2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第八单元第四节 基本不等式及其应用
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第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
高中数学《基本不等式的应用》课件
课堂互动探究
随堂达标自测Leabharlann 课后课时精练数学 ·必修5
探究2 利用基本不等式求条件最值问题 例 2 (1)若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最 小值是____1_8___； (2)实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是
23 _____3___．
21
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解析 (1)解法一：设 xy＝t(t＞0)， 由 xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6， 即 t2≥2 2t＋6，(t－3 2)(t＋ 2)≥0， ∴t≥3 2，则 xy≥18. 当且仅当 2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即 x＝3，y＝6 时等号成 立，∴xy 的最小值为 18.
□ (2)如果 x，y>0，x＋y＝S(定值)，当 04 x＝y 时，
□ □ xy 有最
05 大 值
06 14S2 .(简记：和定积有最大
值)
3
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(3)利用基本不等式求最值，必须满足三条：
□07 一正、二定、三相等 ．
即①x，y 都是正数(x，y 为非正数，则结论不成立)； ②积 xy(或和 x＋y)为定值； ③x 与 y 必须能够相等． 利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最 值是最常见的方法之一，而求最值时又极易忽略上述条件， 这一点希望注意．
过点 A(11,12)，则函数 f(x)的最小值是____8____． (3)函数 f(x)＝1－x11－x(x>0)的最大值是____43____．
(4)若 a>0，b>0，且1a＋1b＝ ab，则 a3＋b3 的最小值为 ___4__2___．
高考数学一轮复习 基本不等式课件
4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2
且c2＝d2且ab＝cd.
1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
求证：(11)(11)(11)≥8. abc
证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
(11)(11)(11) abc
当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号.
1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可.
三、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
，几何平均
数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 .
四、利用基本不等式求最值
设x，y都是正数. (1)如果积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
最小值
.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时积xy有最大
x 1 (x1) 1;1=3 答案：C
4.已知
＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是
.
解析：2＝
，所以xy≥15，当且仅当
时等号成立.所以xy的最小值是15.
答案：15
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费
4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它 的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
2ab≤ ab≤ ab≤ a2b2(a0,b0).
ab
2
2
求下列各题的最值. (1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝ (2)x＞0，求f(x)＝ ＋3x的最小值. (3)x＜3，求f(x)＝ ＋x的最大值.
江苏高考数学理一轮复习课件7.3基本不等式及其应用
a＋ b 2 (5)ab≤ (a， b∈ R)． 2
2．利用基本不等式求最值：
(1)已知 x，y∈R ，如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y
2 P 时，和 x＋y 有最小值_____.
＋
(2)已知 x、y∈R＋，如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x 1 2 S ＝y 时，积 xy 有最大值_____. 4
ac 2 (2)∵3a－2b＋c＝0， ∴2b＝3a＋c≥2 3ac， ∴ b ≤ ＝ 2 3 3 .当且仅当 b＝3a＝c 时等号成立． 3
答案 (1)1 3 (2) 3
[方法总结] 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、
二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法 为：拆、凑、代换、平方．
证明
∵ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， bc ca bc ab · ＝ 2c； ＋ ≥ 2 a b a c bc ab · ＝ 2b； a c
2 【训练 1】 (1)已知 0＜ x＜ ，则 y＝ 2x－ 5x2 的最大值为 5 ________． (2)若 x， y∈ (0，＋∞ )且 2x＋8y－ xy＝0，则 x＋y 的最 小值为________．
