换元法在不等式证明中的应用
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
活用换元法 巧证不等式
１ ３ ＋ ５
等）１ ＋ ＋ 等＋ ＿ ＋ Ｚ等） 古（ ）
证 明：将条件等式变形为 （ ） ：２ 一 ， ＋ ） ，
≥ ４ ６ ×一 ＝ ． ｝×＋ ＋ 一 × ２
【 评析】 对于一些分母 较为复杂、变元较多的问题，我们往
往可 以引入一些新 的变量进行代换 ，以简化其结构 ，优化形 式， 使原来较 复杂的 问题化 繁为简 ，变成我们 熟悉的基本 问题 ，体
＋
＿
１
１
、
三 角换元 。纵横联 系
１ ６ｙ一百 ，
于 是
＝
例 １ 实数 ，Ｙ满足等式 一 ｘ ＋Ｚ２ ２ ２ｙ ｙ＝ ，求证 ：一 ／ ≤ 、 而一
＋Ｙ ≤ ．
＋
分 析 ：本题 关键 是 由条件 等式寻找 实数 ，Ｙ之 间的联 系 ，
三 角换 元是 不 错 的 选择 ．
【 评析】三角函数蕴含 着丰富的公 式和 性质 ，巧妙地运 用这 些性质可以顺利地解决许多综合 问题．如三角函数中有 以下三个
这 （ ｃⅡ ） ｃｎ６ ｚ｝ Ⅱ６ｃ 里 ： ６ 一）， ＋一） ＝ （ 一） 十 ，＝ （ ， ＋
待证不等式等价于（ ＋ ） ｚ ） ， ） （ ＋ ） ＋， ｚ ｙ 。。 ＋ （ 一 ＋ ： ， （— （ ， （ ）
现 了化 归 的 思想 ．
即 （
设
Ｖ ２
嘉 ，
＝ｃｓ ， ｏｎ ０ ）
解得 ＝、 ｃｓ ＋、 ｓ ０ Ｙ ／ ｉ０ ／ ｏ０ ／ ｉ ， ＝、 ｓ ， ｎ ｎ
所以 ＋Ｙ ＝
ｓ ＝＿ ３ ｉ ｎ Ｖ －
一
三、参数换元 。改头换面 例 ３ 设 口 ，ｃ为—个三角形三边的边长 ，证明 （ ｂ ＋ ，ｂ ａ— ） ６ｃ６一ｃ ＋ｃ （ ２（ ） ２ ｃ—ａ ａ ）≥０ ．并指出等号成立 的条件． 分析 ：待证 不等式对三 角形的 边 ａ ，ｃ不仅是 正数 ，而 ，ｂ 且还 满足 Ⅱ ＜ｂ＋Ｃ ，ｂ＜Ｃ ，ｃ ＋ａ ＜ａ＋ ，如何利 用这些条件 ，通 ｂ
换元法在解题中的灵活应用
换元法在解题中的灵活应用作者：徐道林来源：《甘肃教育》2010年第10期〔关键词〕数学教学;换元法;应用;分析;点评〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C〔文章编号〕 1004—0463(2010)05(B)—0054—01一、用换元法求函数的解析式例1已知函数f(1-cosx)=sin2x,求f(x).解:令1-cosx=t,t∈[0,2] ,则cosx=1-t,f(t)=sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t,故f(x)=-x2+2x(0≤x≤2) .点评:此题采用了整体换元的方法,但必须注意换元后“新元”的范围.一般已知f(g(x))的解析式求f(x)的解析式时,常令g(x)=t去求解.二、用换元法求函数值域或最值例2 求函数y=2x+■的值域.解:令■=t(t≥0),则2x=1-t2,所以y=-t2+t+1=-(t-■)2+■,故此函数的值域为(-∞,■].点评:本题通过整体换元去根号,将求原函数的值域转化为求二次函数的值域.一般形如y=ax+■的函数,可令t=■(t≥0)将无理函数求值域的问题转化为有理函数求值域的问题.三、用换元法判断函数的单调性例3求函数y=log■(x2-4x+3)的单调区间,并指出在每一个单调区间上函数的单调性.分析:本题是关于x的复合函数单调性的判断问题,应先求函数的定义域,其次转化为判断几个常见函数的单调性问题,最后根据复合函数单调性“同增异减”的原理得出结论.解:由x2-4x+3>0,得函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),设t=x2-4x+3,则y=log■t,又t=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x≥2时,t=x2-4x+3为增函数;当x≤2时,t=x2-4x+3为减函数.因为函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞)且y=log■t为减函数,故y=log■(x2-4x+3)在(-∞,1)上为增函数,在(3,+∞)上为减函数.