七章傅里叶变换和色散关系
傅里叶变换的基本概念及基本定理
g ( x) sin( 2πnf 0 x)dx = 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。 采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
二维傅里叶变换
——指数傅里叶级数 可以在(-∞ 可以在 展为 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期τ,可以在 ∞,+ ∞)展为 Байду номын сангаас数傅里叶级数: 指数傅里叶级数
第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理
• 恩格斯(Engels) 把傅里叶 傅里叶的数学成 傅里叶 就与他所推崇的哲学家黑格尔 (Hegel) 的辩证法相提并论.
他写道：傅里叶 傅里叶是一首数学的诗， 傅里叶 黑格尔是一首辩证法的诗.
1、三角傅里叶级数展开 、
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期τ,可以在(-∞,+ ∞)展 为三角傅里叶级数:
+∞
f (x, y) = ∫∫ F( fx , f y ) exp[ j2π ( fx x + f y y)df xdf y
−∞
记作:
f(x,y)=
-1{F(f
x,fy)}.
显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写:
f(x,y)
F.T. F.T.-1
F(fx,fy)
f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
图1-5-1 函数 ei2π(fxx+fyy) 的零位相直线族
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 对某个可变换函数组成的系列取极限→不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限→原来函数的广义F. T.
经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
傅里叶变换光谱学方法测量光纤光栅色散
变 换 的方法 来 测 定 和研 究 光 谱 图＿ 。它 同 时测 量 、 １ ］ 记
录所有 谱元 ， 比传 统 的 色散 型光 谱 仪 有 高 得 多 的信 噪 比和分 辨率 ， 已广泛应 用 于化学 、 理和 生物 的基 本研 物 究 和检 测 、 离子 体热 核 反 应 诊 断 及 核 同位 素分 析 等 等
（ ｃ ｏ ｌｏ ｐｉｄ Ｓ ｉｎ ｅ ， ｉｎ ｎ ｏ ｍａｉｎＳ ｉｎ ｅａ ｄ Ｓ ｈ ｏ ｆＡｐ ｌ ｃｅ ｃ ｓ Ｂｅ ｉｇ Ｉ ｆｒ ｔ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｊ ｏ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｃ ｎ ｌｇ ｉｅ ｓｔ ｙ，Ｂｅ ｉｇ １ ０ ９ ｉ ｎ ０ １ ２，Ｃｈｎ ） ｊ ｉａ
Ｒｅｅ ｒｈｏ ｏ ｒ ｒｔａ ｓｏｍ ｐ ｃｒｍｅｒｃｍｅｈ ｄｆｒ ｓ ａｃ ｎＦ ｕｉ ｒｎ ｆｒ ｓ ｅｔｏ ｔｉ ｅ ｔ ｏ ｏ ｍｅ ｓ ｒ ｇｆ ｅ ｒｔ ｇｄｓ ｅｓ ｎ ａｕ ｉ ｉ ｒｇａｉ ｉ ｒｉ ｎ ｂ ｎ ｐ ｏ
Ｊａ ｇＦｅ ｇ，Ｙａ ａ ｈ ｎ，Ｃｈ ｎ ｎ ｓ ａ ｉｎ ｎ ｎ Ｘｉｏ ａ ｅ ｇ Ｑｉｇ ｈ ｎ
