高中数学必修2第三章(免费)

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最新人教版高中数学必修2第三章《两条直线的位置关系》

数学人教B 必修2第二章2.2.3 两条直线的位置关系1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件．2．会判断两条直线相交、平行和重合，并会求两条直线的交点坐标．3．理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件，并能熟练运用这一条件判断两条直线是否垂直．1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：111222轴________ __________________ ______________【做一做1】直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2； ②若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2. 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．两条直线垂直的条件(1)设直线l 1，l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，A 2，B 1，B 2均不为0)，则l 1⊥l 2⇔________.(2)设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔________.与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行与垂直的直线若直线l ′与l 平行，则l ′可设为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )；若直线l ′与l 垂直，则l ′可设为Bx －Ay ＋D ′＝0.过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. 【做一做2】下列直线中与直线x －3y ＋3＝0垂直的是( )． A ．3x ＋y －1＝0 B ．3ax ＋ay －a ＝0 C ．3x －y ＋1＝0 D ．x ＋3y ＋3＝01．关于直线的对称问题剖析：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则①l 关于x 轴对称的直线方程是Ax ＋B (－y )＋C ＝0； ②l 关于y 轴对称的直线方程是A (－x )＋By ＋C ＝0； ③l 关于原点对称的直线方程是A (－x )＋B (－y )＋C ＝0； ④l 关于y ＝x 对称的直线方程是Bx ＋Ay ＋C ＝0；⑤l 关于直线y ＝－x 对称的直线方程是A (－y )＋B (－x )＋C ＝0； ⑥l 关于点P (x 0，y 0)对称的直线方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.求点关于点的对称点，点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线，直线关于直线的对称直线问题，其实质都是中点问题与垂直问题的结合．2．教材中的“思考与讨论”已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，如何用这两条直线的斜率k 1，k 2以及b 1，b 2，判定这两条直线平行或者重合？证明你的结论，并说明与直线y ＝kx ＋b 平行的直线可表示为y ＝kx ＋b 1(b 1≠b )．剖析：l 1∥l 2的条件是k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1与l 2重合的条件是k 1＝k 2且b 1＝b 2.证明：设直线l 1，l 2的一般式分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则k 1＝－A 1B 1，b 1＝－C 1B 1，k 2＝－A 2B 2，b 2＝－C 2B 2，而当A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－C 1B 2≠0时，l 1∥l 2，所以当k 1＝k 2且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.又因为当A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)时，l 1与l 2重合，所以当k 1＝－A 1B 1＝－λA 22＝k 2，b 1＝－C 1B 1＝－λC 22＝b 2时，l 1与l 2重合，所以k 1＝k 2且b 1＝b 2时，l 1与l 2重合．题型一判断两直线的位置关系【例1】判断下列直线的位置关系．(1)已知两条直线l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)已知两条直线l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0.分析：利用判断两直线位置关系的条件，可以用斜率形式，也可以用一般形式．反思：(1)①判断两条直线平行，首先判断其斜率相等(斜率存在时)，即k 1＝k 2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b 1≠b 2.如果两条直线斜率不存在，两条直线为x ＝a 1，x ＝a 2，只需a 1≠a 2即可；②判断两直线平行，也可用系数比．(2)判断两直线垂直：①如果斜率都存在，只判断k 1k 2＝－1；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；②利用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断．题型二利用两直线的位置关系定参数【例2】已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？分析：根据两条直线相交、平行、重合的条件列方程或不等关系求解．反思：利用两直线的位置关系定参数问题一定不要忽视特殊情况，即斜率为0或斜率不存在的情况，再者注意对结果进行检验．题型三求与已知直线平行或垂直的直线方程【例3】已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．分析：本题可根据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出所求直线的斜率后用点斜式求解，也可利用直线系方程的方法来求解．反思：求经过点A (x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行或垂直的直线方程，当l 的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．题型四对称问题【例4】光线由点A (－1,4)射出，在直线l ：2x ＋3y －6＝0上反射，已知反射光线过点B ⎝⎛⎫3，6213，求反射光线所在直线的方程．分析：根据反射规律，所求反射光所在直线除了过点B 外，还经过A 关于l 的对称点A ′. 反思：点关于直线的对称一般要利用中点坐标公式及直线的垂直来综合解决，至于光的反射问题一定要看清谁做镜面，及入射光与反射光经过的点．题型五易错辨析【例5】求经过点A (2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程．错解：∵所求直线与2x ＋ay －10＝0垂直，∴根据l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1，得所求直线的斜率为a2，∴根据点斜式得l ：y －1＝a2(x －2)，整理得ax －2y －2a ＋2＝0.错因分析：漏掉a ＝0时特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k 1k 2＝－1来求．【例6】当a 为何值时，直线x ＋2ay －1＝0和直线(3a －1)x －ay －1＝0平行？