评】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．12．如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（）A．100B．125C．150D．175【分析】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为35，宽为15，得出a+b=35，a﹣b=15，进而得出图中Ⅱ部分的长和宽，即可得出答案．【解答】解：根据题意得出：，解得：，故图（2）中Ⅱ部分的面积是：b（a﹣b）=10×（25﹣10）=150，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及二元一次方程组的应用，根据已知得出a+b=35，a﹣b=15是解题关键．13．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．14．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图2中Ⅱ部分的面积是（）A．60B．100C．125D．150【分析】分析图形变化过程中的等量关系，求出变化后的长方形Ⅱ部分的长和宽即可．【解答】解：如图：∵拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），∴，解得a=25，b=5，∴长方形Ⅱ的面积=b（a﹣b）=5×（25﹣5）=100．故选：B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是找出图形等积变化过程中的等量关系．15．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．无法确定【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；第二个图形是梯形，则面积是（2a+2b）•（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．16．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（）A．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2．【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2﹣b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a﹣b，根据两者相等，即可验证平方差公式．【解答】解：由题意得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．解决本题的比较两个图形分别表示出面积．17．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：B．【点评】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．18．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2=（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．19．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图中阴影部分的面积=a2﹣b2，图中阴影部分的面积=（a+b）（a ﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．20．从如图的变形中验证了我们学习的公式（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【分析】根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得．【解答】解：左边正方形中有颜色部分的面积为a2﹣b2，右边长方形的面积为（a+b）（a﹣b），根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查平方差公式的几何背景，解题的关键是根据题意得出正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积，并表示出两部分的面积．21．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：由图可得，阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．22．根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【分析】先将图中阴影部分面积用含a，b的代数式表示出来，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证平方差公式．【解答】解：根据图1可得，阴影部分面积为=（a+b）（a﹣b），根据图2可得，阴影部分面积为a2﹣b2，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题时注意：在拼剪前后，阴影部分面积不变．二．填空题（共3小题）23．（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．【分析】根据平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行计算即可．【解答】解：原式=（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××…××=×=，故答案为．【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）是解题的关键．24．（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=．【分析】首先将原式乘以（3﹣1），进而利用平方差公式求出即可．【解答】解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（316﹣1）（316+1）=．故答案为．【点评】此题主要考查了平方差公式，熟练应用平方差公式是解题关键．25．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=732．【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式=（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（74﹣1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（78﹣1）（78+1）（716+1）+1=（716﹣1）（716+1）+1=732﹣1+1=732．故答案为：732【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．三．解答题（共25小题）26．计算：（1）（3a+b2）（b2﹣3a）（2）（m﹣2n）2【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）（3a+b2）（b2﹣3a）=（b2）2﹣（3a）2=b4﹣9a2；（2）（m﹣2n）2=m2﹣4mn+4n2．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：（a+b）2=a2+b2+2ab，（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．27．利用乘法公式计算：（1）5002﹣499×501．（2）50×49【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=5002﹣（500﹣1）×（500+1）=5002﹣（5002﹣1）=5002﹣5002+1=1；（2）原式=（50+）×（50﹣）=2500﹣=2499．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．28．计算：（1）4（a﹣b）2﹣（2a+b）（﹣b+2a）（2）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）【分析】（1）先根据乘法公式进行计算，再合并同类项即可；（2）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后关键完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）原式=4（a2﹣2ab+b2）﹣（4a2﹣b2）=4a2﹣8ab+4b2﹣4a2+b2=5b2﹣8ab；（2）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）=[m﹣（2n﹣3）][m+（2n﹣3）]=m2﹣（2n﹣3）2=m2﹣4n2+12n﹣9．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键．