长沙市第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案
长沙市第一中学高一年级月考试卷
数 学
命题人：李鑫 审题人：龚日辉
考生注意：本试卷共三道大题，22小题，满分150分，时量120分钟
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1. 集合{},a b 的子集个数是 （ ） A.1
B.2
C.3 C.4
2.已知函数2
()1(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像过定点P ，则P 的坐标是 （ ）
A.（0，1）
B.（0，2）
C.（2，1）
C.（2，2）
3.函数221
1
x y x -=+的值域为 （ ）
A.[)1,1-
B.[]1,1-
C.(]1,1- C.()1,1-
4.已知函数3
()7f x ax bx =++（其中,a b 为常数），若(7)17f -=-，则(7)f 的值为 （ ） A.31
B.17
C.-17
C.15
5.设U R =,集合{
}{}
221,1P x y x Q y y x ==-==-，则()U C P Q =I （ ）
A.[)1,+∞
B.∅
C.[)0,1
C.[)1,1-
6.函数0
(23)()332x f x x x
+=++-的定义域为 （ ）
A.33,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B.3333,,222⎡⎫⎛⎫--
-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U C.33,2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭ D.3333,,222⎡
⎫⎛⎤--
-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
U 7.已知集合{
}
{}
2
4,4M x x N x ax ====，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为 （ ） A.{}2
B.{}2,2-
C.{}2,0 C.{}2,2,0-
8.函数2
41()()3
x x f x -=的单调递增区间是 （ ）
A.[]1,2
B.[]1,3
C.(],2-∞
C.[)2,+∞
9.已知函数2
()23f x x x =-+在区间[]0,t 上的最大值是3，最小值是2，则实数t 的取值范围是
（ ）
A.[]1,2
B.(]0,1
C.[)1+∞,
C.(]0,2
10.已知函数2
21
1
()f x x x
x
-=+，则(3)f = （ ） A.8
B.9
C.10
C.11
11. 定义在R 上的函数()f x 满足，对任意121212,,()1()()x x R f x x f x f x ∈+-=+，则下列说法中一定
正确的是 （ ） A.()f x 为奇函数
B.()f x 为偶函数
C.()+1f x 为奇函数
C.()+1f x 为偶函数
12.已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有21
(())213
x
f f x +
=+，则2(log 3)f =的坐标是 （ ） A.1 B.45 C.12
C.0
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知定义在(),0-∞上的函数2
()2f x x =+，且()6f a =，则a = .
14.某小学五年级1班共有40名同学，在某次摸底测试中语文20人优秀，数学23人优秀，两门都不是优秀者6人，则两门都是优秀的同学共有 人 .
15.若定义在R 上的偶函数()f x 在()0,+∞单调递增，且(2)0f -=，则()0xf x <的解集为 .
16.已知函数931
()931
x x x x
k f x +⋅+=++，若对任意的实数123,,x x x ，不等式123()()()f x f x f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是 .
三、解答题（共6大题，共70分）
17.（10分）计算：（1）0.5202613
(5)(10)23274()164
π-+--⨯-⨯÷；
（2）2log 352912
log 25lg ln 2log 3log 81003
e ++++⋅。
18.（12分）已知集合{}721A x a x a =-<-≤，集合{}
(1)(2)0B x x x =-+≤。
（1）若0a =，求,A B A B I U ； （2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围。
19.（12分）已知函数[]()2f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][][]2.1=2 2.1=3,3=3--,。
（1）判断函数()()f x x R ∈的奇偶性，并证明； （2）当2,23x ⎛
⎤
∈- ⎥⎝⎦
时，求出函数()f x 的值域。
20. （12分）某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元。
公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构核算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元。
已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x 人，每位员工的培训费为y 元，培训机构的利润为Q 元。
（1）写出y 与(0,)x x x N *
>∈之间的函数关系式；
（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润。
21. （12分）已知函数2
()43,()52f x x x a g x mx m =-++=+-。
（1）若()0f x =在[]1,1-上有解，求实数a 的取值范围；
（2）当0a =时，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =，求实数m 的取值范围。
22. （12分）设函数()(0x
x
f x ka a
a -=->且1,),()a k R f x ≠∈是定义在R 上的奇函数。
（1）求k 的值，并证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数； （2）已知3(1)2
f =
，函数[]22()4(),1,2x x g x a a f x x -=+-∈，求()g x 的值域； （3）若1,()()x
a h x a f x >=-，对任意[],1x λλ∈+，不等式[]2
()()h x h x λ+≤恒成立，
求实数λ的取值范围。
高一年级 数学
命题人：李鑫 审题人：龚日辉
考生注意：本试卷共三道大题，22小题，满分150分，时量120分钟
二、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.D
2.D
3.A
4.A
5.C
6.B
7.D
8.D
9.A 10.D 11.C 12.C