ｄ ｓ ｒｂ ｄ ｅ ｃ ｉ ｅ ．Ｔｈ ｓ ｕ ｓ ｏ ａ ｕ ｉ ｇ ａ ｄ ｄ ｔ ｒ ｃ ｓ ｉ ｇ ａ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｅ ｉｓ ｅ ｆｍｅ ｓ ｒ ｎ ａ ａ ｐ ｏ ｅ ｓｎ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ．Ｔｈ ａ ｕ ｅ ｎ ｅ ｕ ｔ ｒ ｉｅ ｎ ｎ ｅ ｍｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔｒ ｓ ｌｓ ａ ｅ ｇ ｖ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｓ ｕ ｃ ｓｏ ｒｏ ｒ ｎ ｌ ｚ ｄ Ｔｈ ｙ ｔ ｍ ａ ｈ ｄ ａ ｔ ｇ ｓｏ ｈ ｉ ｐ ｅ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅａ ｄ ｔ ｅｓ ｏ ｔ ｅ ｓ ｒ ｈ ｏ ｒ ｅ ｆｅ ｒ ｒａ ｅａ ａ ｙ ｅ ． ｅ ｓ ｓ ｅ ｈ ｓ ｔ ｅ ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｆｔ ｅｓｍ ｌ ｔ ｕ ｔ ｒ ｎ ｈ ｈ ｒ ａ ｕ — ｍ
傅里叶变换关系
傅里叶变换关系
傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、声学、光学等领域。
它可以将一个连续或离散的信号分解为一系列不同频率的正弦波，并得到每个正弦波的振幅和相位信息。
傅里叶变换关系指的是连续时间信号和离散时间信号之间的傅
里叶变换公式。
对于连续时间信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：
X(ω) = ∫[0,∞) x(t) e^(-jωt) dt
其中，ω是频率，j是虚数单位。
这个公式表示，将连续时间信号x(t)分解为无穷多个频率为ω的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(ω)，相位为-e^(-jωt)。
对于离散时间信号x(n)，它的傅里叶变换X(k)定义为：
X(k) = Σ[n=0,N-1] x(n) e^(-j2πnk/N)
其中，N是信号的采样点数，k是频率。
这个公式表示，将离散时间信号x(n)分解为N个频率为k的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(k)，相位为-e^(-j2πnk/N)。
傅里叶变换关系的重要性在于，它使我们能够将信号从时域转换到频域，并对信号进行频域分析。
通过分析信号在不同频率上的响应，我们可以了解信号的特性和结构，从而更好地理解和处理信号。
- 1 -。
光线的傅里叶变换解释了色散现象
光线的傅里叶变换解释了色散现象色散现象是光线通过任何介质时，根据其不同的波长，会发生不同程度的折射和偏折。
这种现象可以由光线的傅里叶变换来解释。
傅里叶变换是一种将函数或信号分解成不同频率成分的数学工具，而光线的傅里叶变换则是将光线的波长分解成不同频率的成分。
光线是一种电磁波，其波长和频率之间存在着反比关系。
波长较长的光线对应着较低的频率，而波长较短的光线则对应着较高的频率。
当光线穿过介质时，由于介质的结构和性质的不同，不同波长的光线会产生不同程度的相互作用。
傅里叶变换告诉我们，任何一个函数都可以通过一系列正弦和余弦函数来表示。
对光线而言，这意味着光线可以被视为由不同频率成分的正弦和余弦波叠加而成。
当光线在介质中传播时，不同频率成分的波长将受到介质的影响，导致光线的色散现象。
色散现象的主要原因是介质中的折射率会随着波长的改变而改变。
折射率是介质对光线的传播速度的度量。
当光线从一个介质进入另一个介质时，由于两个介质的折射率不同，光线的传播速度会发生改变，从而引发光线的折射和偏折现象。
根据傅里叶变换的概念，光线中的不同频率成分将会受到介质折射率的不同程度影响，因此导致光线的色散现象。
具体来说，介质的折射率随波长的变化而变化，而不同波长的光线会在介质中传播的速度上产生不同的影响。
根据斯涅耳定律和傅里叶变换的原理，折射率与光线波长之间存在一种关系，即光线波长越长，介质的折射率越小，光线传播速度越快，波长越短的光线则相反。
这种不同波长光线透过介质后传播速度的差异，导致了光线的折射角和偏折角的改变，从而产生了色散现象。
波长较长的光线由于传播速度较快，在介质中会偏离原来的传播方向较小；相反，波长较短的光线由于传播速度较慢，会偏离原来的传播方向更大。
这种折射和偏折导致了不同波长的光线在介质中的传播路径的分离，从而看起来呈现出不同的颜色。