解析
1 (1)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝ · 5x· (2－5x)， 5
2
2 ∵0＜x＜ ，∴5x＜ 2,2－等式性质的考查，多以填空形式出现，是高考的热点， 主要考查不等式的证明以及求最值等问题．常与实际问题
相结合，以解答题形式出现．另外，不等式的证明经常与
数列、函数等知识综合考查，难度一般较大．
考点自测
a＋b 1 2 1． 下列不等式： ①a ＋1＞2a； ② ≤2； ③x ＋ 2 ≥1. x ＋1 ab
2．利用基本不等式求最值：
(1)已知 x，y∈R ，如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y
2 P 时，和 x＋y 有最小值_____.
＋
(2)已知 x、y∈R＋，如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x 1 2 S ＝y 时，积 xy 有最大值_____. 4
ac 2 (2)∵3a－2b＋c＝0， ∴2b＝3a＋c≥2 3ac， ∴ b ≤ ＝ 2 3 3 .当且仅当 b＝3a＝c 时等号成立． 3
答案 (1)1 3 (2) 3
[方法总结] 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、
二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法 为：拆、凑、代换、平方．
证明
∵ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， bc ca bc ab · ＝ 2c； ＋ ≥ 2 a b a c bc ab · ＝ 2b； a c
2 【训练 1】 (1)已知 0＜ x＜ ，则 y＝ 2x－ 5x2 的最大值为 5 ________． (2)若 x， y∈ (0，＋∞ )且 2x＋8y－ xy＝0，则 x＋y 的最 小值为________．
解析
1 (1)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝ · 5x· (2－5x)， 5
2
2 ∵0＜x＜ ，∴5x＜ 2,2－等式性质的考查，多以填空形式出现，是高考的热点， 主要考查不等式的证明以及求最值等问题．常与实际问题
相结合，以解答题形式出现．另外，不等式的证明经常与
数列、函数等知识综合考查，难度一般较大．
考点自测
a＋b 1 2 1． 下列不等式： ①a ＋1＞2a； ② ≤2； ③x ＋ 2 ≥1. x ＋1 ab
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
高考数学复习 基本不等式课件 苏教版
1.（08年江苏卷）设x,y,z为正实数
(shxìsh2ùy)， 3满z 足0
y 2，则 的最小
值是______
xz
解：由 x 2
代入 y 2 得 xz
y x
3z 0 得
y x 3z 2
2 9z 2 6xz 6xz 6
4xz
4xz
xz
3
当且仅当x=3z时取等号
第二十三页，共28页。
2.复习(fùxí)并掌握重要不等式及它的变 式的应用；
3.理解均值不等式的关系:
若 a, b R , 则 2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
4.应用均值不等式（极值定理--“和定积最大， 积定和最小” ）求最大（小）值。
第三页，共28页。
【考点(kǎo diǎn)诠释】
• 重点：能灵活利用均值(jūn zhí)不等式及其 变式解决有关证明和求值问题；
4.（08年重庆(zhònɡ qìnɡ)卷）若a是1+2b
与1-2b的等2比ab 中项，则
的最大值
为____ | a | 2 | b |
解：a是1+2b与1-2b的等比中项，
则 a2 1 4b2 a2 4b2 1 4 | ab | .
| ab | 1 . a2 4b2 (| a | 2 | b |)2 4 | ab | 1.
第十一页，共28页。
正解：(x y) 1 (x y)( 2 5 ) xy
2 2y 5x 5 7 2 2y 5x
xy
xy
7 2 10
当且仅当第十二页，共28页。
变式1： x>0,y>0 且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。
2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第八单元第四节 基本不等式及其应用
1 = x − 2 ,即x=3时，取等号. 当且仅当 x−2
(2)若x<2,则x-2<0.故
1 1 1 − f ( x) = − + ( x − 2) + 2 = + (2 − x) − 2 ≥ 2 • (2 − x) − 2 = 0 x−2 2− x 2− x
所以f(x)≤0,当且仅当
3 + a的取值范围; a−4
a−4
8 2 8 2 8 2 8y 2x + = ( + ) = ( + )( x + y) = 10 + + (3)由 ,再用基本不 x y x y x y x y
等式求最值.
