数值分析韩旭里答案

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数值分析课后习题答案

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1 2

1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2

2 11
22
1
5 2
1

3 21来自，所以 A12
1
2 1 1

5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7

r1r2
消元

10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623

韩旭里__概率论习题答案(4)

习题四1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因11(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =2 1()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X xx x ==⎰ 5(5)5()e d5e d e d 51 6.z y y zzE Y y y z zz +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩ 其他于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x x y y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2e d [e ]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e d y .4yY E Y y f y y y +∞+∞--∞==⎰⎰ 22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯= 11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1）系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d ed 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 222()()d()2ed k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰222202e d k x kx x +∞-==⎰(3) 222222201()()d()2e .kxE X x f x x x k x k+∞+∞--∞==⎰⎰故2222214π()()[()].24D X E X E X k k k⎛-=-=-= ⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯= 于是，得到X 的概率分布表如下：由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元/41/411{100}{1}e d e4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1）验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2）验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3）验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nn i i i i i i i D X D X D X X DX n nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑ 之间相互独立 2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0. 而 C o v (,)[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3x x x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=- . 从而112XY ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x x y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4C o v (,)()()()1.2444X Y E X Y E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π322162XYρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X YD Z D X Y D X D Y X Y=-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y=--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y YD X X Y D Y=--+=-+=⨯-⨯+⨯=故12Z Zρ===21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R=+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R=++∀∈可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V≥∆=-2224{[()]()()}.E VW E V E W=-故222[()]()()}.E VW E V E W≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5.依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为33336C C {}C k kP Z k -==, 0,1,2,3.k =因此，()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有3(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->{10}20{1012}5{12(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u uu u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()25(12)(1)21(10)(1)0(()),d x E T u u x u ϕϕϕ-=-⨯---⨯-= 令这里得 22(12)/2(10)/225e 21eu u ----=两边取对数有2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米)由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.（2002研考）【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯=2211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩.因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).当t <0时，f T (t )=0;当t ≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x t T f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰故得525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩ 由于T i ~E (5),故知E (T i )=15,D (T i )=125 (i =1,2) 因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=25.又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=225.27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y |的方差.【解】设Z =X -Y，由于22~0,,~0,,X N Y N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）.因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =-而22/2()()1,(||)||d z E Z D Z E Z z z +∞--∞===⎰2/20e d z z z +∞-== 所以 2(||)1πD X Y -=-. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0<p <1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）.【解】记q =1 -p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i -1p ,i =1,2,…，故12111()().1(1)i ii i q p E X iq p p q p q q p ∞∞-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又221211121()()i i i i i i E X i qp i i q p iq p ∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)ii q pq q pq p q p pq q p q p p p∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以 22222211()()[()].p pD XE X E X p p p--=-=-=题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )=D (X )+D (Y )+2[E (XY ) -E (X )·E (Y )]. 由条件知X 和Y 的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨<⎩ {(,)|01,01,G x y x y x y =≤≤≤≤+≥从而11()(,)d 2d 2.X xf x f x y y y x +∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d 2d ,()2d ,22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D XE X E X =-=-=同理可得 31(),().218E Y D Y ==1115()2d d 2d d ,12xGE XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=- 于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.【解】（1）为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1} 112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {∅}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰. 故得X 与Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 24()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯= 211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x-e21，（ -∞<x <+∞）(1) 求E （X ）及D （X ）；（2）求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？（3）问X 与|X |是否相互独立，为什么？【解】(1)||1()e d 0.2x E X x x +∞--∞==⎰ 2||201()(0)e d 0e d 2.2x xD X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰所以X 与|X |互不相关.(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域-∞<x <+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X |不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY = -1/2，设Z =23YX +. （1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数ρXZ ；（3）问X 与Z 是否相互独立，为什么？【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而1Cov(,)3462XY X Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯= (2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以0.XZ ρ==(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =12, 从而有 ()()4nD X npq D Y ===所以0()()()2XY D X Y D X D Y ρ=+=++ 2,24XY n nρ=+ 故XY ρ= -1. 34.试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为所以E （XY ）= -0.08+0.2=0.12Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0 从而XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1）事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0；（2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B )所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为f X (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求：(1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y ); (3)1(,4)2F -. 解： (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =；当0＜y ＜1时，(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=<+≤≤=，()Y f y =；当1≤y <4时，1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =；当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他(2) 0210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 故 Cov(X,Y ) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤ 11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=.。

