2017春八年级数学下册2.5.2矩形的判定教案

2．5.2 矩形的判定
1．掌握矩形的判定方法；(重点)
2．矩形的判定及性质的综合应用．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线相等且互相平分；
2．四个内角都是直角．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
二、合作探究
探究点一：有一角是直角的平行四边形是矩形
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，
DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
解析：首先利用等边对等角性质得出∠B＝∠ACB；再根据外角和外角平分线性质得出∠FAE＝∠ACB，进而得到AE∥CD，即可推出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质推出四边形ADCE是平行四边形，即可推出四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且相等BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形ADCE是平行四边形是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，
再延长OC至M，使CM＝AN.
求证：四边形NDMB为矩形．
解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC、OB＝OD；若ON＝OB，那么ON＝OD；而CM
＝AN ，即ON ＝OM ，由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB ，∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴四边形NDMB 为平行四边形，MN ＝BD ，∴平行四边形NDMB 为矩形．
方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形
如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平
分线，CE ⊥AN ，垂足为E ，求证：四边形ADCE 为矩形．
解析：本题的垂直关系较多，所以利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明比较简便．
证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，即∠DAC ＝12
∠BAC .又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE ＝∠CAE ＝12∠CAM .∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12
(∠BAC ＋∠CAM )＝180°×12
＝90°.又AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°.∴四边形ADCE 为矩形． 方法总结：题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点四：矩形的性质和判定的综合应用
【类型一】 利用矩形的判定和性质证明和计算
如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的
点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .
(1)求证：四边形EFGH 是矩形；
(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．
解析：(1)首先证明四边形EFGH 是平行四边形，然后再证明HF ＝EG ；
(2)根据题干求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求解．
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴四边形EFGH 是矩形；
(2)解：∵G 是OC 的中点，∴GO ＝GC ，∵DG ⊥AC ，∴CD ＝OD ，∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ，∴BO ＝4cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB ＝DB 2－DC
2＝43(cm)，∴矩形ABCD 的面积＝4×43＝163(cm 2)．
方法总结：要证明四边形是矩形，首先可判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相
等．
【类型二】 矩形判定与动点问题
如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P
从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？
解析：(1)四边形PQCD 是平行四边形，可根据DP ＝CQ ，列出方程后求解即可；
(2)四边形PQBA 是矩形，可根据AP ＝BQ ，列出相应方程求解即可．
解：(1)设经过x s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－x ＝3x ，解得x ＝6，即经过6秒，四边形PQCD 是平行四边形；
(2)设经过y s ，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以y ＝26－3y ，解得y ＝132
，即经过6.5秒，四边形PQBA 是矩形．
方法总结：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等；②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．矩形的判定
有一角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形的性质和判定综合应用
在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题．教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性。