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
18.2± 14.9 15.()(),20,2-∞-U 16.1
42
k -
≤≤ 四、解答题（共6大题，共70分）
17. （1）
134 （2）
92
18. （1）[]1,3,
1,22A B A B ⎛⎤
=∅=- ⎥⎝
⎦
I U U （2）[]3,8 19. （1）非奇非偶函数
（2）{}4,2,0,2,4--
20. （1）850,030,=101150,3060,x x N
y x x x N
*
*
⎧<<∈⎪⎨-+<≤∈⎪⎩ （2）员工人数57或58，最大利润21060元 21. （1）[]8,0-
（2）(][),36,-∞-+∞U 22. （1）1k =
（2）172,
16⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
（3）3
4
λ≤-。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考语文试题 (解析版)
长沙市第一中学 2024—2025 学年度高二第一学期第一次阶段性检测语文时量：150分钟满分：150分一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：马克思主义者认为人类社会的生产活动，是一步又一步地由低级向高级发展，因此，人们的认识，不论对于自然界方面，还是对于社会方面，也都是一步又一步地由低级向高级发展，即由浅入深，由片面到更多的方面。
在很长的历史时期内，大家对于社会的历史只能限于片面的了解，这一方面是由于剥削阶级经常歪曲社会的历史，另一方面，则是由于生产规模的狭小，限制了人们的眼界。
人们能够对于社会历史的发展作全面的历史的了解，把对于社会的认识变成科学，这只是到了伴随巨大生产力——工业而出现近代无产阶级的时候，这就是马克思主义的科学。
马克思主义者认为，只有人们的社会实践，才是人们对于外界认识的真理性的标准。
实际的情形是这样的，只有在社会实践过程中（物质生产过程中，阶级斗争过程中，科学实验过程中），人们达到了思想中所预想的结果时，人们的认识才被证实了。
人们要想得到工作的胜利即得到预想的结果，一定要使自己的思想合于客观外界的规律性，如果不合，就会在实践中失败。
人们经过失败之后，也就从失败取得教训，改正自己的思想使之适合于外界的规律性，人们就能变失败为胜利，所谓“失败者成功之母”，“吃一堑长一智”，就是这个道理。
辨证唯物论的认识论把实践提到第一的地位，认为人的认识一点也不能离开实践，排斥一切否认实践重要性、使认识离开实践的错误理论。
列宁这样说过：“实践高于（理论的）认识，因为它不但有普遍性的品格，而且还有直接现实性的品格。
”马克思主义的哲学辩证唯物论有两个最显著的特点：一个是它的阶级性，公然申明辩证唯物论是为无产阶级服务的；再一个是它的实践性，强调理论对于实践的依赖关系，理论的基础是实践，又转过来为实践服务。
判定认识或理论校之是否真理，不是依主观上觉得如何而定，而是依客观上社会实践的结果如何而定。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考卷(一)语文试题(含答案)
长沙市一中2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。
一、现代文阅读（34分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1～5题。
（一）①因为儒家政治构想的最高目标是旨在修身齐家治国平天下的“人”，人与人之间伦理认同即是根本和逻辑起点。
这种伦理的内涵，有着更为普遍和更为基础的对天下之“人”的论述。
先秦时期的中国，以最为根本性的孝、仁来建构人与人的认同，来建构自己与“他者”共在的联系，即天下。
②周朝的天下，以宗法制为联结，宗法制的伦理根基是“孝”。
家庭共同体有了孝的概念，孝的延伸就是天下共同体之“仁”。
仁不是与他者的对立，而是与他者的共生共通。
“仁”即是处理人与人关系的概念，处理人与人之间关系，逻辑上首先要处理与亲人的关系。
只有实现家庭内部的“亲亲”，才能实现向外的“爱人”。
人与家庭共生，通过“仁”的概念转向了人与天下共生。
因此理想的天下就是“不独亲其亲，不独子其子”。
天下大同，是仁孝概念的逻辑必然，也是伦理化天下的根本内涵。
换句话说，天下其实就是人类的伦理共同体，因此在这个共同体之内，就不可能有民族歧视。
③天下为一家，意味着“他者”的取消，即不以政体或民族区分敌我，而是在伦理关系中确证对方的独立性，并与对方共生共在。
天下一家的秩序展现在现实中，就是以伦理关系为核心的礼制。
凡天下之人，皆需仁孝，而仁孝就要服从礼制，服从礼制就要服从天子。
因此，家与天下就在政治秩序层面实现了同构。
随着大一统的实现，天下之内没有了其他的国，国家秩序也就成了天下秩序。
这种伦理化的天下秩序不断将边缘的地域和人民纳入天下中来，荀子说：“四海之内若一家，通达之属莫不从服。
”④后世的中国人，往往不是以民族或者国家来定义中国，而是以文化或文明定义中国。
正是因为中国概念的文明内涵，才导致中国可以消弭地理边界，逐渐与天下趋同。
⑤这种伦理的、文化的天下观念在宋朝受到了某种程度的挑战。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________②对任意,,ÎÄ=Ä；③对任意()()()()a b R a b b aa b c R a b c c ab a c b c cÎÄÄ=Ä+Ä+Ä-，,,,2以下正确的选项是（）A．()202=0ÄÄB．()()ÄÄÄ2020=8C．对任意的,,a b c RÎ，有()()ÄÄ=ÄÄa b c b c aD．存在,,a b c RÎ，有()()()+ĹÄ+Äa b c a c b c五、解答题17．已知{}R ,{}A x x x m B x x =Î++==>∣∣2200，且A B Ç=Æ，求实数m 的取值范围.18．设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+£，2{|0}B x x a =+<.（1）当4a =-时，求A B Ç和A B È；（2）若()R C A B B =I ，求实数a 的取值范围．19．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为224m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？20．已知函数()2()24f x x a x =-++（a ∈R ）.(1)若关于x 的不等式()f x <0的解集为（1，b ），求a 和b 的值;(2)若对任意x ∈[]1,4，()1f x a ³--恒成立，求实数a 的取值范围.21．若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.(1)求ab bc ca ++的最大值；【分析】首先求解集合,B C 再根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可判断选项.【详解】由集合的定义可知，{}0,1A B ==，{}{}{}{},0,1,0,1C =Æ，所以A C Î.故选：AC 12．BCD【分析】根据给定的新运算得到a b Ä的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的选项.