点评:本题易忽略函数的定义域而出错,一般求函数的单调区间时,应先考虑定义域.四、用换元法证明不等式例4设a,b,c∈R+,证明■+■+■≥■,当且仅当a=b=c时等号成立.证明:令b+c=x,c+a=y,a+b=z, x,y,z均为正数,则a=■,b=■, c=■.左边=■+■+■=■[(■+■)+(■+■)+(■+■)-3] ≥■,当且仅当x=y=z时取等号,即当且仅当a=b=c时等号成立.点评:本题的特点一是变量多,二是它们间的关系不明显,突破口不易找到,但是通过局部换元可使“新元”间的关系明朗化.例5若x+y+z=a,且x,y,c∈R,求证x2+y2+z2≥■.证明:设x=■+t1,y=■+t2,z=■-(t1-t2),t1,t2∈R,则x2+y2+z2=(■+t1)2+(■+t2)2+[■-(t1+t2)]2=■+t12+t22+(t1+t2)2≥■.点评:一般遇到形如x+y=s的函数时,可设x=■+t,y=■-t;形如x+y+z=a的函数时,可设x=■+t1,y=■+t2,z=■-(t1+t2).。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
高中数学中不等式的证明方法浅析
好家长 / 经验交流高中数学中不等式的证明方法浅析山东省青岛第五十八中学/柏荔升【摘要】不等式是高中数学中较为重要的学习内容，也是学生学习的重难点。
然而，很多学生都不了解应该怎样正确证明不等式，为弥补这一不足，本文将联系实际情况，提出几种有效的证明方法，帮助学生快速解题。
【关键词】高中数学 不等式 证明方法前言尽管不等式一直都是高考重点，但由于不等式形式并不相同，也就没有确确切的证明程序可言，为做好不等式证明，让学生掌握不等式解题技巧，这就需要从多角度对不等式进行讲解与研究。
一、在不等式证明中常用思想不等式证明是高中数学教学重点，要做好不等式证明，就要结合一定的思想，为正确解题奠定基础。
首先，分类思想。
这一思想是按照研究对象属性确定的，运用分类思想可以让学生更透彻的理解数学知识，帮助学生形成良好的获取知识的能力，让学生有更为完善的认知结构，进而形成良好知识网络。
其次，数形结合思想。
利用该思想可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，这对学生尽快掌握不等式证明知识具有重要作用。
最后，函数方程思想，利用这种思想可以帮助学生更全面掌握数学知识，将不等式证明看做函数方程，有助于学生理解。
二、不等式证明方法1.比较法。
对于比较法来说，就是利用两个实数之间的差或商比较它们的大小，确定两者关系。
具体来讲可以分为作差法与作商法。
如在已知a,b大于0的情况下，证明(a+b)/2不小于就可以运用比较法，由于(a+b)/2不小于意味着(a+b)/2大于或等于，即(a+b)/2≧，进一步证明得知，(a+b)/2-=(a+b-)/2≧0，最终求得(a+b)/2≧。
同样，这种方法也适用于求商中。
2.分析法。
分析法也是高中数学不等式证明中一种常用的解题方法，在利用分析法的过程中就是先分析不等式的成立条件，同时将用于证明不等式的问题变为这些条件是否具有问题，若可以肯定这些条件，则意味着不等式成立，这就是分析法。
3.均值法。
均值法是不等式证明中一种较为常见的方法，对于均值不等式来说，需要保证两端次数相同，且带有一定的对称性与排比性，利用均值法证明不等式，只要保证具有以上特点即可。
高中数学 双变量不含参不等式证明方法之换元法(教师版)
nm
mnm
mnm
令 n ＝x，构造函数 m
g(x)＝ln
x－1＋x(x≥1)，则 x
g′(x)＝1x＋x12＋1．
因为 x∈[1，＋∞)，所以 g′(x)＝1x＋x12＋1＞0，故 g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
n
由已知 n＞m＞0，得 n ＞1，所以 g m ＞g(1)＝0，即证得 ln n －m＋ n ＞0 成立，所以命题得证．
ln a－ln b
ln a－ln b 2
总结提升
两个正数
a
和b
的对数平均定义：
L(a,
b)
a
ln a
b ln b
(a
b),
a(a b).
