【步步高高考数学总复习】§ 5.1 平面向量的概念及线性运算
2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算【课件】
2．设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意
一点，则O→A＋O→B＋O→C ＋O →D 等于( D ) A．O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
【解析】 ∵M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平 面内任意一点，
有两个，即向量|aa|和－|aa|.
2．向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
加法
运算律
①交换律： a＋b＝ b＋a ②结合律：
(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
①|λa|＝ |λ||a|
λ(μa)＝
λμa ；
②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方 向 相同 ；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 ；当 λ＝0 时，λa＝
易错易混 5．给出下列说法：①A→B＋B→A＝2A→B；②已知向量 a∥b，且|a|>|b|>0，则向量 a＋b 的 方向与向量 a 方向相同；③设 a0 为单位向量，则平面内向量 a＝|a|·a0.其中正确说法的序 号是____②____．
【解析】 A→B＋B→A＝0，①错，②正确，③错，可能有 a＝－|a|a0.
∴O→A ＋O→C ＝2O→M，O→B ＋O→D ＝2O→M， ∴O→A ＋O→B ＋O→C ＋O→D ＝4O→M，故选 D.
3．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且O→A＝a，O→B＝b，则D→C＝___b_－__a__， B→C＝_－__a_－__b__.(用 a，b 表示)
【解析】 D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.
专题5.1 平面向量的概念及线性运算(重难点突破)(解析版)
专题5.1 平面向量的概念及线性运算一、考情分析1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.二、经验分享考点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 考点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b三角形法则a－b＝a＋(－b)的差 数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb考点三 共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa.,向量概念的4点注意 (1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c”是假命题，因为当b 为零向量时，a ，c 可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 考点四 必备结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0； (2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．三、题型分析重难点题型突破1 平面向量的基本概念 例1、下列命题中，正确的个数是( )①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①错误，如在▱ABCD 中，AD →＝BC →，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线．【变式训练1-1】、设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D.【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【变式训练1-2】、设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D.【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【变式训练1-3】、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 重难点题型突破2 平面向量的线性运算例2、.如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A.13OA →－43OB →B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB → D ．－13OA →－43OB →【答案】C.【解析】：OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B ．12C.13 D ．23【答案】D.【解析】：由题意易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，所以2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.【变式训练2-2】、如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 法一：由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二：因为BE →＝2EC →，所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一．法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC →＝14AB →得DC ∥AB ，且AB ＝4DC .又BE →＝2EC →，所以E 为PB 的中点，且AP →＝43AD →.于是，AE →＝12(AB →＋AP →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋43AD →＝12AB →＋23AD →.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0.由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.重难点题型突破3 平面向量共线定理的应用例3、已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12【答案】B【解析】由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【变式训练3-1】、如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3【答案】D.【解析】：法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1， 整理可得2m ＋1n＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λm AB →＋(1－λ)·nAC →.又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D. 【变式训练3-2】、在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________． 【答案】：⎪⎭⎫ ⎝⎛031-，【解析】：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)． 所以y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛310，，因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， 所以x ＝－y ，所以x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛031-，重难点题型突破4 共线定理的推广与应用例4、如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．【答案】 [1，3]【解析】 OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB ′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB ′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条 线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1，3]．【变式训练4-1】、庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.则下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B ．CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D ．AT →＋BQ →＝5－12CR →【答案】A.【解析】：由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ →＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C 错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不合题意，所以D 错误．故选A.。
【步步高】高考数学总复习 5.1平面向量的概念及线性运算配套文档 理 新人教a版
§5.1平面向量的概念及线性运算三角形3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.( × ) (4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( √ ) (5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立． ( √ )2．(2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选项易知C 满足题意． 3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案 A解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →.4．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．答案 －2解析 如图所示，由AP →＝λPD →，且P A →＋BP →＋CP →＝0，则P 是以AB 、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.5．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．答案 －1解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1.题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键． 答案 ②③解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量． 题型二 平面向量的线性运算例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于 ( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于 ( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．答案 (1)D (2)A解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 (1)A (2)B解析 (1)由2AC →＋CB →＝0得2AO →＋2OC →＋CO →＋OB →＝0， ∴OC →＝－2AO →－OB →＝2OA →－OB →.(2)如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.题型三 共线向量定理及应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于 ( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b (2)已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ， ∴DF →＝13AB →，∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b .(2)∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .② 由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ， 则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[10分]∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[12分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C.2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是 ( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D答案 B解析 BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →⇒BD →∥AB →⇒A 、B 、D 三点共线．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →.如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB的中点，即M 为△ABC 的重心． AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( )A ．1 B.12 C.13 D.23答案 D解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.二、填空题6．设向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．答案 ④解析 AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2，BD →＝CD →－CB →＝3e 1，由向量共线的充要条件b ＝λa (a ≠0)可得A ，C ，D 共线，而其他λ无解．7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案 －14a ＋14b解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 由图知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.三、解答题9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．10. 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． (1)解延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明 由(1)可知BE →＝23BF →，因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B 解析∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)， 又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ， 则S △ABC S △AOC＝4. 2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →| ＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 3.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.则m ＋n ＝2. 4．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )． 若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，∴t b －a ＝λ[13(a ＋b )－a ]． 化简整理得，(23λ－1)a ＝(13λ－t )b ， ∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理得λ＝32且t ＝12. 故当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上． 5．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A 、P 、B 三点共线，(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
高考数学复习课件：平面向量的概念及线性运算
3．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且O→A＝a，O→B＝ b，则D→C＝________，B→C＝________.(用a，b表示)
b－a －a－b [如图，D→C＝A→B＝O→B－O→A＝ b－a，B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.]
