高二数学配套课件4.1.3 导数的概念和几何意义(湘教版选修2-2)
高中数学第四章导数及其应用4.1导数概念4.1.3导数的概念和几何意义训练湘教版选修2-2(202
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4．1。
3 导数的概念和几何意义一、基础达标1．设f′（x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f（x0)）处的切线（）A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案B2．已知函数y＝f（x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是（）A．f′（x A）〉f′(x B) B．f′（x A)〈f′（x B)C．f′（x A)＝f′（x B) D．不能确定答案B解析分别作出A、B两点的切线，由题图可知k B>k A，即f′（x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数,由导数定义可求y′＝4x,∴f′(2）＝8。
答案C4．已知函数f(x）在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（) A．f(x)＝（x－1)2＋3（x－1)B．f（x）＝2(x－1)C．f(x）＝2(x－1）2D．f(x)＝x－1答案A解析分别求四个选项的导函数分别为f′（x)＝2（x－1)＋3;f′（x)＝2；f′（x)＝4(x－1）；f′(x）＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1，4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．答案 3 3x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d）2＋（1＋d）＋2－(12＋1＋2）＝3d＋d2，故y′|x＝1＝错误!错误!＝错误!（3＋d）＝3。
导数的概念课件
导数的概念课件导数的概念课件数学作为一门抽象而又具有普适性的学科，其中的导数概念在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
导数的概念是微积分的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
本文将以课件的形式介绍导数的概念，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
在导数的定义中，我们引入极限的概念，即当自变量趋向于某一点时，函数在该点处的斜率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的几何意义导数的几何意义可以从函数图像的角度进行理解。
导数表示了函数图像在某一点处的切线斜率。
当导数为正时，函数图像在该点处上升；当导数为负时，函数图像在该点处下降；当导数为零时，函数图像在该点处达到极值点。
三、导数的计算方法导数的计算方法有多种，常见的包括基本函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘法法则和除法法则等。
这些计算方法可以帮助我们快速求解复杂函数的导数。
四、导数的应用导数在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在数学中，导数可以用于求解函数的极值点、判断函数的增减性和凹凸性等问题。
在物理学中，导数可以用于描述物体的运动状态，如速度和加速度等。
五、导数的图像导数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的变化规律。
通过绘制函数图像和导数图像，我们可以观察函数的极值点、拐点和增减性等特征。
六、导数的局限性导数作为函数变化率的描述，虽然在很多情况下非常有用，但也有其局限性。
导数无法描述函数在间断点处的变化，也无法描述函数的非光滑性。
此外，导数还受到计算精度的限制，对于复杂函数的导数计算可能存在误差。
七、总结导数作为微积分的基础概念，在数学和物理学中有着重要的应用。
通过本课件的介绍，我们对导数的概念、几何意义、计算方法和应用有了更深入的了解。
同时，我们也了解到导数的局限性，这将有助于我们在实际问题中正确应用导数概念。
湘教版数学高二备课资料导数的几何意义
导数的几何意义几何意义一阶导就是曲线的斜率，代数意义一阶导就是函数的变化率.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.又称变化率.如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x 与时间t 的关系为x ＝f （t ），那么汽车在由时刻t 0变到t 1这段时间内的平均速度是，当 t 1与t 0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t 0 到 t 1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限 作为汽车在时刻t 0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.一般地，假设一元函数 y ＝f (x )在 x 0点的附近(x 0－a ，x 0 ＋a )内有定义，当自变量的增量Δx ＝ x －x 0→0时函数增量 Δy ＝f （x ）－ f （x 0）与自变量增量之比的极限 存在且有限，就说函数f 在x 0点可导，记作，称之为f 在x 0点的导数（或变化率).若函数f 在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I 为定义域的新函数，记作 f ′，称之为f 的导函数，简称为导数.函数y ＝f （x ）在x 0点的导数f ′（x 0）的几何意义：，表示曲线l 在P 0〔x 0，f （x 0）〕 点的切线斜率.二阶导数的几何意义意义如下：（1）斜线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性.关于你的补充：二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率.在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的.应用：如果一个函数f (x )在某个区间I 上有f ''(x )（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I 上的任意x ,y ，总有：f (x )+f (y )≥2f [2x y ]，如果总有f ''(x )<0成立，那么上式的不等号反向. 几何的直观解释：如果一个函数f (x )在某个区间I 上有f ''(x )（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I 上f (x )的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方.凹凸性和拐点.二阶导数为正，函数在局部为凸函数（但直观上是向下凹陷的，“凸”字可以沿坐标y轴自下向上看来理解）；二阶导数为负，函数在局部为凹函数（有人也称上凸，似更直观）.二阶导数为0，而且函数在该点左右两边二阶导数正负号改变，则称该点为“拐点”，几何直观上就是改变凹凸性的点（切线变化方向改变的点）.。
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
高中数学第四章导数及其应用章末归纳课件湘教版选修2_2
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编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
又f(1)＝4＋2＝6，
所以切点的坐标为(1,6)．
所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，即7x－y－1＝0.