常见的色散现象可以通过光通过三棱镜产生的现象来说明。
当白光通过三棱镜时，波长较长的红光偏离原来的传播路径较小，而波长较短的蓝光偏离原来的传播路径较大，因此出现了红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七种不同颜色的光谱。
傅里叶变换和色散关系
n=-∞
Δkn
l
1∞ = cn kn x Δkn, 因为 Δk 0，求和变为积分
Δk n=-∞
1∞
1l
1l
= ck k x k, 其中 ck = cn = f (x) - kn x x = f (x) - k x x
Δk -∞
2 l -l
2 l -l
∞1
l
π
=
f (x) - k x x k x k, 注意 Δk = Δkn = , 2 l Δk = 2 π
lim
A+∞
-∞
f (t) - f (k) k x k 2 π -A
t 0
◼ 容易推广至三维
∞∞∞ 1
∞∞∞
f (x, y, z) =
f (x, y, z) - (kx x+ky y+kz z) x y z (kx x+kz y+kz z) kx ky kz
-∞ -∞ -∞ (2 π)3 -∞ -∞ -∞
π 0 -∞
若 f (x) 为奇函数 ，上式第一项为 0
1∞
∞
ℱS[ f (x)] = f (ξ) sin k ξ ξ = f (ξ) sin k ξ ξ = f S(k) 正弦变换
2 -∞
0
2 ∞
ℱS-1 f S(k) = f S(k) sin k x k = f (x)
π0
若 f (x) 为偶函数 ，(1. 2) 式第二项为 0
x, bn = f (x) sin
x
2 n=1
l
l
l -l
l
l -l
l
上式即为任意满足 Dirichlet 条件且周期为 2 l 的函数之 Fourier 级数。 若函数仅在[-l, l ] 区间有定义，则可做周期延拓： f (x) = f (x ± 2 l) = ⋯，从而：
傅里叶变换红外光谱仪使用的是光栅色散元件
傅里叶变换红外光谱仪使用的是光栅色散元件傅里叶变换红外光谱仪是一种光谱分析仪器，可用于对物质分子的结构及化学键信息进行分析。
其工作原理是将样品吸收后的红外光分离成不同波长的成分，通过检测不同波长的光强度变化来获得样品的红外光谱图像。
其中，光栅色散元件是傅里叶变换红外光谱仪中的核心组件之一，下面我们来详细了解一下它的工作原理和特点。
工作原理：光栅色散元件是一种利用光栅的衍射原理来分离光波的光学元件。
当入射光波通过具有周期性结构的光栅时，会发生衍射现象，不同波长的光波会发生相位差异，从而分离成不同角度的衍射光，形成不同波长的光谱线。
通过旋转光栅可改变衍射出来的光线的角度，从而改变输出的波长范围。
特点：1.高分辨率。
由于光栅具有高精度、高准直性的特点，因此能够在不影响光路长度的前提下实现高分辨率的光谱分离。
2.宽波长范围。
光栅色散元件能够适应不同波长的光谱分析需求，具有较大的波长范围。
通常可覆盖红外光谱中1000 cm-1至4000 cm-1的大部分波长范围。
3.易于控制。
光栅色散元件的旋转角度直接影响输出波长的范围，用户可以通过控制旋转角度来实现需要的波长范围。
4.适应性好。
光栅色散元件能够适应不同的光源和检测器，具有较强的适应性和通用性。
同时，其结构简单、制作工艺成熟，具有较高的稳定性和可靠性。
5. 成本较低。
相较于其他光谱分析元件，光栅色散元件制作成本较低，易于批量生产和使用，可以降低仪器的生产成本和使用成本。
总之，光栅色散元件作为傅里叶变换红外光谱仪的核心组件之一，具有高分辨率、宽波长范围、易于控制、适应性好和成本较低等特点，是一种重要的光谱分析元件。
七章傅里叶变换和色散关系
T
T /2 f (t ) ei 00t dt
T /2
(n 0)
cn
an
i bn 2
1 2
2 T
T /2
T /2 f (t) cos n0t d t
2i
T
T /2
T /2 f (t) sin n0t d t
1
T
T /2 T /2
f (t)
cos n0t i
非正弦周期函数:矩形波
u(t)
1,
1,
T / 2 t 0 0t T/2
u
1
t T / 2 o T / 2
1
可以用不同频率正弦波叠加构成！ 4