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： ab L(a, b) a b （此式记为对数平均不等式） 2
取等条件：当且仅当 a b 时，等号成立．
[例 3] 已知 f (x) ln x, g(x) f (x) ax2 bx ，其中 g(x) 图像在 (1, g(1)) 处的切线平行于 x 轴．
t 1 t 1
∴ g(t) 在 (1, ) 上是减函数，所以 g(t) g(1) 0 ．
∴
t
ln
2t 1
t
ln
1
2
t
t
1 得证．所以 kAB
f
( x1
x2 ) 成立． 2
总结提升
(1)本题考验不等式的变形，对于不等式 x2 ln
2 x2 x1 x2
x1 ln
2 x1 x1 x2
x2
∴ f (x) 的单调增区间是 (1 , ) ，单调减区间是 (0, 1) ，
e
e
f x 的极小值为 f (1) 1 ln 1 1 ，无极大值．
换元法在不等式中的重要应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３２㊀换元法在不等式中的重要应用换元法在不等式中的重要应用Һ孙㊀宇㊀（宜兴硕博教育，江苏㊀宜兴㊀２１４２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 换元法 是高中数学学习中的最重要的思想方法之一，其在不等式中的应用是最为典型的，也是最巧妙㊁最广泛的．但是对于大部分学生来说，由于这类题的题干特别简单，因此解题思路反而打不开，不容易动笔求解．ʌ关键词ɔ换元法；不等式；思想方法一㊁对换元法的理解换元法 ，简单地说就是对题干中的未知元进行更换，从而使得代数式更加简单或者变换成我们熟知的一种形式（其中还可能会涉及消元法的使用）．一般情况下，对于换元法的使用有两种类别：一种是将多项式进行换元（换元后，代数式中含有一个未知元或两个未知元）；另一种是将函数进行换元（换元后，函数中只含有一个未知元）．在换元的过程中，要特别注意未知元的取值范围．在使用换元法后，一般代数式的形式就会更加简单㊁明了，就会变成 基本不等式 （ 勾函数 形式）或者 二次函数 形式．在不等式的证明中有很多重要的方法蕴含着高度的概括性㊁层次性㊁广泛性等，其中换元法最能显示出其强大的作用．二㊁换元法在不等式中的应用例１㊀若ａ＞０，ｂ＞０，且１２ａ＋ｂ＋１ｂ＋１＝１，则ａ＋２ｂ的最小值为．分析理解㊀题中的已知条件较为复杂，而求解的代数式很简洁，是一个多项式．对于这一类题型，看到已知条件中的 ＝１ ，基本都能够想到这一题和 １ 的代换有关．由于题设的条件比较复杂，因此我们可以进行二元换元法，将已知条件进行转化．设ｍ＝２ａ＋ｂ，ｎ＝ｂ＋１，{从而将ａ，ｂ进行换元，题设的条件就变成了１ｍ＋１ｎ＝１，求解的代数式就变成了ａ＋２ｂ＝１２（ｍ＋３ｎ）－３２，这样进行一个二元变换，我们求解时就能够一目了然了．当然，这一题还可以将１２ａ＋ｂ＋１ｂ＋１＝１进行通分消元，得到ａ＝ｂ－ｂ２＋１２ｂ，代入原式，我们发现ａ＋２ｂ＝３ｂ２＋ｂ＋１２ｂ，这样原式就变成了非齐次分式的形式，我们可以进行常规操作：分离常数，变成基本不等式（ 勾函数 ）形式求解．例２㊀已知正实数ｘ，ｙ满足ｘｙ＋２ｘ＋ｙ＝４，则ｘ＋ｙ的最小值为．分析理解㊀和例１相比较，这一题的题设条件更加明了，可以直接进行消元，由已知得ｙ＝４－２ｘｘ＋１，代入原式可以得到ｘ＋ｙ＝（ｘ＋１）＋６ｘ＋１－３．实际上，上述过程也是将原式变成了非齐次分式的形式，然后分离常数，最终变成了基本不等式（ 勾函数 ）形式（将ｘ＋１看作整体，相当于进行了换元：令ｔ＝ｘ＋１，ｔ＞１）求解．例３㊀设实数ｘ，ｙ满足ｘ２４－ｙ２＝１，则３ｘ２－２ｘｙ的最小值是．分析理解㊀和例１㊁例２相比较，这一题的题设条件比较明了，但是问题较为复杂．我们将其进行 １ 的变换，３ｘ２－２ｘｙ１＝３ｘ２－２ｘｙｘ２４－ｙ２，发现原式变成了一个齐次式分式，我们马上可以想到下一步应该进行 二元变量一元化 ，分子㊁分母同时除以ｘ２，则原式＝３－２ｙｘ１４－ｙｘ()２，令ｋ＝ｙｘɪ－１２，１２()，则原式＝４（３－２ｋ）１－４ｋ２，此时原式再次转化为非齐次分式的形式，我们再进行一次换元，令ｔ＝３－２ｋɪ（２，４），这样一步一步地进行换元，问题就会一步步简化，变成我们所熟悉的形式，从而求得结果．当然，这道题还可以用另外一种方法进行换元，观察到题设条件ｘ２４－ｙ２＝１＝ｘ２－ｙ()ｘ２＋ｙ()，可以令ｘ２＋ｙ＝ｔ，则ｘ２－ｙ＝１ｔ，从而ｘ＝ｔ＋１ｔ，ｙ＝１２ｔ－１ｔ()，ìîíïïïï则原式３ｘ２－２ｘｙ＝６＋２ｔ２＋４ｔ２，这样可以更加迅速地求得结果．例４㊀已知ａ，ｂɪＲ，ａ＋ｂ＝４，则１ａ２＋１＋１ｂ２＋１的最大值为．分析理解㊀我们注意到题目条件和问题均为对称形式，如果直接进行消元，会破坏其对称性，为此，我们用均值换元法来处理．令ａ＝２＋ｔ，ｂ＝２－ｔ，则ｆ（ｔ）＝１ｔ２＋４ｔ＋５＋１ｔ２－４ｔ＋５＝２（ｔ２＋５）（ｔ２＋５）２－１６ｔ２，令ｕ＝ｔ２＋５ȡ５，则ｇ（ｕ）＝２ｕｕ２－１６ｕ＋８０＝２ｕ＋８０ｕ－１６，此时代数式被转化成了 勾函数 模型，运用基本不等式就可以求出最终的结果．我们回过头来看这道题目，实际上观察到代数式的 对称性 是很重要的，而且均值换元不会破坏原式的对称性，且有效地进行了消元，从而简化了计算过程，使我们能够更加轻松㊁准确地得到答案．这一类 均值换元法 在不等式中有着广泛的应用．该㊀㊀㊀解题技巧与方法１３３㊀㊀方法要求已知条件及所求的代数式为变量的 对称式 ，这样通过均值消元法可以很好地保持原来的 对称性 ，从而方便求解．对例题进行推广．命题：已知ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝ｔ，求Ｓ＝１ａ２＋１＋１ｂ２＋１的最大值．观察到命题的对称性结构，可以令ａ＝ｔ２＋ｍ，ｂ＝ｔ２－ｍ，则ｆ（ｍ）＝１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝２ｍ２＋ｔ２４＋１()ｍ２＋ｔ２４＋１()２－ｔ２ｍ２．