【详解】由题设有()()000020a b a b ab a b ab a b Ä=ÄÄ=Ä+Ä+Ä-´=++，对于A ，()2022222228ÄÄ=Ä=´++=，故A 错误；对于B ，()()200222ÄÄÄ=Ä，由①中结果可知()()20208ÄÄÄ=，故B 正确；对于C ，对任意()()(),,,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b cÎÄÄ=Ä++=++++++R abc ab ac bc a b c =++++++，而()()()ac a c b ac a c b ac a cb c a b =++=++++Ä+Ä+Äabc ab ac bc a b c =++++++，故()()a b c b c a ÄÄ=ÄÄ，故C 正确；对于④，取1,1a b c ===，则1212152Ä=´++=，而()()()1111211116Ä+Ä=´++=，故()()()1111111+ĹÄ+Ä，故D 正确.所以同时参加数学和化学小组的有故答案为：815。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考(七)数学试题试卷(七)
长沙市一中2024 届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 样本数据15 、13 、12 、31 、29 、23 、43 、19 、17 、38 的中位数为( )(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 182. 已知集合A = {x''' e x2 −2x ≤ 1}, B = {−1, 0, 1}, 则集合A ∩ B 的非空子集个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 73. 已知实部为3 的复数z 满足z · (1 −2i) 为纯虚数, 则|z| = ( )(D) √54. 已知数列{a n } 满足a n = 3n −b (n ∈ N* , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|a n |} 是递增数列”的( )(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5. 已知tan θ= 2, 则 sin 2θ= ( )(A) (B) 2 (C) 1 (D)6. 过抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线交E 于点A, B , 交E 的准线l 于点C , AD ⊥ l , 点D 为垂足.若F 是AC 的中点, 且|AF | = 3, 则|AB| = ( )(A) 4 (B) 2√3 (C) 3√2 (D) 37. 已知双曲线C: kx2 −y2 = 1 的左焦点为F , P (3m, −4m) (m > 0) 为C 上一点, 且P 与F 关于C 的一条渐近线对称, 则C 的离心率为( )(A) (B) √3 (C) 2 (D)√58. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足f(x) + f(3 −x) = 4, f(x) 的导函数为g(x), 函数y = g(x −1) 的图象关于点(2, 1) 中心对称, 则f + g(2024) = ( )(A) 3 (B) −3 (C) 1 (D) −1二、多项选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.9. 已知函数cos 2x + sin 2x, 则( )(A) 函数f (x −关于原点对称(B) 曲线y = f(x) 的对称轴为x = + , k ∈ Z2 cos2 θ + 4 sin2 θ(C) f (x) 在区间单调递减(D) 曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为2x −2y + 1 = 010. 已知二面角A −CD −B 的大小为, AC ⊥ CD , BD ⊥ CD , 且CD = 1, AC + BD = 2, 则( )(A) △ABD 是钝角三角形(B) 异面直线AD 与BC 可能垂直(C) 线段AB 长度的取值范围是[2, √5) (D) 四面体A −BCD 体积的最大值为11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继续; 若回答错误, 得0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是和 , 且第1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第i 次答题者是甲的概率为P i , 第i 次回答问题结束后中甲的得分是K i , 则( )(A) P2 =(C) P i+1= P i+ P i+ K i−1三、填空题: 本题共3 小题, 每小题5 分, 共15 分.12. (x + 3y)(x −y)8 的展开式中x3 y6 的系数为.13. 已知动点P 在圆M : (x −m + 1)2 + (y −m)2 = 1 上, 动点Q 在曲线y = ln x 上. 若对任意的m ∈ R, |PQ| ≥ n恒成立, 则n 的最大值是.14. 已知正六棱锥的高是底面边长的2√3 倍, 侧棱长为√13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 盒中有形状、大小均相同的卡片6 张, 卡片依次标记数字1, 2, 2, 3, 3, 3.(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为1 的概率;(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量X , 求X 的分布列和E(X).16. 如图三棱锥P −ABC 中, PA = BC , AB = PC , AC ⊥ PB.(1) 证明: AB = BC;(2) 若平面PAC ⊥ 平面ABC , AC = √2AB , 求二面角A −PB −C 的余弦值.PA CB17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f (x) = cos 2 x + sin x.(1) 求 f (x) 的极大值点;(2) 证明: 对任意x 4 − x 2 + 1. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为 A(0, 1), B(0, −1), 其右焦点为 F , 且 F #---A -→ · B #---A -→ = F #---A -→ · F #---B -→ .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若点 P (2, −1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P 1 , P 2 满足 P #---P ---1→ · P #---P ---2→ = P #---B -→2 . 若直线 AP 1 与直线 AP 2 分别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a,b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a,b, c) ∈D.(1) 证明:“ (a,b, c) ∈ D ”是“(√a, √b, √c) ∈ D ”的充分不必要条件;(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O , 且 x O #---A -→ + y O #---B -→ + z O #---C -→ = 0, 设 I = (x,y, z) (x, y, z > 0).① 若 I = (3, 4, 5), 求 S △AOB : S △AOC ;② 证明: I ∈ D.。