错解：由3a －11＝－a 2a ≠1，得3a －1＝－12.∴a ＝16，∴当a ＝16时，两直线平行．错因分析：漏掉对a ＝0时的讨论，要知道利用上述分式条件容易丢解，克服的办法是先将特殊情况讨论完．1已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－12过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝03已知两直线l 1：(3＋a )x ＋4y －5＋3a ＝0与l 2：2x ＋(5＋a )y －8＝0. (1)l 1与l 2相交时，a ≠__________； (2)l 1与l 2平行时，a ＝__________； (3)l 1与l 2重合时，a ＝__________； (4)l 1与l 2垂直时，a ＝__________.4求和直线4x ＋3y ＋5＝0平行且在x 轴上的截距为－3的直线方程．答案：基础知识·梳理 1．(1)平行A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 有一个交点 A 1A 2≠B 1B 2 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)k 1＝k 2且b 1≠b 2 k 1＝k 2且b 1＝b 2 k 1≠k 2 【做一做1】C ①错，②③④正确． 2．(1)A 1A 2＋B 1B 2＝0 (2)k 1k 2＝－1 【做一做2】A 典型例题·领悟【例1】(1)解法一：直线l 1化为斜截式为y ＝－35x ＋65，直线l 2化为斜截式为y ＝－35x －310，由此可知l 1的斜率为k 1＝－35，在y 轴上的截距为b 1＝65，l 2的斜率为k 2＝－35，在y 轴上的截距为b 2＝－310.因为k 1＝k 2＝－35，b 1＝65≠－310＝b 2，所以l 1∥l 2.解法二：因为36＝510≠－63，所以l 1∥l 2.(2)解法一：由直线l 1的方程，知l 1的斜率为k 1＝12；由直线l 2的方程，知l 2的斜率为k 2＝－2. 显然，k 1k 2＝12×(－2)＝－1，所以l 1⊥l 2.解法二：因为3×2＋(－6)×1＝6－6＝0，所以l 1⊥l 2.【例2】解：∵直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， ∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，∴(m －3)(m ＋1)≠0，∴m ≠3且m ≠－1. 故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3.∴m ＝－1. 故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．综上所述，当m ≠3且m ≠－1时，两直线相交；当m ＝－1时，两直线平行；当m ＝3时，两直线重合．【例3】(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解．由l ：3x ＋4y －20＝0，得k l ＝－34.设过点A 且平行于l 的直线为l 1，则kl 1＝k l ＝－34，所以l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.解法二：利用直线系方程求解．设过点A 且平行于直线l 的直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由点A (2,2)在直线l 1上，得3×2＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－14. 故直线l 1的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)解法一：设过点A 与l 垂直的直线为l 2. 因为k l kl 2＝－1，所以kl 2＝43，故直线l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.解法二：设l 2的方程为4x －3y ＋m ＝0. 因为l 2经过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋m ＝0，解得m ＝－2. 故l 2的方程为4x －3y －2＝0.【例4】解：如图所示，设点A 关于直线l ：2x ＋3y －6＝0的对称点A ′的坐标为(x 0，y 0)，则y 0－4x 0＋1＝32，即3x 0－2y 0＝－11.①∵AA ′的中点在直线l 上， ∴2⎝⎛⎭⎫x 0－12＋3⎝⎛⎭⎫y 0＋42－6＝0，即2x 0＋3y 0－2＝0.② 由①②解得⎩⎨⎧x 0＝－2913，y 0＝2813.由两点式方程可得反射光线所在直线的方程为y －6213＝6213－28133＋2913(x －3)，即13x －26y ＋85＝0.【例5】正解1：①当a ＝0时，已知直线化为x ＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l 的斜率为0，∵直线l 过点A (2,1)，∴直线l 的方程为y －1＝0(x －2)，即y ＝1. ②当a ≠0时，已知直线2x ＋ay －10＝0的斜率为－2a，∵直线l 与已知直线垂直，设所求直线斜率为k ，∴k ·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，∴k ＝a 2.∵直线l 过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝a2(x －2)，即ax －2y －2a ＋2＝0.所求直线l 的方程为y ＝1或ax －2y －2a ＋2＝0. 又y ＝1是ax －2y －2a ＋2＝0的一个特例，因此上两条直线可合写成ax －2y －2a ＋2＝0.正解2：根据题意可设直线l 的方程为ax －2y ＋D ＝0，又点A 在直线l 上，∴2a －2×1＋D ＝0，∴D ＝2－2a ，∴所求直线l 的方程为ax －2y ＋2－2a ＝0.【例6】正解1：①当a ≠0时，由3a －11＝－a2a ≠1，得3a －1＝－12，∴a ＝16.②当a ＝0时，直线方程分别为x ＝1和x ＝－1，两直线平行．综上，当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．正解2：由两直线平行，得⎩⎪⎨⎪⎧1·(－a )＝(3a －1)·2a ， ①1·(－1)≠(3a －1)·(－1). ② 由①可得a ＝0或a ＝16，由②可得a ≠23.∴当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．随堂练习·巩固1．D 两条直线的斜率分别为a 和a ＋2且相互垂直，即a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 2．A 与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.3．(1)－7或－1 (2)－7 (3)－1 (4)－133 由题意知A 1＝3＋a ，B 1＝4，C 1＝－5＋3a ，A 2＝2，B 2＝5＋a ，C 2＝－8.则D 1＝(3＋a )(5＋a )－8＝a 2＋8a ＋7，D 2＝－32－(－5＋3a )(5＋a )＝－(3a 2＋10a ＋7)．当D 1≠0，即a ≠－7或－1时，l 1与l 2相交；当D 1＝0，D 2≠0，即a ＝－7时，l 1与l 2平行；当D 1＝0，D 2＝0，即a ＝－1时，l 1与l 2重合；当A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＝－133时，l 1与l 2垂直． 4．解：与直线4x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程可设为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c4，由题意得－c4＝－3，故c＝12，所以所求的直线方程为4x＋3y＋12＝0.。

