15.4.1因式分解(提公因式法)
因式分解-提公因式法
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
例2: 分解因式 8a³ b-12ab³ c+ab
不要漏掉1
解: 原式=ab· -ab· 8a² 12b² c+ab· 1
如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公 因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。
=ab(8a² -12b² c+1)
判断下列分解因式正确吗
1.2x² +3x³ +x=x(2x+3x² X(2X+3X² ) +1)
c(1-2a) 2.3a² c-6a³ c=3a² (c-2ac) 3a²
注意: 提取公因式后： (1)另一个因式不能再含有公因式 (2)另一个因式的项数与原多项式的项数一致
公因式
a 3x 2ab 3y3 x 3x2y
用提公因式法将下列各式分解因式
（1）7x2 - 21x 解：原式= 7x x -3x
（2） 8a b -12ab c+ab
解:原式=ab (8a2b-12b2c)
2 2
3
2
3
×
=ab(8a b-12b c+1)
(3) 2a(b+c) - 3(b+c)
下列由左边到右边的变形中，哪些是因式分解， 哪些不是？
a2b 2ab2 ab(a 2b) （1） （ ）
（2）(x+2)(x-2）= x2-4（ ）
温馨提示
判断是否是因式分 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（ ） 解 要看等式的左边是 （4）ax2+ay2=a(x2+y2) （ ） 否是一个多项式，右 边是否是几个整式的 积的形式。
15.4因式分解
第十七课时、因式分解【教学内容】因式分解【教学目标】知识与技能：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
过程与方法：经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用。
情感与态度：在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的迚取意识，体会数学知识的内在含义与价值。
语言积累：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
【教学重点】了解因式分解的意义，感受其作用。
【教学难点】整式乘法与因式分解乊间的关系。
【教学用具】课件。
【教学过程】一、创设情境，激趣导入：1、问题牵引：请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法。
问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值。
方法：课件出示题目；指名回答，集体订正。
二、丰富联想，展示思维：1、探索：你会做下面的填空吗？（1）ma+mb+mc=（）（）；（2）x2－4=（）（）；（3）x2－2xy+y2=（）2。
方法：课件出示题目。
学生独立思考完成，然后先组内交流。
指名汇报，教师小结。
师生共识：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
三、小组活动，共同探究：问题牵引：1、下列各式从左到右的变形是否为因式分解：（1）（x+1）（x－1）=x2－1；（2）a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；（3）7x－7=7（x－1）。
2、在下列拪号里，填上适当的项，使等式成立．（1）9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）；（2）x2－4xy+（_______）=（x－_______）2。
方法：课件出示题目。
学生独立思考完成，然后先组内交流。
指名汇报，教师小结。
四、随堂练习，巩固深化：1、课本练习。
方法：课件出示题目。
学生独立思考完成，然后先组内交流。
指名汇报，教师小结。
2、探研时空：计算：993－99能被100整除吗？方法：课件出示题目。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
15.4.1 提公因式法因式分解
15.4.1 因式分解---提公因式学习目标：1、理解因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念；2、会用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法。
学习重点; 会用提公因式法分解因式．学习难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式。
学习过程：一、回顾引入：1、把630分成质因数的乘积为：630= .2、计算：x(x+1)= ；(x+1)(x－1)= 。
3、请你将下列各式写成乘积的形式：x2+x=_______ ；x2-1=______ ；（3）am+bm+cm=_ _；观察上面三个等式的特点：等号左边是式，等号的右边是形式。
二、新知探究：（一）因式分解的概念：定义：把一个化成的的形式，叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式。