解 (1)∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0,
3x +(8 − 3x) 8 = =4 ∴ , 2 4 2 当且仅当3x=8-3x,即 x = 3 时取等号, 4 ∴当 x = 时,y = 3x(8 - 3x) 的最大值是4. 3 y = 3x(8 − 3x) ≤
(2)显然a≠4,当a>4时,a-4>0, ∴ 3 + a = 3 +(a − 4)≥ 2 3 ×(a − 4) + 4 = 2 3 + 4 ,当且仅当 a−4 a−4 a−4
3 = a − 4, = 4 + 3 时,取等号; 即a a−4
当a<4时,a-4<0, ∴ 3 + a = 3 +(a − 4)+ 4 = − 3 +(4 − a)]+ 4 ≤ −2 3 ×(4 − a) + 4 [ a-4 a−4 4−a 4−a ， =2 3+4 3 当且仅当 =(4 − a) ,即a=4- 3时,取等号. 4−a 3 ∴ + a 的取值范围是(-∞,-2 3 +4]∪[2 3 +4,+∞).
【全程复习方略】高中数学 6.4基本不等式的应用配套课件 苏教版
1 lr=S,∴lr=2S, 2
∴周长C=l+2r≥2 l 2r =2 4S =4 S ,
当且仅当l=2r时，周长取最小值4 S ，
此时由2r2=2S,得r= S .
答案： S
4 S
与基本不等式相关的范围问题 【方法点睛】
常见的求参数取值范围的关注点
2 2 a b 利用 ≥( a b )2≥ab(a,b∈R) 2 2
第四节 基本不等式的应用
„„„„三年2考
高考指数:★★★
要 内 容 A B
求 C √
基本不等式
1.基本不等式的常见应用
基本不等式 ab ≤
ab (a≥0,b≥0)常用于证明不等式以及求某 2
最小值 最大值 或________. 些函数的________
【即时应用】 判断下列各不等式是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x2+ (2)
g(x)有最小值，即f(x)有最小值
1 800 + )+12 960=38 882( 元). 81 8 1 ∴当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元. 8
1 >1(x≠0) 2 x 1
2
( ( ( (
) ) ) )
x2 3
x 2 (3)x+ 4 ≥4 x
ab
>2
(4) 2ab ≤ ab (a,b是正实数)
【解析】(1)正确.x2+
1 1 2+1+ =x -1≥2-1=1,但等号成立 2 2 x 1 x 1
时x=0,又x≠0,故等号不成立.
1 2 2 ∴24-(a+b)=a +b ≥ (a+b)2，当且仅当a=b时取“=”，即 2 2
∴周长C=l+2r≥2 l 2r =2 4S =4 S ,
当且仅当l=2r时，周长取最小值4 S ，
此时由2r2=2S,得r= S .
答案： S
4 S
与基本不等式相关的范围问题 【方法点睛】
常见的求参数取值范围的关注点
2 2 a b 利用 ≥( a b )2≥ab(a,b∈R) 2 2
第四节 基本不等式的应用
„„„„三年2考
高考指数:★★★
要 内 容 A B
求 C √
基本不等式
1.基本不等式的常见应用
基本不等式 ab ≤
ab (a≥0,b≥0)常用于证明不等式以及求某 2
最小值 最大值 或________. 些函数的________
【即时应用】 判断下列各不等式是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x2+ (2)
g(x)有最小值，即f(x)有最小值
1 800 + )+12 960=38 882( 元). 81 8 1 ∴当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元. 8
1 >1(x≠0) 2 x 1
2
( ( ( (
) ) ) )
x2 3
x 2 (3)x+ 4 ≥4 x
ab
>2
(4) 2ab ≤ ab (a,b是正实数)
【解析】(1)正确.x2+
1 1 2+1+ =x -1≥2-1=1,但等号成立 2 2 x 1 x 1
时x=0,又x≠0,故等号不成立.