人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.3.1两条直线的交点坐标》教案_001

3.3.1 两条直线的交点坐标教学目的：使学生了解两条直线交点坐标的求法，会联立两条直线所表示的方程成方程组求交点坐标。

教学重点：两直线交点坐标的求法。

教学难点：两直线交点坐标的求法。

教学过程一、复习提问平面内两条直线有什么位置关系？空间里呢？二、新课已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0如何求它们的交点坐标呢？一般地将它们联立成方程组，若方程组有唯一的解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。

例1、求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0l 2：2x ＋y ＋2＝0解：解方程组：⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ，解得：⎩⎨⎧=-=22y x 所以两条直线的交点是M （－2,2）。

探究：当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ（2x ＋y ＋2）＝0表示什么图形？图形有何特点？例2、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：（1）l 1：x －y ＝0， l 2：3x ＋3y －10＝0（2）l 1：3x －y ＋4＝0， l 2：6x －2y ＝0（3）l 1：3x ＋4y －5＝0， l 2：6x ＋8y －10＝0解：（1）解方程组：⎩⎨⎧=-+=-010330y x y x ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3535y x 所以，l 1，l 2相交，交点是M （35，35）（2）解方程组：⎩⎨⎧=-=+-026043y x y x ，①×2－② 得：9＝0，矛盾！方程组无解，所以两直线无交点，l 1∥l 2（3）解方程组：：⎩⎨⎧=-+=-+010860543y x y x ，①×2得：6x ＋8y －10＝0，两个方程可以化为同一个方程，即它们表示同一条直线，l 1，l 2重合。

【优秀课件】人教版高中数学必修二第三章3.2.2 直线的两点式方程

知识回顾
直线方程名称点斜式斜截式
直线的方程
已知条件直线方程使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明：（1）a , b 表示截距；（2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式斜截式两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章

高中数学必修2第三章知识点+习题+答案

高中数学必修2第三章知识点+习题+答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章直线与方程直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(bb kx y +=直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ ),(1212112121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。

