高中数学第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课时提升作业 新人教版
高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课后提升作业 新人教版必
课后提升作业五同角三角函数的基本关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若sinθ·cosθ=,则tanθ+的值是( )A.-2B.2C.±2D.【解析】选B.tanθ+=+==2.【补偿训练】(2016·某某高二检测)已知α是第四象限角,tanα=-,则sinα=( )A. B.- C. D.-【解析】选D.因为α为第四象限角,所以sinα<0,cosα>0,而sin2α+cos2α=1,tanα==-,解得sinα=-.2.(2016·某某高一检测)若=-5,则tanα的值为( )A.-2B.2C.D.-【解析】选D.由==-5,所以tanα-2=-15tanα-25,得tanα=-.【延伸探究】本题若条件换为“tanα=3”,则的值是多少?【解析】===.3.(2015·某某高考)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于( )A. B.- C. D.-【解析】选D.由sinα=-,且α为第四象限角可知cosα=,故tanα==-.4.(2016·某某高二检测)化简的结果为( )A.-cos160°B.cos160°C. D.-【解析】选A.====|cos160°|=-cos160°.5.(2016·某某高一检测)已知x,y∈,且有2sinx=siny,tanx=tany,则cosx=( )A. B. C.- D.-【解析】选A.2sinx=siny,tanx=tany,所以=,所以=,所以cosy=cosx,所以sin2y+cos2y=sin2x+2cos2x=-cos2x+2cos2x=1,所以cosx=.6.(2016·某某高一检测)已知tanα=3,则2sin2α+4sinαcosα-9cos2α的值为( )A.3B.C.D.【解析】选B.2sin2α+4sinαcosα-9cos2α====.7.(2016·某某高一检测)已知角θ为第四象限角,且tanθ=-,则sinθ+cosθ=( )A. B. C.- D.-【解析】选A.由题可知,tanθ==-,得到sinθ=-cosθ,又因为sin2θ+cos2θ=1,代入得到cosθ=,所以sinθ+cosθ=cosθ=.8.若△ABC的内角A满足sinAcosA=,则sinA+cosA的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选A.因为sinAcosA=>0,所以A为锐角,所以sinA+cosA===.【误区警示】已知某角的三角函数值,求该角的另一三角函数值时,一定要对角所在的象限判断,从而确定该角的某三角函数值的符号,当角的象限不能确定时,要注意对角的讨论.二、填空题(每小题5分,共10分)9.若0<α<,则+的化简结果是.【解析】因为0<α<,所以0<<,所以cos>sin>0,+=+=+=+=cos-sin+sin+cos=2cos答案:2cos10.(2015·某某高考)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是.【解析】由sinα=-2cosα,所以tanα=-2,则2sinαcosα-cos2α====-1. 答案:-1三、解答题11.(10分)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.【证明】因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2β=①因为tan2β==,所以sin2β===②由①②得sin2β=====2sin2α-1.【一题多解】因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1=2(tan2β+1)所以=2·所以=,即cos2β=2cos2α所以1-sin2β=2(1-sin2α) 所以sin2β=2sin2α-1.。
高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业 新人教A版必修4
1．2.2 同角三角函数的基本关系课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝____________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；sin α·cos α＝______________________＝________________________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.一、选择题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．86．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2二、填空题7．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____. 10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题 11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.能力提升13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2sin α＋cos α2－12 1－sin α－cos α22 (2)cos αtan α sin αtan α作业设计1．C 2.B 3.A4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－sin α－cos α22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．B [方法一 由⎩⎨⎧ cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1.化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255. ∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]7．－5138.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 9．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 10.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7.当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34. 11．解 原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝cos 2x －sin 2x 2cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α＋cos αsin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，∴原式成立．14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a .解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a ≤1，∴a ＝1＋2舍去．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a (1－a )＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.。
高中数学必修四课时作业3：1.2.2 同角三角函数的基本关系
必修四第一章 三角函数1.2.2 同角三角函数关系1.设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边（ ）A ．在x 轴上B ．在直线y x = 上C ．在y 轴上D ．在直线y x =或y x =-上3. 若tan x 3π≤（2-）1则该不等式的解集为______4.观察正切函数线，满足条件tan 1x ≤的x 的取值范围是（其中k Z ∈）( ) A.2244k k ππππ-+（，） B.4k k πππ+（，） C.44k k ππππ-+（，） D.344k k ππππ++（，） 5. 下列不等式中，成立的是( )A ．sin1>sin2B ．cos1<cos2C ．tan1>tan2D ．cot1<cot26.已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是( )A ．sinα＋cosα＝1.2B ．sinα＋cosα＝－0.9C ．sinαcosα＝ 3D ．sinα＋cosα＝－1.27.（1）求满足sin 2α>的角α的取值范围。
α（2）求满足sin cos αα>的角α的取值范围。
8. 当02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求证：sin tan ααα<<。
