高一数学上学期第一次月考模拟试卷-【题型分类归纳】(解析版)

2022-2023高一数学上学期第一次月考模拟试卷

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U Z =，集合{}1,2,3A =-，{}3,4B =，则()U A B =（ ） A ．{}4 B ．{}3 C ．{}1,2 D ．∅ 【答案】A

【解析】{}1,2,3A =-，U Z =，{}3,4B =，

所以()U A B ={}4.故选：A

2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关． 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）

A ．必要条件

B ．充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 【答案】A

【解析】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，

故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A ．

3．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是（ ） A ．对0m ∀>，方程20x x m +-=无实根 B ．对0m ∀>，方程20x x m +-=有实根

C ．对0m ∀<，方程20x x m +-=无实根

D ．对0m ∀<，方程20x x m +-=有实根 【答案】A

【解析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，

知“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是 对0m ∀>，方程20x x m +-=无实根，故选：A

4．满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．16 【答案】A

【解析】因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，

所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，

满足条件的集合A 有：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，

{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共有8个，故选：A.

5．若7P a a =+034()Q a a a ++=≥，则,P Q 的大小关系是

A ．P Q <

B ．P Q =

C ．P Q >

D ．,P Q 的大小由a 的取值确定 【答案】A

【解析】因为2222272342727120P Q a a a a a a a a -=+++=+++<，

,P Q >0，所以P Q <，故选：A.

6．已知正实数,a b 满足22a b +=，则1

2a b

+的最小值为（ ） A ．92

B ．9

C ．22

D 2【答案】A

【解析】因为,0,22a b a b >+=，

所以()12112122122925522222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当

22b a a b =，即23

a b ==时取等号， 所以12a

b

+的最小值为92

.故选：A.

7．已知实数a ，b ，c ，若a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b > B ．a 2＞b 2 C ．2211

a b

c c >++ D ．a |c |＞b |c | 【答案】C

【解析】A. 当2,1a b ==时，11a

b

<，故错误；

B. 当1,2a b =-=-时，22a b <，故错误；

C.因为 a ＞b ，210c +>，所以

2211

a b

c c >++，故正确； D. 当0c 时，a |c |=b |c |，故错误，故选：C

8．已知命题“存在{}23x x x ∈-<<，使得等式20x m -=成立”是假命题，则实数m

的取值范围是（ ）

A ．(](),46,-∞-⋃+∞

B ．()(),46,-∞-⋃+∞

C ．()[),46,-∞-⋃+∞

D ．(][),46,-∞-+∞ 【答案】D

【解析】由20x m -=可得2m x =，

因为23x -<<，所以46m -<<，

若命题“存在{}23x x x ∈-<<，使得等式20x m -=成立”是假命题， 则实数m 的取值范围是(][),46,-∞-+∞，故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知U 为全集，下列各项中与A B ⊆等价的有（ ）

A ．A

B B = B ．A B B ⋃=

C ．U A C B ⋂=∅

D ．U U C B C A ⊆ 【答案】BCD

【解析】A. 因为A B B =，所以B A ⊆，故错误；

B. 当A B B ⋃=时，有A B ⊆，反之也成立，故正确；

C. 当U A C B ⋂=∅时，有A B ⊆，反之也成立，故正确；

D. 若A B ⊆，则U U C B C A ⊆，反之也成立，故正确. 故选：BCD

10．设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ） A ．

11a b

+有最小值4 B ab 1

2 C a b 2 D ．22a b +有最小值1

2 【答案】ABCD

【解析】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104

ab

<， 即有1

1

1

4a b ab

+=，即有a b =时，

11

a b

+取得最小值4，无最大值，故A 正确；

由102

ab

，可得ab 1

2，故B 正确；

1

2121222

a b a b ab ab ++++⋅

得a b =a b 2C 正确； 由222a b ab +可得2222()

()1a b a b ++=，则22

12

a b +， 当12

a b ==时，22a b +取得最小值1

2，故D 正确． 故选：ABCD ．

11．以下各选项中，p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．p ：某四边形是菱形 q ：某四边形对角线相互垂直 B ．p ：0xy > q ：0x >且0y > C ．p ：0x y >> q ：1

1x

y

<

D ．p ：x A B ∈ q ：x A B ∈ 【答案】ACD

【解析】p ：某四边形是菱形，q ：某四边形对角线相互垂直，

p 是q 的充分不必要条件，A 正确；

p ：0xy > q ：0x >且0y >，取1x y ==-，p 到q 不具有充分性，B 错误； p ：0x y >>，q ：

11x y <，当0x y >>，得到11

x y <，充分性， 取1,2x y =-=-满足1

1

x y <，不能得到0x y >>，不必要，C 正确； p ：x A B ∈ q ：x A B ∈，若x A B ∈，则x A B ∈，充分性， 当x A B ∈不能得到x A B ∈，不必要性，D 正确. 故选：ACD.

