1.7.3 球的表面积和体积 学案(高中数学必修2北师版)1
北师大版必修第二册6-6-3球的表面积和体积学案
球的表面积和体积课前篇咱主学习预案1.球的相关概念(1)球的大圆球面被经过的平面截得的圆称为球的大圆.球的小圆球面被不经过的平面截得的圆称为球的小圆.(3)直线与球相切直线与球有唯一时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.(4)切线长过球外一点的所有切线的切线长都.2.球的表面积和体积公式S球面=， V球=淇中R为球的半径.答案：1.(1)球心(2)球心⑶交点(4)相等24位智课堂篇•研习讨论导案研习1 球的体积与表面积32兀［典例1］球的体积是等，则此球的表面积是().^一16兀—64兀A. 12K B. 16兀C.飞-D.［自主记］［答案］B［解析］设球的半径为R,则由已知，得/1/?3 =苧，解得 R=2.故球的表面积S表=4兀R2=16兀.［巧归纳］求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径凡然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.研习2球的截面问题［典例2］如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器厚度，则球的体积为()500兀a866兀,A. 3 cmB. 3 cm「 1 3727r qc 2 048K，C. —cm°D. 一cm*［自主记］［答案］A［解析］如图，作出球的一个截面，则A/C=8—6 = 2(cm),BM=^AI3=^X 8=4(cm).设球的半径为R cm,则R2=oM+m4=(R-2)2+42,解得R=5..4 a 50071,V球=彳兀X 5' = -Q-(cnr).［巧归纳］球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.（2）解题时要注意借助球半径R,截面圆半径几球心到截面的距离d构成的直角三角形，即叱=法十尺研习3球的组合体问题［典例3］设长方体的长、宽、一个球面上，则该球的表面积为（A.3兀/C. 1232高分别为2m 〃，小其顶点都在）B.6兀a?D. 24兀〃2［答案］B［解析］作出图形的轴截面如图所示，点。
2018版高中数学北师大版必修二学案：第一章7.3球的表面积和体积
7.3球的表面积和体积学习目标 1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积．知识点一球的截面试探什么叫作球的大圆与小圆？梳理用一个平面α去截半径为R的球O的球面取得的是________，有以下性质：(1)假设平面α过球心O，那么截线是以________为圆心的球的大圆．(2)假设平面α只是球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，关于平面α与球面的任意一个公共点P，都知足OO′⊥O′P，那么有O′P＝R2－d2，即现在截线是以____为圆心，以r＝R2－d2为半径的球的小圆．知识点二球的切线(1)概念：与球只有________公共点的直线叫作球的切线．如图，l为球O的切线，M为切点．(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；②过球外一点的所有切线的长度都________．知识点三球的表面积与体积公式类型一 球的表面积与体积例1 (1)某几何体的三视图如下图，那么其表面积为______．(2)已知球的表面积为64π，求它的体积．反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积，必需明白半径R 或通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特点和三视图中数据的含义．依照球与球的组合体的结构特点及数据计算其表面积或体积．现在要专门注意球的三视图都是直径相同的圆． 跟踪训练1 (1)已知球的体积为5003π，那么其表面积为________．(2)某器物的三视图如图，依照图中数据可知该器物的体积是( )A.4π3B.15π3 C.4π3－15π3 D.4π3＋15π3类型二 球的截面例2 在半径为R 的球面上有A ，B ，C 三点，且AB ＝BC ＝CA ＝3，球心到△ABC 所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 组成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.跟踪训练2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3类型三 与球有关的组合体命题角度1 球的内接或外切柱体问题例3 (1)一个长方体的各个极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长别离为1,2,3，那么此球的表面积为________．(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，那么该球的体积为________． 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，假设正方体的棱长为a ，现在球的半径为r 1＝a2.(2)长方体的外接球长方体的八个极点都在球面上，称球为长方体的外接球，依照球的概念可知，长方体的体对角线是球的直径，假设长方体过同一极点的三条棱长为a ，b ，c ，那么过球心作长方体的对角面有球的半径为r 2＝12a 2＋b 2＋c 2.跟踪训练3 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，极点都在一个球面上，那么该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2命题角度2 球的内接锥体问题例4 假设棱长为a 的正四面体的各个极点都在半径为R 的球面上，求球的表面积．反思与感悟 将正四面体能够补成正方体．由此可得 正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练4 球的一个内接圆锥知足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，那么该圆锥的体积和此球体积的比值为________．1．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，那么圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R2．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，那么此球的体积为( )A.6π B．