9.下列四个命题中，不正确的个数是( )①α一定时，单位圆的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和απ+有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．A ．0B ．1C ．2D ．310.已知集合0{}2|E cos sin θθθθπ<≤<＝，，0{}2|F tan sin θθθθπ<≤<＝，，则E F I ( ) A.2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.344ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.32ππ⎛⎫⎪⎝⎭，D.3544ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，[答案] 1.1717sin0,cos 01818MP OM ππ=>=< 2.A 3. ()7,122242k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭4.C5.C[[解析]] 由单位圆中的三角函数线可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2，故选C.6. [[答案]] D[[解析]] 由三角函数线知， sin MP α＝，cos OM α＝，sin cos MP OM αα＋＝＋，1MP OM OP >＋＝，又0MP <，0OM <，∴1MP OM <-＋，故选D.7.解：（1）如图可知： ()22233k k k Z πππαπ+<<+∈（2）如图可知： ()52244k k k Z πππαπ+<<+∈8.证明：如图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线分别为MP 、AT ，则sin MP α=，tan AT α=。
高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业新人教版必修4
【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第一章 三角函数 1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业 新人教版必修41.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A.－43B.34C.±34D.±43解析 α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43.答案 A 2.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15B.－35C.15D.35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35.答案 B3.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34B.±310C.310D.－310解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝310.答案 C4.化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝______. 解析 原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β) ＝sin 2α＋cos 2α＝1. 答案 1 5.若化简1－cos α1＋cos α后的结果为cos α－1sin α，则角α的范围为______.解析 ∵1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， ∴sin α<0.∴－π＋2k π<α<2k π，k ∈Z .答案 (－π＋2k π，2k π)，k ∈Z 6.已知tan α＝－2，求下列各式的值： (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋25cos 2α. 解 法一 由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α. (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝－8cos α－2cos α5cos α－6cos α＝10. (2)14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝cos 2α＋25cos 2α4cos 2α＋cos 2α＝725. 法二 ∵tan α＝－2，∴cos α≠0.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4·（－2）－25＋3·（－2）＝10. (2)14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. 7.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，求tan θ的值. 解 将sin θ＋cos θ＝3－12的两边分别平方， 得1＋2sin θcos θ＝1－32， 即sin θcos θ＝－34. 所以sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34， 解得tan θ＝－3或tan θ＝－33. ∵θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝3－12<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且|sin θ|>|cos θ|， ∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴tan θ<－1.∴tan θ＝－ 3.8.求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.证明 法一左边＝cos α（1＋cos α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1＋cos α）＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）12（cos α＋sin α）2＋sin α＋cos α＋12 ＝2（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）（sin α＋cos α＋1）2＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝右边. ∴原式成立.法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α，sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α，∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋cos α＋sin α. ∴原等式成立.能 力 提 升9.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A.－43B.54C.－34D.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.答案 D10.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A.－4B.4C.－8D.8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－（sin α－cos α）22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.答案 C11.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________. 解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角.将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A . ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝π3.答案π312.如果sin α＋cos α＝15，那么α所在的象限是________.解析 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得sin αcos α＝－1225<0，即sin α，cos α异号，因此α在第二或第四象限. 答案 第二或第四象限 13.已知sin α＋cos α＝22，求1sin 2α＋1cos 2α的值. 解 由sin α＋cos α＝22平方可得 sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝1＋2sin αcos α＝12.∴sin αcos α＝－14，∴1sin 2α＋1cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2αcos 2α＝16. 探 究 创 新14.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ， θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值.解 因为已知方程有两根，所以2m m θθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪∆≥⎪⎩sin +cos ①sin cos =,②0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，即m ＝32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32. (3)因为m ＝32，所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0. 解得x 1＝32，x 2＝12，所以sin cos 2211cos sin .22θθθθ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或θ＝π6.。
