高中数学双曲线例题

A B C P

O x

y 例题

定义类

1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为

点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支

12||||610PF PF -=

2>=-x y x 2双曲线的渐近线为x y 2

3±=，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，

23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e 3 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）

设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

12222=-b

y a x 上，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线

依题意得a=680, c=1020， 134056803405680102022

222

22222=?-?=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,

10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.

【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”

4 设P 为双曲线1122

=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为

（） A ．36

B ．12

C ．312

D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①

又,22||||21==-a PF PF ②

由①、②解得.4||,6||21==PF PF

,52||,52||||2212221==+F F PF PF Θ

为21F PF ∴直角三角形，

.12462

1||||212121=??=?=∴?PF PF S F PF 故选B 。 5如图2所示，F 为双曲线116

9:2

2=-y x C 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（）

A ．9

B ．16

C ．18

D ．27 [解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C

6. P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ?的切圆的圆心的横坐标为（）

（A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+

［解析］设21F PF ?的切圆的圆心的横坐标为0x ，

由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(|||

7，若椭圆()0122φφn m n y m x =+与双曲线22

1x y a b -=)0(φφb a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2

|的值是（） A. a m - B.

()a m -21 C. 22a m - D. a m - 【解析】椭圆的长半轴为

()1221m PF PF m ∴+=， ()1222a PF PF a

∴-=±， ()()()2212121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A.

求双曲线的标准方程

1已知双曲线C 与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组

[解析] 解法一：设双曲线方程为22

a x －22b

y =1.由题意易求c =25.

又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.

故所求双曲线的方程为122

x －8

2y =1. 解法二：设双曲线方程为k x -162－k

y +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122

x －8

2y ＝1. 2.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；

[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，

当0>λ时，化为1422

=-λλ

y x ，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为14

2=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205

x y -=或12052

2=-x y 3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.

[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(3

42=∴=∴λλ，双曲线方程为13

2=-y x 4.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为

A ．22

1(1)8y x x -=<- B ．2

21(1)8y x x -=> C ．1822

=+y x （x > 0） D ．2

21(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

与渐近线有关的问题

1若双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（） A.2 B.3 C.5 D.2

【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系

[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122

222

=+==a b a c e ,所以5=e 【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程

2. 双曲线22

149

x y -=的渐近线方程是 ( ) A. 23y x =± B. 49y x =± C. 32y x =± D. 94

y x =± [解析]选C

3.焦点为（0，6），且与双曲线12

22=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（） A ．124

1222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x [解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B

4，过点（1，3）且渐近线为x y 2

1±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2

214

x y k -= 点（1，3）代入：135944

k =-=-.代入（1）： 222

23541443535

x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b

-=?±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为22

x y k a b -=，而无须考虑其实、虚轴的位置. 5 设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.

【证明】如图设等轴双曲线方程为()2221x

y a -=，直线CD ：y=m.代入（1）

：x =故有：

(

)),C m D

m . 取双曲线右顶点(),0B a .那么：

(

)),,,BC a m BD a m ==u u u r u u u r

()22220,BC BD a a m m BC BD ???=-++=∴⊥??u u u r u u u r u u u r u u u r Q .即∠CBD=90°.

同理可证：∠CAD=90°.

几何

X O Y C D A B