令ｕ＝ｍ２＋ｔ２４＋１ȡｔ２４＋１，则ｍ２＝ｕ－ｔ２４＋１()，从而ｆ（ｍ）＝２ｕｕ２－ｔ２ｕ－ｔ２４＋１()[]＝２ｕｕ２－ｔ２ｕ＋ｔ２４＋１()ｔ２＝２ｕ＋ｔ２４＋１()ｔ２ｕ－ｔ２ɤ２２ｔ２ｔ２４＋１()－ｔ２．等号在ｕ＝ｔ２４＋１㊃ｔ时取得，为此，需要满足ｔ２４＋１㊃ｔȡｔ２４＋１，即ｔȡ２３３，否则等号不成立；当０＜ｔ＜２３３时只能用单调性求解，函数ｇ（ｕ）＝ｕ＋ｔ２４＋１()ｔ２ｕ为 勾函数 ，所以ｕ取最小值时ｆ（ｍ）取得最大值，即ｍ＝０，ａ＝ｂ＝ｔ２．（１）若０＜ｔ＜２３３，则当ａ＝ｂ＝ｔ２时，Ｓ取得最大值Ｓｍａｘ＝８ｔ２＋４；（２）若ｔȡ２３３，则当ａ，ｂ为方程ｘ２－ｔｘ＋ｔ２＋２２－（ｔ２＋２）２４－１＝０的两个正实根时，Ｓ取得最大值Ｓｍａｘ＝２２（ｔ２＋２）２４－１－ｔ２．例５㊀若正实数ｘ，ｙ满足（２ｘｙ－１）２＝（５ｙ＋２）（ｙ－２），则ｘ＋１２ｙ的最大值为．分析理解㊀对于二元最值问题，我们常用换元法来进行消元，把它转化为常见的形式．对于本题，观察到题设条件和结论的特殊性，我们可以通过多种方式进行换元㊁消元，从而得到最终结果．方法一㊀由题设可知，等式两边同时除以ｙ２，得２ｘ－１ｙ()２＝５＋２ｙ()１－２ｙ()，则ｘ＝５＋２ｙ()１－２ｙ()＋１ｙ２，所以ｘ＋１２ｙ＝１２５＋２ｙ()１－２ｙ()＋１ｙ＝－１ｙ＋１()２＋９４＋１ｙ＋１()－１ɤ２－１ｙ＋１()２＋９４＋１ｙ＋１()２[]－１＝３２２－１，当且仅当－１ｙ＋１()２＋９４＝１ｙ＋１，即ｙ＝４３２－４＞２时等号成立，所以ｘ＋１２ｙɤ３２２－１．方法二㊀由题设条件及方法一可知２ｘ－１ｙ()２＝５＋２ｙ()１－２ｙ()，即２ｘ－１ｙ()２＝９－２ｙ＋２()２，则２ｘ－１ｙ()２＋２ｙ＋２()２＝９，所以９＝２ｘ－１ｙ()２＋２ｙ＋２()２ȡ１２２ｘ－１ｙ()＋２ｙ＋２()[]２，从而ｘ＋１２ｙɤ３２２－１．注意到方法一很巧妙地利用了题设条件的特殊性，即等式右侧是只关于ｙ的代数式，从而把ｘ用含有ｙ的代数式表示出来，再进一步代入所求代数式进行化简，将１ｙ＋１看作整体（本质上就是换元），进行不等式方面的运算．方法二在方法一的思路之上进行了进一步的不等式方面的常用变换，所以一定要熟练运用不等式链：ａｂɤａ＋ｂ２ɤａ２＋ｂ２２（ａ，ｂ＞０）和ａｂɤａ＋ｂ２()２ɤａ２＋ｂ２２（ａ，ｂɪＲ）．方法三㊀由题设条件，结合所求问题，将等式两边同时除以（２ｙ）２可得ｘ－１２ｙ()２＝５２＋１ｙ()１２－１ｙ()，所以１２－１ｙ()，ｘ－１２ｙ()，５２＋１ｙ()成等比数列，设公比为ｑ（ｑ＞１），将ｘ，１ｙ用ｑ表示，则ｘ＋１２ｙ＝３（ｑ－１）ｑ２＋１＋１２，此时代数式转化为一元非齐次的形式，令ｔ＝ｑ－１＞０，则原式＝３ｔ＋２ｔ＋２＋１２ɤ３２２－１，当且仅当ｔ＝２ｔ，即ｔ＝２时取等号．这一方法特别巧妙地利用题设关系构造出等比数列，利用公比进行统一换元㊁消元，从而简化了做题过程，提高了结果的准确率．我们综合分析三种方法的求解过程可知，解题方法的选择需要对题设条件㊁所求问题等进行综合观察，这对学生求解代数不等式问题的能力的要求比较高，需要学生有清晰的思路和理解方法，并能对不等式中重要的公式融会贯通，利用换元法进行消元，从而将二元最值问题转化为一元最值问题进行求解．三㊁综合分析通过以上几道例题我们可以看出，换元法在整个不等式问题的求解中占据着重要的位置，一般性的不等式的求解方法就是 化繁为简 ．在解决不等式问题的时候，我们一定要冷静思考，探究题设条件与问题之间的内在联系，从而得到解题的思路．换元法是其中必不可少的解题方法，而且如何换元是不等式题目的难点和突破点．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中课程方案（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．。
高中数学不等式证明的常用方法经典例题
关于不等式证明的常用方法重难点归纳(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法典型题例例1证明不等式n n2131211<++++Λ(n ∈N *)知识依托 本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等例2求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例3已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a 1)(b +b 1)425证法一 (分析综合法） 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法） 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法）巩固练习1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且ybx a +=1，x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足 a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是_________3 若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________4 已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1 求证(1)a 2+b 2+c 2≥31(2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明 x ，y ，z ∈［0，32］6 证明下列不等式(1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则c b a y b a c