x2-1 (x+1)(x-1)练习一.1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2；(5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).2.下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)xxxxx3)2)(2(342++-=+-(7))11(1xxx+=+； (8)18a3bc=3a2b·6ac.(二)提公因式法分解因式:1、方法探究:在多项式am+bm+cm中,公因式是 ,分解因式:am+bm+cm= .多项式中各项都含有的因式,叫做这个多项式 .把多项式ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m 所得的商，•像这种分解因式的方法叫做．2、在下列各式右边括号前添上适当的符号，使左式与右式相等：① a-b=____(b-a) ② -a+b=____(b-a)3、运用新知：例把下列各式分解因式分解：(1)8a3b2 +12ab3c ．分析：公因式是，8a3b2 = ▪ , 12ab3c= ▪解:原式= ▪ + ▪ =(2)3x3-6xy+x．(3)-4a3+16a2-18a, (4)2a（b+c）-3（b+c） (5)6（x-2）+x（2-x）解: (2) 3x3-6xy+x＝▪－▪＋▪＝．(3) -4a3+16a2-18a＝▪＋▪ + ▪＝(4) 2a（b+c）-3（b+c）= ;(5) 6(x-2）+x(2-x）= = .(6)()()323a a a-+-（7）()()4a y zb z y---(8)7 ( a–3 ) –b ( 3–a) (9)x3(y-3)+x2(3-y)判断多项式是否为因式分解，需要注意：①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算，而是把多项式由一种形式变成另一种形式；②一个多项式的变形是不是因式分解，关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积．整式可以是单项式，也可以是多项式．③因式分解是一种恒等变形，因式分解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形，检验因式分解的结果是否正确，可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等，相同因式之积应写成幂的形式．四、当堂练习: 1.说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb , (2)4kx －8ky, ; (3)5y 3+20y 2 , ; (4)a 2b －2ab 2+ab, . 2.把下列各式因式分解(1)3mx-6my (2)x 2y+xy 2 (3)12a 2b 3－8a 3b 2－16ab 4(4)8m 2n+2mn (5)12xyz-9x 2y 2 (6)2a(y-z)-3b(z-y)(7)c ab ab b a 3222834+- (8)xz xy x -+-2212（9）2a （b+c ）-3（b+c ） （10）6(x-2）+x(2-x ）（11）yz x z xy z y x 223323153510+--3.计算：(1)4.28×31+42.8×2.9+8.56×20 (2) )5×34+24×33+63×324、先因式分解再求值：()()5242x m x m -+-，其中0.4, 5.5x m ==5、先化简,再求值: 3x 2（x 2－y 2）+6xy （x 2－y 2），其中x=2，y=3．6、拓展题:(1)．710－79－78能否被41整除.(2)计算：（－2）2002+（－2）2001的值．(3) 分解因式：(x+y)2-x-y。
人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿
人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿一. 教材分析《提公因式法因式分解》是人教版数学八年级上册第15章第4节的一个内容。
这一节主要介绍了提公因式法在因式分解中的应用。
在此之前，学生已经学习了平方差公式和完全平方公式的因式分解，提公因式法是这两种方法之外的一种重要因式分解方法。
本节内容的学习，不仅丰富学生的因式分解方法，也为后续学习分式分解、二次方程的解法等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对因式分解的概念和方法有一定的了解。
但是，对于提公因式法这种方法的理解和应用还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法的原理和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解提公因式法的原理，能够运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：提公因式法的原理和应用。
2.教学难点：如何引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示和讲解。
六. 说教学过程1.导入：回顾平方差公式和完全平方公式的因式分解，引出提公因式法。
2.自主学习：学生自主探索提公因式法的原理和应用。
3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的理解和发现。
4.教师讲解：针对学生的疑问和困难，进行讲解和引导。
5.练习巩固：学生进行相关的练习，巩固所学知识。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容。
七. 说板书设计板书设计如下：提公因式法因式分解1.原理：找出多项式的公因式，提取公因式后，得到因式分解的结果。
a.找出多项式的公因式b.提取公因式c.验证因式分解的结果八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。
八年级数学提公因式法因式分解教案
你能说说你算得快的原因吗
【教师活动】
（1）出示问题1，引领学生交流解法：
解法一：S=15×10+22×10+13×10=150+220+130=500
解法二：S=15×10+22×10+13×10=10（15+22+13）=10×50=500
从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些。这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式。
《15.4.1提公因式法因式分解》教学设计及评析
教材