29．化简：（2x+3y）2﹣2（2x+3y）（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，再去括号、合并同类项即可得．【解答】解：原式=4x2+12xy+9y2﹣2（4x2﹣9y2）+4x2﹣12xy+9y2=4x2+12xy+9y2﹣8x2+18y2+4x2﹣12xy+9y2=36y2．【点评】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2、（a±b）2=a2±2ab+b2．30．计算：（1）2016×2018﹣20172（2）×+×÷【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=（2017﹣1）×（2017+1）﹣20172=20172﹣1﹣20172=﹣1；（2）原式=×（﹣4）+3×3÷（﹣）=﹣10﹣18．【点评】此题考查了平方差公式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．31．利用乘法公式计算：（1）1282﹣129×127（2）（2x﹣4y+3z）（2x﹣4y﹣3z）【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=1282﹣（128+1）×（128﹣1）=1282﹣1282+1=1；（2）原式=（2x﹣4y）2﹣9z2=4x2﹣16xy+16y2﹣9z2．【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．32．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）=（28﹣1）（28+1）（216+1）=（216﹣1）（216+1）=232﹣1．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．33．以下是小嘉化简代数式（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2的过程解：原式=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣y2）﹣2y2……①=x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣y2﹣2y2……②=y2﹣4xy……③（1）小嘉的解答过程在第②步开始出错，出错的原因是去括号时﹣y2没变号；（2）请你帮助小嘉写出正确的解答过程，并计算当4x=3y时代数式的值．【分析】（1）依据完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项法则进行判断即可；（2）依据去括号法则、合并同类项法则进行化简，然后将4x=3y代入，最后，再合并同类项即可．【解答】解：（1）②出错原因：去括号时﹣y2没变号；故答案为：②；去括号时﹣y2没变号．（2）正确解答过程：原式=x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣y2）﹣2y2，=x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2，=3y2﹣4xy．当4x=3y时，原式3y2﹣3y2=0．【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．34．计算：（3x+4y）2﹣（4y﹣3x）（3x+4y）【分析】根据平方差公式算乘法，再合并同类项即可．【解答】解：原式=9x2+24xy+16y2﹣（16y2﹣9x2）=18x2+24xy．【点评】本题考查了平方差公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．35．计算：（1）（m2）3•m2（2）（a+2b）（a﹣2b）+（2b）2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=m8（2）原式=a2﹣4b2+4b2=a2【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．36．计算下列各题：（1）20172﹣2018×2016（2）（3x﹣y+2）（3x+y﹣2）【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，完全平方公式计算即可求出值．【解答】（1）解：原式=20172﹣（2017+1）（2017﹣1）=20172﹣（20172﹣1）=1；（2）解：原式=[3x﹣（y﹣2）][3x+（4﹣2）]=9x2﹣（y﹣2）2=9x2﹣y2+4y﹣4．【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．37．计算：（1）a2•a4+（2a3）2；（2）9+（2x+3）（2x﹣3）．【分析】（1）根据同底数幂的乘法和积的乘方可以解答本题；（2）根据平方差公式可以解答本题．【解答】解：（1）a2•a4+（2a3）2；=a6+4a6=5a6；（2）9+（2x+3）（2x﹣3）=9+4x2﹣9=4x2．【点评】本题考查平方差公式、同底数幂的乘法和积的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．38．计算：（1）（2a+1）（﹣a﹣2）；（2）（x+y﹣3）（x﹣y+3）．【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用平方差公式再结合完全平方公式计算得出答案．。
1.5平方差公式-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
相反项的平方.举例略.
二、新知探究
知识归纳
平方差公式：
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
平方差公式的结构特征:
（1）左边是两个二项式的乘积,并且这两个二项式有一项完全相同,
另一项互为相反项；
（2）右边是这两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方.
+
)(
+
+
−
2 2
= b- a.
+
);
(2)(-4x2-3y3)(4x2-3y3).
-
(2) (-4x2-3y3)(4x2-
-
3y3)=(-3y3)2-
(4x2)2=9y6-16x4.
四、当堂练习
10.计算:(1)a(1-2a)+2(a+1)(a-1);
(2)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y);
解:(1)原式=(10-0.2)×(10+0.2)
(2)20242-20162;
(2)20242-20162
=102-0.22
=(2024+2016)(2024-2016)
=100-0.04
=4040×8
=99.96.
=32320.
三、典例精析
例2 计算:20242-2023×2025.
解:20242-2023×2025
=1002-32
=1202-22
2020-2021学年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式练习题
平方差公式习题一、选择题1.下列式子不能用平方差公式计算的是()A. (a−b)(a+b)B. (a−1)(−a+1)C. (−x−y)(x−y)D. (−x+1)(−1−x)2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是()A. (−x−y)(x−y)B. (−x+y)(−x−y)C. (−x+y)(x+y)D. (−x+y)(x−y)3.若代数式M⋅(3x−y2)=y4−9x2，那么代数式M为()A. −3x−y2B. −3x+y2C. 3x+y2D. 3x−y24.化简(a+b)(a−b)+b(b−2)的结果是()A. a2−bB. a2−2C. a2−2bD. −2b5.若a+b=3，a−b=7，则a2−b2的值为()A. −21B. −10C. 10D. 216.下列多项式相乘时，可用平方差公式的是()A. (m−n)(−m+n)B. (−m−n)(m+n)C. (m+2n)(m−n)D. (m−n)(−m−n)7.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式()A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. (a+b)(a−2b)=a2−ab−2b28.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作能验证的等式是()A. (a−b)2=a2+2ab+b2B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)二、填空题9.若(a+b+1)(a+b−1)=15，则a+b的值为______．10.计算：20192−2018×2020=11.计算：(−1−2a)(2a−1)=______．12.如果(3a−3b+4)(3a−3b−4)=65，那么a−b的值为_______。