x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则z y x y x z x z y +++++≥2(zy x 111++) 7 已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n(1)证明 n i A i m ＜m i A i n (2)证明 (1+m )n ＞(1+n )m8 若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证 a +b ≤2，ab ≤1不等式知识的综合应用典型题例例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)知识依托 本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值例2已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1(1)证明 |c |≤1；(2)证明 当－1 ≤x ≤1时，|g (x )|≤2；(3)设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g (x )的最大值为2，求f (x )知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)，方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2a1 (1)当x ∈［0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明 x 0＜21x 巩固练习1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A ①③B ②④C ①④D ②③2 下列四个命题中 ①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ，y 都是正数，若y x 91+=1，则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________4 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范围6 设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1(1)求证 f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1；(2)求证 f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R }，若A ∩B =∅，求a 的取值范围7 已知函数f (x )=1222+++x cbx x (b ＜0)的值域是［1，3］， (1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t ∈R ，求证 lg57≤F (|t －61|－|t +61|)≤513 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用. 【典例分析】题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f(x)≥M 恒成立⇔f(x)min ≥M ；f(x)≤M 恒成立⇔f(x)max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例1】等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1a n 恒成立的正整数n 的取值范围.【例2】（08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n ∈N*．(Ⅰ)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N*，求a 的取值范围．【点评】 一般地，如果求条件与前nABCDS项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解题型二 数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p+q ＜12(S 2p ＋S 2q )．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】 (08·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝0，a n+1＝ca n 3＋1－c ，c ∈N*，其中c 为实数.(Ⅰ)证明：a n ∈[0，1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c ＜13，证明：a n ≥1－(3c)n -1，n ∈N*；（Ⅲ）设0＜c ＜13，证明：a 12＋a 22＋…＋a n 2＞n ＋1－21－3c，n ∈N*.题型三 求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】 (08·四川)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______.【例6】 等比数列{a n }的首项为a 1＝2002，公比q ＝－12．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n取何值时，f(n)有最大值．题型四 求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】 已知{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝4.