1 2 2 ∴24-(a+b)=a +b ≥ (a+b)2，当且仅当a=b时取“=”，即 2 2
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第八单元第一节 不等关系与不等式
2 2 2 方法二：x − x + 1 − (−2m − 2mx) = x + ( 2m − 1) x + 2m + 1
2
∵ ∆ = ( 2m − 1) − 4 ( 2m 2 + 1) = − ( 2m − 1) − 2 < 0
2 2
2 2 ∴ x 2 − x + 1 − (−2m − 2mx) > 0 ,∴ x 2 − x + 1 > −2m − 2mx
3 12. 已知函数 f ( x ) = x + x ,
x x1 、 2 、x3
∈R, x2 + x3 < 0 , x1 + x2 < 0 , x1 + x3 < 0 ,试判断
f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) 的值与0的大小关系，并证明.
解析： f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) < 0
(x
2
+ y 2 ) ( x − y ) − ( x2 − y 2 ) ( x + y )
2 = ( x − y ) x 2 + y 2 − ( x + y ) = −2 xy ( x − y )
∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,∴ −2 xy ( x − y ) > 0 ∴
(x
3 证明: ∵函数 f ( x ) = x + x 在R上是增函数而且是奇函数,
又 x1 < − x2 , x2 < − x3 ∴
, x3 < − x1 , f ( x2 ) < f ( − x3 ) = f ( x3 )
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48 × 4 × 40 (0<x≤48,x∈N*), x
32 当且仅当 x = x
,即x≈5.66时取等号.
2736 5
又x∈N*,当x1=5时,
32 y2 = 240 × 6 + = 2720 当x2=6时, 6
题型二
求最值
【例2】(1)设0<x<2,求函数 y = 3x(8 − 3x) 的最大值; (2)求
8 2 (3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求 + 的最小值. x y
分析 (1)由0<x<2可知3x>0,8-3x>0.
2 由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得 3x(8 − 3x)≤[3x +(8 − 3x)] = 16 2 3 (2)原式变为 + (a − 4) + 4 ,再讨论a-4的正负.
2 2 令f(t)= +t,不难证明f(t)= +t在(0，14]上单调递减, t t 2 1 ∴当t= 时，f(t)= +t取最小值334. t 4 1 1 1 （x + )(y + ) 即当x=y= 时，z= x y 取最小值254. 2
1 ,即x=1时，取等号. = 2− x 2− x 由（1）、(2)可知， f ( x ) = 1 + x 的值域为 x−2 （-∞,0\]∪\[4,+∞）.
题型三
实际应用
【例3】 (14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境， 计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个 2 相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m 的十字型区域.现计 2 划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/ m ,在四个相同 的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ m 2， 再在四个空角上铺草坪，造价为80元/ m 2 . (1)设总造价为S元，AD的边长为x m,试建立S关于x的函数关系 式； （2）计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区? 分析 这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费 用分成三个部分：（1）建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花 岗岩地坪费用；（3）草坪费.
1 1 1 求证: + + ≥9. a b c
分析 将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用 基本不等式证明.
1 1 1 + + a b c
1 1 1 证明 = (a+b+c)+ (a+b+c)+ (a+b+c) b a c
b c a c b a =3+ + + + + + a a b b c c b a c a c b = 3 +( + )+( + )+( + ) a b a c b c ≥3+2+2+2=9.
(2)显然a≠4,当a>4时,a-4>0, ∴ 3 + a = 3 +(a − 4)≥ 2 3 ×(a − 4) + 4 = 2 3 + 4 ,当且仅当 a−4 a−4 a−4
3 = a − 4, = 4 + 3 时,取等号; 即a a−4
当a<4时,a-4<0, ∴ 3 + a = 3 +(a − 4)+ 4 = − 3 +(4 − a)]+ 4 ≤ −2 3 ×(4 − a) + 4 [ a-4 a−4 4−a 4−a ， =2 3+4 3 当且仅当 =(4 − a) ,即a=4- 3时,取等号. 4−a 3 ∴ + a 的取值范围是(-∞,-2 3 +4]∪[2 3 +4,+∞).