43π C．46π D．63π3．如图是一个几何体的三视图，依照图中数据，可得该几何体的表面积是( )A．9π B．10π C．11π D．12π4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．5．假设球的半径由R增加为2R，那么那个球的体积变成原先的________倍，表面积变成原先的________倍．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可组成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量表现在平面图形中，再进行相关计算．答案精析问题导学知识点一试探平面过球心与球面形成的截线是大圆．平面只是球心与球面形成的截线是小圆．梳理圆(1)O(2)O′知识点二(1)唯一(2)②相等知识点三4πR243πR3题型探讨 例1 (1)3π解析 由三视图知该几何体为半球， 那么其表面积为12×4π×12＋π×12＝3π.(2)解 设球的半径为R ，那么4πR 2＝64π，解得R ＝4， 因此球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.跟踪训练1 (1)100π (2)D例2 解 依题意知，△ABC 是正三角形，△ABC 的外接圆半径r ＝33×3＝ 3. 由R 2＝(R2)2＋(3)2，得R ＝2.因此球的表面积S ＝4πR 2＝16π.跟踪训练2 A [利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，那么MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，那么R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5 cm ， ∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3)．]例3 (1)14π解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ＝12＋22＋32＝14， 因此球的表面积S ＝4πR 2＝14π. (2)43π 解析 由题意知，此球是正方体的内切球，依照其几何特点知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×12＝4π3.跟踪训练3 B例4 解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x ，那么a ＝2x ， 由题意2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ，∴S 球＝4πR 2＝32πa 2.跟踪训练4 932或332当堂训练 1．D2．B [如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝22＋1＝ 3.即球的半径为3.∴V ＝43π(3)3＝43π.]3．D 4.3∶1∶2 5.8 4。
高中数学《球的表面积和体积》导学案1 北师大版必修2
高一数学导学案课题：球的表面积和体积姓名：___________________________【学习目标】了解并灵活运用球的表面积和体积公式，运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题【重点难点】灵活运用公式求球的表面积和体积，难点是与球有关的简单组合体的表面积和体积问题的综合应用【知识链接】S圆柱侧=__________________________；V柱体=__________________________S圆锥侧=__________________________；V锥体=__________________________S圆台侧=__________________________；V台体=__________________________ 【学习过程】⑴球的表面积公式S球面=__________________________⑵球的体积公式V球=__________________________注：①计算球的表面积和体积应把握的关键量是什么？②通过学习球的表面积公式，分析球的表面积公式有何特点？仅与什么有关？若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的多少倍？若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的多少倍？例1、做课本习题1-7A组1于导学案.例2、看课本例6、例7并做本节练习1、2 .例3、在球心同一侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49 π2cm 和400π2cm ，求球的表面积.例4、做课本习题1-7A 组4于导学案.拓展：若球的表面积膨胀为原来的2倍，则体积变为原来的多少倍？注：若一个球的体积为π，则它的表面积为__________________________. ⑴ 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为____________________.⑵ 已知球的体积为36π，则过球的球心的截面圆周长为____________________.【教后反思】。
北师大版数学必修二课件：1.7.3球
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 √3 ,底
面周长为3,则这个球的体积为
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:∵底面是正六边形,且底面周长为3,∴边长为
∴R= 12 + 12 = √5 + 4=3,∴S 球 =4πR2=36π.
纠错心得1.由于球是一个很特殊的对称体,满足条件的两截面可
能出现在球心同侧或异侧.
2.本例中错解显然遗漏了截面在球心异侧的情况.
1
2
3
4
5
1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
A.2π
8
3
4
3
B. + π
距离为 √2 ,则此球的体积为
.
(2)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面
ABC,SB⊥BC,SA=1,AB=BC=2,则球O的表面积为
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)如图所示,设截面圆的圆心为 O',M 为截面圆上任一点,
则 OO'=√2,O'M=1,
∴OM= (√2)2 + 1 = √3,即球的半径为√3,∴
PH= π(PH·
tan 30°)2·
PH= πx3.