高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课时提升作业1新人教A版必修420170731
同角三角函数的基本关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sinα=，则sin2α-cos2α的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选B.因为sinα=，所以cos2α=1-sin2α=，则原式=-=-.【延伸探究】本题条件下，求sin4α-cos4α的值.【解析】由sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=-.2.(2015·福建高考)若sinα=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于( )A. B.- C. D.-【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sinα=-，且α为第四象限角可知cosα=，故tanα==-.3.(2015·葫芦岛高一检测)已知α是第二象限角，cosα=-，则3sinα+tanα=( )A.-B.C.-1D.0【解析】选D.因为cosα=-，α是第二象限角，所以sinα===.所以tanα===-2.所以3sinα+tanα=3×-2=0.4.(2015·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tanθ=-，则sinθ-cosθ=( )A. B. C.- D.-【解析】选D.由已知得所以+cos2θ=1，cos2θ=，又角θ为第四象限角，所以cosθ=.所以sinθ=-cosθ=-×=-.所以sinθ-cosθ=--=-.5.已知sinα-cosα=-，则tanα+的值为( )A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tanα+=+=.因为sinαcosα==-，所以tanα+=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·北京高一检测)已知α是第二象限的角，且sinα=，则cosα=________. 【解析】因为α是第二象限的角，且sinα=，所以cosα=-=-=-.答案：-7.若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为________. 【解析】因为sin2θ+cos2θ=+=1，所以k2+6k-7=0，所以k1=1或k2=-7.当k=1时，cosθ不符合，舍去.当k=-7时，sinθ=，cosθ=，tanθ=.答案：8.已知sinx=3cosx，则sinxcosx的值是________.【解析】将sinx=3cosx代入sin2x+cos2x=1中得9cos2x+cos2x=1，即cos2x=，所以sin2x=1-cos2x=，因为sinx与cosx同号，所以sinxcosx>0，则sinxcosx==.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·武汉高一检测)已知=，α∈.(1)求tanα的值.(2)求的值.【解析】(1)由=，得3tan2α-2tanα-1=0，即(3tanα+1)(tanα-1)=0，解得tanα=-或tanα=1.因为α∈，所以tanα<0，所以tanα=-.(2)由(1)，得tanα=-，所以===.【延伸探究】本例条件下，计算sin2α+sinαcosα的值.【解析】sin2α+sinαcosα====-.10.求证：3-2cos2α=.【证明】右边==3-=3-=3-=3-2cos2α=左边，所以原式得证.【一题多解】左边====右边，所以原式得证.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )A. B. C.1 D.【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.【补偿训练】若sinα+sin2α=1，则cos2α+cos4α等于________.【解析】因为sinα+sin2α=1，sin2α+cos2α=1，所以sinα=cos2α，所以cos2α+cos4α=sinα+sin2α=1.答案：12.(2015·宣城高一检测)已知sinθ=2cosθ，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.【解题指南】关于sinθ，cosθ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值.【解析】选D.因为sinθ=2cosθ，所以tanθ==2，sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ====.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·龙岩高一检测)化简：α为第二象限角，则+-=__________.【解析】原式=+-=+-.又因为α为第二象限角，所以cosα<0，1+sinα>0，1-sinα>0，所以原式=--=-1-+=-1+=-1-2tanα.答案：-1-2tanα【补偿训练】=________.【解析】原式===因为sin 70°>cos 70°>0，所以原式==1.答案：14.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m的值为________.【解析】设直角三角形中的该锐角为β，因为方程4x2-2(m+1)x+m=0中，Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，所以当m∈R时，方程恒有两实根.又因为sinβ+cosβ=，sinβcosβ=，所以由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=，解得m=±.当m=时，sinβ+cosβ=>0，sinβ·cosβ=>0，满足题意，当m=-时，sinβ+cosβ=<0，这与β是锐角矛盾，舍去.综上，m=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·盐城高一检测)已知sinα+cosα=(0<α<π)，(1)求sinαcosα.(2)求sinα-cosα.【解析】(1)平方得1+2sinαcosα=，所以sinαcosα=-.(2)由(1)式知sinαcosα<0，0<α<π，所以<α<π，所以sinα-cosα>0，因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=，所以sinα-cosα=.【补偿训练】在△ABC中，sinA+cosA=，求(1)sinA·cosA. (2)tanA.【解析】(1)因为sinA+cosA=，所以(sinA+cosA)2=，即1+2sinAcosA=，所以sinAcosA=-.(2)因为sinA+cosA=，①A∈(0，π)，所以A∈，所以sinA-cosA>0，又因为(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1-2×=，所以sinA-cosA=②联立①②解得，sinA=，cosA=-，所以tanA===-.6.已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=. 【证明】由sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，得=，即acosφ=bcosθ，而asinφ=sinθ，得a2=b2cos2θ+sin2θ，即a2=b2cos2θ+1-cos2θ，得cos2θ=，而θ为锐角，所以cosθ=.。
高中数学必修四课时作业6：1.2.2 同角三角函数的基本关系