数值分析课后习题部分参考答案解析

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求2的近似值x*，使其相对误差不超过0.1%。

解：...2 =1.4 …。

设X有n位有效数字，则|e(x)|乞0.5 10 10 。

*、，0.5 101』从而，| e r (x ) \<1故，若0.5 101』乞0.1%，则满足要求。

解之得，n丄4。

x =1.414。

(P10)7.正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm2。

解：设边长为a，则a 100 cm。

设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：：、2 100 e。

按测量要求，|2 100 e|_1解得，|eF0.5 10^。

Chapter 2(P47)5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1、A= 2 1 0 。

<1-10,解：设A—〔。

分别求如下线性方程组:■n■0 '0 'A。

= 0 ，A P= 1 ，AY = 04 ©先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式)Ly = 1 和 U0 =y ，得，031 3Ly = 0 和 U = 丫，得，；丫1 32 31 31 3 所以，A ，=123 32 1 -1 — ——3 3丿广1 2 1 -3)/ 、花『1'2 5 0 -5 X 22 1 0 14 1X 316 <_3_5115丿3<8>解：平方根法："(1)1 (1)1(2)2(1) -1 (0)2 .(1)1(-1)2(0)-3」「0 0^「1 1 —1'即，L =21 0 ，U = 0-1 2 。

2 h1°0 一3」经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,■1广0、Ly = 0 和 U° = y ，得，a =0 ；厂1」(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:先求系数矩阵 A 的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式)先求系数矩阵上=2」21 二 2d = 1；t 31改进平方根法:A 的形如A = L DL T的分解，其中L = (l j )4 4为单位下三角矩阵，D =diag{d 1,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。

数值分析第五版课后习题答案

数值分析第五版课后习题答案数值分析是一门应用数学的分支学科，主要研究如何利用数值方法解决实际问题。

在学习这门课程的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。

本文将对《数值分析第五版》的课后习题进行一些探讨和解答。

第一章是数值分析的导论，主要介绍了误差分析和计算方法的基本概念。

在课后习题中，有一道题目是关于误差传播的。

假设有一个函数f(x, y) = x^2 + y^2，其中x和y的测量误差分别为Δx和Δy，要求计算f(x, y)的误差。

解答：根据误差传播公式，可以得到f(x, y)的误差为Δf = √[(∂f/∂x)^2 *(Δx)^2 + (∂f/∂y)^2 * (Δy)^2]。

对于本题而言，∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y。

代入公式，得到Δf = √[(2x)^2 * (Δx)^2 + (2y)^2 * (Δy)^2] = 2√(x^2 * (Δx)^2+ y^2 * (Δy)^2)。

第二章是插值与多项式逼近的内容。

其中一道习题涉及到拉格朗日插值多项式。

给定n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，要求构造一个n次多项式p(x)，使得p(xi) = yi (i = 0, 1, ..., n)。

解答：拉格朗日插值多项式的表达式为p(x) = Σ(yi * Li(x))，其中Li(x) = Π[(x - xj) / (xi - xj)]，j ≠ i。

将数据点代入表达式中，即可得到所求的多项式。

第三章是数值微积分的内容，其中一道习题是关于数值积分的。

给定一个函数f(x)，要求使用复化梯形公式计算定积分∫[a, b]f(x)dx。

解答：复化梯形公式的表达式为∫[a, b]f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2Σf(xi) + f(b)]，其中h = (b - a)/n，xi = a + i * h (i = 1, 2, ..., n-1)。