3
∵V 水=V 圆锥-V
3
3
1
3
3 4 3
球,∴ πx =3πr - πr ,
9
3
∴x= √15r=15
1.7.3球的表面积和体积 教案 (高中数学必修二北师大版)
7．3球的表面积和体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解球的体积和表面积公式．(2)会用公式求球的表面积和体积及解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题．2．过程与方法通过球的表面积和体积公式的应用，提高学生的计算能力．3．情感、态度与价值观提高学生的思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心．●重点难点重点：球的表面积和体积公式．难点：与球有关的组合体的表面积和体积问题．解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议球的体积是球体所占空间的大小的度量，由球的几何特征可知，它是球半径的函数，而球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的函数，教学时对球的体积公式和表面积公式可以采用教材中的方法，直接给出其公式即可．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，掌握球的表面积和体积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握球的表面积和体积的计算⇒通过例2及变式训练使学生掌握球的表面积和体积的应用⇒通过例3及变式训练使学生掌握有关球的切接问题的解法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识球是最常见的几何体之一．从小学到初中，教材就介绍了球的表面积和体积，而且关于球的表面积和体积的计算在社会生活中有着重要的作用．(1)球能象多面体和圆柱、圆锥、圆台一样展开在一个平面上吗？(2)两个半径不相等的球，体积会相等吗？【提示】(1)不能．(2)不相等．1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径)2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)12π cm2，试求此球的表面积．【思路探究】利用球的截面性质求球的半径．【自主解答】 如图，设截面圆的圆心为O 1，OA 为球的半径， ∵12π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝12， 在Rt △OO 1A 中，OA 2＝OO 21＋O 1A 2，即R 2＝(12R )2＋12，∴R ＝4(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π(cm 2)．1．用一个平面去截球，截面总是圆面．2．球的截面圆的半径、圆心到球心的距离和球的半径构成直角三角形．此性质是解决球的表面积和体积问题的重要工具．本例中，若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．【解】 如图，由题意可知： OO 1＝1.设截面圆的半径为r ，则π＝πr 2， ∴r ＝1， 即O 1A ＝1. 在Rt △OO 1A 中，球半径R ＝OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝12＋12＝ 2.∴球的表面积S 球＝4πR 2＝8π， 球的体积V 球＝43πR 3＝823π.个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？【思路探究】 先设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，则水面下降，减少的体积就是球的体积，建立一个关系式来解决．【自主解答】 设△P AB 所在平面为轴截面，AB 为水平面，设球未取出时，水面高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x ，如图所示．∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥的容积为 V 圆锥＝13πAC 2·PC＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3. 球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan 30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r .。
高中数学学案北师大版必修2 球的表面积和体积 教案
教学设计7.3 球的表面积和体积导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨,有一座新异奇秀的半球形建筑．由香港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建,1996年9月正式开业,既是岛城饮食服务业的“特一级”店,又是新增加的一处景点．酒店的总建筑面积11 380平方米,现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店,那么,需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面,也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题:球的表面积和体积．推进新课新知探究球的半径为R ,它的体积和表面积只与半径R 有关,是以R 为自变量的函数．事实上,如果球的半径为R ,那么S ＝4πR 2,V ＝43πR 3. 注意:球的体积和表面积公式的证明以后证明．应用示例思路1例1 如图1,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗？(假设冰淇淋融化前后体积不变)图1解:因为V 半球＝12×43πR 3＝12×4π3×43≈134(cm 3), V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×12≈201(cm 3), 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子．点评:本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算．解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练如图2所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:图2(1)球的体积等于圆柱体积的23； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积．活动:学生思考圆柱和球的结构特征,并展开空间想象．教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形．证明:(1)设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ,高为2R .则有V 球＝43πR 3,V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3, 所以V 球＝23V 圆柱． (2)因为S 球＝4πR 2,S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝4πR 2,所以S 球＝S 圆柱侧.例2 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5 cm,求钢球的半径．解:如图3,设钢球半径为R ,则由题意,有图3π×32×8＋43πR 3＝π×32×8.5, 解得R ＝1.5(cm)．答:钢球的半径为1.5 cm.点评:本题主要考查圆柱、球的体积.变式训练有一种空心钢球,质量为142 g,测得外径(直径)等于5 cm,求它的内径．(钢的密度为7.9 g/cm 3,精确到0.1 cm)解:设空心球内径(直径)为2x cm,则钢球质量为7．9·⎣⎡⎦⎤4π3·⎝⎛⎭⎫523－4π3x 3＝142, ∴x 3＝⎝⎛⎭⎫523－142×37.9×4×3.14≈11.3.∴x ≈2.24.∴直径2x ≈4.5.答:空心钢球的内径约为4.5 cm.思路2例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________． 活动:学生思考长方体和球的结构特征．教师可以借助于信息技术画出图形．分析:画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径R ＝332,则该球的表面积为S ＝4πR 2＝27π.答案:27π点评:本题主要考查简单的组合体和球的表面积．球的表面积和体积都是半径R 的函数．对于和球有关的问题,通常可以在轴截面中建立关系．画出轴截面是正确解题的关键． 变式训练1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π分析:由V ＝Sh ,得S ＝4,得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得,该正四棱柱的对角线即为球的直径,所以球的半径为R ＝1222＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝24π.