最新人教版高中数学必修2第三章《点到直线的距离》

数学人教B 必修2第二章2.2.4 点到直线的距离1．掌握点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离．2．会利用距离公式解决点关于线对称和线关于线的对称的问题．1．点到直线的距离公式已知点P (x 1，y 1)，直线l 的方程：Ax ＋By ＋C ＝0，则点P 到l 的距离d ＝________.(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离(这是从运动的观点来看)．(2)点到直线的距离公式只与直线一般式方程的系数有关，所以公式适用于所有的直线．使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程．【做一做1－1】点P (2，－3)到直线l ：x －2y －1＝0的距离为__________．【做一做1－2】若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，则m ＝__________.2．点到几种特殊直线的距离(1)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|；(2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |，当a ＝0时，即x 轴，d ＝|y 0|；(4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |，当b ＝0时，即y 轴，d ＝|x 0|.【做一做2】点P (2，－6)到直线y ＝－5的距离为__________，到x ＝9的距离为__________．3．两平行直线间的距离公式设直线l 1，l 2的方程分别为Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0，其中C 1≠C 2，则l 1与l 2之间的距离d ＝__________.【做一做3】直线x －y －2＝0与直线x －y ＋1＝0的距离是( )．A ．12B ．32C ．22D ．322求两平行线间的距离的注意事项剖析：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，这里使用了化归与转化思想．(2)d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2可作为两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离公式使用．(3)使用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时要注意，两平行线的方程中关于x ，y 的一次项系数必须是对应相同的，即两直线的方程应为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的形式．(4)求两平行线间的距离共有两种方法：方法一是利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2；方法二是先在一条直线上取一点P，求得的P到另一条直线的距离即是两平行线间的距离．题型一点到直线的距离公式【例1】若点(－2,2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离为4，求m的值．分析：直接根据点到直线的距离公式列方程求解．反思：点到直线的距离公式中体现了方程思想，本题中应注意含有绝对值的方程有两解．题型二两平行线之间的距离【例2】已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，求l1的方程．分析：由l1与l2平行设出l1的方程后根据平行线间的距离公式求解．反思：求平行线之间的距离时，一定注意把两直线方程中x，y项的相应系数化为相同值，否则，会使结果出错．题型三点到直线的距离公式的综合应用【例3】直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于点A，B．(1)求∠BAO的平分线所在的直线的方程；(2)求点O到∠BAO的平分线的距离．分析：(1)利用角平分线上的点到角两边的距离相等列方程；(2)利用点到直线的距离公式直接求解．反思：要注意结合图示对第(1)小题的结果进行检验，不然会出现增解现象．【例4】已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．分析：可从另外三条边与已知边的位置关系以及中心G到另外三边的距离等于其到已知边的距离这两个方面入手求解另外三边所在直线的方程．反思：在正方形载体中一定要注重对称性及平行、垂直的利用，另外，要注意总结设直线方程形式的技巧．题型四易错辨析【例5】求经过点P(－3,5)，且与原点距离等于3的直线方程．错解：设所求直线方程为y－5＝k(x＋3)，整理，得kx－y＋3k＋5＝0.∴原点到该直线的距离d＝|3k＋5|k2＋1＝3.∴15k＋8＝0.∴k＝－8 15.故所求直线方程为－815x－y＋3⎝⎛⎭⎫－815＋5＝0，即8x＋15y－51＝0.错因分析：没有考虑斜率不存在时的情况，用点斜式设直线方程时，必须先弄清斜率是否存在，否则可能丢解．1点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )．A ．12B ．32C ．322D ．222点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为坐标原点，则O 点到P 点的最小值为( )．