根据给定的函数f(x)，代入公式中的各个值，即可得到近似的定积分值。

数值分析课程第五版课后习题答案

数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。

选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。

迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。

矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。

其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。

对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。

课后习题二：a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。

矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。

数值分析课后部分

数值分析课后部分习题答案习题1（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解 *20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =- 由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为611101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有4个有效数，即4n =，2m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为211101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为311101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101024n a ---⨯=⨯. 2．下列各近似值的绝对误差限都是31021-⨯,试指出它们各有几位有效数字.***2.00021,0.032,0.00052x y z ===解 *12.000210.20002110x ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，4n =；*10.0320.3210y ==⨯，即1m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，2n =；*30.000520.5210z -==⨯，即3m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，0n =.4.设有近似数35.2,84.1,41.2***===z y x 且都有3位有效数字，试计算***z y x S +=，问S 有几位有效数字.解方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，|(**)||*(*)*(*)|*|(*)|*|(*)|e y z z e y y e z z e y y e z ≈+≤+222112.3510 1.8410 2.0951022---≤⨯⨯+⨯⨯=⨯，221|(***)||(*)(**)|10 2.095102e x y z e x e y z --+≈+≤⨯+⨯1110.259510102--=⨯≤⨯，又 1***=2.41 1.84 2.350.673410x y z ++⨯=⨯，此时1m =，1m n -=-，从而得2n =.方法二因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.41r e x e x x -⨯≤， 211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 1.84r e y e y y -⨯≤， 211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.35r e z e z z -⨯≤|(**)||(*)(*)|r r r e y z e y e z ≈+，***|(***)||(*)(**)|******r r r x y z e x y z e x e y z x y z x y z +≈+++2.41 1.84 2.35|(*)||(*)+(*)|2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35r rr e x e y e z ⨯≤++⨯+⨯22211110 1.8410 2.35102222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35---⨯⨯⨯⨯⨯≤+++⨯+⨯+⨯20.385410-<⨯21102-<⨯，由有效数字与绝对误差的关系得2n =.5.序列{}n y 有递推公式),2,1(,1101Λ=-=-n y y n n若41.120≈=y （三位有效数字），问计算10y 的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解用0ε表示0y 的误差，由41.120≈=y ，得0=0.0042εL ，由递推公式 ),2,1(,1101Λ=-=-n y y n n ，知计算10y 的误差为810=0.4210ε⨯L ，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明 0()1nk k l x ==∑，对所有的x其中()k l x 为Lagrange 插值基函数. 证明令()1f x =，则()1i f x =，从而 0()()()()nnn k k k k k L x l x f x l x ====∑∑，又 (1)1()()()0(1)!n n n f R x x n ξω++==+，可得 ()()1n L x f x ==，从而 0()1nk k l x ==∑.4. 求出在=012x ，，和3处函数2()1f x x =+的插值多项式. 解方法一因为给出的节点个数为4，而2()1f x x =+从而余项(4)34()()()04!f R x x ξω==，于是 233()()()()=+1L x f x R x f x x =-=（n 次插值多项式对次数小于或等于n 的多项式精确成立）. 方法二因为(0)1(1)2(2)5(3)10f f f f ====，，，，而 0(1)(2)(3)1()=-(1)(2)(3)(01)(02)(03)6x x x l x x x x ---=------，1(2)(3)1()=(2)(3)(10)(12)(13)2x x x l x x x x --=-----，2(1)(3)1()=-(1)(3)(20)(21)(23)2x x x l x x x x --=-----，3(1)(2)1()=(1)(2)(30)(31)(32)6x x x l x x x x --=-----，从而 30123()()(0)()(1)()(2)()(3)L x l x f l x f l x f l x f =+++2=+1x .5. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-.证明因()()0f a f b ==，则1()0L x =，从而 1()()()()()2!f f x R x x a x b ξ''==--，由极值知识得 21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-6. 证明 (()())()()()(+)f x g x f x g x f x g x h ∆=⋅∆+∆⋅. 证明由差分的定义(()())(+)()()()f xg x f xh g x h f x g x ∆=+-[(+)()()(+)][()()()()]f x hg xh f x g x h f x g x h f x g x =+-++-()()()(+)f x g x f x g x h =⋅∆+∆⋅或着 (()())(+)()()()f x g x f x h g x h f x g x ∆=+-[(+)()()()][()()()()]f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x =+-+++- ()()()()f x h g x f x g x =+⋅∆+∆⋅7. 证明 n 阶差商有下列性质(a ) 如果()()F x cf x =，则0101[,,,][,,,]n n F x x x cf x x x =L L . (b ) 如果()()()F x f x g x =+，则010101[,,,][,,,][,,,]n n n F x x x f x x x g x x x =+L L L .证明归纳法：由差商的定义 (a ) 如果()()F x cf x =，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-L L L120110[,,,]-[,,,]n n n cf x x x cf x x x x x -=-L L120110[,,,]-[,,,]n n n f x x x f x x x c x x -=⋅-L L 01[,,,]n cf x x x =L .