答案:C2．一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a ,则这个球的体积为__________．分析:把正四面体补成正方体的内接正四面体,此时正方体的棱长为22a ,于是球的半径为24a ,V ＝2π24a 3. 答案:2π24a 3 3．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为__________．分析:长方体的对角线为12＋22＋32＝14,则球的半径为142,则球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫1422＝14π.答案:14π例2 图4是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm 的一个圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米？图4活动:学生思考杯里的水将下降的原因,通过交流和讨论得出解题思路．因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20 cm 的圆,它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度．解:因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π( cm 3), 设水面下降的高度为x ,则小圆柱的体积为π⎝⎛⎭⎫2022x ＝100πx ( cm 3)．所以有60π＝100πx ,解此方程得x ＝0.6( cm)．答:杯里的水将下降0.6 cm.点评:本题主要考查几何体的体积问题,以及应用体积解决实际问题的能力．明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键．解实际应用题的关键是建立数学模型．本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积．明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1．一个空心钢球,外直径为12 cm,壁厚0.2 cm,问它在水中能浮起来吗？(钢的密度为7.9 g/cm 3)和它一样尺寸的空心铅球呢？(铅的密度为11.4 g/cm 3)分析:本题的关键在于如何判断球浮起和沉没,因此很自然要先算出空心钢球的体积,而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差,根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积,从而算出空心钢球的质量,然后把它与水的质量相比较即可得出结论,同理可以判断铅球会沉没．解:空心钢球的体积为V 钢＝4π3×63－4π3×5.83＝4π3×20.888≈87.45(cm 3), ∴钢的质量为m 钢＝87.45×7.9＝690.86(g)．∵水的体积为V 水＝4π3×63＝904.32(cm 3), ∴水的质量为m 水＝904.32×1＝904.32(g)＞m 钢．∴钢球能浮起来,而铅球的质量为m 铅＝87.45×11.4＝996.93(g)＞m 水．∴同样大小的铅球会沉没．答:钢球能浮起来,同样大小的铅球会沉没．2．底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水__________cm 3.分析:设四个实心铁球的球心为O 1,O 2,O 3,O 4,其中O 1,O 2为下层两球的球心,A ,B ,C ,D 分别为四个球心在底面的射影,则ABCD 是一个边长为22 cm 的正方形,所以注水高为⎝⎛⎭⎫1＋22 cm.故应注水π⎝⎛⎭⎫1＋22－4×4π3⎝⎛⎭⎫123＝⎝⎛⎭⎫13＋22π cm 3. 答案:⎝⎛⎭⎫13＋22π 知能训练1．三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．1倍B ．2倍 C.95倍 D.74倍 分析:根据球的表面积等于其大圆面积的4倍,可设最小的一个半径为r ,则另两个为2r,3r ,所以各球的表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2,36πr 24πr 2＋16πr 2＝95(倍)． 答案:C2．表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 …( )A.2π3B.π3C.2π3D.22π3 分析:此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形,所以由8×3a 24＝23,知a ＝1,则此球的直径为 2.答案:A3．若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π,则球的表面积是______． 分析:画出球的轴截面,则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形．又由题意得截面圆的半径是3,则球的半径为42＋32＝5.所以球的表面积是4π×52＝100π.答案:100π4．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,AC ＝2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π分析:由题意得SO ＝r 为三棱锥的高,△ABC 是等腰直角三角形,所以其面积是12×2r ×r ＝r 2.所以三棱锥体积是13×r 2×r ＝r 33.又球的体积为4πr 33,则球的体积与三棱锥体积之比是4π. 答案:D点评:面积和体积往往涉及空间距离,而新课标对空间距离不作要求,因此在高考试题中其难度很低,属于容易题,2007年新课标高考试题就体现了这一点．高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算．我们应高度重视这方面的应用． 拓展提升问题:如图5,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ,且与BC ,DC 分别截于E ,F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别是S 1,S 2,则必有( )图5A ．S 1＜S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1,S 2的大小关系不能确定探究:如图6,连接OA ,OB ,OC ,OD ,则V A —BEFD ＝V O —ABD ＋V O —ABE ＋V O —BEFD ＋V O —ADF ,V A —EFC ＝V O —AFC ＋V O —AEC ＋V O —EFC .又V A —BEFD ＝V A —EFC ,而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故S △ABD ＋S △ABE ＋S BEFD ＋S △ADF ＝S △AFC ＋S △AEC ＋S △EFC .又面AEF 是公共面,故选C.图6答案:C课堂小结本节课学习了:1．球的表面积和体积．2．计算组合体的体积时,通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积．3．空间几何体的表面积与体积的规律总结:(1)表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积．求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系,注意球面不可展开．(2)在体积公式中出现了几何体的高,其含义是:柱体的高:从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线,这点和垂足间的距离称为柱体的高．锥体的高:从锥体的顶点向底面作垂线,这点和垂足间的距离称为锥体的高．台体的高:从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线,这点和垂足间的距离称为台体的高．注意:球没有高的结构特征．(3)利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题的常用手段．(4)与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一,常以选择题或填空题的形式出现,属于低档题．作业课本本节练习第1,2题．设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积．值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题(新课标对球的截面不要求)，在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担．备课资料一、知识拓展利用体积法求简单多面体的内切球半径求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很烦琐．我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径．现举例说明如下：图7如图7，在三棱锥S—ABC中，SA＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，SA⊥面ABC，求三棱锥S—ABC的内切球的半径．