必修四第一章 三角函数1.2.2 同角三角函数关系1．=ο2205sin ( )A ．21B ．21- C ．22D ．22-2．角()02ααπ<<的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（） A ．4πB ．34πC ．74πD ．34π 或 74π3．若0<α<2π，且sin α<23, cosα>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ）A ．33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．03π⎛⎫⎪⎝⎭， C ．523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．50233πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，4．若42ππθ<<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．sin cos tan θθθ>>B ．cos tan sin θθθ>>C ． tan sin cos θθθ>>D ．sin tan cos θθθ>>5．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x xy ++=的值域是（ ）A ．{1}B ．{1，3}C ．{-1}D ．{-1，3}6．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①7sin sin 66ππ= ；②cos cos 44ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ③3tan tan 88ππ> ；④34sin sin 55ππ> ．其中判断正确的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若236ππθ-≤≤，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．8．若cos sin αα∣∣＜∣∣，则∈α ． 9．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．⑴ sin x ≥ 1cos 2x ≤；⑶ 1tanx ≥－；（4）21sin ->x 且21cos >x ．[答案]1—6 CDDCDB 7.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1； 8. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,43,4ππππ。
高中数学第一章-三角函数 1..2.2 同角三角函数的基本关系练习 新人教A版必修
1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160°D ．±|cos 160°|解析： 1－sin 2160°＝ cos 2160°＝ |cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：B3．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋ 1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α≥0，cos α≤0，又α∈[0，2π)所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π答案：B 4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则m 的值为( ) A ．0 B ．8 C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析：由题意知θ∈(0，π)， 所以sin θ－cos θ >0，sin θ－cos θ＝ （sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52. 答案：D 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝ tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813. 10．若3π2<α<2π，化简1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.解：因为3π2<α<2π，所以sin α<0.所以原式＝（1－cos α）2（1＋cos α）（1－cos α）＋（1＋cos α）2（1－cos α）（1＋cos α）＝（1－cos α）2sin 2α＋ （1＋cos α）2sin 2α＝ |1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|.因为sin α<0，所以原式＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， 所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解：设直角三角形的一个锐角为β， 因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中， Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0， 所以当m ∈R 时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4，所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1， 得1＋2×m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122，解得m ＝± 3.当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0，sin β·cos β＝34>0，满足题意，当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝ 3.。
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业新人教版必修
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业新人教版必修1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A.－43B.34C.±34D.±43解析 α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43.答案 A 2.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15B.－35C.15D.35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35.答案 B3.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34B.±310C.310D.－310解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝310.答案 C4.化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝______. 解析 原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β) ＝sin 2α＋cos 2α＝1. 答案 1 5.若化简1－cos α1＋cos α后的结果为cos α－1sin α，则角α的范围为______.解析 ∵1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， ∴sin α<0.∴－π＋2k π<α<2k π，k ∈Z .答案 (－π＋2k π，2k π)，k ∈Z 6.已知tan α＝－2，求下列各式的值： (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋25cos 2α. 解 法一 由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α. (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝－8cos α－2cos α5cos α－6cos α＝10. (2)14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝cos 2α＋25cos 2α4cos 2α＋cos 2α＝725. 法二 ∵tan α＝－2，∴cos α≠0.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4·（－2）－25＋3·（－2）＝10. (2)14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. 7.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，求tan θ的值. 解 将sin θ＋cos θ＝3－12的两边分别平方， 得1＋2sin θcos θ＝1－32， 即sin θcos θ＝－34. 所以sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34， 解得tan θ＝－3或tan θ＝－33. ∵θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝3－12<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且|sin θ|>|cos θ|， ∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴tan θ<－1.∴tan θ＝－ 3.8.求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.证明 法一左边＝cos α（1＋cos α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1＋cos α）＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）12（cos α＋sin α）2＋sin α＋cos α＋12 ＝2（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）（sin α＋cos α＋1）2＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝右边. ∴原式成立.