2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则( )A.B. C.D.3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B.C.D.4.函数的图象与直线为常数的交点最多有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x 的值为A. 1B.C. 1或D.或6.下列命题：①若，则②若，，则③的充要条件是且④若，，则⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中真命题的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，，，，则向量的模为( )A. B. 2 C. D. 48.设函数，则的最小正周期( )A. 与a有关，且与b有关B. 与a有关，但与b无关C. 与a无关，且与b无关D. 与a无关，但与b有关二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，，且，下列结论正确的是( )A. B.C. D. 的最小值为810.要得到函数的图象，可以将函数的图象得到( )A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍11.已知，下列关系可能成立的有( )A. B. C. D.12.下列论断中，正确的有( )A. 中，若A为钝角，则B. 若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数C. 若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称D. 向量，，满足，则或三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考化学试题(含答案)
长沙第一中学2024—2025学年度高一第一学期阶段性检测化学时量：60分钟 满分：100分 得分：______可能用到的相对原子质量：H~1 O~16 Cl~35.5 Mn~55一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列有关说法正确的是（ ）A ．属于纯净物B ．金属氧化物均为碱性氧化物，非金属氧化物均为酸性氧化物C ．由一种元素组成的物质是纯净物D ．酸性氧化物均能溶于水生成相应的酸2．下列水溶液中的各组离子因发生氧化还原反应而不能大量共存的是（ ）A ．、、、B ．、、、C ．、、、D ．、、、3．下列对有关物质的分类不正确的是（ ）选项物质分类不同类物质A 干冰、白酒、加碘盐、食醋混合物干冰B 液氨、纯硫酸、液态氧化钠、生石灰不导电液态氧化钠C 云、烟、雾、淀粉溶液胶体淀粉溶液D铝、铁、锌、氧气还原剂氧气4．下列各组中的反应可以用同一个离子方程式表示的是（ ）A ．氧化钠与稀盐酸混合；氧化铜与稀硫酸B ．氢氧化铜、氢氧化钡分别与盐酸反应C ．Zn 分别与稀盐酸和稀硝酸反应D ．和分别与氢氧化钠溶液反应5．下列几个反应的导电性变化，不符合图像的是（）A ．向饱和石灰水中不断通入B ．向稀硫酸中滴加溶液C ．向稀溶液中滴加溶液D ．向稀盐酸中滴加溶液6．下列离子方程式书写正确的是（）42FeSO 7H O ⋅Na +2Ba+Cl -24SO -2Ca+3HCO -Cl -K+4MnO -K +I -H+H +Cl -Na +23CO -24H SO 4NaHSO 2CO ()2Ba OH ()2Ba OH 4CuSO 3AgNOA ．用醋酸除去水垢中的：B ．铜与稀硫酸反应：C ．和NaOH 溶液混合：D ．与稀盐酸反应：7．某溶液中含有较大量的、、三种阴离子，如果只取一次该溶液就能够分别将3种阴离子依次检验出来。
下列实验操作的操作顺序中，正确的是（）①滴加溶液 ②过滤 ③滴加溶液 ④滴加溶液A ．①②④②③B ．④②③②①C ．①②③②④D ．④②①②③8．利用粗（含有杂质MnO 和）制取纯的流程如图。
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}220A x x x =-=，{}20B x x x =+=，则A B ⋃=（ ）A ．{}0B ．1,0,1,2C ．{}1,0,2-D ．{}1,2-2．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x <B ．不存在x ∈R ，20x <C ．0x R ∃∈，200x ≥D ．0x R ∃∈，20x < 3．已知集合{}1,4A =-，{}10B x mx =+=，且B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．1,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1,4-D ．{}1,4,0-4．满足{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆的集合X 有（ ） A ．4个B ．7个C ．8个D ．16个5．下列各选项中正确的是（ ）A ．当0ab >时，a b +≥B ．当0a >，0b >时，2≥+aba bC ．当a R ∈，b R ∈时，22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭D ．当a R ∈，b R ∈时，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭6．已知集合1,4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合1,24k N x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．MB ．NC ．∅D ．R7．设全集{|010,}U x x x Z =<<∈，A ，B 是U 的两个真子集，()(){}1,9U UA B =，{}2A B ⋂=，(){}4,6,8U A B ⋂=，则（ ）A ．5A ∈，且5B ∉ B ．5A ∉，且5B ∉C ．5A ∈，且5∈BD ．5A ∉，且5∈B8．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若ac bc >，则a b > D ．若0a b >>，0c <，则c c a b> 10．设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有（ ） A ．A B A = B ．UABC ．UUAB D ．UA BU11．下面命题正确的是（ ） A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．