解：设内切球的球心为O，球的半径为r，则V S—ABC＝V O—SAB＋V O—SAC＋V O—SBC＋V O—ABC.又∵V O—SAB，V O—SAC，V O—SBC，V O—ABC的高都是r，SA⊥面ABC，∴V S—ABC＝V O—SAB＋V O—SAC＋V O—SBC＋V O—ABC＝13r(S△SAB＋S△SAC＋S△SBC＋S△ABC)＝13r⎝⎛⎭⎫12·1·1＋12·1·1＋34·2＋12·1·1＝13·1·12.∴r＝13＋3＝3－36.点评：若一个简单n面体有内切球，且简单n面体的各个面的面积分别为S1，S2，S3，…，S n，简单n面体的体积为V，则此简单n面体的内切球的半径为r＝3VS1＋S2＋S3＋…＋S n.用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法．二、数学建模法数学模型方法不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法．我国从1992年开始的一年一度的大学生数学建模竞赛，正得到各大专院校的广泛支持和广大学生的积极参与，全国上下掀起了学数学建模、应用数学建模解决实际问题的高潮，这一切表明数学建模方法在理论上和应用上的重要性．数学建模的过程大概可表示如下：实际问题；抽象、简化、假设，确定变量和参数；建立数学模型并求解，确定参数；用实测数据等来检验该数学模型；回到实际问题．下面介绍数学模型法解决问题的一个例子：怎样使饮料罐制造用材最省的问题．首先，把饮料罐假设为正圆柱体(实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的)．在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：V ——罐装饮料的体积，r ——半径，h ——圆柱高，b ——制罐铝材的厚度，k ——制造中工艺上必须要求的折边长度．上面的诸多因素中，我们先不考虑k 这个因素．于是V ＝πr 2h ，由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍．因而制罐用材的总面积为A ＝3πr 2b ＋πr 2b ＋2πrhb ＝(4πr 2＋2πrh )b .每罐饮料的体积是一样的，因而V 可以看成是一个常数(参数)，解出h ＝V πr 2代入A ，得A ＝A (r )＝2πb ⎝⎛⎭⎫2r 2＋V πr ，从而知道，用材最省的问题是求半径r 使A (r )达到最小．A (r )的表达式就是一个数学模型．可以用多种精确或近似方法求A (r )的极小值及相应的r .易求得h ＝Vπ3⎝⎛⎭⎫4πV 2＝3(4π)2V 3π3V 2＝4r ，即罐高h 应为半径r 的4倍． 当你拿起可口可乐、百事可乐、健力宝等饮料罐测量一下时，高h 和半径r 的比几乎与上述计算完全一致！其实这一点也不奇怪，这些大饮料公司年生产的罐装饮料都高达几百万罐，甚至更多，因而从降低成本和获取利润的角度，这些大公司的设计部门一定会考虑在同样工艺条件、保证质量前提下用材最省的问题．大家还可以把折边k 这一因素考虑进去，然后得到相应的数学模型，并求解之，最后看看与实际符合的程度如何．这个问题的解答可以给我们很多启发，我们会发现现实生活中有许多的类似问题．例如，当你到民航售票处去买国际机票时，你在机票上会看到像“免费交运的行李为两件，每件最大体积(三边之和)不得超过62英寸(158 cm)，但两件之和不得超过107英寸(273 cm)，每件重量不得超过32 kg ”的说明．试计算一下三边之和为158 cm 的长方体(我们通常用的箱子、装货的纸箱都是这种形状的)要使之体积最大的长、宽、高应是多少？(试证明为正方体)再到市场上去调查一下有多少箱子是这样的，为什么？在马路上见到的油罐车上的油罐为什么不是正圆柱形而是椭圆圆柱形？体积一定、用材最少的油罐的尺寸应是什么形状？这些问题都会激起我们的思考和应用数学的兴趣．(设计者：国建群)。
高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-3 球学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案
7.3 球1．球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．(2)球的截面性质 ①球的截面是圆面．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 有如下关系：r ＝R 2－d 2. 2．球的切线(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点． (2)过球外一点的所有切线的长度都相等． 3．球的表面积和体积(1)球的表面积公式S 球面＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)球的体积公式V 球＝43πR 3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9.( ) (2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)用任意平面截球，所得截面都是圆．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√题型一球的表面积和体积 【典例1】 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是 ( ) A ．12π B．16π C.16π3 D.64π3(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．[思路导引] (1)求球的半径是求球表面积与体积的关键． (2)利用体积相等，求大球半径．[解析] (1)43πR 3＝32π3，故R ＝2，球的表面积为4πR 2＝16π.(2)两个小铁球的体积为2×43π×13＝8π3，即大铁球的体积为43π×R 3＝8π3，所以半径为32.[答案] (1)B (2)32解决球的表面积和体积时注意两点(1)一个关键抓住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[针对训练1] (1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2 C.2π2 D.6π6[解析] (1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的22倍．(2)设正方体的边长为a ，球的半径为R ，则6a 2＝4πR 2.则a R ＝6π3，则a 343πR3＝34π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π33＝6π6. [答案] (1)B (2)A 题型二球的截面【典例2】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积．[思路导引] 用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直，这就构造了直角三角形．[解] (1)若两截面位于球心的同侧．解法一：如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)． 在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49， 在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.解法二：同解法一，得OC 21＝R 2－49，OC 2＝R 2－400， 两式相减，得OC 21－OC 2＝400－49 ⇔(OC 1＋OC )(OC 1－OC )＝351. 又OC 1－OC ＝9，∴OC 1＋OC ＝39， 解得OC 1＝24，OC ＝15， ∴R 2＝OC 2＋r 2＝152＋202＝625， ∴R ＝25 cm.(以下略)(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．[针对训练2] 把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6[解析] 画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.[答案] C题型三与球有关的切和接问题【典例3】 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[思路导引] (1)长方体的体对角线即是外接球的直径． (2)充分利用轴截面去寻找有关量之间的关系是解决问题的关键．[解析] (1)长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝6πa 2. (2)如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ，OA ＝OEsin30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ，BD ＝AD ·tan 30°＝3R ，∴V 球＝43πR 3， V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9. [答案] (1)B (2)4∶9(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . [针对训练3] (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为________．