法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α，sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α，∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋cos α＋sin α. ∴原等式成立.9.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A.－43B.54C.－34D.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.答案 D10.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A.－4B.4C.－8D.8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－（sin α－cos α）22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.答案 C11.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________. 解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角.将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A . ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝π3.答案π312.如果sin α＋cos α＝15，那么α所在的象限是________.解析 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得sin αcos α＝－1225<0，即sin α，cos α异号，因此α在第二或第四象限. 答案 第二或第四象限 13.已知sin α＋cos α＝22，求1sin 2α＋1cos 2α的值. 解 由sin α＋cos α＝22平方可得 sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝1＋2sin αcos α＝12.∴sin αcos α＝－14，∴1sin 2α＋1cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2αcos 2α＝16. 探 究 创 新14.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ， θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值.解 因为已知方程有两根，所以122m m θθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪∆≥⎪⎩sin +cos =,①sin cos =,②0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，即m ＝32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32. (3)因为m ＝32，所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0. 解得x 1＝32，x 2＝12，所以sin cos 11cos sin .22θθθθ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或θ＝π6.2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课时提升作业1新人教A 版必修一、选择题(每小题5分，共25分) 1.sin α=，则sin 2α-cos 2α的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选B.因为sinα=，所以cos2α=1-sin2α=，则原式=-=-.【延伸探究】本题条件下，求sin4α-cos4α的值.【解析】由sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=-.2.(xx·福建高考)若sinα=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于( )A. B.- C. D.-【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sinα=-，且α为第四象限角可知cosα=，故tanα==-.3.(xx·葫芦岛高一检测)已知α是第二象限角，cosα=-，则3sinα+tanα=( )A.-B.C.-1D.0【解析】选D.因为cosα=-，α是第二象限角，所以sinα===.所以tanα===-2.所以3sinα+tanα=3×-2=0.4.(xx·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tanθ=-，则sinθ-cosθ=( )A. B. C.- D.-【解析】选D.由已知得所以+cos2θ=1，cos2θ=，又角θ为第四象限角，所以cosθ=.所以sinθ=-cosθ=-×=-.所以sinθ-cosθ=--=-.5.已知sinα-cosα=-，则tanα+的值为( )A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tanα+=+=.因为sinαcosα==-，所以tanα+=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(xx·北京高一检测)已知α是第二象限的角，且sinα=，则cosα=________.【解析】因为α是第二象限的角，且sinα=，所以cosα=-=-=-.答案：-7.若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为________.【解析】因为sin2θ+cos2θ=+=1，所以k2+6k-7=0，所以k1=1或k2=-7.当k=1时，cosθ不符合，舍去.当k=-7时，sinθ=，cosθ=，tanθ=.答案：8.已知sinx=3cosx，则sinxcosx的值是________.【解析】将sinx=3cosx代入sin2x+cos2x=1中得9cos2x+cos2x=1，即cos2x=，所以sin2x=1-cos2x=，因为sinx与cosx同号，所以sinxcosx>0，则sinxcosx==.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(xx·武汉高一检测)已知=，α∈.(1)求tanα的值.(2)求的值.【解析】(1)由=，得3tan2α-2tanα-1=0，即(3tanα+1)(tanα-1)=0，解得tanα=-或tanα=1. 因为α∈，所以tanα<0，所以tanα=-.(2)由(1)，得tanα=-，所以===.【延伸探究】本例条件下，计算sin2α+sinαcosα的值.【解析】sin2α+sinαcosα====-.10.求证：3-2cos2α=.【证明】右边==3-=3-=3-=3-2cos2α=左边，所以原式得证.【一题多解】左边====右边，所以原式得证.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )A. B. C.1 D.【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.【补偿训练】若sinα+sin2α=1，则cos2α+cos4α等于________.【解析】因为sinα+sin2α=1，sin2α+cos2α=1，所以sinα=cos2α，所以cos2α+cos4α=sinα+sin2α=1.答案：12.(xx·宣城高一检测)已知sinθ=2cosθ，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.【解题指南】关于sinθ，cosθ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值.【解析】选D.因为sinθ=2cosθ，所以tanθ==2，sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ====.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(xx·龙岩高一检测)化简：α为第二象限角，则+-=__________.【解析】原式=+-=+-.又因为α为第二象限角，所以cosα<0，1+sinα>0，1-sinα>0，所以原式=--=-1-+=-1+=-1-2tanα.答案：-1-2tanα【补偿训练】=________.【解析】原式===因为sin 70°>cos 70°>0，所以原式==1.答案：14.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m 的值为________.【解析】设直角三角形中的该锐角为β，因为方程4x2-2(m+1)x+m=0中，Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，所以当m∈R时，方程恒有两实根.又因为sinβ+cosβ=，sinβcosβ=，所以由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=，解得m=±.