设,x y R ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件D ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件12．设集合{}22,,M a a x y x y Z ==-∈，则对任意的整数n ，在形如4n 、42n +、21n 、23n +的数中，是集合M 中的元素的有（ ） A ．4n B ．42n + C ．21n D ．23n +三、填空题13．已知28a ≤≤，03b ≤≤，则-a b 的取值范围是__________．14．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修蓝球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有__________名．15．写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）16．已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为__________．四、解答题17．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<．（1）若1a =，求()R B A ；（2）若0a >，设:p x A ∈，:q x B ∈，已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()211f x ax a x =-++，a R ∈． （1）若不等式()0f x <的解集为()m n ，，且32m n +=，求a 的值； （2）当0a >时，求关于x 的不等式()0f x >的解集． 20．（1）已知0a >，0b >，24a b +=，求ab 的最大值； （2）若正数a ，b 满足1a b +=，求911a b++的最小值． 21．销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1atP t =+；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q bt =．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元 （1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．22．已知二次函数()2f x ax bx c =++．（1）若()0f x <的解集为()1,2，求不等式20bx ax c ++<的解集； （2）若不等式()2f x ax b ≥+对任意x ∈R 恒成立，求222b a c+的最大值．参考答案1．C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得. 【详解】解：因为{}{}2200,2A x x x =-==，{}{}201,0B x x x =+==-，所以{}1,0,2A B ⋃=-故选：C. 2．D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题∴命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是：0x R ∃∈，200x <.故选：D. 3．B 【分析】根据题意B A ⊆，分类讨论当B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出实数m 的取值. 【详解】解：由题可知B A ⊆，当B =∅时，10+=mx 无解，解得：0m =；当B ≠∅时，若{1}B =-，则1m =，若{4}B =，则14m =-，综上所述，m 的值为14-或0或1，即实数m 的取值集合为1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：B. 4．B 【分析】根据题意，可知集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，即可列举出集合X 的所有情况，从而得出答案.【详解】解：由题意{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆，可以确定集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，因此集合X 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}，共7个． 故选：B. 5．C 【分析】A 选项举出反例即可判断；B 选项结合均值不等式即可判断；C 、D 选项利用做差法即可判断. 【详解】A 选项：若1,2a b =-=-，满足0ab >，但是a b +<，故A 错误；B 选项：因为0a >，0b >，所以a b +≥，则2aba b≤+当且仅当a b =时等号成立；故B 错误；C 选项：2222222222*********a b a b a b ab a b a b ab a b +++++--+-⎛⎫⎛⎫-=-==-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故C 正确；D 选项：2222220222442a b a b ab a b ab a b ab ab ++++--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故D 错误； 故选：C. 6．A 【分析】由已知得41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，由此可得选项. 【详解】 因为1,4x k k Z =+∈，所以41,4k x k Z +=∈，所以41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭； 又因为1,24k x k Z =-∈，所以21,4k x k Z -=∈，所以21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，又因为21,k k Z -∈表示所有的奇数，41,k k Z +∈表示部分奇数，所以M N ； 所以M N M ⋂=， 故选：A. 7．A 【分析】由题意作出韦恩图，由韦恩图即可得解. 【详解】由题意，{}{|010,}1,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x Z =<<∈=， 可作出韦恩图，如图，由韦恩图可得，5A ∈，且5B ∉， 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算及韦恩图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．B 【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误 当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=， 可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈， 可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集． 故选：B. 9．