(Ⅰ)求证：数列{a n }是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k ，使S k+1－2S k －2＞2成立. 【点评】在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】 (08·湖北)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n+1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.数列与不等式命题新亮点例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,则第50个括号内各数之和为_____.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求. 例2 设{}n a 是由正数构成的等比数列, 12n n n b a a ++=+,3n n n c a a +=+,则( )A. nn b c > B. n n b c < C. n n b c ≥ D. n n b c ≤点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系. 例3 若对(,1]x ∈-∞-,不等式21()2()12x x mm --<恒成立,则实数m 的取值范围( )A. (2,3)-B. (3,3)-C. (2,2)-D. (3,4)-例4四棱锥S-ABCD 的所有棱长均为1米,一只小虫从S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P (1)求2P 、3P 的值; (2)求证: 131(2,)n nP P n n N ++=≥∈(3)求证: 2365>(2,)24n n P P P n n N -+++≥∈…例5 已知函数()2f x x x =+.(1)数列{}n a 满足: 10a >,()1n n a f a +'=,若11112ni ia =<+∑对任意的n N ∈恒成立,试求1a 的取值范围; (2)数列{}n b 满足: 11b =,()1n n b f b +=()n N ∈,记11n nc b =+,k S 为数列{}n c 的前k 项和, k T 为数列{}n c 的前k 项积,求证1710nk k k kT S T =<+∑. 例6 (1)证明: ()ln1(0)x x x +<> (2)数列{}n a 中. 11a =,且()11211122n n n a a n n --⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭; ①证明: ()724n a n ≥≥ ②()21n a e n <≥ 【专题训练】1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ）A ．a 4a 6＜a 6a 8B ．a 4a 6≤a 6a 8C ．a 4a 6＞a 6a 8D ．a 4a 6≥a 6a 82．设{a n }是由正数构成的等比数列，b n ＝a n+1＋a n+2，c n ＝a n ＋a n+3，则（ ） A ．b n ＞c nB ．b n ＜c nC ．b n ≥c nD ．b n ≤c n3．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则（ ）A ．a 6＝b 6B ．a 6＞b 6C ．a 6＜b 6D ．a 6＞b 6或a 6＜b 6 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足５＜a k ＜８，则k ＝（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 5．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是（ ）A ．S 4a 5＜S 5a 4B ．S 4a 5＞S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 6．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N*，则函数f(n)＝S n(n ＋32)S n+1的最大值为（ ）A ．120B ．130C ．140D ．1507．已知y 是x 的函数，且lg3，lg(sinx －12)，lg(1－y)顺次成等差数列，则（ ）A ．y 有最大值1，无最小值B ．y 有最小值1112，无最大值C ．y 有最小值1112，最大值1D ．y 有最小值－1，最大值1 8．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）Ａ．(－∞，－1]Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) Ｃ．[3，＋∞)Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．设3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则a ＋3b 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设等比数列{a n }的首相为a 1，公比为q ，则“a 1＜0，且0＜q ＜1”是“对于任意n ∈N*都有a n+1＞a n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分比要条件D ．既不充分又不必要条件11．{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝（ ）A ．11B ．17C ．19D ．2112．