A ．10B ．2 2C ． 6D ．23过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )．A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条4直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是__________．5(2011·云南高中统一检测)已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，求点C 的坐标．答案：基础知识·梳理1．|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B2 【做一做1－1】755 【做一做1－2】7或－3 P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离d ＝|4m －8|5＝4，解得m ＝7或－3.【做一做2】1 73．|C 1－C 2|A 2＋B 2【做一做3】D典型例题·领悟【例1】解：由点(－2,2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离为4，可得d ＝|3×(－2)＋4×2＋m |32＋42＝|2＋m |5＝4，解得m ＝18或－22.因此，m 的值为18或－22.【例2】解：∵l 1∥l 2，∴可设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0.∴l 1与l 2的距离为|c －(－1)|1＋1＝ 2. ∴c ＝1或c ＝－3.从而l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.【例3】解：(1)∵直线4x ＋3y －12＝0与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴令x ＝0得y ＝4，令y ＝0，得x ＝3，即A (3,0)，B (0,4)．由题图可知∠BAO 为锐角，∴∠BAO 的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值．设点P (x ，y )为∠BAO 的平分线上任意一点，则点P 到直线OA 的距离为|y |，点P 到直线AB 的距离为|4x ＋3y －12|42＋32＝|4x ＋3y －12|5， ∴|y |＝|4x ＋3y －12|5. 整理，得2x －y －6＝0或x ＋2y －3＝0.∵∠BAO 的平分线所在直线的斜率为负值，∴∠BAO 的平分线所在直线的方程为x ＋2y －3＝0.(2)∵∠BAO 的平分线所在直线的方程为x ＋2y －3＝0，∴点O 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|0＋2×0－3|12＋22＝35 5. 即点O 到∠BAO 的平分线的距离为355. 【例4】解：正方形的中心G (－1,0)到四边的距离均为|－1－5|12＋32＝610. 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋C 1＝0，则|－1＋C 1|10＝610，即|C 1－1|＝6，解得C 1＝－5(舍去)或C 1＝7.故与已知边平行的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线方程为3x －y ＋C 2＝0，则|3×(－1)＋C 2|10＝610，即|C 2－3|＝6，解得C 2＝9或C 2＝－3.所以正方形另两边所在直线的方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.【例5】正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y －5＝k (x ＋3)，整理，得kx －y ＋3k ＋5＝0.∴原点到该直线的距离d ＝|3k ＋5|k 2＋1＝3. ∴15k ＋8＝0.∴k ＝－815. 故所求直线方程为y －5＝－815(x ＋3)，即8x ＋15y －51＝0.当直线的斜率不存在时，即x ＝－3也满足题意．故满足题意的直线方程为8x ＋15y －51＝0或x ＝－3.随堂练习·巩固1．C 由点到直线的距离公式可得|1－(－1)＋1|2＝322. 2．B OP 的最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2. 3．B 当直线的斜率存在时，设斜率为k ，直线方程为y －3＝k (x －1)，由d ＝|3－k |1＋k 2＝1，得k ＝43；当直线的斜率不存在时，直线为x ＝1，所以符合条件的直线共有两条．4．13515 直线2x －y －1＝0可化为6x －3y －3＝0，则两直线间的距离d ＝|－3－10|62＋32＝1335＝13515. 5．解：设点C 到直线AB 的距离为d ，由题意知：|AB |＝[3－(－1)]2＋(2－5)2＝5，∴S △ABC ＝12|AB |•d ＝12×5×d ＝10. ∴d ＝4.直线AB 的方程为y －25－2＝x －3－1－3，即3x ＋4y －17＝0. 又∵点C 在直线3x －y ＋3＝0上，设C (x 0,3x 0＋3)，∴d ＝|3x 0＋4(3x 0＋3)－17|32＋42＝|15x 0－5|5＝|3x 0－1|＝4. ∴3x 0－1＝±4.∴x 0＝－1或53. ∴点C 的坐标为(－1,0)或⎝⎛⎭⎫53，8.。