12．下列结论错误的是（ ）

A ．不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅

B ．不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤

C ．若函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为R

D ．不等式1

1x

>的解集为1x <

【答案】CD

【解析】对于选项A ，当0a ≥时，210ax x ++≥的解集不为∅，

而当0a <时，要使不等式210ax x ++≥的解集为∅，只需140a ∆=-<，即

14

a >

， 因0a <，故不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅，

因此A 正确；

对于选项B ，当0a <且240b ac ∆=-≤时，20ax bx c ++≤在R 上恒成立， 故不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤，

因此B 正确；

对于选项C ，因函数()2

0y ax

bx c a =++≠对应的方程没有实根，但a 正负不

确定，

故20ax bx c ++>或20ax bx c ++<恒成立，

因此不等式20ax bx c ++>的解集不一定为R ，故C 错； 对于选项D ，由11x >，得10x

x

->，即()10x x ->，解得01x <<，故D 错. 故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若集合{}2

,,1,,0b

a a a

b a

⎧⎫=+⎨⎬⎩

⎭，则20212021a b +=______．

【答案】-1

【解析】由条件可知，0a ≠，所以0b a

=，即0b =，

若1a =，不满足互异性，所以211a a =⇒=-， 所以()2021

2021202111a b +=-=-.

故答案为：-1

14．不等式5

22

x ≥+的解集为 _______________； 【答案】1

(2,]2

- 【解析】

522x ≥+⇔52402x x --≥+⇔2102x x -≤+解得12,2⎛

⎤- ⎥⎝

⎦

故答案为12,2⎛⎤

- ⎥⎝

⎦

15．已知正实数a ，b 满足196a b

+=，则()()19a b ++的最小值是___________. 【答案】16

【解析】因为正实数a ，b 满足196a b

+=，

所以199

6a

b

ab

=+≥1ab ，也即1≥ab ， 当且仅当19=a

b 时，即1,33

a b ==时取等号.

因为19

6a b

+=，所以96b a ab +=，

所以()()919=9797916a a b a b b b a +++≥+=+=++. 故()()19a b ++的最小值是16. 故答案为：16

16．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人. 【答案】9

【解析】把学生54人看成集合U ，选择物理的人组成集合A ，选择化学的人组成集合B ，

选择生物的人组成集合C ，选择物理与化学但未选生物的人组成集合D . 要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选

的8人，

则结合Venn 图可知，其他区域人数均为最少，

即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人， 做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.

故答案为：9.

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（1）已知23x <<，23y <<，求x y -和x

y 的取值范围； （2）已知24<+≤x y ，13x y -<-<，求3x y +的取值范围. 【答案】（1）11x y -<-<，

23

32

x y <<；（2）3311x y <+<. 【解析】（1）23y <<，32∴-<-<-y

又23x <<，11∴-<-

23y <<，

11132

y << 又23x <<，2

3

32∴<

y （2）设3()()x y a x y b x y +=++-，得32

11a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨

⎨-==⎩⎩

即32()()+=++-x y x y x y 而42()8<+≤x y ，13x y -<-<

3311∴<+

18．已知集合{}2430A x x x =-+=，()(){}110B x x a x =-+-=，{}2

10C x x mx =-+=．

（1）若A B A ⋃=，求实数a 的值； （2）若A C C =，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2a =或4；（2）(]2,2-.