1234
4．设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝____.
成立的是( )A．a＝2bBa∥bC．a＝－13b
D．a⊥b
C [由|aa|＋|bb|＝0可知a与b是共线且方向相反的向量，结合选项可
知C正确．] 点评：向量的概念辨析问题要立足向量的两个要素：
①大小；②方向；同时关注一个特殊向量0.
考点二 平面向量的线性运算 平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分 利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已 知向量表示出来求解．
＝12A→B－16A→C＝xA→B＋yA→C， ∴x＝12，y＝－16.]
考点三 共线向量定理的应用 共线向量定理的三个应用
[典例2] 设两个非零向量a与b不共线， (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A，B，D三 点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
D．mn－1＝0
D [由A→B＝a＋mb，A→C＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na
＋b)，即1m＝＝λλn，， 所以mn－1＝0.]
2.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过
点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，
N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则m＋n的值为( )
§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
１．平面向量基本定理 如果 ｅ１ ，ｅ２ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任意向量 ａ，有且只有一对实数 λ１ ，λ２ ，使ａ ＝ λ１ ｅ１ ＋λ２ ｅ２ ．
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
{∴
８
－λｋ
＝
０， ⇒８
＝
２λ２
⇒λ
＝
±
２．
ｋ－２λ ＝ ０
∴ ｋ ＝ ２λ ＝ ±４．
（３） 证法一：∵ Ｍ、Ｎ、Ｐ 三点共线，
∴ 存在实数 μ，使得Ｍ→Ｐ ＝ μ Ｐ→Ｎ，
∴
Ｏ→Ｐ
＝
Ｏ→Ｍ＋μ Ｏ→Ｎ ＝
１＋μ
１ｍ＋μａ＋１μ＋ｎμｂ．
∵ ａ，ｂ 为不共线的非零向量，
ìïïα ＝ １ｍ＋μ，
∴
í îïïβ
ｙ１ ） ． （２）平面向量共线的坐标表示．若 ａ ＝ （ ｘ１，ｙ１ ），ｂ ＝ （ ｘ２，ｙ２ ），
ｂ≠０，则 ａ 与 ｂ 共线⇔ｘ１ ｙ２ －ｘ２ ｙ１ ＝ ０．
需注意的几点：
①若 ａ ＝ （ ｘ１ ，ｙ１ ） ，ｂ ＝ （ ｘ２ ，ｙ２ ） ，则 ａ∥ｂ 的充要条件不能表示
成 ｘ１ ｘ２
＝
ｙ１ ｙ２
③Ｐ 为△ＡＢＣ 的垂心⇔→ＰＡ·Ｐ→Ｂ ＝ Ｐ→Ｂ·Ｐ→Ｃ ＝ Ｐ→Ｃ·→ＰＡ；
高考数学一轮复习讲义 第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算
第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算[考纲要求]1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．突破点一 平面向量的有关概念[基本知识] 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量,平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量,又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a 与b 不相等,则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案:(1)× (2)√ 二、填空题1．如果对于任意的向量a ,均有a ∥b ,则b 为________． 答案:零向量2．若e 是a 的单位向量,则a 与e 的方向________． 解析:∵e ＝a|a |,∴e 与a 的方向相同．答案:相同3．△ABC 中,点D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 的中点,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为端点的有向线段所表示的向量中,与EF ―→共线的向量有________个．答案:7个[典例感悟]1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( ) A ．方向相同的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线解析:选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故A 不正确;方向相同或相反的非零向量叫做共线向量,但共线向量不一定在同一条直线上,故B 不正确;显然C 正确;当AB ―→∥CD ―→时,AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合,故D 不正确．2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题: ①若|a |＝|b |,则a ＝b ;②若|AB ―→|＝|DC ―→|,则四边形ABCD 是平行四边形; ③若m ＝n ,n ＝k ,则m ＝k ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 其中,假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析:选C 对于①,|a |＝|b |,a ,b 的方向不确定,则a ,b 不一定相等,所以①错误;对于②,若|AB ―→|＝|DC ―→|,则AB ―→,DC ―→的方向不一定相同,所以四边形ABCD 不一定是平行四边形,②错误;对于③,若m ＝n ,n ＝k ,则m ＝k ,③正确;对于④,若a ∥b ,b ∥c ,则b ＝0时,a ∥c 不一定成立,所以④错误．综上,假命题的是①②④,共3个,故选C.3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB ―→与CD ―→共线是A ,B ,C ,D 四点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选B 由A ,B ,C ,D 四点共线,得向量AB ―→与CD ―→共线,反之不成立,可能AB ∥CD ,所以向量AB ―→与CD ―→共线是A ,B ,C ,D 四点共线的必要不充分条件,故选B.[方法技巧]关于平面向量的3个易错提醒(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小; (2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征; (3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点二 平面向量的线性运算[基本知识]1．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算交换律:a ＋b ＝b ＋a ; 结合律: (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |,当λ＞0时,λa与a 的方向相同;当λ＜0时,λa 与a 的方向相反;当λ＝0时,λa ＝0λ(μ a )＝(λ μ)a ;(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ; λ(a ＋b )＝λa ＋λb 向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b ＝λa . 