[解析] (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123∶43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝1∶3 3.(2)设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π.[答案] (1)C (2)9π1．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1[解析] 设两球的半径分别为r,3r ，则表面积之比为4πr 24π(3r )2＝19.[答案] A2．若把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R[解析] 设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R .[答案] D3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍[解析] 设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的体积V 大＝4π3×(3x )3＝36πx 3，另两球的体积之和V 和＝4π3x 3＋4π3×(2x )3＝12πx 3，所以V 大＝3V 和．[答案] C4．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π B.32π3 C.8π3 D.82π3[解析] 作轴截面如图所示，则OO 1＝1.设截面圆的半径为r ，球的半径为R .由已知可得πr 2＝π，所以r ＝1，R＝ 2.故S 球＝4πR 2＝8π.[答案] A课后作业(十六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 令S 球1＝4πR 2，S 球2＝4πr 2， 由题可知4πR 2－4πr 2＝48π，① 又2πR ＋2πr ＝12π，② ①②得R －r ＝2. [答案] C2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点落在球O 的表面上，已知AB ＝3，AD ＝4，BB 1＝5，那么球O 的表面积为( )A ．25π B．200π C．100π D．50π [解析] 由长方体的体对角线为外接球的直径， 设球半径为r ，则2r ＝9＋16＋25＝52， 则r ＝522，S 表＝4πr 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222π＝50π.[答案] D3．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．5 [解析] BD ＝5，AC ＝22，CD ＝OD －OC＝R 2－BD 2－R 2－AC 2＝R 2－5－R 2－8＝1. 解得R ＝3. [答案] B4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图)，则球的半径是( )A. 3 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．4 cm[解析] 设球的半径为r ， 则V 水＝8πr 2，V 球＝4πr 3， 加入小球后，液面高度为6r ，所以πr 2·6r ＝8πr 2＋4πr 3，解得r ＝4.故选D. [答案] D5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A ．π B.3π4 C.π2D ．6π[解析] 如图所示，圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径为r ＝22－12＝3，所以该圆柱的体积为V ＝Sh ＝π·(3)2·2＝6π.故选D. [答案] D6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.[答案]9π27．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________． [解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π.[答案] 36π8．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则这个球的表面积为________．[解析] 正四棱锥P －ABCD 外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，OP ＝OA ＝R ，PO 1＝4，OO 1＝4－R ，或OO 1＝R －4(此时O 在PO 1的延长线上)．在Rt △AO 1O 中，R 2＝8＋(R －4)2得R ＝3，所以球的表面积S ＝36π.[答案] 36π9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径．[解] (1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图①所示，易得r 内＝a 2. (2)正方体的外接球与正方体的连接点为正方体各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的一个大圆为对角面矩形的外接圆，如图②所示，设球半径为R ，则(2R )2＝(2a )2＋a 2⇒R ＝32a . (3)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图③所示，易求得球的半径为22a . 应试能力等级练(时间25分钟)11．若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比是( )A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶2[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，母线长为2R ，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR ×2R ＝6πR 2，球的表面积为4πR 2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6πR 2∶4πR 2＝3∶2.[答案] D12．球面上有三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为( )A ．1200π B．1400π C．1600π D．1800π[解析] ∵AB 2＋BC 2＝182＋242＝302＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且其外接圆的半径为AC 2＝15，即截面圆的半径r ＝15.又球心到截面的距离为d ＝12R (R 为球的半径)，∴R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝152，∴R ＝10 3.∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1200π.[答案] A13．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．[解析] 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π. [答案] 3π 14．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为________．[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ∴BC ⊥P C.∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心． 又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝ 6∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π. [答案] 6π15．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A －BCD ，求此正三棱锥的体积．[解] ①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12， ∴OH ＝OB 2－HB 2＝9，∴正三棱锥A －BCD 的高h ＝9＋15＝24.又S △BCD ＝34×(123)2＝1083， ∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A －BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083，∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×6＝216 3. 综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。
2020-2021学年北师大版数学必修2课件-第一章-7.3-球的表面积和体积
A.13
B.14
3
1
C. 3
D.2
解析：设正方体棱长为 a，球 O1，O2 的半径分别为 R1，R2，则 2R1＝a,2R2＝ 3a，∴
R1∶R2＝1∶ 3，表面积之比为 1∶3.
