江西省宜春市2018届高三六校联考理数试题

江西省宜春市2018届高三六校联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则集合.本题选择A选项.2. 复数（是虚数单位）的模等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意：，该复数的模为.本题选择A选项.3. 下列说法正确的是（）A. 若命题：，，则：，B. 已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加4个单位C. 命题“若圆：与两坐标轴都有公共点，则实数”为真命题D. 已知随机变量，若，则【答案】C【解析】命题的否定是，A错误；相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均减少4个单位，B错误；若圆与两坐标轴都有公共点，则，解得，C正确；随机变量，若，则，D错误．故选C．4. 按下列程序框图来计算：如果输入的，应该运算（）次才停止A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】初始化，然后该框图一直执行到停止，则：据此可得，程序运行4次循环之后结束.本题选择C选项.5. 在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3；则其焦点坐标为(−4,0)和(4,0)，恰好是A. C两点，则AC=2c=8，BC+BA=2a=10；由正弦定理可得：；本题选择D选项.6. 数列的首项为3，为等差数列且（），若，，则（）A. 0B. 3C. 8D. 11【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，则，，，所以，选B.考点：累加法求数列通项7. 函数的图象大致为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】由题意可得函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，令，∴，∴g(x)为奇函数，∵y=sinx为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，...∴f(x)为奇函数，当x=2,g(x)=−ln3，∵−2<−ln3<−1，∴sin(−ln3)<0，∴f(2)<0本题选择B选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8. 已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知识可得，题中的几何体是如图所示的长方体中的四棱锥，侧视图为直角三角形，则：,据此有：,长方体的高为，取上下底面的中心,该几何体的外接球在直线上，计算可得：,则为外接球的球心，半径为，该四棱锥的外接球的表面积为.本题选择A选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9. 在区间上任取两个实数，，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本试题主要是考查了几何概型的运用。

对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果。

由题意知本题是一个几何概型，∵a∈，∴f'（x）=3x2+a≥0，∴f（x）是增函数若f（x）在有且仅有一个零点，则f（-1）•f（1）≤0∴（-1-a-b）（1+a-b）≤0，即（1+a+b）（1+a-b）≥0由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4-×1×1=，故选D. 解决该试题的关键是根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax-b在区间上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果。

10. 已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于，两点，则（）A. B. C. D.【答案】A...【解析】由抛物线y2=8x可得焦点F(2,0)，因此直线y=k(x−2)过焦点。

设P(x1,y1)，Q(x2,y2).，则，|FQ|=x2+2.联立.化为k2x2−(8+4k2)x+4k2=0(k≠0).∵△>0，∴.∴.本题选择A选项.11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】试题分析：由是有理数，故命题①正确；易得是偶函数，故②正确；易得是偶函数，故③正确；取，可得为等边三角形，故④正确，综上真命题的个数有个.考点：函数的图象与性质.12. 如图，已知点为的边上一点，，（）为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，设，因为，所以，所以，所以，所以，又，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，故选D．考点：等比数列的通项公式及向量的运算．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的递推公式、等比数列的通项公式及平面向量的运算，着重考查了平面向量的三点共线，等比数列的定义及等比数列的通项公式的求解，同时考查了学生分析问题、解答问题的能力及推理运算能力，本题的解答中，根据平面向量的运算，得到数列表示首项为，公比为的等比数列是解得本题的关键．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设，满足约束条件向量，，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】由向量平行的充要条件可得：，绘制不等式组表示的可行域区域，结合两点之间距离公式的几何意义可得：目标函数在点处取得最小值....14. 若，且，则【答案】1【解析】函数是奇函数，则，即：，从而有：，令可得：,令可得：,原式：.点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.15. 圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹的长度为__________．【答案】【解析】以所在直线为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，于是有，，因为，所以，即，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为．16. 已知函数，的四个零点，，，，且，则的值是__________．【答案】【解析】分类讨论求解方程的零点：(1) ；(2)；从而=2，据此计算有：的值是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的周长的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于的方程，求得的值即可求得的大小；(2)利用题意结合(1)中的结论将写成关于的三角函数，结合∠B的取值范围即可求得周长的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，...所以，所以，又因为，所以.（2）因为，，，所以，，所以，因为，所以.又因为，所以，所以.18. 为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，某市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(1)利用小长方形面积之和为1可求得；(2)由题意可得，该分布列为超几何分布，由题意写出分布列，求解的数学期望可得.试题解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图可得，解得.（Ⅱ）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故的可能取值为0,1,2,3．，，，．故的分布列为．...19. 如图，在四棱锥中，面，，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1) 求证：平面ABE⊥平面BEF, 只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可, 注意到AB∥CD，CD⊥AD，AD = 2AB,而分别为的中点，可得四边形ABCD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．试题解析：(Ⅰ)，分别为的中点，为矩形，2分∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF． 4分(Ⅱ),又，又,所以面,6分法一：建系为轴，为轴，为轴,，,平面法向量，平面法向量·9分，可得. 12分法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连, 则,面,,作于点，所以面,连,则,即为所求 9分在中，,解得12 分考点：平面与平面垂直的判定,二面角.20. 椭圆：的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于，两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆上两点，关于直线对称，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，∴椭圆的方程为．...(2)当直线斜率存在且时，联立直线与椭圆的方程计算可得假设不成立；当直线的斜率时，面积函数，结合椭圆方程和均值不等式的结论可得面积的最大值为.试题解析：（Ⅰ）由条件有，∴，又，且，∴，，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）依题意直线不垂直轴，当直线的斜率时，可设直线的方程为（），则直线的方程为．由得，，即，①设的中点为，则，，点在直线上，∴，故，②此时与①矛盾，故时不成立．当直线的斜率时，，（，），的面积，∵，∴，∴面积的最大值为，当且仅当时取等号．21. 已知函数（且），为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由导函数的解析式可得．(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．试题解析：（Ⅰ）当时，，，令，解得，时，；时，，∴，而，，即．（Ⅱ），，令，得，则...①当时，，所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，因为当时，，所以此方程无解．②当时，，所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即（）（*）设，则，令，得，当时，；当时，；所以当时，，所以方程（*）有且只有一解．综上，时函数只有一个零点．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆和的极坐标方程；（Ⅱ）射线：与圆交于点、，与圆交于点、，求的最大值．【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）4．【解析】试题分析：（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化为极坐标方程；（2）根据圆的坐标形式，利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．试题解析：（1）圆和的普通方程分别是和，∴圆和的极坐标方程分别是和．（2）依题意得，点的极坐标分别为和，不妨取，∴，从而，当且仅当时，即时，上式取“=”，取最大值4．考点：参数方程与极坐标方程的互化；极坐标方程的应用．23. 选修4-5：不等式选讲设函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对任意的实数恒成立，求的取值范围 .【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：...(1)绝对值不等式两边平方求解可得不等式的解集为．(2)首先将函数写成分段函数，结合分段函数的特点可得的取值范围是．试题解析：（Ⅰ）等价于，∴，∴或，∴不等式的解集为．（Ⅱ）令，对任意的实数恒成立，即的图象恒在直线的上方，故直线的斜率满足，即的范围为．。