u 8 sin t T
u 8 (sin t 1 sin 3t)
T
3
u 8 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
考察复数形式的傅里叶级数:
f (t)
c eint n
n
(n 0,1, 2, )
cn
1 T
T/2 f (t) eintd t
T /2
16
T/2
设 lim
f (t)dt 存在，我们形式定义非周期函数的
T T /2
“傅里叶级数”:
f (t) lim T
c e in0t n
c eint n
n
n
cn
1 T
T/2 f (t)eintd t
T /2
n n0
(n 0,1, 2, )
15
§7.2 傅里叶变换 1 傅里叶积分和傅里叶变换
常用傅里叶变换+定理+各种变换规律(推荐)
√
√
f
(t )
=
⎪⎧1 ⎨
−
t
⎪⎩
τ, t 0, t
<τ >τ
τSa 2
ωτ (
)
2
W Sa2 (Wt )
2π
2
F
(ω
)
=
⎪⎧1 ⎨
−
ω
⎪⎩
W,ω <W 0, ω > W
√ e−atu(t), Re{a} > 0
e −a t , Re{a} > 0 √
e−at cosω0tu(t), Re{a} > 0 √
)
√
时域微 分性质 时域积 分性质
√ 时域卷
积性质
√ 对称性
d f (t) dt
∫t f (τ )dτ −∞
f (t) * h(t)
f (−t) f * (t)
f * (−t)
jωF (ω)
F(ω) + πF (0)δ (ω) jω F (ω)H (ω)
F (−ω) F * (−ω ) F * (ω )
−∞ 1/ 2
= ∫ exp(− j2πux)dx
rect
x a
=
1, 0,
−1/ 2
=1
1/2
exp(− j2πux)
− j2πu
-1/2
= sin(πu) πu
结论：
x ≤a 2
其它
= sinc(u) rect（x） F.T. sinc（u）
5
普遍型
F
rect
x a
= a sin(πau) πau
2
2
2
+∞
2π ∑ Fkδ (ω − kω0 ) k =−∞
物理学概念知识：色散关系和波长衍射
物理学概念知识：色散关系和波长衍射色散关系和波长衍射是物理学中非常重要的两个概念，对于我们了解光学现象和理解光的本质具有重要的意义。
本文将从定义、原理和应用方面介绍这两个概念，希望读者可以深入理解它们的内涵和应用。
一、色散关系1.1定义色散关系是指不同频率的光在介质中传播时其速度不同的现象。
光的频率与波长是有固定的关系的，因此这个现象也会使得不同波长的光在介质中传播的速度不同。
1.2原理根据物理学中的光速度公式，我们可以得到光在真空中的速度是一个定值，即光速度c。
但在介质中，光的传播速度会与介质的折射率有关。
根据光速度公式，可以将光的速度表示为：v=c/n其中，v为光在介质中的速度，c为光在真空中的速度，n为介质的折射率。
不同频率的光在介质中传播时其速度不同，因此波长也会受到影响。
当光通过介质时，由于介质折射率的变化，会使得传播速度与波长有关。
根据光速度公式可以得到，传播速度和波长成反比例关系，即：v~1/λ因此，不同波长的光在介质中的速度也不同，这就是色散关系的核心原理。
1.3应用色散关系对于光学设备和材料的制造有着重要的应用价值。
例如，在光谱仪中，可以利用色散关系将光分解为不同波长的成分，并对不同波长的光进行分析。
另外，许多材料的折射率会随着波长的变化而变化，这使得它们可以用于制造光学滤光片、棱镜等光学元件，进而改变光的波长和颜色。
二、波长衍射2.1定义波长衍射是指光通过一个具有周期性结构的物体时，由于衍射现象的作用，在远离物体的位置上会出现光的衍射图案。
2.2原理波长衍射的原理可以用物理学中的夫琅和费衍射公式描述，即：sinθ=mλ/d其中，θ表示衍射角，m表示衍射级别，λ表示光的波长，d表示衍射物体的周期。
当光通过衍射物体时，光的波长决定了每一个衍射级别的位置和强度。
具体来说，当光通过衍射物体时，物体上的每一个周期都会对光产生一个相位差。
这个相位差会决定不同波长的光在空间中的干涉效果，使得不同波长的光在远离物体的位置上呈现出不同的衍射图案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