3．向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式:若P 为线段AB 的中点,O 为平面内一点,则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)三角形的重心:已知平面内不共线的三点A ,B ,C ,PG ―→＝13(PA ―→＋PB ―→＋PC ―→)⇔G 是△ABC 的重心．特别地,PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0⇔P 为△ABC 的重心．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R)的充要条件．( )(2)△ABC 中,D 是BC 的中点,则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)．( )答案:(1)× (2)√ 二、填空题1．在如图所示的方格纸中有定点O ,P ,Q ,E ,F ,G ,H ,则OP ―→＋OQ ―→＝________.答案:FO ―→2．化简:(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝________.解析:(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)＋(DC ―→－DB ―→)＝CB ―→＋BC ―→＝0.答案:03．已知向量a ,b 不共线,且c ＝λa ＋b ,d ＝a ＋(2λ－1)b ,若c 与d 共线反向,则实数λ的值为________．答案:－12[全析考法]考法一 平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,加法的平行四边形法则要求“起点相同”; (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”; (3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算． [例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图,在△ABC 中,点M 为AC 的中点,点N 在AB 上,AN ―→＝3NB ―→,点P 在MN 上,MP ―→＝2PN ―→,那么AP ―→＝( )A.23AB ―→－16AC ―→B.13AB ―→－12AC ―→C.13AB ―→－16AC ―→ D.12AB ―→＋16AC ―→(2)如图,在直角梯形ABCD 中,DC ―→＝14AB ―→,BE ―→＝2EC ―→,且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→,则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)AP ―→＝AM ―→＋MP ―→＝AM ―→＋23MN ―→＝AM ―→＋23(AN ―→－AM ―→)＝13AM ―→＋23AN ―→＝16AC―→＋12AB ―→.故选D. (2)根据图形,由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→.因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→,所以r ＝12,s ＝23,则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考法二 平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程:A ,P ,B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )·OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点,t ∈R)．[例2] (1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a ,b 是不共线的向量,AB ―→＝λa ＋b ,AC ―→＝a ＋μb (λ,μ∈R),若A ,B ,C 三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是( )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2(2)(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB ―→＝3e 1＋2e 2,CB ―→＝k e 1＋e 2,CD ―→＝3e 1－2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为________．[解析] (1)∵AB ―→与AC ―→有公共点A ,∴若A ,B ,C 三点共线,则存在一个实数t 使AB ―→＝t AC ―→,即λa ＋b ＝t a ＋μt b ,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝tμt ＝1消去参数t 得λμ＝1;反之,当λμ＝1时,AB ―→＝1μa ＋b ,此时存在实数1μ使AB ―→＝1μAC ―→,故AB ―→和AC ―→共线．∵AB ―→与AC ―→有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线．故选A.(2)由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB ―→＝λBD ―→. 又AB ―→＝3e 1＋2e 2,CB ―→＝k e 1＋e 2,CD ―→＝3e 1－2ke 2, 所以BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2,所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2, 又e 1与e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )2＝－λ(2k ＋1)解得k ＝－94.[答案] (1)A (2)－94[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用1.[考法一]在等腰梯形ABCD 中,AB ―→＝－2CD ―→,M 为BC 的中点,则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→D.12AB ―→＋34AD ―→解析:选B 因为AB ―→＝－2CD ―→,所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点,所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→,故选B. 2.[考法一]在△ABC 中,AB ＝2,BC ＝3,∠ABC ＝60°,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若AO ―→＝λAB ―→＋μBC ―→,其中λ,μ∈R,则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13D.23解析:选D 由题意易得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→,则2AO ―→＝AB ―→＋13BC ―→,即AO ―→＝12AB ―→＋16BC ―→.