(b ) 如果()()()F x f x g x =+，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-L L L12120110110[[,,,][,,,]]-[[,,,][,,,]]n n n n n f x x x g x x x f x x x g x x x x x --++=-L L L L120111201100,,,]-[,,,][,,,][,,,]+n n n n n n f x x x f x x x g x x x g x x x x x x x ---=--L L L L [ 0101[,,,][,,,]n n f x x x g x x x =+L L8. 设74()3431f x x x x =+++，求0172,2,,2]f L [，0182,2,,2]f L [. 解由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商0172,2,,2]=3f L [ (()f x 的最高次方项的系数)， 8阶差商0182,2,,2]=0f L [ (8阶以上的差商均等与0). 9. 求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.解方法一先求满足插值条件(0)0P =，(1)=1P ，(2)1P =的二次插值多项式2()P x 213=22x -+(L-插值基函数或待定系数法)，设()P x 22=()(1)(2)(1)(2)P x Ax x x Bx x x +--+--213=22x x -+2+(1)(2)(1)(2)Ax x x Bx x x --+-- 从而()P x '323=4B +(39)(641)(2)2x A B x A B x A -+-+-++，再由插值条件(0)0P '=，(1)1P '=，得3=,4A -1=,4B所以 ()P x 213=22x x -+231(1)(2)(1)(2)44x x x x x x ---+--，即()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法二设()P x 23401234=a a x a x a x a x ++++，则 ()P x '231234=234a a x a x a x +++由插值条件(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =，得010********0123400++++1+2+3+41+2+4+8+161a a a a a a a a a a a a a a a a =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 解得 234931=,=-,=424a a a ，从而 ()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造. 10. 下述函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数吗？3232321,12()=92217,23x x x x S x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+-+≤≤⎩ 解因为 22362,12()=31822,23x x x S x x x x ⎧-+≤≤'⎨-+-≤≤⎩， 66,12()=618,23x x S x x x -≤≤⎧''⎨-+≤≤⎩而 12(2)=1=(2)S S ，12(2)=2=(2)S S ''，12(2)=6=(2)S S ''''，又()S x 是三次函数，所以函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数.补设f (x )=x 4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解因为 (4)34()()()(+1)(1)(2)4!f R x x x x x x ξω==--，从而 3233()()()22L x f x R x x x x =-=+-习题3 ( P.159)1．设n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组且)(x k ϕ为首项系数为1的k 次的多项式，则n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.解方法一因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，采用反证法：若{}n ϕϕϕ,,,10Λ于],[b a 线性相关，于是，存在不全为零,,,,10n c c c Λ使0011()()()0,[,]n n c x c x c x x a b ϕϕϕ+++=∈L上式两边与i ϕ作内积得到0011(,)(,)(,)0(0,1,,)i i n i n c c c i n ϕϕϕϕϕϕ+++==L L ，由于{}i c 不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解),,,,(10n c c c Λ故系数矩阵的行列式为零，即{}0,,,10=n G ϕϕϕΛ与假设矛盾.方法二因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，由( P.95)定理2得n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.2．选择α，使下述积分取得最小值1221()[],a x x dx α--⎰120()()x b e x dx α-⎰解 1221()[]a x x dx αα-∂-∂⎰1221=[]x x dx αα-∂-∂⎰1221=2[]()x x x dx α--⋅-⎰5112=5x α-4=5α，令1221[]=0x x dx αα-∂-∂⎰，得=0α.12()()x b e x dx αα∂-∂⎰120=()xe x dx αα∂-∂⎰1=2()()x e x x dx α-⋅-⎰2=23α- 令120()=0x e x dx αα∂-∂⎰，得=3α.3．设],3,1[,1)(∈=x xx f 试用},1{1x H 求)(x f 一次最佳平方逼近多项式.解取权函数为()x x ω=(为了计算简便)，则32311(1,1)42x xdx ===⎰,33321126(1,)(,1)33x x x x dx ====⎰, 343311(,)204x x x x dx ===⎰,33111((),1)2f x xdx x x=⋅==⎰，3232111((),)42x f x x x dx x =⋅==⎰，得法方程 0126423264203a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，解得011211311a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以)(x f 的一次最佳平方逼近多项式1123()1111P x x =-. 8．什么常数C 能使得以下表达式最小？ ∑=-ni x i iCe x f 12))((解 21(())i n x i i f x Ce C =∂-∂∑1=2(())()i i nx x i i f x Ce e =-⋅-∑，令 21(())=0i nx i i f x Ce C =∂-∂∑，得121()(),iinx x ii nx xx i f x ef x e C e e e==⋅==∑∑（）（，）. 14．用最小二乘法求解矛盾方程组2+314921x y x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩. 解方法一方程组可变形为 AX F = ，其中23114,9211A F ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2321290914,3410264021A A A F T T ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦, 求解法方程 90902640x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得到矛盾方程组的解为12013x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.方法二令(,)I x y 222=+31+4+9++1x y x y x y ---（2）（）（2）(,)I x y x∂∂=4+31+24+9+4+1x y x y x y ⨯-⨯-⨯-（2）（）（2）=18+18x ，(,)I x y y∂∂=6+3184+92+1x y x y x y ⨯--⨯--⨯-（2）（）（2） =5280y -令 (,)0(,)0I x y x I x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩，得 1818052800x y +=⎧⎨-=⎩，解之得矛盾方程组的解为12013x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.习题4 (P. 207)7. 对列表函数124810()152127x f x求(5)(5).f f '''，解一阶微商用两点公式(中点公式),得(8)(2)10(5),63f f f -'≈= 二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求(5)f , 由(4)5,(8)21,f f ==得一次插值函数1()411,L x x =- 从而 1(5)(5)9f L ≈=, 于是, 2(2)2(5)(8)4(5).39f f f f -+''≈=8. 导出数值微分公式)]23()2(3)2(3)23([1)(3)3(h x f h x f h x f h x f hx f ---++-+≈并给出余项级数展开的主部.