当m=时，sinβ+cosβ=>0，sinβ·cosβ=>0，满足题意，当m=-时，sinβ+cosβ=<0，这与β是锐角矛盾，舍去.综上，m=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5.(xx·盐城高一检测)已知sinα+cosα=(0<α<π)，(1)求sinαcosα.(2)求sinα-cosα.【解析】(1)平方得1+2sinαcosα=，所以sinαcosα=-.(2)由(1)式知sinαcosα<0，0<α<π，所以<α<π，所以sinα-cosα>0，因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=，所以sinα-cosα=.【补偿训练】在△ABC中，sinA+cosA=，求(1)sinA·cosA. (2)tanA.【解析】(1)因为sinA+cosA=，所以(sinA+cosA)2=，即1+2sinAcosA=，所以sinAcosA=-.(2)因为sinA+cosA=，①A∈(0，π)，所以A∈，所以sinA-cosA>0，又因为(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1-2×=，所以sinA-cosA=②联立①②解得，sinA=，cosA=-，所以tanA===-.6.已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=. 【证明】由sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，得=，即acosφ=bcosθ，而asinφ=sinθ，得a2=b2cos2θ+sin2θ，即a2=b2cos2θ+1-cos2θ，得cos2θ=，而θ为锐角，所以cosθ=.。
高中数学 第一章 三角函数 课时作业7 1.2.2 同角三角
课时作业(七) 1.2.2 同角三角函数的基本关系式（第2课时）1．(tanx ＋1tanx)cos 2x 等于( ) A ．tanx B ．sinx C ．cosx D.1tanx答案 D解析 (tanx ＋1tanx )cos 2x ＝(sinx cosx ＋cosx sinx )cos 2x ＝cos 2x sinx ·cosx ＝1tanx .2.1－sin 22－1－cos 22＝( ) A ．cos2－sin2 B ．－cos2－sin2 C ．－cos2＋sin2 D ．cos2＋sin2答案 B解析 2弧度角为钝角，∴sin2>0，cos2<0.故选B.3．已知A 为三角形内角，且sinAcosA ＝－18，则cosA －sinA 的值为( )A ．－32 B ．±32 C ．±52D ．－52答案 D解析 ∵cos A ·sinA ＝－18，∴π2<A<π.∴cosA<0，sinA>0.又∵(cosA －sinA)2＝1－2sinAcosA ＝54，∴cosA －sinA ＝－52. 4．已知tanx ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95C.43D.53答案 B解析 sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95，故选B. 5．已知5sin α＋2cos α＝0，则（1－sin 2α）（1－cos 2α）的值是( )A.1029B.1029C.2029 D ．±1029答案 A解析 ∵tan α＝－25<0，∴α在第二或第四象限．∴sin αcos α<0.∴（1－sin 2α）（1－cos 2α）＝cos 2αsin 2α ＝|sin α·cos α|＝－sin αcos α ＝－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－tan αtan 2α＋1＝1029. 6．若α为第三象限角，则1cos α· 1＋tan 2α＋2tan α1cos 2α－1的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 A解析 原式＝－1＋2＝1. 7．若cos θ1＋tan 2θ＋sin θ1＋1tan 2θ＝－1，则θ( ) A ．在第二象限 B ．在第三象限 C ．在第四象限 D ．在第一象限答案 B解析 若原等式成立，则必须－cos 2θ－sin 2θ＝－1. 8．已知tan α＝2，则11＋sin α＋11－sin α的值为( )A ．6B ．10C ．5D ．8答案 B解析 原式＝21－sin 2α＝2cos 2α＝2（sin 2α＋cos 2α）cos 2α＝2(tan 2α＋1)＝10. 9．若sin 2α＋sin α＝1，则cos 4α＋cos 2α的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 B解析 ∵sin 2α＋sin α＝1，∴sin α＝cos 2α. 又∵cos 4α＋cos 2α＝cos 2α(1＋cos 2α)，将cos 2α＝sin α代入上式，得cos 4α＋cos 2α＝sin α(1＋sin α)＝sin 2α＋sin α＝1. 10．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．答案 －2tan 2α解析 sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 11．已知1tan θ＋1sin θ＝5，则sin θ＝________．答案513解析 由已知化弦得cos θsin θ＋1sin θ＝5，所以cos θ＝5sin θ－1，两边平方得1－sin 2θ＝25sin 2θ－10sin θ＋1，解得sin θ＝513或0(舍去)．12．若cosA ＝45，且A 是三角形中的一个角，则5sinA ＋815cosA －7＝________．答案115解析 ∵cosA ＝45，A 为三角形中的一个角，∴sinA ＝35，∴5sinA ＋815cosA －7＝115.13．(1)若角α是第二象限角，化简tan α1sin 2α－1. (2)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°. 解析 (1)α是第二象限角，tan α·1sin 2α－1＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. (2)1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°＝（sin130°－cos130°）2sin130°－cos130°＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1. 14．已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，求tan α.分析 利用(sin α±cos α)2＝sin 2α±2sin αcos α＋cos 2α＝1±2sin αcos α求解． 解析 ∵sin α＋cos α＝713，①∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169.即2sin αcos α＝－120169.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝1713.②由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513.∴tan α＝－125.15．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.分析 解答本题可由右向左证，也可两边同时化切为弦来证明，也可证明tan 2α·sin 2α＝tan 2α－sin 2α成立．证明 证法一：右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）·tan α·sin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）·tan αsin α＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．证法二：左边＝tan α·sin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α（1－cos α）＝sin 2αsin α（1－cos α）＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．1．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( ) A.73 B.75C.54D.53答案 B解析 1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋22＋21＋22＝75.2．求证：1－2cos 2αsin αcos α＝tan α－1tan α.证明 左边＝sin 2α＋cos 2α－2cos 2αsin αcos α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝sin αcos α－cos αsin α＝tan α－1tan α＝右边．3．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．解析 设这两个锐角为A ，B ，∵A＋B ＝90°，∴sinB ＝cosA ， 所以sinA ，cosA 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧sinA ＋cosA ＝－3k4 ①sinAcosA ＝2k ＋18 ②②代入①2，得9k 2－8k －20＝0， 解得k 1＝2，k 2＝－109，当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0， ∵Δ<0，∴方程无解；将k ＝－109代入②，得sinAcosA ＝－1172<0，所以A 是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.。