故λ＋μ＝12＋16＝23.3.[考法二]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ,BC ―→＝2a ＋8b ,CD ―→＝3(a －b ),求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解:(1)证明:∵AB ―→＝a ＋b ,BC ―→＝2a ＋8b ,CD ―→＝3(a －b ), ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ―→, ∴AB ―→,BD ―→共线,又它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线,∴存在实数λ,使ka ＋b ＝λ(a ＋kb ),即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ,b 是两个不共线的非零向量,∴⎩⎨⎧k －λ＝0λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [课时跟踪检测] 1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ,b 是两个非零向量,且|a ＋b |＝|a |＋|b |,则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 反向共线D ．存在正实数λ,使得a ＝λb解析:选D 由已知得,向量a 与b 为同向向量,即存在正实数λ,使得a ＝λb ,故选D.2．设a 0为单位向量,下述命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a ＝|a |a 0;②若a 与a 0平行,则a ＝|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |＝1,则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a ＝－|a |a 0,故②③也是假命题．综上所述,假命题的个数是3.3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A ．|AB ―→|＝|AD ―→|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→一定成立D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立解析:选A 在平行四边形ABCD 中,AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立,AD ―→＝BC ―→一定成立,BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立,但|AB ―→|＝|AD ―→|不一定成立．故选A.4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中,点D 在边AB 上,且BD ―→＝12DA ―→,设CB ―→＝a ,CA ―→＝b ,则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析:选B ∵BD ―→＝12DA ―→,∴BD ―→＝13BA ―→,∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b ,故选B.5.(2019·长春模拟)如图所示,下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ;②PT ―→＝32a －b ;③PS ―→＝32a －12b ;④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析:选C ①根据向量的加法法则,得PQ ―→＝32a ＋32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ―→＝32a －32b ,故②错误;③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ,故③正确;④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ,故④错误,故选C.6．(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0,则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析:选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得,OA ―→＋OB ―→＝OC ―→,由O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB 为菱形,且∠CAO ＝60°,故A ＝30°.7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图,已知△OAB ,若点C 满足AC ―→＝2CB ―→,OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ,μ∈R),则1λ＋1μ＝( )A.13B.23C.29D.92解析:选D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→,∴λ＝13,μ＝23,∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D. 8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→,则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形解析:选B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→,∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→,即2DA ―→＝CB ―→,∴DA ∥CB ,且2|DA ―→ |＝|CB ―→|,∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.9．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ―→＝－4CD ―→,则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→D.34AB ―→＋14AC ―→解析:选B 法一:设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→,由BC ―→＝－4CD ―→可得,BA ―→＋AC ―→＝－4CA ―→－4AD ―→,即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→,则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1－4y ＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝34即AD ―→＝ 14AB ―→＋34AC ―→,故选B.法二:在△ABC 中,BC ―→＝－4CD ―→,即－14BC ―→＝CD ―→,则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC ―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→,故选B.10.(2019·曲阜模拟)如图,在△ABC 中,AN ―→＝13NC ―→,P 是BN 上的一点,若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→,则实数m 的值为( )A.13B.19 C ．