义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册
设计理念
本节课的设计从学生的认知基础和认知规律出发，教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领，通过“提公因式法因式分解”的学习让学生经历主动参与，积极探求，创造性的发现数学知识的过程，教学设计以思维为中心，观察为主线，问题为载体，能力为目标，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。
教学重点
因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
教学难点
1、分解因式与整式乘法的区别和联系。2、正确找出多项式各项的公因式。
教学方法
“尝试指导，效果回授”教学法
学法指导
发现法、练习法、合作学习。
教学资源
借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
教学评价
1、评价量规：随堂提问、练习反馈、作业反馈
2、评价策略：坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励测进式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
云阳县龙角中学八年级上数学--徐传华
云阳县龙角初级中学八年级（上）数学导学案导学案编号:课 题 15.1.1 同底数幂的乘法 课型 新授课授课 时间主备人 徐传华 审核人分管领导审批人学习 目标 1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则. 2.能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算，并能利用它解决简单的实际问题。
重点 难点 重点：正确地理解同底数幂的乘法法则.难点：正确地理解同底数幂的乘法法则；法则的正确应用。
学法 指导 自主、合作、探究探索与发现，是理解与掌握数学方法的重要途径！ 教学 准备一、自学指导第一步：知识回顾，引入新课：a n 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数．1.请以幂的形式直接写出下列各题的结果：421010⨯= 541010⨯= n m 1010⨯= m )101(×n )101(=5x x ⋅= （a -b ）2·（a -b ）= a m·a n= （m 、n 都是正整数）第二步：自主学习：学生看P141---P142思考以下问题：1.解答P141“探究”中的问题，理解同底数幂的乘法法则的推导过程。
2.注意例题的解题格式及步骤。
第三步：自学检测：2.下面计算否正确？如果不对，应怎样改正？ ①a 3·a 3＝2a 3 ②a 3+a 3＝a 6③b.b 6=b 6 ④ (-7)8.73=-711 ⑤(-5)7.(-5)4= -511 二、新课讲解：1.教学指导：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2.师生共同探究，总结：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数）。
3.精品例题：下面的计算是否正确? 如果错，请在旁边订正.1．a 3·a 4=a 12 2．m ·m 4=m 4 3．a 3+a 3=a 64．x 5+x 5=2x 10 5．3c 4·2c 2=5c 6 6．x 2·x n =x 2n7．2m ·2n =2m ·n 8．b 4·b 4·b 4=3b 44.提高练习： （1）计算：（1）78×73= （2）（-2）8×（-2）7 = （3）34 x 37 x 9=（4）n m 1010⨯= （5） m )101(×n )101(=（6）(x+y)3 · (x+y)4 = (7) x x x x n n n ⋅+⋅+21= （ｎ是正整数）（2）填空： （1）x 5 ·（ ）= x 8 （2）a ·（ ）= a 6（3）x · x 3（ ）= x 7 （4）x m ·（ ）＝x 3m（5）x 5·x ( )=x 3·x 7=x ( ) ·x 6=x ·x ( ) （6）a n+1·a ( )=a 2n+1=a ·a ( ) （3）填空：（1） 8 = 2x ，则 x = （2） 8× 4 = 2x ，则 x = ； （3） 3×27×9 = 3x ，则 x =（4） 221352m m m b b b b b b b ---⋅+⋅-⋅ （5）a n+1·a m+n =a 6,且m=2n+1,求m n 的值.(6)已知a m =2，a n =3,求a m+2n 的值。
15提公因式法(基础)知识讲解及其练习 含答案
提公因式法（基础）【学习目标】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、（•石家庄校级模拟）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．【答案】C.【解析】A 、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B 、右边结果不是积的形式，不符合题意；C 、a 2﹣3a ﹣4=（a +1）（a ﹣4），符合题意；D 、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选：C ．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：【变式】（•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A.a 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21B.a 2+4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）C.（a ﹣3）（a+7）=a 2+4a ﹣21D.a 2+4a ﹣21=（a+2）2﹣25【答案】B.