AD 【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，若,a b c d ><，所以>c d --，根据同向可加性，可得a c b d ->-，故A 正确；B 选项，若1,2,2,3a b c d ==-==-，满足,a b c d >>，但此时2,6ac bd ==，不满足ac bd >，故B 错误；C 选项，若0c <，则由ac bc >可得a b <，故C 错误；D 选项，若0a b >>，则110b a >>，又0c <，根据同向同正可乘性，可得c ca b>，故D 正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】结合Venn 图即可得出结论. 【详解】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选：BCD ． 11．ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A 选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B 选项；由“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”，即可判断C 选项；若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，结合必要不充分条件的定义，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，根据必要不充分条件的定义，可知A 正确；对于B ，若0ac <，则212Δ40,0cb ac x x a=->=<， 所以一元二次方程20ax bx c ++=有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根，则120cx x a=<，则0ac <，故B 正确； 对于C ，若“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”， 而若“2x ≥且2y ≥”，则一定有“4x y +≥”，所以“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，故C 不正确； 对于D ，若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，则若“1x ≠”，则不一定有“2430x x -+≠”，而“2430x x -+≠”时，一定有“1x ≠”， 所以“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，故D 正确. 故选：ABD. 12．ACD 【分析】 由224(1)(1)nn n ，2221(1)n n n +=+-，可判断4n 、21n 、23n +是否是集合M 的元素，再假设42n M ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()()n x y x y +=+-讨论x y +和x y -同为奇数或同为偶数可判断是否是集合M 的元素得选项.【详解】 解：因为224(1)(1)nn n ，所以4n M ．因为2221(1)n n n +=+-，所以21n M +∈，即所有奇数都是集合M 中的元素，所以23n M +∈． 若42nM ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()(),nx y x y xy 和x y-同为奇数或偶数．若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +为偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42nM ．故选：ACD ． 13．[]1,8- 【分析】结合不等式的性质即可求出结果. 【详解】因为03b ≤≤，所以30b -≤-≤，且28a ≤≤，因此18a b -≤-≤， 故答案为：[]1,8-. 14．16 【分析】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，列出方程，即可得出结果. 【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，如下图所示：则28182050x x x -++-+= 解得16x = 故答案为：16. 15．1- 【分析】根据题意，假设命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当0a =和0a ≠时两种情况，从而得出实数a 的取值范围，再根据补集得出命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题时a 的取值范围，即可得出满足题意的a 的值.【详解】解：若命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，则当0a =时成立，当0a ≠时有20Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a ， 所以当03a ≤<时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，所以当(,0)[3,)a ∈-∞+∞时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题， 故答案为：1-.（答案不唯一，只需(,0)[3,)a ∈-∞+∞）16．45【分析】根据题意作出图示表示集合的点，然后结合A B ⊕的定义即可求出结果.【详解】集合A 中有5个元素，即5个点，如图中黑点所示． 集合{(,)2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD 内部及正方形ABCD 边上的整点．所以123x x +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值；所以123y y +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值，所以集合A B ⊕=()()(){}12121122,,,,x x y y x y A x y B ++∈∈中的元素可看作图中正方形1111D C B A 内部及正方形1111D C B A 边上除去四个顶点外的整点，共77445⨯-=（个）．故答案为：45.17．证明见解析.【分析】先利用等腰三角形中等角对等边即可证得，再结合因式分解即可证得必要性.【详解】（1）先证充分性：若A B =，则a b =，∴220a b ac bc --+=成立（2）再证必要性：若220a b ac bc --+=成立，∵22()()()()()a b ac bc a b a b c a b a b a b c --+=+⋅---=-+-，∴()()0a b a b c -+-=，又因为ABC 中，0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，∴A B =．综上可知，220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．