第二讲共点力作用下物体的平衡

第二讲：共点力作用下物体的平衡

1．刚体及其平衡

力使物体的运动状态发生改变，还可以使物体发生形变。一般情况下，物体的形变是十分微小的，在研究物体受力和运动的关系时，可以略去不计，而把物体看做不形变的。在受力的情况下，保持形状和大小不变的物体称为刚体。

若几个力交于一点或几个力的作用线交于一点，则这几个力叫做共点力。共点力作用下物体的平衡条件是这些力的合力为零，即0=∑F ，或0=∑x F ，0=∑y F 。

实际上，如果是三个力作用下的平衡问题，一般可以由任两个力的合力同第三个力等大反向作平行四边形，若平行四边形中有直角三角形，根据函数关系或勾股定理列方程。如果平行四边形中无直角三角形，则可由正弦定理或相似三角形的相似比相等列方程。

如果是三个以上共点力的平衡问题可由正交分解法列方程，当然有时也可将同一方向的几个力先合成为一个力，或者将不同方向的力先合成为一个力，如将处于同一点的弹力和摩擦力先合成为一个力（俗称全反力），再利用三力平衡的处理手法解决问题。

2、摩擦角

1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R 表示，亦称接触反力。

2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φm 表示。

此时，要么物体已经滑动，必有：φm = arctg μ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：φms = arctg μs （μs 为静摩擦因素），称静摩擦角。通常处理为φm = φms 。

3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。

3.三力汇交原理

一个物体受到三个非平行力的作用仍处于平衡状态，则这三个

力的作用线或延长线

一定汇交与一点。证明如下：如图所示，有三个力321F F F 和、作

用于物体上，由于321F F F 和、都不平行，因此必有二力可以交于

一点。例如21F F 和交于点O ，可以求出此二力的合力R 。由于物

体处于平衡状态，由二力平衡条件可知3F 和R 一定是大小相等、方向相反且在同一直线上，故3F 一定也通过O 点，亦即321F F F 和、必定汇交与O 点。

矢量图解法—定性分析力大小变化时常用

【例1】如图所示，轻杆AC 处于水平位置，C 端铰接在墙上，轻绳AB 拉

住杆的A 端，一重物挂于杆上D 点。若将悬物点D 由A 附近开始逐渐向C

点移动，则绳中拉力T 和杆对铰链作用力F 的大小将( )。

(A)都变小 (B) T 变小，F 变大

(C)T 变小，F 先变小再变大 (D) T 先变小再变大，F 变小

【例2】倾角为θ=30°的斜面体放在水平地面上，一个重为G的球在水

平力F的作用下，静止在光滑斜面上，则水平力F的大小为_______；

若将力F从水平方向逆时针转过某一角度后，仍保持F的大小，且小球

和斜面也仍旧保持静止，则此时水平地面对斜面体的摩擦力f= ______

三力交汇原理的妙用

【例3】如图所示，一根重为G的均匀硬杆AB，杆的A端被细绳

吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统

平衡后，细线、杆与竖直方向的夹角分别为α、β求证:tanβ=2tanα.

研究对象的巧妙选取

【例4】图所示，将两个质量均为m的小球用细线相连悬挂于O点。

（1）若用力F拉小球a，使其悬线Oa向右偏离竖直方向θ=30°角，且整个装置处

于平衡状态。求力F的最小值并说明其方向。

（2）若在a球上施加符合（1）题条件的力F后，仍保持悬线Oa竖直，且使整

个装置处于平衡状态。求在b小球上施加的最小力的大小，并说明其方向。

摩擦角的应用

【例5】重为G的物体在外力作用下沿水平粗糙的地面匀速运动，已知水平面的摩擦系数为u，求外力的最小值且求出此时与水平面的夹角？

【例6】用夹具夹一半径为R的球体，夹具每个臂长均为L，若要夹

住轻球，夹子和球的静摩擦因数至少为多大？

（2011北大保送生考试）如图所示，P为一水闸的剖面图，闸门质量为

m，宽为b，水闸两侧水面高分别为h1、h2，水与闸门间、闸门与轨道

间的动摩擦因数分别为u1、u2，求拉起闸门至少需要多大的力？

1、如图所示为四种悬挂镜框的方案,设墙壁光滑,镜框重心位置在镜框的正中间,指出图中可能实现的方案是( )

2、如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小

孔。质量为m的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过

小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手

对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是（）

A．F不变，N增大 B．F不变，N 减小

C．F减小，N不变 D．F增大，N减小

3、如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同

时沿顺时针方向转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变(α>90°)，物

体保持静止状态.在旋转过程中，设绳OA的拉力为T1，绳OB的拉力为T2，

则( )

(A)T1先减小后增大 (B)T1先增大后减小

(C)T2逐渐减小 (D)T2最终变为零

4、如图，半径为r的半球形光滑碗固定在水平地面上，一根粗细均匀

的筷子斜靠在碗边，一端在碗内，一端在碗外，已知筷在碗内长度为

c，求筷子的总长。

5、如图所示，在墙角有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花

板上的A点，另一端悬于竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C

点，测得AC=2BC，且绳在B端附近的切线与墙壁夹角为α.则

绳在最低点C处的张力和在A处的张力分别是多大？

6、在竖直平面内有一个半径为R的光滑固定圆环，圆环内放一个斜边长为2R、一条短边长为R 的匀质直角三角板，三角板的三个顶点都靠在环的内壁上，试求平衡时三角板的斜边于圆环水平直径的夹角θ？

7、一轻绳跨过两个等高的定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为

m1 = 4Kg和m2 = 2Kg的物体，如图所示。在滑轮之间的一段绳上悬挂物体m，

为使三个物体不可能保持平衡，求m的取值范围。

8．质量为m、长为l的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶

端O重合，底端A、B、C的间距均为l，如图所示。(1)求A棒顶端所受

的作用力F的大小。(2)若有一质量也是m的人（视为质点）坐在A棒的

中点处，三棒仍保持不动，这时A棒顶端所受作用力F的大小又为多大？

(3)在(2)情况下，地面与棒之间的静摩擦系数 至少