类型二、提公因式法分解因式 2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；(2)多项式324168mn m m --的公因式是________；(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -【解析】解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ．2x y -B ．22x x +C ．2x y 2+D ．2x xy y 2-+3、若()()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）A ．1q p --B ．q p -C ．1p q +-D ．1q p +-【答案】C ；【解析】解：()()23p q q p ---=()()21q p p q -+-．故选C ．【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．举一反三：【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）A ．1m +B ．2mC ．2D ．2m +【答案】D ；解：()()()111m m m +-+-，＝()()111m m -++，＝()()12m m -+． 4、（春•新沂市期中）分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）.【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．【答案与解析】解：原式=3x （a ﹣b ）+6y （a ﹣b ）=3（a ﹣b ）（x+2y ）．【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）A ．()222129343abc a b c abc ab -=- B ．()2233632x y xy y y x x y -+=-+ C ．()2a ab ac a a b c -+-=--+ D ．()2255x y xy y y x x +-=+解：A.()222129343abc a b c abc abc -=-，故本选项错误；B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误； C.()2a ab ac a a b c -+-=--+，正确；D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误． 类型三、提公因式法分解因式的应用 5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.【答案与解析】解： 由0232=-+x x ，得232x x +=()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()3222623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.【巩固练习】一.选择题1. （•长沙模拟）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bxB ．x 2﹣1+y 2=（x ﹣1）（x +1）+y 2C ．y 2﹣1=（y +1）（y ﹣1）D ．ax +by +c=x （a +b ）+c2.（春•东营区校级期末）多项式6ab 2c ﹣3a 22bc+12a 2b 2的公因式是（ ）A.abcB.3a 2b 2C.3a 2b 2cD.3ab 3. 多项式32n n n a a a +-+分解因式的结果是（ ）A.()321n a a a -+B. ()22n n a a a -+ C. ()221n n a a a -+ D. ()31n n a a a -+ 4. 分解因式()()2552x y x -+-的结果是（ ）A. ()()251x y -+B. ()()251x y --C. ()()521x y -+D. ()()521x y --5. 下列因式分解正确的是（ ）A.()()()m a b n a b a b mn -+-=-B.()()()()m x y n y x x y m n ---=--C. ()()1mn x y mn x y mn ++=++D.()()()()232232y x x y x y x y -+-=---6. 把3223284x y x y xy ++提公因式得（ ）A ．2232(42)x x xy y ++B ．32232(42)x y x y xy ++C ．222(42)xy x xy y ++D ．22(4)xy x xy +二.填空题7. 因式分解是把一个______________化为______________的形式.8. ,,ax ay ax -的公因式是___________；236,2,4mn m n mn -的公因式是__________.9. （南京）分解因式：2a （b +c ）﹣3（b +c ）= ．10. 多项式33222339a b a b a b --的公因式是______________.11.（•澄海区一模）分解因式：m （x ﹣y ）+n （y ﹣x ）=_____________________.12. 因式分解243210515m n m n m n -+-＝_____________________.三.解答题13. 应用简便方法计算：（1）1098222--； （2）16 3.148 3.1426 3.14⨯+⨯+⨯14.已知1,3a b ab +==-，求22a b ab +和3322a b ab +的值.15.（春•常州期中）分解因式：6a （b ﹣1）2﹣2（1﹣b ）2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．2. 【答案】D ．【解析】解：系数的最大公约数是3，相同字母a 的最低次数是1，b 的最低次数也是1，∴公因式为3ab ．故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】()32221n n n n n a a a a a a +-+=-+. 