cn
1 T
T/2 f (t)eintd t
T /2
(n 0, 1, 2,L )
另一方面：
n n n1 2 / T
非周期函数的复数 “傅里叶级数”改写为：
f (t) lim T
c eint n
n
cn
n 2
T /2 f (t) eintd t
T / 2
17
把cn代入f(x)，则非周期函数表示为
2x2
e2
（α>0）的像函数。
解
f%(k) 1 f ( x)eikxdx
2
1
2
e e dx
2x2 2
ikx
1 4
考虑到f(x)是偶函数
2
2x2
e 2 cos kxdx
1 4 2 0
利用积分 eax2 cos bxdx 1
0
2
1
e
k2 2 2
14
b2
e 4a
.
f
'(
x)]
ik
1
2
f
(
x
)eikxdx
=ikf% k
.
26
例:证明 F .T[ f%(k)] ixf ( x)
证明：F .T[ f%'(k)] 1 df%(k) eikxdk
2 dk
f x 1 f%(k)eikxd k,
2
推广：
F .T[ f%(n) (k )] ix n f ( x)
f
(t )
cos n0t i
sin n0t
dt
1 T /2 f (t )ei n0tdt (n 1, 2,L )
T T /2
同理
cn
an
i bn 2
1 T
T /2 f (t )ei n0t dt
T /2
(n 1, 2, L )
14
因此得 傅里叶级数的复数形式:
f (t)
c e in0t n
11
an
2 T
T /2
T /2 f (t) cos n0t dt
( n 1, 2乘 ②式两边,再逐项积分可得
归纳:
2
bn T
T /2
T /2 f (t)sin n0t dt
(n 1, 2, L )
2
an T
T /2
T /2 f (t) cos n0t d t
考察复数形式的傅里叶级数:
f (t)
c eint n
n
(n 0,1, 2,L )
cn
1 T
T/2 f (t) eintd t
T /2
16
设lim T /2 f存(t在)d，t 我们形式定义非周期函数的 T T /2
“傅里叶级数”:
f (t) lim T
c eint n
n
n 2n / T
式 ① 称为f(t)的傅里叶级数 . 问题: a0, an, bn 等于什么? 引入圆频率ω0=2π/T，重写①
②
9
狄里希利定理 : 若函数f(t)满足条件： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，
且在收敛点有：
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
a
25
2 傅里叶变换的基本性质
(1) 导数定理 F .T[ f '( x)] ikf%(k)
证明：F .T[ f '( x)] 1 df ( x) eikxdx
2 dx
f% k 1 f ( x) e i kxd x,
2
b u v d x u v b b v u d x
T/2 f (t)d t a0
T /2
2
T /2
dt
T /2
n1
an
T /2
1
T /2
cos
n0t
dt
bn
T /2
T
1
/2
sin
n0
t
dt
a0
2 T
T /2
f (t)d t
T /2
由三角函数的正交性得0
②式乘 cos nω0t 并在[-T/2,T/2]内逐项积分并运用正交性, 得
2
像函数
有 f (t) 1 f%()eit d. 称～f(ω)的逆傅里叶变换
2
原函数
18 18
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间(-，+)上满足条件:
(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；
(2) 在区间 (-，+ )上绝对可积（即
f收(t敛) d）t ， 则
f(t) 可表为傅里叶积分，且在间断点处
a
a
a
1
2
f
( x)eikx
1
2
f ( x) eikx dx
1 ik f ( x)eikxdx
2
根据傅里叶积分定理， lim f ( x) 0 x
推广：
F .T[ f (n) ( x)] ik n f%(k )