（1）()[3,4)R B A ⋂=；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）将1a =代入题干，解不含参数的一元二次不等式，进而结合补集和交集的概念即可求出结果；（2）解含参数的一元二次不等式，进而由题意可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩且等号不能同时成立，即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得(,1][3,)R B =-∞⋃+∞， 又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[3,4)R B A ⋂=．（2）当0a >时，可得(,3)B a a =．因为p 是q 的充分不必要条件，则A B ，可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩等号不能同时成立， 解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 19．（1）2；（2）答案见解析.【分析】（1）将问题转化为：m 和n 是()0f x =的两个根，由韦达定理列式求解即可；（2）将不等式进行变形，然后通过对两个根的大小比较进行分类，并得出a 的分类，进而分别求出解集，即可得到答案.【详解】（1）因为()0f x <的解集为()m n ，，所以m ，n 为方程()0f x =的两个根， 由韦达定理得：132a m n a ++==，解得2a =． （2）由()0f x >得：2(1)10ax a x -++>，所以(1)(1)0ax x -->，当01a <<时，11a>，不等式的解集是{1x x <或1}x a >； 当1a =时，不等式可化为2(1)0x ->，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，101a<<，不等式的解集是1{x x a <或1}x >． 综上所述，当01a <<时，不等式的解集是{1x x <或1}x a>； 当1a =时，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，不等式的解集是1{x x a<或1}x >． 20．（1）2；（2）8.【分析】（1）由基本不等式可求得答案；（2）由已知得91191[(1)]121a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，根据基本不等式可求得答案； 【详解】 解：（1）211222222a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b ==即2,1a b ==时取等号． 故ab 的最大值为2．（2）1a b +=，即(1)2a b ++=，∵0,0a b >>， 故91191191[(1)]10812121b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，当且仅当911b a a b +=+时等号成立，又1a b +=，∴12a b ==时，min 9181a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+． 21．（1）31(3),0313x y x x x =+-≤≤+；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元． 【分析】（1）由题意得(3)1ax y b x x =+-+，代入数值计算即可求出结果； （2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3x -万元， 由题意知：(3)1ax y P Q b x x =+=+-+， 当3x =时，9()4f x =，当0x =时，()1f x =， 则39,4431,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得13,3a b ==， 则31(3),0313x y x x x =+-≤≤+． （2）由（1）可得313(1)31()(3)11313x x f x x x x x +-=+-=+-++1331137(1)31333x x ⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当2x =时取等号， 故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．22．（1）2{3x x <-或1}x >；（2）2. 【分析】（1）结合一元二次不等式的解集得到,,a b c 的关系，进而得到2320x x -->，从而解不等式即可求出结果；（2）由题意可得,,a b c 发关系，进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.【详解】（1）∵()0f x <的解集为(1,2)，∴0a >且12,12b c a a+=-⨯=，∴30,2b a c a =-<=． 2220320320bx ax c ax ax a x x ++<⇔-++<⇔-->，∴该不等式的解集为2{3x x <-或1}x >．（2）若不等式()2≥+f x ax b 即2(2)()0ax b a x c b +-+-≥对任意x ∈R 恒成立，则20,Δ(2)4()0,a b a a c b >⎧⎨=---≤⎩即204(),0,b ac a a ⎧≤-⎨>⎩易知0c a ≥>， 当c a =时，2220,0b b a c ==+； 当c a >时，设10c t a =->，则1c t a=+，则2222222414()4422(1)121c b a c a t a a c a c t c t t a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤===≤=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1c t a=-=24()b a c a =-时，等号成立， 所以222b a c+的最大值为2．。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题(含答案)
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x||x|<1}，集合B={x|y=x}，则A∩B=( )A. (−1,1)B. (0,1)C. [0,1)D. (1,+∞)2.已知复数z满足iz=−1+2i，则复数z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件A+B有8个样本点，则P(AB)=( )A. 23B. 12C. 13D. 164.已知等差数列{a n}的前5项和S5=35，且满足a5=13a1，则等差数列{a n}的公差为( )A. −3B. −1C. 1D. 35.已知(1x+my)(2x−y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为( )A. −2B. 2C. −1D. 16.如图，正方形ABCD中，DE=2EC，P是线段BE上的动点，且AP=x AB+y AD(x>0,y>0)，则1x +1y的最小值为( )A. 22B. 23C. 4+233D. 47.设a=3103，b=ln1.03，c=e0.03−1，则下列关系正确的是( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b8.