4. 【答案】B ；【解析】()()()()()()25522525251x y x x y x x y -+-=---=--.5. 【答案】C ；【解析】()()()()m a b n a b a b m n -+-=-+；()()()()m x y n y x x y m n ---=-+；()()()()232332y x x y x y x y -+-=--+.6. 【答案】C ；【解析】()322322284242x y x y xy xy x xy y ++=++. 二.填空题7. 【答案】多项式；几个整式的积；8. 【答案】;2a mn ；9. 【答案】（b +c ）（2a ﹣3）.10.【答案】23a b ；【解析】()332222233933a b a b a b a b ab b --=--. 11.【答案】（x ﹣y ）（m ﹣n ）．【解析】解：m （x ﹣y ）+n （y ﹣x ）=m （x ﹣y ）﹣n （x ﹣y ）=（x ﹣y ）（m ﹣n ）．故答案为：（x ﹣y ）（m ﹣n ）．12.【答案】()22523m n m mn --+； 【解析】()24322210515523m n m n m n m n m mn -+-=--+.三.解答题13.【解析】解：（1）()109882822222212256--=--==； （2）()16 3.148 3.1426 3.14 3.1416826 3.1450157⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=.14.【解析】解：()22313a b ab ab a b +=+=-⨯=-；()()233222222[2]a b ab ab a b ab a b ab +=+=+- ()()23[123]42=⨯-⨯-⨯-=-.15.【解析】解：6a （b ﹣1）2﹣2（1﹣b ）2=2（b ﹣1）2（3a ﹣1）．。
15.4.1因式分解 提公因式法
15.4 因式分解15.4.1提公因式法主备人：杨玉英预习内容：教科书八年级上册第165至167页.一、学习目标：理解因式分解的概念；掌握因式分解的方法提公因式法. 重 点：理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法一提公因式法. 难 点：寻找公因式.二、预习提纲1. 细读第165页，思考：630能被哪些整数整除？说说你是怎样想的？_______________________________2.阅读教材第165页的探究，完成第165页的填空.请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)________(2)_______________ 总结：上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式____________，也叫做把这个多项式 . 另外：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即____________________ .下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ；(4)4x 2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a 2+6a=3a （a+2）；(6)x x x x x 3)2)(2(342++-=+- (7))11(1x x x +=+；(8)18a 3bc=3a 2b ·6ac 。
3.阅读166页第一段内容.公因式的概念：_______________________________阅读第二段内容.什么叫提公因式法？找出公因式：c ab ab b a 3222834+- (2)532)32(21)32(14)32(7y x y x y x -+---（3） 22x x y x +- （4）yz x z xy z y x 223323153510+-- 通过上面四道题能否总结如何找公因式.4.细读166页例1、例2.注意解答过程.5.尝试练习：（1）c ab ab b a 3222834+- （2）6a(m+c) -3a 2(m+c)（3）ax x a ax +-223 （4）)2()2(52x a x -+-（5）)23)(5()7)(32(a b y x y x b a --++-（6）（a 2-ab ）+c （a-b ）简化计算：（1）14.37.014.35414.31.2⨯+⨯-⨯ （2）72.46241.23⨯-⨯三、交流与讨论;四、展示与点评：教师适当的补充.五、知识提炼：1.因式分解定义：因式分解与整式乘法的关系.2.公因式：3.提公因式：提公因式的关键：确定公因式4.确定公因式的步骤：（1）找系数的 .（2）找多项式各项中的 .（3）相同字母的 .3222236312x y x y x y -+20122013(2)(2)-+-222(3)(1)x bx c x x ++=-+六、当堂检测A 组1.下面从左到右的变形中，哪一个是因式分解（ ）222()1()1()()()()()()()()4()34(3)A ax bx x a bB a b a b a bC x a b b b a a b x bD x x x x x --=--+-=--+-=--+-=+-2.下列各个多项式的各项中，有公因式的是（ ） ()229A x y - ()235B x x -+()33C a b +()32D a b ab ab -+B 组3.多项式 的公因式 .4.分解因式：2（x-3)+x （3-x ）= . C 组5.计算：6.已知多项式 则b、c 的值是 . 课堂作业A 组1.分解因式：22x x -= .2.分解因式：()()23x y x y +-+= .3.已知多项式28x mx n +-因式分解的结果为()()4323x x -+，那么m-n= .4.已知6x y +=，3xy =-，则22x y xy += .5.