【解析】{}()(){}{}2

4301301,3A x x x x x x =-+==--==

（1）A B A =，B A ∴⊆，又1B ∈，B ∴所有可能的结果为{}1，{}1,2； 当{}1B =时，11a -=，解得：2a =；当{}1,3B =时，13a -=，解得：4a =；

2a ∴=或4；

（2）A C C =，C A ∴⊆，C ∴所有可能的结果为∅，{}1，{}2，{}1,2； 当C =∅时，240m ∆=-<，解得：22m -<<；

当{}1C =时，20m -=，解得：2m =，此时{}{}2

2101C x x x =-+==，满

足题意；

当{}2C =时，520m -=，解得：52

m =，

此时25

1

10,222C x x x ⎧⎫⎧⎫

=-+==⎨⎬⎨⎬⎩

⎭

⎩

⎭

，不合题意；

当{}1,2C =时，m 无解，不合题意； 综上所述：实数m 的取值范围为(]2,2-.

19．设p ：实数x 满足22

430x ax a -+<，其中0a >，命题q ：实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎨+->⎩

．

（1）若1a =，且p ，q 为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}23x x <<；（2）{}12a a <≤. 【解析】（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，

又0a >，所以3a x a <<，

当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．

由2260

280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩

，得23x <≤，即q 为真时实数x 的取值范围是

23x <≤．

若p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{}23x x <<． （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q

p ⌝⌝，

设{}A x p =⌝，{}B x q =⌝，则A B ，

又{}{}3A x p x x a x a =⌝=≤≥或，{}{}23B x q x x =⌝=≤>或， 则02a <≤，且33a >所以实数a 的取值范围是{}12a a <≤．

20．（1）若0bc ad -≥，0bd >，求证：

a b c d

b d

++≤； （2）0a b >>，0c d <<，0n <，求证：22()()n n

a c

b d >-- 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析

【解析】（1）因为0bc ad -≥，0bd >，

所以()()c d a b b c d d a b d b bd +++-+-=bc bd ad bd bd +--=0bc ad

bd -=≥， 所以

a b c d b d

++≤ （2）因为0c d <<，所以0c d ->->，

因为0a b >>，所以0a c b d ->->， 所以()()2

2

0a c b d ->->，

所以()()()()()()

22

22220a c b d a c b d a c b d -->>----，

所以()

()

2

2

1

1

0b d a c >

>--， 因为0n <，所以

()

()2

2n n

b d a

c <

--，

即22()()n n

a c

b d >--

21．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}(1)x b b >>. （1）求,a b 的值；

（2）当0x >，0y >，且满足1a b

x y

+=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.

【答案】（1）1,2a b ==；（2）32k -≤≤

【解析】（1）不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}(1)x b b >>，

∴1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，∴3121b a b a ⎧

+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩

，∴

1

2a b =⎧⎨=⎩

（2）由（1）知1,

2,a b =⎧⎨

=⎩

且1a b x y +=,∴121x y +=， ∴1242(2)48y x

x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭

，

当且仅当4y x x y =，即2,

4x y =⎧⎨=⎩

时，等号成立，min 8(2)x y +=∴.

依题意:当0x >,0y >,2

22x y k k +≥++恒成立，

∴2min (2)2x y k k +≥++，即282k k ≥++，

∴260k k +-≤，∴32k -≤≤，∴k 的取值范围为32k -≤≤.

22．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（26x ≤≤）．

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为

()

9001a x x

+元()0a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求a 的取值范围．

【答案】（1）4x =时，甲工程队报价最低；（2）012a <<

【解析】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（26x ≤≤），底面积为12平方米，

所以屋子的前面墙的长度均为12

x

米（26x ≤≤）， 设甲工程队报价为y 元，

所以12

16

34002150372009007200,26y x x x x x ⎛⎫

=⨯⨯+⨯⨯+=++≤≤ ⎪⎝⎭

（元），

因为161690072009002720014400x x x x ⎛⎫

++≥⨯⋅=

⎪⎝⎭

， 当且仅当

16

x x

=，即4x =是时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为14400元.

（2）根据题意可知()9001169007200a x x x x +⎛⎫

++>

⎪⎝⎭

对任意的[]2,6x ∈恒成立，

即

()()2

41x a x x

x

++>

对任意的[]2,6x ∈恒成立，

所以()2

41x a x

+<

+对任意的[]2,6x ∈恒成立，

因为0a >，

()

()()()()22416199916216121111

x x x x x x x x x +++++==+++≥+⋅=++++， 当且仅当911

x x +=

+，即2x =时等号成立， 所以012a <<. 故当012a <<时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能

竟标成功.