点评 根据导数的几何意义，可以通过求导数来求 切线的斜率，再根据切点是曲线与切线的公共点， 求出切点的坐标，代入直线方程的点斜式就可以求 出切线的方程．
【例的2图】 象点的P一(2个,0公)是共函点数，f(且x)＝两x条3＋曲a线x与在g点(xP)处＝有bx相2＋同c 的切线，求a，b，c的值．
的导函数恰好是已知的被积函数．
专题一 应用导数解决与切线相关的问题
根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率， 从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．
设函数f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线y＝f(x)在点 【例(11】，f(1))处的切线方程．
解 f′(x)＝8x－1x.
所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7，
【例3】 设函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取
值范围；
(3)当a＝
2 3
时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相
异的实根，求实数b的取值范围．
第四章 导数及其应用
湘教版数学选修2-2配套课件：4-1-3导数的概念和几何意义
(2)点(1,0)不在曲线y＝x2上． 设过点(1,0)与曲线C相切的直线其切点为(x0，x20)， 则切点处的斜率为2x0.切线方程为y－x02＝2x0(x－x0) (*) 又因为此切线过点(1,0)． ∴－x02＝2x0(1－x0)，解得x0＝0或x0＝2， 代入(*)式得过点(1,0)与曲线 C：y＝x2相切的直线方程为y＝0 或4x－y－4＝0.
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
规律方法 本题主要考查了导数的几何意义以及直 线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为 切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，
不论点是否在曲线上，均需设出切点．
跟踪演练4 求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．
解 由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝2x上，
所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝
时，f1＋2dd－f1的值为
()
1 A.2
B．2
C．f′(2)
D．f′(12)
答案 B
要点二 求函数某一点处的导数 例2 已知f(x)＝1x，求f′(1)．
解 f1＋dd－f1＝1＋1 dd－1＝1－ ＋ddd＝1－＋1d， 由于d→0时，1－＋1d→－1，故f′(1)＝－1.
规律方法 差分式化成分子和分母极限都在的情形 (但分母极限不能为0)，如果分母极限为0，则从分 母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去， 便可得出正确结论．
导数的概念及其几何意义课件
弹性分析：通 过导数计算需 求弹性、供给 弹性等，分析 市场供需关系
动态分析：通 过导数计算动 态均衡、动态 优化等，分析 经济动态变化
经济增长模型： 通过导数建立 经济增长模型， 分析经济增长
规理论：导数在控制系统 中用于计算控制参数，实现 精确控制
优化设计：通过导数计算， 找到最优解，提高工程效率
导数的几何意义
导数与切线斜率的关系
导数是函数在某一点的切线斜率 导数等于函数在该点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率的极限
导数与函数图像的变化趋势
导数是函数在某一点的斜率 导数的正负决定了函数图像的变化趋势 导数为正，函数图像上升 导数为负，函数图像下降 导数为零，函数图像在该点处可能存在拐点
导数与极值点的关系
导数是函数在某一点的斜率
导数为0的点可能是极值点
添加标题
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极值点是函数在某一点处的最大 值或最小值
导数为正或负的点可能是极值点
导数与函数增减性的关系
导数是函数在某一点的切线斜 率
导数大于0，函数在该点递增
导数小于0，函数在该点递减
导数等于0，函数在该点可能存 在极值
导数的概念及其几何意义
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汇报时间：20XX/XX/XX
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 导数的概念 3 导数的几何意义 4 导数的应用
单击此处添加章节标题
导数的概念
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的应用
高中数学湘教版选修2-2：(课件)湘教版 选修2-2 第四章4.1 导数概念
自我挑战 求曲线 y＝1x3 上横坐标为 2的点处的 2
切线方程．
解：将 x＝ 2代入 y＝1x3 得 y＝ 2， 2
∴切点的坐标是( 2， 2)．
1 Δy＝2 d
2＋ d3－ d
2 ＝3＋32 2d＋12d2.