1D ．3解析:选B 因为AN ―→＝13NC ―→,所以AC ―→＝4AN ―→.所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋89AN ―→,因为B ,P ,N 共线,所以m ＋89＝1,m ＝19.11．(2019·河南三市联考)若AP ―→＝12PB ―→,AB ―→＝(λ＋1)BP ―→,则λ＝________.解析:由AP ―→＝12PB ―→可知,点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点,则AB ―→＝－32BP ―→,所以λ＋1＝－32,解得λ＝－52.答案:－5212．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→,则λμ＝________.解析:∵DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－2BM ―→＝3AB ―→－2AM ―→,∴AB ―→＝λAM ―→＋3μAB ―→－2μAM ―→,∴(1－3μ)AB ―→＝(λ－2μ)AM ―→,∵AB ―→和AM ―→是不共线向量,∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3μ＝0λ－2μ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝13λ＝23∴λμ＝29. 答案:2913．(2019·盐城一模)在△ABC 中,∠A ＝60°,∠A 的平分线交BC 于点D ,若AB ＝4,且AD―→＝14AC ―→＋λAB ―→ (λ∈R),则AD 的长为________． 解析:因为B ,D ,C 三点共线,所以14＋λ＝1,解得λ＝34,如图,过点D 分别作AC ,AB 的平行线交AB ,AC 于点M ,N ,则AN ―→＝14AC ―→,AM ―→＝34AB ―→,经计算得AN ＝AM ＝3,AD ＝3 3.答案:3 314．在直角梯形ABCD 中,∠A ＝90°,∠B ＝30°,AB ＝23,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE―→＝AD ―→＋μAB ―→,则μ的取值范围是________．解析:由题意可求得AD ＝1,CD ＝3,所以AB ―→＝2DC ―→.∵点E 在线段CD 上,∴DE ―→＝λDC ―→ (0≤λ≤1)．∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→,又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→, ∴2μλ＝1,即μ＝λ2.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12, 即μ的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤012. 答案:⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤012 15．已知O ,A ,B 是不共线的三点,且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ,n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1,求证:A ,P ,B 三点共线;(2)若A ,P ,B 三点共线,求证:m ＋n ＝1.证明:(1)若m ＋n ＝1,则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→),∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→),即BP ―→＝m BA ―→,∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ,∴A ,P ,B 三点共线．(2)若A ,P ,B 三点共线,则存在实数λ,使BP ―→＝λBA ―→,∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→,即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ,A ,B 不共线,∴OA ―→,OB ―→不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0n ＋λ－1＝0∴m ＋n ＝1.。
高考数学总复习5.1平面向量的概念及线性运算课件文新人教A版
-12知识梳理
-3知识梳理
考点自测
1.向量的有关概念
名称 向量 零向 量 单位 向量 定 义 既有 大小 ,又有 方向 的量 叫做向量;向量的大小叫做向量的 长度 (或称 ) 模 0 长度为 的向量叫做零向量; 其方向是任意的 长度等于 1个单位 的向量 备 注
平面向量是自由 向量 记作 0 非零向量 a 的单 ������ 位向量为±
五年考题统计
命题规律及趋势 1.高考一般不单独 考查平面向量的 概念,常常结合平 面向量的数量积 2013 全国Ⅱ,文 14 进行考查. 2014 全国Ⅰ,文 6 2.平面向量的线性 2015 全国Ⅰ,文 2 运算是高考的一 2017 全国Ⅱ,文 4 个热点,常与平面 几何的知识交汇 命题.在求解题目 过程中突出向量 的“几何性”.
-10知识梳理
考点自测
2.(2017全国Ⅱ,文4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( A ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 解析:由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2,即a· b=0. 又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.
-7知识梳理
考点自测
3.向量共线定理 (1)向量b与a(a≠0)共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得 b=λa . 注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性. (2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只 有一个实数λ,使得 ������������=(1-λ)������������+λ������������.
-8知识梳理
考点自测
1.P 为线段 AB 的中点⇔OP = 2 (OA + OB); 2.G 为△ABC 的重心⇔GA + GB + GC=0.
推荐-高三数学一轮复习课件5.1 平面向量的概念与线性运算
5.1 平面向量的概念与线性运算
考情概览
-3-
考纲要求
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解 其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算,并理解其几何 意义,以及两个向量共线的含义. 6.了解向量的线性运算性质及其几何 意义.
反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则������B ∥ ������������且|������B|=|������������|,
因此,������B = ������������. ③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b. 综上所述,真命题的序号是②.
所以������������
=
1 2
(������������
+
������B).