解由二阶微商的三点公式(中点公式),得213()[()2()()]2222h h h f x f x f x f x h h ''-≈+--+-,213()[()2()()]2222h h h hf x f x f x f x h ''+≈+-++-从而 (3)()()22()h h f x f x f x h''''+--≈3133=[()3()3()()]2222h h f x h f x f x f x h h +-++--- 将33()()()()2222h h f x h f x f x f x h ++--，，，分别在x 处展开,得2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()222!23!21313()()()()+()(1)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()222!23!211()()()()()(2)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()()222!23!211()()()()()(3)4!25!2h h h hf x f x f x f x f x h h f x f x O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()()222!23!21313()()()()()(4)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得(5)2232311311{()[()2()()]}()[()()]22228h h h f x f x f x f x h f x f x h O h h h h '''''--+--+-=-+,即余项主部为(5)1()8f x h-习题 5 (P. 299)3. 设n n R A ⨯∈为对称矩阵，且011≠a ，经高斯消去法一步后，A 约化为11120Ta a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦r ，试证明2A 亦是对称矩阵. 证明设1111()=T ij a a A a A α⎛⎫= ⎪⎝⎭r，其中21311=n a a a α⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ，121311=n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭r M ，22232123=n n n nn a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则经高斯消去法一步后，A 约化为111111110TT a a A a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦r r ，因而211111T A A a a α=-r，若n n R A ⨯∈为对称矩阵，则1A 为对称矩阵，且1=a αr，易知211111T A A a a α=-r 为对称矩阵. 13. 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A (1) 计算2||||,||||A A ∞；(2) 计算∞)(A Cond ，及2)(A Cond . 解 (1) 计算||||=199A ∞,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A ，其特征值为1,2999802λ=±，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A 为对称矩阵，则2=T A A A 的特征值为221,2(999802)λ=±，因此22max max ||||()999802T A A A A λλ===+(2) 1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，1||||=199A -∞，所以12()=||||||||=19939601Cond A A A -∞∞∞⋅=，1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦为对称矩阵，其特征值为1,2999802λ=-± 则1112()=()T A A A ---的特征值为221,2(999802)λ=±，因此111122max max ||||(())()999802T A A A A λλ----===+ 所以 1222()=||||||||Cond A A A -⋅2(999802)=+ 15. 设,n n n A R x R ⨯∈∈r，求证（1）1x x n x ∞∞≤≤r r r； (2)∞∞≤≤A n A A n11.证明 (2) 由（1）1x x n x ∞∞≤≤r r r ，得1AxAx n Ax ∞∞≤≤rr r，则 11AxAx n Ax n xx x ∞∞∞∞≤≤r r r rr r ，从而 11max max max n nn x R x R x R Ax Ax n Ax n x x x ∞∞∀∈∀∈∀∈∞∞≤≤r rrr r r r r r ，由算子范数的定义max n x R Ax A x ∞∞∀∈∞=r r r ，111max nx R Ax A x ∀∈=r r r ，得∞∞≤≤A n A A n11.17. 设n n R W ⨯∈为非奇异阵，又设x r为n R 上一向量范数，定义Wx Wx =rr ，求证：Wxr是n R 上向量的一种范数（称为向量的W一范数）.证明 ①正定性，因Wx r为一向量，0WxWx =≥r r，下证=0=0W x x ⇔rr r ，⇒“”若=0W x r即=0Wx r ，由向量范数的正定性得 =0Wx r r ，nn R W ⨯∈为非奇异阵，所以=0x r r ；⇐“”若=0x r r ，则=0Wx rr ，由向量范数的正定性得=0Wx r 即=0W x r.②齐次性，任意实数α有=W x W x Wx ααα=r r r，由向量范数的齐次性，得=W Wx W x Wx Wx xααααα===r r r r r ；③ 三角不等式，任意实数,n n x R y R ∈∈r r，有+(+)=+W x y W x y Wx Wy =r r r r r r，再由向量范数的三角不等式，得+(+)=+WWWx yW x y Wx Wy Wx Wy xy=≤+=+r r r r r r r r rr .习题 6 (P.347)1. 设有方程组(b ) 1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，考查用Jacobi 迭代法,G-S 迭代法解此方程组的收敛性.解系数矩阵分裂如下,122111221A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--1002211112200-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵为1()J D L U -=+=022101220-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭， J 的特征方程为 2211022λλλ-=，展开得 30λ=，即01λ=<，所以用Jacobi 迭代法解此方程组是收敛的.G-S 迭代矩阵为1()G D L U -=-1122=11012210--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100022=110010210-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭122=02302-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， G 的特征方程为122021002λλλ---=-，展开得 (1)(2)(2)0λλλ---=，即1λ=或2λ=，由迭代基本定理得用G-S 迭代法解此方程组是不收敛的.4. 设有方程组Ax b =r r，其中A 为对称正定阵，且有迭代公式(1)()()()k k k x x b Ax ω+=+-r r r r(0,1,k =L )，试证明当20ωβ<<时，上述迭代法收敛(其中A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤).证明 A 为对称正定阵， A 的特征值满足 0()A αλβ<≤≤，且20ωβ<<，则0()2A ωλ<<又迭代公式可变形为(1)()()k k x I A x b ωω+=-+r r r (0,1,k =L )，从而迭代矩阵 B I A ω=-，迭代矩阵的特征值为1()A ωλ-，且满足11()1A ωλ-<-<，即 |()|1B λ<，由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.5. 设111a a A a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为实数，试确定a 满足什么条件时，解Ax b =r r的Jacobi 迭代法收敛.解系数矩阵分裂如下,111a a A aa a a⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =-- 1001100a a aa aa--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵为1()J D L U -=+=000a a aa a a--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，J 的特征方程为 0a aaa aaλλλ=，展开得 323320a a λλ--=，即a λ=-或2a λ=-，()max{||,|2|}J a a ρ=--()1J ρ<当且仅当1122a -<<，所以当1122a -<<时，解Axb =r r的Jacobi 迭代法收敛.。