下列各式从左到右的变换是因式分解的是（ ） ()()()()()()()2224444105521163(4)(4)3A a x y ax ayB x x x xC x x x xD x x x x x+=+-+=-+-=--+=+-+6.下列因式分解结果正确的是（ ） ()()()()23222222222282(4)()()1111444(2)(2)A m n n n m nB a b a b a bC x x x x xD m n m n m n -=-+-=-⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭-=+-7.多项式332224914a bc a b c +在分解因式时应提取的公因式是（ ） ()()()()3322222227777A a bc B a b c C ab c D a bcB 组8.利用因式分解计算: 10010122-等于（ ）A -2B 2C 1002-D 10029.如果33,a b -=-那么式子53a b -+的值为 .10.因式分解：2m mn nx mx --+= .11.分解因式：（1）2721a a - (2) 3238124x y xy z xyz -+（3）3()2()x m n y n m -+- (4) 22(3)4(3)a x a x -+-C 组12.求证：若n 为正整数，则n n 332-+能被24整除 13.7622110-74125.21-76135.1074175.31⨯⨯⨯+⨯32322010*********(4)201020102011-⨯-+-。
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630能被哪些数整除？ 能被哪些数整除？ 能被哪些数整除 说说你是怎样想的。 说说你是怎样想的。
请把下列多项式写成整式的乘积的形 式: (1)x2+x=___________; x(x+1) (x+1)(x-1) (2)x2 – 1=__________ . 上面我们把一个多项式化成了几个整式 的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多 的积的形式 像这样的式子变形叫做把这个多 项式因式分解 也叫做把这个多项式分解因式 因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 项式因式分解 也叫做把这个多项式分解因式
15.4 因式分解
北三家 中学
学习目标
1、理解什么是因式分解。 2、理解什么是提公因式法因式分解。 3、会用提公因式法对多项式进行因式分解。
自学指导1
自学165~166页内容，能回答下列问题： 1、什么是因式分解？它是对一个式子进行 计算还是进行变形？ 2、什么是提公因式法因式分解？怎样确定 一个多项式的公因式？ 3、看例1和例2是怎样用提公因式法对多项 式进行因式分解的？
例2
分解因式. 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式 分解因式
分析:( 是这个式子的公因式,可以直接提出 分析 b+c)是这个式子的公因式 可以直接提出 是这个式子的公因式 可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
动手试一试你会了吗？ 动手试一试你会了吗？
把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式： 1．2a－4b; 2．ax2+ax－4a; － ． － ． 3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－6x; ． ． 5．7x2+7x+14; 6．－12a2b+24ab2; ． ． 7．xy－x2y2－x3y3; 8．27x3+9x2y． ． － ． ．
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方向的变 形
15.4.1
提公因式法
ma+mb+mc
它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式 它的各项都有一个公共的因式 我们把因式m 我们把因式 叫做这个多项式的 公因式 由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得 可得: 可得 ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把 这样就把ma+mb+mc分解成 这样就把 分解成 两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式 其中一个因式是各项的公因式m, 两个因式乘积的形式 其中一个因式是各项的公因式 另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所得的商 像 所得的商,像 另一个因式 是 除以 所得的商 这种分解因式的方法叫做 提公因式法 .
把下列各式用提公因式法因式分解
①3mx-6my 3mx-6my ②x2y+xy2 2b3－8a3b2－16ab4 ③12a
练习: 练习
1.把下列各式分解因式 把下列各式分解因式: 把下列各式分解因式 (1)8m2n+2mn; (2)12xyz-9x2y2; (3)2a(y-z)-3b(z-y); (4)p(a2+b2)-q(a2+b2). 2.先分解因式 再求值 先分解因式,再求值 先分解因式 再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中 其中a=-5,x=3. 其中 3.计算 ×34+24×33+63×32. 计算5× 计算 × ×
分解因式. 例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？ 公因式是什么 是什么？
公因式 4 a b2 相同字母 相同字母 最低指数
最大公约数 观察 方向
一看系数 二看字母 三看指数
例1 把8a3b2 + 12a3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).