当
d
趋于
0
时，Δy趋于 d
3.
∴( 2， 2)点处的切线斜率为 3.
∴过点( 2， 2)的切线方程为 y－ 2＝3(x－ 2)，
f u＋ d－ fu PQ的_斜__率___k(u，d)＝_______d_________.
(2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u，d)中让d 趋于_0_____，如果k(u，d)趋于_确__定__的__数__值______ k(u)，则k(u)就是曲线在点P处的切线斜率． 思考感悟 d的值一定是正值吗？ 提示：不一定．d可正可负，但不能为零．
课堂互动讲练
考点突破 求平均速度
求函数 s＝s(t)在[t，t＋d]上平均速度的一般步
骤：
(1)先计算函数值的改变量 Δs＝s(t＋d)－s(t)；
(2)再计算自变量的改变量 d；
(3)得平均速度Δds＝s
t＋d－ d
s
t .
例1 一做直线运动的物体，其路程 s 与时间 t 的 关系是 s＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求 t＝0 到 t＝2 时的平均速度．
(2)计算直线
PQ
的斜率
k(u，d)＝f
u＋
d－ d
fu；
(3)求 d 趋于 0 时，k(u，d)的趋近值．
本部分内容讲解结束
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即切线方程为 3x－y－2 2＝0.
《导数的几何意义》课件
热量与温度
在热传导问题中，导数的几何意义可以帮助 理解热量在物体中的传递和分布。温度是热 量的度量，而物体中的温度梯度（即温度随
位置的变化率）可以用导数来表示。
经济问题
要点一
供需关系
在经济学中，导数可以用来分析供需关系的变化。需求函 数或供给函数的导数可以描述价格与需求量或供给量之间 的变化率，帮助理解市场的均衡状态和价格调整机制。
隐函数求导
方法
通过对方程两边求导来求解隐函数的导数。
注意事项
在求导过程中，需要保持方程两边的等价关 系，并注意复合函数的求导法则。
04
导数在实际问题中的应用
物理问题
速度与加速度
在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的 运动状态。速度是位置函数的导数，表示物 体在单位时间内通过的距离；而加速度是速 度函数的导数，表示物体速度变化的快慢。
02 导数可以用来求解微分方程，通过对方程进行求 导和积分，可以得到微分方程的解。
03 微分方程是描述物理现象的重要工具，通过求解 微分方程，可以了解物理现象的变化规律。
THANKS
感谢观看
信号处理
在信号处理和图像处理中，导数起着关键作用。信号的强度随时间的变化率可以用导数 来描述，而图像的边缘和轮廓可以通过求导来检测。此外，导数还可以用于图像的锐化
和模糊处理等操作。
05
导数的扩展知识
高阶导数
01
定义
高阶导数是函数导数的连续函数 ，表示函数在某一点的n阶导数 。
02
03
应用
计算方法
导数的性质
总结词
导数具有一些基本的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有可加性、可乘性和链式法则等基本性质。这些性质是导数运算的基础，有助于理解和计算复杂的导数表 达式。
高中数学选修2-2-导数的几何意义-课件.ppt
3）函数在点 x0 处的导数 f (x0) 就是导函数f (x)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点x0
处的导数的方法之一。
课堂练习: 如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画 出其导函数图像的大致形状。
P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程 关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 ,就是
药物浓度 f t在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
例3 如图1.1 4,它 cmg/ml 1.1
表示人体血管中药 1.0
直观本质。
例1.求曲线y=x2 -1在点（-2，3）处的切线的斜率,
并写出切线方程。
解 : y f (2 x) f (2)
[(2 x)2 1] [(2)2 1]
x2 4x
y x2 4x x 4
x
x
f (1)= lim y lim (x 4) 4
x x0
x 0
k 4
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数在点 x0 处的导数f (x0) 、导函数 f (x) 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f (x0) ，就是在该点的 函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它 是一个常数，不是变数。
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函数f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线f(x)在点(x0，f(x 3． 斜率 ． 0))处的切线的
答案 B
若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列选项正确的是 ( 2．
)．
A．f′(x)＝2
B．f′(x)＝2x0 C．f′(x0)＝2x0 D．f′(x0)＝d＋2x0 答案 C
3． 已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
(