知识梳理
-11-
知识梳 理
双击自 测
12345
5.设在四边形 ABCD 中,有12 ������������ = ������������,且|������������|=|������������|,则这个四边 形是 等腰梯形 .
3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若
存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
解:由题设知,������������=d-c=2b-3a,������������=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一
条直线上的充要条件是存在实数 k,使得������������=k������������,即
(× )
22版：§5.1 平面向量的概念及线性运算（步步高）
§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 微思考1．三角形加法法则的推论是什么？提示 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n —→，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．中点公式的向量形式是什么？提示 中点公式的向量形式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之亦成立．( √ ) 题组二 教材改编2．(多选)下列命题中，正确的是( ) A.若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴，y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．3．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.4．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .题组三 易错自纠5．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件． 6．(多选)下列四个命题中，错误的是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b | 答案 ABC题型一 平面向量的概念1．(多选)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．|a |＋|b |＝|a －b |⇔a 与b 方向相反D ．若非零向量a 与非零向量b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同 答案 BCD解析 对于A ，向量AB →与向量BA →，长度相等，方向相反，命题成立；对于B ，当a ＝0时，不成立；对于C ，当a ，b 之一为零向量时，不成立；对于D ，当a ＋b ＝0时，a ＋b 的方向是任意的，它可以与a ，b 的方向都不相同．2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 因为向量a |a |的方向与向量a 方向相同，向量b |b |的方向与向量b 方向相同，且a |a|＝b|b|，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a|＝2b |2b|＝b|b|，故a ＝2b 是a |a|＝b|b|成立的充分条件．3．(多选)下列命题中错误的有( ) A ．平行向量就是共线向量 B ．相反向量就是方向相反的向量 C ．a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >bD ．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 答案 BC解析 由平行向量和共线向量可知，A 正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B 是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C 是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D 是正确的． 4．(多选)下列命题正确的有( ) A ．方向相反的两个非零向量一定共线 B ．单位向量都相等C ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D ．“若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 答案 AD解析 方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A 正确； 单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B 错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C 错误；A ，B ，C ，D 是不共线的点，AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD 对边平行且相等，反之也成立，故D 正确． 思维升华 平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1 设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.方法二 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2 (2020·合肥质检)在△ABC 中，BD →＝13BC →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A.23a ＋13bB.13a ＋23b C.13a －23b D.23a －13b 答案 A解析 方法一 如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →.因为BD →＝13BC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →＝23AB→＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A.方法二 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A.方法三 由BD →＝13BC →，得AD →－AB →＝13(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a＋13b ，故选A. 命题点3 根据向量线性运算求参数例3 (2021·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，点E 是线段BC →的中点，若AE →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ＝________. 答案 54解析 取AB 的中点F ，连接CF ，则由题意可得CF ∥AD ，且CF ＝AD .因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12，则λ＋μ＝54. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →.故选A. (2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝______. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y AD →， 所以⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例4 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练2 (1)(2021·南昌质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( ) A ．λμ＝1 B ．λμ＝－1 C ．λ－μ＝－1 D ．λ＋μ＝2答案 A解析 ∵AB →与AC →有公共点A ，∴若A ，B ，C 三点共线，则存在一个实数t ，使AB →＝tAC →，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，μt ＝1，消去参数t ，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB →＝1μa ＋b ，此时存在实数1μ使AB →＝1μAC →，故AB →和AC →共线．∵AB →与AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线，故选A.(2)(2020·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________． 答案 －94解析 由题意知，A ，B ，D 三点共线，故存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，∴3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.。
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 5.1平面向量的概念及线性运算教案 理 新人教A版-推荐下载
2014 高考会这样考 1.考查平面向量的概念、线性运算；2.考查向量运算的几何意义，向 量共线的应用． 复习备考要这样做 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向 量共线和点共线、直线平行的关系．
1． 向量的有关概念
名称
向量
定义
既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模)
运算律 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律：
(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c).
a－b＝a＋(－b)
λ(μa) ＝λμa；
λ(a＋b)
2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且 ＝a， ＝b，则
＝____________.
1 答案 b－2a
解析 B→E＝B→A＋A→D＋12D→C＝－a＋b＋12a＝b－12a.
当 λ＝0 时，λa＝0 ＝λa＋λb
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关
系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．
2． 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量．
3． 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的
单位向量
平行向量
共线向量
相等向量
相反向量
长度等于 1 个单位的向量
方向相同或相反的非零向量
方向相同或相反的非零向量又叫做 0 与任一向量平行或共线 共线向量
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。