答案：A
3．长方体共顶点的三条棱长分别为 3,4,5，则它的外接球的表面积为________． 解析：球的直径等于长方体的对角线长，即 2R＝ 32＋42＋52＝5 2，∴R＝522，∴S 球＝4πR2＝4π×5 2 22＝50π.
球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是 涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．
2．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁 球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解析：如图作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球 在容器内时，水的深度为 3r，水面半径为 3r，则容器内水的体积为 V＝V 圆锥－V 球＝13π( 3r)2·3r－43πr3＝53πr3. 将球取出后，设容器内水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h，从而 容器内水的体积是 V′＝13π 33h2h＝19πh3. 由 V＝V′得 h＝3 15r.
课时作业
它的表面积扩大为原来的 9 倍．
答案：C
3．已知球 O 的表面积为 16π，则球 O 的体积为( )
A.43π
B.83π
16 C. 3 π
32 D. 3 π
解析：因为球 O 的表面积是 16π，所以球 O 的半径为 2，所以球 O 的体积为43π×23＝332
π，故选 D. 答案：D
4．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3π，则该正方体的 表面积为________．
北师大版必修二 球的表面积和体积
[答案]
A
[解析]
设大球半径R2，小球半径R1.
4 3 4 3 πR2＋ πR1＝12π 3 3 2πR2＋2πR1＝6π
R2＝2 解得 R1＝1
∴R2－R1＝1.故选A.
6．若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的 体积为( ) 6 B. π cm3 8 6 D. π cm3 6
r R d
2 2
2
R
ß
O
r
d
课堂练习
1．已知球的大圆周长为12π，则它的表面积和体积分别 是( ) A．36π，144π C．144π，36π B．36π，36π D．144π，144π
[答案]
B
2．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩 大到原来的( A．3倍 C ． 9倍 ) B．3 3倍 D．9 3倍
由计算器算得:
x 2.24
2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
• 球的表面积 一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积别 为49πcm2和400πcm2，试求球的表面积． • [思路分析] 求球的表面积或体积只需要求出 球的半径，要求球的半径只需解球的半径、 截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角 三角形．
3
∴x≈2.24 cm，∴2x≈4.5 cm，即所求钢球的内径约为4.5 cm.
例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上，且正方体的表面积为a2，求 球O的表面积和体积. C′ o
A
例3 有一种空心钢球，质量为142g （钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径 为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.
S' 0
1 锥体V Sh 3
北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 6.3 球的表面积和体积
倍,表面积变为原来的
解析 球的半径为 R 时,球的体积为
2R 后,球的体积为
4
倍.
4 3
V1=3πR ,表面积为 S1=4πR2,半径增加为
4
2
3 32
3
2
2
V2=3π(2R) = 3 πR ,表面积为 S2=4π(2R) =16πR ,所以
1
32π3
2
16π
2
3
=8,
=
2 =4,即体积变为原来的 8 倍,表面积变为原来的 4 倍.
A.1∶ 3
B.1∶3
解析 设正方体的棱长为
∴V
C.1∶3 3
D.1∶9
a,则其内切球的半径为 ,
2
3 π3
4
= .
内= π
2
3
6
3
正方体的外接球的半径为 2 a,∴V
1 2 3 4
4
3 3 3π3
a)
=
,∴V
外= π(
3 2
2
∶V 外=1∶3 3.