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 答案 A
1 －1 f1＋d－f1 1＋d －d －1 解 ＝ ＝ ＝ ， d d 1＋dd 1＋d －1 由于d→0时， →－1，故f′(1)＝－1. 1＋d 点评 差分式化成分子和分母极限都在的情形 ( 但分母极限
不能为0) ，如果分母极限为 0，则从分母中分离出导致分母 趋于0的因式，与分子约分消去，便可得出正确结论．
4d2x＋d 4 4 2－ 2 fx＋d－fx x＋d x x2x＋d2 解 ＝ ＝－ d d d 42x＋d ＝－ 2 2. x x＋d 42x＋d 8x 8 当d→0时，－ 2 2趋于－ 4 ＝－ 3. x x x x＋d 8 即f′(x)＝－ 3.∴f′(2)＝－1. x
自主探究
曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线与导数的关系． 提示 函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线
必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数 f(x) 的曲线在
点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x ＝0处有切线，但它不可导． 即若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，但有 切线，则切线与x轴垂直．若f′(x0)存在，且f′(x0)
(4)求导数的步骤主要有三步： ①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋d)－f(x0)； Δy fx0＋d－fx0 ②求平均变化率： ＝ ； d d Δy lim ③取极限：f′(x0)＝d→0 . d
2．导数的物理意义 若物体的运动方程为 s ＝s(t) ，则位移对时间的导数为在 t0 处 的瞬时速度．
4.1.3 导数的概念和几何意义
【课标要求】 1．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点上的导数的 方法．
2．理解导数的几何意义．
自学导引
1． 函数fox)在x＝u处步长为d的差分为 f(u＋d)－f(u)，差商为
fu＋d－fu d
，它表示函数在自变量的某个区间上
，它反映了自变量在某个范围内变化
典例剖析
题型一 导数的概念 f1＋d－f1 【例1】 设函数f(x)(x∈R)可导，则当d趋于0时， 3d 趋于 A．f′(1) 1 C. f′(1) 3 B．3f′(1) D．f′(3) ( )．
f1＋d－f1 1 f1＋d－f1 解析 原式＝ 3 · ，当d趋于0时， 趋 d d 于f′(1)． 1 故原式趋于 f′(1)，故选C. 3
的 时，
平均变化率
函数值 变化的总体的快慢．
2．设函数 f(x)在包含 x0 的某个区间上有定义，如果比值
fx0＋d－fx0 d 在 d 趋于 0 时(d≠0)趋于 确定的极限值 ，
则称此极限值为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数或 微商 ，记作
fx0＋d－fx0 →f′(x0)(d→0) f′(x0) ，上述定义可简述为 d ．
答案 C
点评 在利用导数定义求函数在某点处导数值时，往往采用
凑项的方法凑成定义的形式再解决．
1．已知f(x)在x∈R时处处可导，若f′(1)＝1，则d→0时 f1＋2d－f1 的值为 d 1 A. 2 C．f′(2)
答案 B
( B．2
1 D．f′ 2
)．
题型二 求函数某一点处的导数 1 【例2】 已知f(x)＝ ，求f′(1)． x
>0，则切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)<0，切线与x轴正向
夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．
预习测评
fx0＋h－fx0 lim 1．f(x)在x＝x0处可导，则h→0 h A．与x0、h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关 ( )．
若物体的运动速度与时间关系为v＝v(t)，则速度对时间的导
数为在t0时刻的加速度． 3．导数的几何意义 (1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快 慢的一个量，其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．
(2)f′(x)是指随x变化，过曲线上的点(x，f(x))的切线斜率与自
变量x之间的函数．
2．已知f(x)＝ x(x>0)，求f′(1)．
f1＋d－f1 1＋d－1 d 解 ＝ ＝ ， d d d 1＋d＋1 1 ＝ ， 1＋d＋1 1 1 1 当d→0时， →2，故f′(1)＝2. 1＋d＋1
题型三 求函数的导函数 4 【例3】 求函数f曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的平 均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝_______. 答案 3＋d 3
1．导数的概念
要点阐释
fx0＋d－fx0 (1)若d→0时差商 极限存在，则称f(x)在x0处可 d 导，否则不可导或导数在x0处不存在． (2)d→0表示d 由数0的左、右两侧向0无限靠近，但d≠0. (3)y＝f(x)在x0处的导数有多种表达形式，如 limfx0＋d－fx0或lim fx0－fx0－d或 lim fx－fx0. x→x0 d→0 d→0 d d x－x0 但要把握住定义，注意分子中函数值的差与对应自变量的 差，有时须凑成定义的形式求导数值．