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝12，a n ＝f(n)(n ∈N*)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 （ ） A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S nn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立．则M 的最小值是__________．14．无穷等比数列{a n }中，a 1＞1，|q|＜1，且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半，则q 的取值范围是________. 15．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b)2cd的最小值是________.Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．416．等差数列{a n }的公差d 不为零，S n 是其前n 项和，给出下列四个命题：①A ．若d ＜0，且S 3＝S 8，则{S n }中，S 5和S 6都是{S n }中的最大项；②给定n ，对于一定k ∈N*(k ＜n)，都有a n -k ＋a n+k ＝2a n ；③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项；④存在k ∈N*，使a k －a k+1和a k －a k -1同号 其中真命题的序号是____________.17．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5．（Ⅰ）求{a n }的通项n a ；（Ⅱ）求{a n }前n 项和S n 的最大值．18．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n +1)(n ∈N *）在函数y ＝x 2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1＝1,b n +1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1. 19．设数列{a n }的首项a 1∈(0，1)，a n ＝3－a n -12，n ＝2，3，4，…. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝a n 3－2a n ，证明b n ＜b n+1，其中n 为正整数． 20．已知数列{a n }中a 1＝2，a n+1＝(2－1)( a n ＋2)，n ＝1，2，3，….（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }中b 1＝2，b n+1＝3b n ＋42b n ＋3，n ＝1，2，3，….证明：2＜b n ≤a 4n -3，n ＝1，2，3，… 21．已知二次函数y ＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x)＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m22．数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =L ，，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当nm >时总有0n a <．利用导数处理与不等式有关的问题一、 利用导数证明不等式（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式某个区间上导数大于（或小于）0时，则该单调递增（或递减）。
不等式的证明的若干方法
不等式的证明的若干方法摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题，它渗透于数学研究的各个环节。
而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。
本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
关键词：不等式；证明方法；方法探究前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。
而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。
其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1.不等式的概念不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。
不等式一般形如：f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示“＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2.常见不等式证明的几种方法不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。
对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。
我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2.1利用比较法法证明在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。
比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。