高数极限习题
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第二章 导数与微分
典型例题分析
客观题
例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=∆∆+-∆+→∆x
x b x f x a x f x )
()(lim
000( )
)(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b
a
D '
答案 C
解
=
∆∆+-∆+→∆x
x b x f x a x f x )
()(lim
000
=∆-∆+--∆+=→∆x x f x b x f x f x a x f x )]
()([)]()([lim
00000
-∆-∆+=→∆x a x f x a x f a x )()(lim
000x b x f x b x f b x ∆-∆+→∆)
()(lim 000
)()(0x f b a '-=
例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条
件是( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h )()2(lim )(0+-+→存在
h h a f h a f C h 2)()(lim )(0--+→存在 h h a f a f D h )
()(lim )(0--→存在
答案 D
解题思路
(1) 对于答案)(A ，不妨设x h
∆=1，当+∞→h 时，+
→∆0x ，则有
x a f x a f a f h a f h x h ∆-∆+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++
→∆+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对.
(2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念
不相符和.例如，若取
⎩⎨⎧≠==a
x a x x f ,0,1)(
则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim
=≠=→a f x f a
x ，从而)(x f 在
a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而)
(B 与)(C 也不对.
(3) 记h x -=∆,则0→∆x 与0→h 是等价的,于是
)()()(lim )
()(lim
)()(lim )()(lim
0000a f x
a f x a f h
a f h a f h a f h a f h h a f a f x h h h '=∆-∆+=---=---=--→∆→→→
所以条件D 是)(a f '存在的一个充分必要条件.
例3(00103)设
,0)0(=f 则)(x f 在点0=x 可导的充要条件为( )
cosh)1(1lim )(2
0-→f h A h 存在 )1(1
lim )(0h h e f h
B -→存在
sinh)(1
lim )(2
0-→h f h
C h 存在 [])()2(1
lim )(0h f h f h
D h -→存在
答案 B
解题思路
(1) 当0→h 时, 21
cosh 12
→-h
.所以如果)0(f '存在,则必有 2
002020cosh 1lim cosh 1)0(cosh)1(lim )0(cosh)1(lim cosh)1(lim h f f h f f h f h h h h -⋅---=--=-→→→→若记cosh 1-=u ,当0→h 时,+
→0u ,所以
)0()0()(lim cosh 1)0(cosh)1(lim 00f u
f u f f f h h '=-=---→→ 于是
2
cosh)1(lim
h
f h -→)0(21
f '= 这就是说由
)0(f '存在能推出cosh)1(1
lim
2
0-→f h h 存在.
但是由于当0→h 时,恒有+
→-=0cosh 1u ,而不是0→u ,因此
cosh)1(1
lim 20-→f h h 存在只能推出x
f x f f x )0()(lim )0(0-='+
→+存在,而不能推出)0(f '存在.
(2) 当0→h 时, )(1h o h e
h
+-=-,于是
h
e f h h )
1(lim
0-→h f h o h f h )0())((lim 0-+-=→)()0())((lim 0h o h f h o h f h +--+--=→ 由于当0→h 时, )(h o h +-既能取正值,又能取负值,所以极限
)
()
0())((lim
0h o h f h o h f h +--+-→存在与)0()0()(lim 0f h f h f h '=-→存在是互相等价的.因而 极限)1(1
lim 0h h e f h
-→存在与)0(f '存在互相等价. (3) 当0→h 时, 用洛比塔法则可以证明61sinh lim 30=-→h
h h ,所以 20sinh)(lim h
h f h -→h h h h f h f h h ⋅-⋅---=→→300sinh lim sinh )0(sinh)(lim