数值分析课后答案（4）

数值分析课后答案（4）习题四1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取02.0x = 00.6931y = 12.2x = 10.7885y = 22.3x = 20.8329y = 110 2.1 2.3 2.1 2.0(0)(1)0.69310.832901102.0 2.32.3 2.0x x x x L f x f x x x x x ----=+=+----=0.7410抛物线插值：12200102()()()()x x x x l x x x x --=-- 02211012()()()()x x x x l x x x x --=-- 01222021()()()()x x x x l x x x x --=--2200211222L l y l y l y =++=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 023********()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---01332202123()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 01233303132()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---3300311322333L l y l y l y l y =+++=1156261310323++-x x x3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0, 求证:2"1m ax |()|()m ax |()|8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-解：取01;x a x b ==，1()()0x a x b L f a f b a bb a--=+=--''''211()()()|()()||()()|||||224f f b a R f x L x x a x b εε-=-≤--≤∴''21()()|()||()|||||24f b a f x L x ε-≤+''1()|()||||()|8f L x b a ε=+-|||8)("|a b f -=ε4.证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足∑==ni ki n ki x x l x 0,)(, n k ≤≤0解：取()kf x x = 则n 0()nki i Ln lx x ==∑(1)()()()!n nii fx f x Ln Rn x x n +=-==-∑(1)0()()!k n nii x x x n +==-∑=0所以()()f x Ln x = 即证 5.证明 )(')()()(,xi x x x x l n i n i n ωω-=证明：、01110111()()()()()ln ()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x -+-+-----= -----01110111()()()()()()()()()()i i ni i ii i i i i nix x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+------=------取 0111()()()()()()n i ii n x x xx xxxx x x x x ω-+=------则 '1020111011()()()())()()()()()()()()()n nn i in n x x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x x xxω-+-=--+---+-----++--- （'0111()()()()()()n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x x ω-+=-----所以，'()ln ()()n i n i x i x x x ωω=-6.设nn x a x a a x f ++=10)(有n 个不同的实根.,,21n x x x证明:=-=∑11,0)('n ni i kia x f x证明：取()kx x ?= 1()()n n x x xx ω=-- 而，0()nn f x a a x =++ 有n 个不同的实根。

数值分析书本答案

习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π 所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。

《数值分析》所有参考答案

习题11 -以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数(1)% = 451.023(2)x；=-0.045 113(3)x3 = 23.421 3,* 1(4)x4=3(5)x5 = 23.496,* /-(6)x6= 96x 10 ,(7)x；= 0.000 96,(8)x8 =-8 700, 解：(1) x；=451.023x1= 451.01;x2=—0.045 18;x3= 23.460 4;x4= 0.333 3;x5= 23.494;x6= 96.1 x 105;x；= 0.96X 10 'x8= —8 7003 x^ 451.01* 1 _1 一#x1—= 0.013兰一汇10 —, x1具有4 位有效数字。

％t451.02(2) x；二-0.045 113 x2二-0.045 18=0.045 1 8- 0.045113 =0.000 067 - 10 _32X2具有2位有效数字，x^ -0.045⑶x3 =23.4213 x3= 23.4604*X3— X3 = 23.4213 - 23.4604 = 23.4604 — 23 .4213 = 0.0391 X3具有3位有效数字，X3 > 23 .4 （不能写为23.5）* 1⑷ x4二,x4二0.3333 J 10_1 23二 23 .496 - 23.494 二 0.002X 6具有2位有效数字,75x 6 =0.9610= 96 102•以下各数均为有效数字:(1) 0.1062 + 0.947;(2)23.46— 12.753;(4) 1.473 / 0.064。