高中数学 第一章 三角函数 课时作业6 1.2.2 同角三角
课时作业(六) 1.2.2 同角三角函数的基本关系式（第一课时）1．化简1－sin2π5的结果是( ) A ．sin π5B ．－sin π5C ．cos π5D ．－cos π5答案 C2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15 B ．－15C.513 D ．－513答案 D解析 由α为第四象限角，设角α终边上一点P(x ，y)满足x ＝12，y ＝－5， 则r ＝x 2＋y 2＝122＋（－5）2＝13. 所以sin α＝y r ＝－513.3．已知cos α＝－35，α为第二象限角，那么tan α的值等于( )A.43 B ．－43C.34 D ．－34答案 B4．若sin α·sin 2α－cos α·cos 2α＝－1，且α≠k 2π(k∈Z )，则α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵sin α·sin 2α－cos α·cos 2α＝sin α·|sin α|－cos α·|cos α|， ∴若满足题意必须sin α<0且cos α>0，∴α为第四象限角． 5．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于( )A.865B ．－865C ．±865D ．以上都不对答案 B 解析sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，得sin α＝－8cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得64cos 2α＋cos2α＝1，解得cos α＝±165，sin α＝∓865，所以sin α·cos α＝－865.6．已知sinx ·cosx ＝16，且π4<x<π2，则cosx －sinx 的值为( )A.23 B.63 C ．±63D ．－63答案 D解析 当π4<x<π2时，cosx<sinx ，则cosx － sinx<0.∴cosx －sinx ＝－（cosx －sinx ）2＝－1－2sinx ·cosx ＝－63. 7．(高考真题·课标全国Ⅰ)已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________．答案 －558．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．答案 －35解析 ∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ在第三象限内，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.9．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________． 答案 －35解析 由sin θ＝55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35.10．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________．答案13；7 解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7. 11．化简：(1)1－sin 2440°＝________； (2)sin θ－cos θtan θ－1＝________．答案 (1)cos80° (2)cos θ解析 (1)原式＝1－sin 2（360°＋80°）＝1－sin 280° ＝cos 280°＝|cos80°|＝cos80°.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ.12．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，θ∈(π2，π)，求m 的值．解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1.∴m ＝0或m ＝8.又∵θ∈(π2，π)，∴sin θ>0，cos θ<0.∴m ＝8.13．已知x 是锐角，sinxcosx ＝237，求tanx 的值．答案32或233解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧sinx ·cosx ＝237，sin 2x ＋cos 2x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sinx ＝277，cosx ＝217，或⎩⎪⎨⎪⎧sinx ＝217，cosx ＝277，∴tanx ＝233或32.解法二：∵(sinx ＋cosx)2＝1＋2sinxcosx ＝1＋437，∴sin α＋cos α＝7＋437＝2＋37＝（2＋3）77. ∴sin α、cos α是方程x 2－（2＋3）77x ＋237＝0的两根．以下同解法一．解法三：sinxcosx ＝sinxcosx sin 2x ＋cos 2x ＝tanx tan 2x ＋1＝237，即得tanx. 14．已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值．解析 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，cos α≠0，原式＝2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1 ＝2×（－43）2＋（－43）－31＋（－43）2＝－725.15．已知sinx ＋cosx ＝15，且x∈(3π2，2π)．(1)求sinx 、cosx 、tanx 的值； (2)求sin 4x －cos 4x 的值．解析 (1)解法一：由sinx ＋cosx ＝15，得sinx ＝15－cosx.代入sin 2x ＋cos 2x ＝1中得(5cosx －4)(5cosx ＋3)＝0， 即cosx ＝－35(舍去)或cosx ＝45(∵3π2<x<2π)．当cosx ＝45时，由已知得sinx ＝－35.因此，sinx ＝－35，cosx ＝45，tanx ＝sinx cosx ＝－34.解法二：因为(sinx ＋cosx)2＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋cos 2x ＝1＋2sinxcosx ，所以1＋2sinxcosx ＝125，2sinxcosx ＝－2425<0. 又因为3π2<x<2π，所以sinx<0，得知cosx>0.因此(sinx －cosx)2＝1－2sinxcosx ＝1＋2425＝4925.再由cosx －sinx>0，得sinx －cosx ＝－75.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sinx ＋cosx ＝15，sinx －cosx ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sinx ＝－35，cosx ＝45.所以tanx ＝－34.(2)sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x)＝(sinx ＋cosx )·(sinx －cosx)＝15×(－75)＝－725.已知θ∈(－π2，π2)，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a∈(0，1)，则关于tan θ的值，以下四个答案，可能正确的是( ) A ．－3 B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析 ∵θ∈(－π2，π2)，sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0，1)，∴θ∈(－π2，0)，∴|sin θ|<|cos θ|. ∴tan θ>－1故选C.。
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课时提升作业(五)同角三角函数的基本关系
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.sinα=，则sin2α-cos2α的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.因为sinα=，所以cos2α=1-sin2α=，则原式=-=-.
【延伸探究】本题条件下，求sin4α-cos4α的值.
【解析】由sin4α-cos4α
=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α
=-.
2.(2015·福建高考)若sinα=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于( )
A. B.- C. D.-
【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.
【解析】选D.由sinα=-，且α为第四象限角可知cosα=，故tanα==-.
3.(2015·葫芦岛高一检测)已知α是第二象限角，cosα=-，则3sinα+tanα=( )
A.-
B.