正解 由x+y=1知x2+y2+2xy=1,x2+y2=1-2xy,从而有
1 1 1 z=（x + )(y + )= xy (x2y2+x2+y2+1) x y 2 1 1 + − xy) （1 = (2+x2y2-2xy)= , xy xy 1 1 1 令xy=t(0<t≤ ,t= 4 时，x=y= ), 2 4 2 2 1 +(1 − t) 则z= = t +t-2. t
(
)
≥ 3800 + 2 16 ×108 = 118000
…………………………10′
当且仅当 4000x 2 =
400000 ,即x=10时取等号. x2
即计划至少要投入11.8（万元）才能建造这个休闲小区.14′.
学后反思 用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某 个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数， 再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足 前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最 值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个 关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面求条 件最值的方法来求最值.
1 = x − 2 ,即x=3时，取等号. 当且仅当 x−2
(2)若x<2,则x-2<0.故
1 1 1 − f ( x) = − + ( x − 2) + 2 = + (2 − x) − 2 ≥ 2 • (2 − x) − 2 = 0 x−2 2− x 2− x
所以f(x)≤0,当且仅当
举一反三
1 2. 求f(x)= x − 2 +x的值域.
解析： 由已知得 f ( x ) = (1)若x>2,则x-2>0. 故
f ( x) =
1 1 +x= + ( x − 2) + 2 x−2 x−2
1 1 + ( x − 2) + 2 ≥ 2 • ( x − 2) + 2 = 4 x−2 x−2
3 ×(a-4)=3为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求 a−4
A +B(A>0,m>0),g(x)恒正或恒负)的 g(x)
最值,通常化成y=mg(x)+
形式,然后运用基本不等式来求最值. (2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是 解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求 最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常 见的错解为：
方法二：∵x+y=1,∴x2+y2+2xy=1, ∴x2+y2=1-2xy, 1 1 1 2 2 2 2 z = (x + )(y + ) = ∴ (x y +x +y +1) x y xy 2 2 . 2 + x y − 2xy 2 2 = =( + xy)− 2 ≥ 2 ⋅ xy − 2 = 2( 2 − 1) xy xy xy 1 1 错解分析 方法一中z=4成立的条件是 = 且 y = ，即x=1且 x x y 2 y=1，与x+y=1相矛盾；方法二中z=2（ 2-1）的条件是 =xy， xy 1 即xy=2,这与0<xy≤ 相矛盾. 4
2
3. 利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有 最小值 是 2 p .(简记:积定和最小) (２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y 时, xy有 最大
p2 是 .(简记:和定积最大) 4
典例分析
题型一 证明不等式 【例1】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
当
学后反思 (1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有 时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数 或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积 为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第 (2)小题中 现
3 3 +a虽不是定值,但变形为 +(a-4)+4即可发 a−4 a−4
解析： 可设买x张游泳卡,总开支y元,则 (1)每批去x名同学,共需
48 × 8 批. x
总开支又分为:①买卡所需费用240x;
48 × 8 × 40 ②包车所需费用 x 48 × 8 y = 240 + × 40(0<x≤48,x∈N*), ∴ x
∴ y = 240 x + 64 ≥ 240 × 2 x × 64 = 3840
x x
当且仅当 x =
64 x
,即x=8时取等号.
∴每人最少应交
3840 =80(元). 48
48 × 4 (2)每批去x名同学,共需去 x 批.总开支又分为:
①买卡所需费用240x;②包车所需费用 ∴ y = 240 x + ∴
48 × 4 × 40 x
32 32 y = 240 x + ≥ 240 × 2 x × = 1920 2 x x
解 （1）设DQ=y则 x + 4 xy = 200 ,
2
200 − x 2 ,……….3′ y= 4x
S = 4200 x 2 + 210 × 4 xy + 80 × 4 × = 38000 + 4000 x 2 +
1 2 y 2
(2)
400000 0 < x < 10 2 ……………………..7′ 2 x 400000 S = 38000 + 4000 x 2 + x2
∵
y1 > y2 ,∴当x=6时,y有最小值 ymin = 2720