问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么? 解：(1) X i =0.1062， X 2 =0.947， X i +X 2 =1.05321e( )+ e(x 2 )兰 e( )+ e(x 2)兰一汉 10*X 4=0.000033：：： -10 一4 2,X 4具有4位有效数字，X 4 二0.3333(5) x 5 = 23.496, x 5 = 23.494X5具有4位有效数字,x 5 > 23.50 不能写为 23.49)(6)*57X 6 = 96100.96 10 57X 6=96.1 10 =0.96110*X6=0.001 10 _7< -10 ° 10 一7 2X 7 = 0.00096X 7 -0.9610° *X7-0.96 10’*X7=0X 7精确(8)二 -8700 x8二 -8 7 0.3*X8-X 81 = 0.3102X 8具有4位有效数字，X 8二-8700 精确e(xd| 兰丄。

数值分析课后习题答案

x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?
解因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12

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数值分析韩旭里答案【篇一：数值分析上机题目】>1631110xxxx 材料科学与工程学院一．第2章插值法l2.7 给定数据表2-15.用newton插值公式计算3次插值多项式n3(x).表2-15x f(x)1 1.251.52.500 1.002 5.50a. matlab代码如下，two.m,%第二章，p45,练习题2第七题 clear(); x=[1,1.5,0,2];y(:,1)=[1.25,2.50,1.00,5.50];%已知点集合x和y syms t w; w(1)=1; %计算基函数序列w和差商表y，以及函数序列的权数diag(y),计算的牛顿三次多项式表述为t的函数 for j=2:length(x) fori=j:length(x)y(i,j)=(y(i,j-1)-y(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); i=i+1; endw(j)=prod(t-x(1:j-1)); j=j+1; enddisp(三次牛顿插值多项式为); disp(collect(w*diag(y)));plot(x,y(:,1),*); hold on;fplot(collect(w*diag(y)),[-0.5,2.5]);legend({已知点集,三次牛顿插值多项式函数},location,northwest,fontsize,14); xlabel(x,fontsize,16);ylabel(y,fontsize,16); hold off;b. 计算结果如下：二．第3章函数逼近与数据拟合a. matlab代码，three.m，%第三章函数逼近与数据拟合，p68练习题，第2题 clear(); syms x;%所使用的非线性基函数序列，用符号表示 y=abs(x);%被逼近函数f=[1,x^2,x^4];%求解法方程的系数矩阵a*gn=b，其中a和b均为行向量gn=ones(length(f),length(f)); for i=1:length(f) for j=1:length(f) gn(i,j)=int(f(i)*f(j),-1,1);j=j+1; endb(i)=int(f(i)*y,-1,1); i=i+1; enda=b/gn;%最佳平方逼近的系数行向量 disp(逼近函数表达式);disp(vpa(f*a));disp(最佳函数逼近得平方误差); disp(vpa(int(y^2,-1,1)-a*b));fplot(y,[-1,1]); hold on; fplot(a*f,[-1,1]);legend({被逼近函数,逼近函数},location,north,orientation,horizontal,fontsize,16,fontweight,b old);xlabel(x,fontsize,20,fontweight,bold);ylabel(y,fontsize,20,fontweight,bold); hold off;b. 运行结果如下：三.第4章数值积分与数值微分例4.9用romberg求积法计算定积分 01sin?(??)??a. matlab代码，four.m%romberg求积公式，外推原理 clear(); clear(); format long; a=0; b=1;t(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b));t(2,1)=1/2*t(1,1)+(b-a)/2*f((a+b)/2); t(1,2)=(4*t(2,1)-t(1,1))/(4-1);col=2;while abs(t(1,col)-t(1,col-1))0.5*10^-6%t(1,col)对应的计算的是多少步的值,col→coln关系col=col+1;%此时求得是第n+1次均分后的结果，使用的是第n次的结果，注意在矩阵 %计算的第n斜列是第n-1次均分的结果 for j=1:colif j==1h=(b-a)/2^(col-2);%使用n+1之前的第n次结果【篇二：数值分析a教学】>一、课程基本信息二、课程目的和任务“数值分析”是理工科院校计算数学、力学、物理、计算机软件等专业的学生必须掌握的一门重要的基础课程。

它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。

通过本课程的学习，能使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编出程序在计算机上算出结果，这既能为学生在理论学习方面以及在计算机上解决实际问题等方面打下良好的基础，同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高数学推理能力。

三、本课程与其它课程的关系先修课程：高等代数、数学分析、常微分方程、计算机高级语言（如c语言）等。

后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。

四、教学内容、重点、教学进度、学时分配本课程内容按教学要求不同分为两个层次。

理解和掌握的部分属较高要求，是本课程的重点内容，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用，了解和知道的部分也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。

（一）序言（参考教学时数：2 学时） 1、主要内容误差来源，数值稳定性概念，数值计算应遵循的原则 2、重点有效数字的定义；数值的稳定性 3、教学要求了解误差的概念。