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第三章直线与方程A 组一、选择题1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0B ．等于πC ．等于2π D ．不存在2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 23．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )．A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )．A ．3π B ．32π C ．4π D ．43π5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )．A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝07．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝ 0D ．3x ＋19y ＝08．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值(第2题)是( )．A ．3B ．－3C ．1D ．－19．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a ＞0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l'，此时直线l' 与l 重合，则直线l' 的斜率为( )．A ．1＋a a B ．1＋－a a C ．aa 1＋ D ．aa 1＋－10．点(4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( )． A ．(－6，8) B ．(－8，－6) C ．(6，8) D ．(－6，－8)二、填空题11．已知直线l 1的倾斜角 1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率k 2的值为．12．若三点A (－2，3)，B (3，－2)，C (21，m )共线，则m 的值为．13．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标为．14．求直线3x ＋ay ＝1的斜率．15．已知点A (－2，1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为．16．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是．17．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是．三、解答题18．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6(m ∈R ，m ≠－1)，根据下列条件分别求m 的值：①l 在x 轴上的截距是－3； ②斜率为1．19．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线l平行于AB，交1．求直线l的方程．AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的4(第19题)20．一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．.21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．第三章直线与方程参考答案A 组一、选择题 1．C解析：直线x ＝1垂直于x 轴，其倾斜角为90°． 2．D解析：直线l 1的倾斜角 α1是钝角，故k 1＜0；直线l 2与l 3的倾斜角 α2，α3 均为锐角且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D ．3．A解析：因为直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以直线l 1的倾斜角为2π，而l 1∥l 2，所以，直线l 2的倾斜角也为2π，又直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，所以，x ＝2．4．C解析：因为直线MN 的斜率为1－＝2－3－3＋2，而已知直线l 与直线MN 垂直，所以直线l 的斜率为1，故直线l 的倾斜角是4π．5．C解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝BA -＜0，在y 轴上的截距BC D ＝－＞0，所以，直线不通过第三象限．6．A解析：由已知得点A (－1，0)，P (2，3)，B (5，0)，可得直线PB 的方程是x ＋y －5＝0． 7．D 8．D 9．B解析: 结合图形，若直线l 先沿y 轴的负方向平移，再沿x 轴正方向平移后，所得直线与l 重合，这说明直线 l 和l ’ 的斜率均为负，倾斜角是钝角．设l ’ 的倾斜角为 θ，则tan θ＝1＋－a a ．10．D解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线5x ＋4y ＋21＝0是点A (4，0)与所求点A'(x ，y )连线的中垂线，列出关于x ，y 的两个方程求解．二、填空题 11．－1．解析：设直线l 2的倾斜角为 α2，则由题意知： 180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，∴k 2＝tan α2＝tan (180°－45°)＝－tan45°＝－1． 12．21．解：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，2＋213－＝2＋33－2－m ．解得m ＝21．13．(2，3)．解析：设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )， ∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ， ∴k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC ． ∴－1－x y ·3－2－x y ＝－1，－1－x y ＝1．解得⎩⎨⎧1＝0＝y x (舍去)⎩⎨⎧3＝2＝y x所以，第四个顶点D 的坐标为(2，3)． 14．－a3或不存在．解析：若a ＝0时，倾角90°，无斜率．若a ≠0时，y ＝－a 3x ＋a1∴直线的斜率为－a3．(第11题)15．P (2，2).解析：设所求点P (x ，2)，依题意：22)12()2(-++x ＝22)22()1(++-x ，解得x ＝2，故所求P 点的坐标为(2，2)．16．10x ＋15y －36＝0．解析：设所求的直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0，横截距为－2c ，纵截距为－3c ，进而得c = －536．17．x ＋2y ＋5＝0．解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x 轴对称，故将直线方程中的y 换成－y ．三、解答题 18．①m ＝－35；②m ＝34．解析：①由题意，得32622---m m m ＝－3，且m 2－2m －3≠0．解得 m ＝－35．②由题意，得123222-+--m m m m ＝－1，且2m 2＋m －1≠0．解得 m ＝34．19．x －2y ＋5＝0．解析：由已知，直线AB 的斜率 k ＝1311++＝21．因为EF ∥AB ，所以直线EF 的斜率为21．因为△CEF 的面积是△CAB 面积的41，所以E 是CA 的中点．点E 的坐标是(0，25)．直线EF 的方程是 y －25＝21x ，即x －2y ＋5＝0．20．x ＋6y ＝0．解析：设所求直线与l 1，l 2的交点分别是A ，B ，设A (x 0，y 0)，则B 点坐标为 (－x 0，－y 0)．因为A ，B 分别在l 1，l 2上，所以⎪⎩⎪⎨⎧0＝6－5＋3－0＝6＋＋40000y x y x①＋②得：x 0＋6y 0＝0，即点A 在直线x ＋6y ＝0上，又直线x ＋6y ＝0过原点，所以直线l 的方程为x ＋6y ＝0．21．2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．解析：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ． ∴直线l 的方程为1＝－6＋ay a x． ∵点(1，2)在直线l 上，∴1＝－62＋1aa，a2－5a ＋6＝0，解得a 1＝2，a 2＝3．当a ＝2时，直线的方程为142=+y x ，直线经过第一、二、四象限．当a ＝3时，直线的方程为133=+y x，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．①②。