C.-1
D.0
【解析】选D.因为cosα=-，α是第二象限角，
所以sinα===.
所以tanα===-2.
所以3sinα+tanα=3×-2=0.
4.(2015·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tanθ=-，则sinθ-
cosθ=( )
A. B. C.- D.-
【解析】选D.由已知得
所以+cos2θ=1，cos2θ=，
又角θ为第四象限角，所以cosθ=.
所以sinθ=-cosθ=-×=-.
所以sinθ-cosθ=--=-.
5.已知sinα-cosα=-，则tanα+的值为( )
A.-4
B.4
C.-8
D.8
【解析】选C.tanα+=+=.
因为sinαcosα==-，所以tanα+=-8.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2015·北京高一检测)已知α是第二象限的角，且sinα=，则cosα=________. 【解析】因为α是第二象限的角，且sinα=，
所以cosα=-
=-=-.
答案：-
7.若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为________. 【解析】因为sin2θ+cos2θ=+=1，所以k2+6k-7=0，
所以k1=1或k2=-7.当k=1时，cosθ不符合，舍去.
当k=-7时，sinθ=，cosθ=，tanθ=.
答案：
8.已知sinx=3cosx，则sinxcosx的值是________.
【解析】将sinx=3cosx代入sin2x+cos2x=1中得
9cos2x+cos2x=1，即cos2x=，
所以sin2x=1-cos2x=，
因为sinx与cosx同号，所以sinxcosx>0，
则sinxcosx==.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2015·武汉高一检测)已知=，α∈.
(1)求tanα的值.
(2)求的值.
【解析】(1)由=，得3tan2α-2tanα-1=0，即(3tanα+1)(tanα-1)=0，解得tanα=-或tanα=1.
因为α∈，所以tanα<0，所以tanα=-.
(2)由(1)，得tanα=-，所以===.
【延伸探究】本例条件下，计算sin2α+sinαcosα的值.
【解析】sin2α+sinαcosα=
=
==-.
10.求证：3-2cos2α=.
【证明】右边=
=3-=3-
=3-=3-2cos2α=左边，
所以原式得证.
【一题多解】左边=
=
==右边，所以原式得证.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C.1 D.
【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)
=sin2α+cos2α=1.
【补偿训练】若sinα+sin2α=1，则cos2α+cos4α等于________.
【解析】因为sinα+sin2α=1，sin2α+cos2α=1，
所以sinα=cos2α，
所以cos2α+cos4α=sinα+sin2α=1.
答案：1
2.(2015·宣城高一检测)已知sinθ=2cosθ，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )
A.-
B.
C.-
D.
【解题指南】关于sinθ，cosθ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值.
【解析】选D.因为sinθ=2cosθ，所以tanθ==2，
sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
=
=
==.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·龙岩高一检测)化简：α为第二象限角，则
+-=__________.
【解析】原式=+
-
=+-.
又因为α为第二象限角，所以cosα<0，1+sinα>0，1-sinα>0，
所以原式=--
=-1-+
=-1+=-1-2tanα.
答案：-1-2tanα
【补偿训练】=________.
【解析】原式=
==
因为sin 70°>cos 70°>0，
所以原式==1.
答案：1
4.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m 的值为________.
【解析】设直角三角形中的该锐角为β，
因为方程4x2-2(m+1)x+m=0中，
Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，
所以当m∈R时，方程恒有两实根.
又因为sinβ+cosβ=，sinβcosβ=，
所以由以上两式及sin2β+cos2β=1，
得1+2·=，解得m=±.
当m=时，sinβ+cosβ=>0，sinβ·cosβ=>0，满足题意，
当m=-时，sinβ+cosβ=<0，这与β是锐角矛盾，舍去.
综上，m=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·盐城高一检测)已知sinα+cosα=(0<α<π)，
(1)求sinαcosα.(2)求sinα-cosα.
【解析】(1)平方得1+2sinαcosα=，所以sinαcosα=-.
(2)由(1)式知sinαcosα<0，0<α<π，所以<α<π，
所以sinα-cosα>0，
因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=，
所以sinα-cosα=.
【补偿训练】在△ABC中，sinA+cosA=，
求(1)sinA·cosA. (2)tanA.
【解析】(1)因为sinA+cosA=，
所以(sinA+cosA)2=，
即1+2sinAcosA=，所以sinAcosA=-.
(2)因为sinA+cosA=，①A∈(0，π)，
所以A∈，所以sinA-cosA>0，
又因为(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA
=1-2×=，
所以sinA-cosA=②
联立①②解得，sinA=，cosA=-，
所以tanA===-.
6.已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=.
【证明】由sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，得=，即acosφ=bcosθ，而asinφ=sinθ，得a2=b2cos2θ+sin2θ，即a2=b2cos2θ+1-cos2θ，
得cos2θ=，而θ为锐角，所以cosθ=.。