理解数值运算的误差估计及数值运算中的一些原则，掌握数值稳定性概念，并能应用于实际。

（二）解线性代数方程组的直接法（参考教学时数：8 学时）1、主要内容gauss消元法，矩阵的三角分解法，解三对角方程组的追赶法 2、重点用gauss消去法及矩阵的三角分解法求解线性代数方程组. 3、教学要求掌握gauss消去法和列主元gauss消去法，能用这两种方法求解方程组且会计算矩阵的行列式。

熟练掌握对非奇异矩阵的lu分解。

掌握对称正定矩阵的平方根法，了解三对角方程组的追赶法的分解形式。

（三）解线性代数方程组的迭代法（参考教学时数：8 学时） 1、主要内容基本迭代法，范数及方程组的性态、条件数，收敛性分析 2、重点判断雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，sor方法的收敛性。

3、教学要求熟练掌握jacobi迭代法、gauss-seidel迭代法及sor方法的计算分量形式、矩阵形式和它们的迭代矩阵表示式。

理解迭代法收敛的充要条件，会用迭代阵的谱半径判断迭代的收敛性。

熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质，掌握矩阵条件数的定义，并了解其性质，能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。

知道迭代法的渐近收敛速度的定义和计算。

（四）解非线性方程的迭代法（参考教学时数：10 学时） 1、主要内容二分法，迭代法，迭代过程的加速， newton法，弦截法 2、重点二分法，newton法，加速法。

3、教学要求了解如何确定方程的有根区间及用二分法求一个足够好的近似根；若给定近似解的误差和二分区间，能预估二分次数。

熟练掌握迭代法求根的基本思想，掌握迭代过程的全局、局部收敛定理及会判断迭代过程的收敛阶，并能够运用这些原理解决问题。

学会使用加速收敛原理及方法。

熟练掌握newton迭代公式，并能针对不同的非线性方程来构造，理解牛顿迭代公式在单根附近至少平方阶收敛和newton下山法，了解newton法求重根的算法。

知道单点与双点弦截法。

（五）矩阵特征值与特征向量的计算（参考教学时数：6 学时） 1、主要内容乘幂法，反幂法，qr方法 2、重点乘幂法，qr方法。

3、教学要求理解乘幂法是一种计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的方法，而反幂法常用于求按模最小的特征值及其相应的特征向量。

掌握乘幂法、反幂法及qr方法的特点和算法并且能够选择适当方法进行相应的计算。

知道幂法计算时常用的加速方法，如原点平移法。

掌握householder变换的定义及性质，能够利用它对矩阵实现qr分解。

（六）代数插值（参考教学时数：10 学时） 1、主要内容lagrange插值，差商与newton插值，差分与等距节点插值公式，hermite插值，样条插值函数 2、重点lagrange插值，newton插值，hermite插值。

3、教学要求掌握多项式插值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导。

熟练掌握lagrange插值多项式的表达式，余项及插值基函数的性质。

会构造newton插值多项式，掌握差分、差商的计算过程及有关性质。

掌握各种插值法的优点、缺点。

掌握带导数的hermite插值多项式的构造方法，余项表达式，能根据给定条件的特点灵活构造插值多项式。

理解三次样条插值函数的定义及其构造方法。

（七）函数逼近（参考教学时数：8学时） 1、主要内容、重点最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法。

3、教学要求理解内积，正交多项式的定义及有关性质。

掌握legendre正交多项式系，chebyshev正交多项式系的定义，了解其性质。

理解函数的范数及最佳一致逼近和最佳平方逼近的提法。

熟练掌握最佳平方逼近方法会求最佳方法逼近函数，能根据所给条件建立相应逼近问题的法方程。

掌握曲线拟合的最小二乘法，对于给定的一组数据，能够根据最小二乘原理在某一函数类中选择函数，与所给数据组拟合来解决一些实际问题。

知道能用正交多项式作函数的平方逼近。

（八）数值积分与数值微分（参考教学时数：10学时） 1、主要内容代数精度，插值形求积公式，newton－cotes求积公式，romberg求积算法，gauss求积公式，数值微分2、重点newton－cotes求积公式，romberg求积算法，gauss求积公式。

3、教学要求熟练掌握求积公式的代数精度的概念，能应用定义确定求积公式的系数和节点，并能判断一个求积公式的代数精度。

理解插值型求积公式的原理及特点。

理解newton－cotes求积公式，掌握梯形，simpson，cotes公式及其余项表达式。

理解复化求积公式的思想，熟练掌握复化梯形，复化simpson公式，并能够应用。

掌握romberg求积方法，能够体会数值方法的加速收敛的思想。

掌握gauss型求积公式的一些特点，能够根据代数精度推导它。

注意newton－cotes求积公式与gauss求积公式的异同点。

掌握各类求积公式的构造方法。

能熟练运用求积公式进行计算。

（九）常微分方程初值问题的数值解（参考教学时数：8学时） 1、主要内容euler方法，runge-kutta方法，收敛性与稳定性2、重点euler方法和改进的euler法，runge-kutta方法。