内
4.如图,边长为2的正方形ABCD中,以B为圆心的圆与AB,BC分别交于点E,F,
直角三角形CDF绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥,所以圆锥的底
面半径R1=2,
高 h2=CF=1,其体积
1 2 3 4
1
1
4π
2
2
V2= π1 h2= π×2 ×1= ;
3
3
3
扇形 BEF
1
是圆的4,绕直线
故其体积
1 4π 3 1 4π 3 2π
V3= × r = × ×1 = ;
2
3
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7.3 球的表面积和体积问题导学1．柱体的体积 活动与探究1如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．正三棱柱的主视图如图②.求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．迁移与应用1．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的体积为__________．2．根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积．1．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．2．求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和．2．锥体的体积 活动与探究2如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ．求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． 迁移与应用1．一个圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则其体积为__________．2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，点P ，Q ，R 分别是棱AA 1，AB ，AD 的中点，则三棱锥A －PQR 的体积等于__________．(1)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．(2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法．3．台体的体积 活动与探究3正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求体积．迁移与应用四边形ABCD 中，A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．1．求台体的体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高，然后套用公式V ＝13(S ′＋SS ′＋S )h 计算求解．2．由于台体可以看作是由一个平行于锥体底面的平面截去小锥体后剩余的部分，因此台体的体积也可以由大锥体的体积减去小锥体的体积来计算得到．4．球的表面积和体积 活动与探究4(1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2(2)如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )．A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍 迁移与应用1．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A ．92π＋12B ．92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18计算球的表面积和体积时要注意的问题：(1)关键是计算球的半径，而计算半径的关键是寻找球心的位置．因此，在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息．(2)当球的半径增加为原来的2倍时，球的表面积增加为原来的4倍，球的体积增加为原来的8倍．(3)注意公式的“双向”应用，也就是说当知道球的表面积或体积时，也可以求出球的半径．当堂检测 1．已知高为3的直三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B ′－ABC 的体积为( )．A ．14B ．12C ．36 D ．342．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )． A ．1∶2 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶8 3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )． A ．23π3 B ．23πC ．73π6D ．73π34．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )．A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm5．如图，一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)答案：课前预习导学 预习导引预习交流1 提示：台体的体积公式中，如果S 上＝S 下，就得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ；如果S 上＝0，就得到锥体的体积公式V 锥体＝13Sh .因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下．由上图可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例．预习交流2 提示：体积相等，都等于13Sh .预习交流3 提示：V 圆柱＝πR 2h ，V 圆锥＝13πR 2h .预习交流4 提示：表面积扩大为原来的4倍，体积扩大为原来的8倍． 课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长，从而可求出正三棱柱的底面边长与高，然后套用体积公式计算．解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在底面即等边△ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.迁移与应用 1．16π2解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，依题意有2πr ＝4π，h ＝4π，所以r ＝2，于是体积V ＝Sh ＝πr 2h ＝π·22·4π＝16π2.2．解：该几何体上方是底面半径为12，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4,1,1的长方体，从而V ＝4×1×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·1＝π4＋4.活动与探究2 思路分析：对于棱锥Q －ABCD ，其底面为正方形ABCD ，高即为QA ，易求体积；对于三棱锥P －DCQ ，若以△DCQ 为底面，则应证明PQ 是其高，然后再计算，也可将三角形CDP 作为底面，这时其高易证即为AD ，从而可求体积．解：设AB ＝a .由题意知AQ 即为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13Sh ＝13×a 2×a ＝13a 3.方法1：由于棱锥P －DCQ 与棱锥Q －CDP 是同一个棱锥，其体积相等，而其底面是Rt △CDP ，面积为S 1=12×a ×2a =a 2.取DP 中点N ，连接QN ，则QN ∥AD ， 又AD ⊥DC ，AD ⊥DP ， 所以AD ⊥平面CDP ， 故QN ⊥平面CDP .因此QN 就是三棱锥Q －CDP 的高，且QN ＝AD ＝a .于是棱锥P －DCQ 的体积V 2＝V Q －CDP ＝13×a ×a 2＝13a 3.于是V 1∶V 2＝1.方法2：因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ .于是得PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中，可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD ，所以PQ ⊥平面DCQ .即PQ 为三棱锥P －DCQ 的高，且PQ ＝2a ，而△DCQ 的面积为12·a ·2a ＝22a 2，所以三棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13·22a 2·2a ＝13a 3，于是V 1∶V 2＝1.迁移与应用 1．324π 解析：依题意，圆锥的底面半径为12，高为32，于是体积V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·32＝324π.2．92 解析：V A －PQR ＝V Q －APR ＝13S △APR ·AQ ＝13×12×3×3×3＝92. 活动与探究3 思路分析：解答本题的关键是利用侧棱与高构成的直角梯形求出台体的高，进而求出正四棱台的体积．解：正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中O 1，O 分别是两底面的中心． ∵A 1C 1＝2，AC ＝52，∴A 1O 1＝22，AO ＝522，∴O 1O ＝32－⎝⎛⎭⎪⎫522－222＝1，V ＝13×1×(12＋52＋12×52)＝13(1＋25＋5)＝313(cm 3)． 迁移与应用 解：∵C (2,1)，D (0,3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.∴V 圆锥=13πr 2h =13π×22×2=83π.∵B (1,0)，C (2,1)，∴圆台的两个底面半径R =2，R ′=1，高h ′=1.∴V 圆台=13πh ′(R 2+R ′2+RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.活动与探究4 思路分析：(1)该球的直径等于长方体的体对角线长． (2)可设出球的半径，计算出三个球的体积，然后求得结论．(1)B (2)C 解析：(1)由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，则长方体的体对角线长为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a .∴S 球＝4πR 2＝6πa 2.(2)半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的半径为3x ，其体积为43π×(3x )3，其余两个球的体积之和为43πx 3＋43π×(2x )3，∴43π×(3x )3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤43πx 3＋43π×(2x )3＝3.迁移与应用 1．12π 解析：设球的半径为 R ，由4π3R 3＝43π，得R ＝3，所以S＝4πR 2＝12π.2．B 解析：由题意知该几何体上部为直径为3的球，下部为长、宽、高分别为3,3,2的长方体，∴该几何体的体积为V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3×3×2＝9π2＋18.当堂检测1．D 2．B 3．D 4．B。