f% k 1 f ( x) e i kxd x,
2
F
.T[
非正弦周期函数:矩形波
1, T / 2 t 0
u(t)
1,
0t T/2
u
1
t T / 2 o T / 2
1
可以用不同频率正弦波叠加构成！
4
u 8 sin t T
u 8 (sin t 1 sin 3t)
T
3
u 8 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
T
3
5
5
u 8 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
再次考察周期为 [-T/2,T/2] 的f (t)的傅里叶级数：
f (t)
a0 2
an cos n0t
n1
bn sin n0t
f
(t)
a0 2
n1
an 2
i bn
2
c0
e a0
2
n1
an i bn ei n0t an i bn
2
2
cn cn
i n0t
13
注意到 c0
解: 由傅里变换定义式，我们有δ(t)的像函数
%() 1 (t)eitdt 1
2
2
由δ(t)函数的像函数和傅里变换像函数定义，我们得 出δ(t)函数的积分表达式
(t) 1 % eitd
2
1 1 eitd
2 2
1 e d it
2
24
例7.3 求
f
(x)
14
a0 2
1 T
T /2 f (t) dt 1
T / 2
T
T /2 f (t ) ei 00t dt
T /2
(n 0)
cn
an
i bn 2
1 2
2 T
T /2
T /2 f (t) cos n0t d t
2i
T
T /2
T /2 f (t) sin n0t d t
1
T
T /2 T /2
傅里叶积分值= [ f (t ) f (t )] /，2则
f%() 1 f (t)ei td t,
2
1
f (t)
f%()eit d.
2
f(t)的傅里叶变换对
19
用空间变量x代替时间变量t，则有
在空间域的傅里叶变换对（按教材规定）
f%(k) 1 f ( x) e i kx d x,
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和”
•
——傅里叶的第一个主要论点
• “非周期信号都可用正弦信号的加
权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
3
1 傅里叶级数 （1）波的叠加
在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如 Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角频率,φ 是初相位. 其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加 表示出来.
是许多不同频率的正弦或余弦函数的叠加所构成。
将时间坐标t换为空间坐标x,同时将周期换为空间长度2l,我
们同样有一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以看作是许多不
同频率的正弦或余弦函数的叠加所构成。
6
（2）. 三角函数族及其正交性
引入三角函数族
①其中任意两个不同的函数之积在 [-T/2,T/2]上的积分等于 0 。 ②两个相同的函数的乘积在[-T/2,T/2] 上的积分不等于 0 。
f%(k) 1 f ( x) e i kx d x,
2
f ( x) 1 f%(k) ei kx dk.
2
时间间域傅里叶变换对（按教材规定）
f%() 1 f (t)ei td t,
2
f (t) 1 f%()eit d.
2
注意： 基元函数定义差别
23
例7.2 求δ(t)的像函数.
T
3
5
7
u 8 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
T
3
5
7
9
u(t) 8 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t L )
T
3
5
7
(T / 2 t T / 2,t 0)
由上例可以推断：一个周期为T的函数f(t+T)= f(t) 可以看作