已知(1tanα−β2−tanα−β2)[1+tan(α−β)tanα−β2]=6，tanαtan(π2−β)=3，则cos(4α+4β)=( )A. −7981B. 7981C. −4981D. 4981二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是( )A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D. 记地震里氏震级为n(n =1,2,⋯,9,10)，地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列10.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①PF 1⋅PF 2=0;②∠F 1F 2P =60∘;③PO 平分∠F 1PF 2；④点P 关于原点对称的点为Q ，且|PQ |=|F 1F 2|，能使双曲线C 的离心率为1+ 3的条件组合可以是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④11.如图，矩形ABCD 是底面直径为2，高为1的圆柱OO 1的轴截面，四边形OO 1DA 绕OO 1逆时针旋转θ(0≤θ≤π)到四边形OO 1D 1A 1，则( )A. 圆柱OO 1的侧面积为4πB. 当0<θ<π时，DD 1⊥A 1CC. 当θ=π3时，异面直线A 1D 与OO 1所成的角为π4D. ▵A 1CD 面积的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测(月考)数学试题
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若角α的终边与单位圆相交于点1,2P ⎛ ⎝⎭，则tan α等于（ ）A．12B ．C ．D ．2．已知函数()sin 2f x x a x =++，且()5f m =，则()f m -=（ ） A ．5-B ．3-C ．1-D ．33．函数()312log 2f x x x x x=-+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知5ππcos ,sin ,log 256a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b6．若函数()22log 1,11()2,1x x f x x ax x ⎧+-<≤=⎨->⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．(],2-∞C ．[]0,1D ．[)0,∞+7．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（ ）A ．18B ．17C ．16D ．158．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A ．若0z z ⋅=，则0z = B ．若R z z -∈，则R z ∈ C ．若π2πcosisin 55z =+，则1z = D ．若11z z -=+，则1i z --的最小值是1 10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()(2)(2)f x y f x f y f x f y +=⋅---，且()()00,20f f ≠-=，则（ ） A ．()21f = B ．()f x 是偶函数 C ．22[()][(2)]1f x f x ++=D ．()()()()12320241f f f f ++++=L三、填空题12．如图，在直角梯形ABCD 中，224AB CD AD ===，则直角梯形ABCD 的直观图的面积为.13．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若30A =o ，且312a ==，则c 的值为.14．定义：{}max ,x y 为实数,x y 中较大的数．若,,0a b c >，则11max ,,⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭a b bc c aca b 的最小值为．四、解答题15．已知向量()3,1a =r，5b =r ，()15a a b ⋅+=r r r .（1）求向量a r 与b r夹角的正切值； （2）若()()2a b a b λ-⊥+r r r r ，求λ的值.16．在①3sin 4cos a C c A =；②2sinsin 2B Cb B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．然后解答补充完整的题，在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知______，a =（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，MC MB =，2ABM π∠=，求边c ．17．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上.记梯形ABCD 的周长为y ，CAB θ∠=.(1)将y 表示成θ的函数； (2)求梯形ABCD 周长的最大值.18．设函数()πcos3f x x =，()ln g x x =，()22e e 15x x h x =--． (1)求函数()y f x =在()0,10上的单调区间；(2)若()10,3x ∀∈，()2,x a ∃∈-∞，使()()12f x h x =成立，求实数a 的取值范围； (3)求证：函数()()()x f x g x φ=-在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，并求()()0h g x ⎡⎤⎣⎦（[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.72=，[]3.24-=-）．2.449≈，5ln 0.2234≈．19．设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，如果对于[],a b 内任意两数12,x x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则称()f x 为[],a b 上的凹函数；若()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称()f x 为凸函数.若()f x 是区间[],a b 上的凹函数，则对任意的[]12,,,,n x x x a b ∈L ，有琴生不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭L L 恒成立（当且仅当12n x x x ===L 时等号成立）. (1)证明：()11f x x=-在()0,1上为凹函数； (2)设12,,,0,2n x x x n >≥L ，且121n x x x +++=L ，求1212111n nx x xW x x x =+++---L 的最小值；(3)设12,,,n r r r L 为大于或等于1的实数，证明：12111111n r r r +++≥+++L .示：可设e i xi r =）。